SKKN Một số bài toán viết phương trình tiếp tuyến của hàm số

1 MỘT SỐ BÀI TỐN THƯỜNG GẶP VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A, PHẦN THỨ NHẤT I, ĐẶT VẤN ĐỀ 1.Chúng ta biết rằng: dạy học tốn dạy cho người học có lực trí tuệ, lực giúp họ học tập tiếp thu kiến thức tự nhiên xã hội.Vì vậy, dạy tốn khơng đơn dạy cho học sinh nắm kiến thức, định lý toán học.Điều quan trọng dạy cho học sinh có lực, trí tuệ Năng lực hình thành phát triển học tập.Vì cần giúp học sinh phát triển lực trí tuệ chung, bồi dưỡng giới quan vật biện chứng 2.Trong xu chung năm gần đây, viêc đổi phương pháp dạy học vấn đề cấp bách, thiết thực nhằm đào tạo người có lực hoạt động trí tuệ tốt Đổi phương pháp dạy học không giảng lý thuyết, mà luyện tập Luyện tập ngồi việc rèn luyện kỹ tính tốn, kỹ suy luận cần giúp học sinh biết tổng hợp, khái quát kiến thức học, xếp kiến thức học cách hệ thống, giúp học sinh vận dụng kiến thức học vào giải tập cách động sáng tạo Có thể nói, tốn viết phương trình tiếp tuyến hàm số toán thường gặp kì thi tốt nghiệp THPT tuyển sinh ĐHCĐ năm gần đây,thế khơng học sinh cịn lúng túng khơng có nhìn thấu đáo vế tốn này, em thường khơng nhận dạng tốn chưa có phương pháp giải tốn cho dạng tốn khả phân tích đề cịn nhiều khó khăn Sở dĩ học sinh chưa làm tập viết phương trình tiếp tuyến hàm số vì: - Thứ nhất: Bài tốn viêt phương trình tiếp tuyến trình bày cuối chương trình 11 nên nhiều học sinh quên phương pháp cho toán - Thứ hai: Các em thiếu nhiều tập để rèn lun kĩ phân tích trình bày tốn - Thứ ba: học sinh chưa có phương pháp khái quát toán thường gặp viết phương trình tiếp tuyến hàm số Chính vậy, thơi thúc tơi tìm hiểu viết đề tài “Một số toán thường gặp viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số ” nhằm giúp em học sinh nắm kiến thức tốn viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số, để em có chuẩn bị tốt cho kỳ thi tốt nghiệp PTTH ĐHCĐ Một số tốn viết phương trình tiếp tuyến hàm số II.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ LÝ THUYẾT: 1.Tiếp tuyến đường cong phẳng Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho đường cong (C): y = f(x) M(x ; f (x ))∈ (C ) kí hiệu M’(x; f(x)) điểm di chuyển ( C) y M, f(x) M f (x ) O T x0 x x ’ Đường thẳng MM cát tuyến ( C) x Khi x → M’(x; f(x)) di chuyển ( C) tới M(x ; f (x )) ngược lại Giả sử MM’ có vị trí giới hạn, kí hiệu MT MT gọi tiếp tuyến ( C) M Điểm M gọi tiếp điểm “Sau ta không xét trường hợp tiếp tuyến song song trùng với oy” Định lý 1: Cho hàm số y = f(x) (C) Phương trình tiếp tuyến tại M(x ;y ) ∈ (C ) có dạng: , y=f (x ).( x-x ) + y , -Với: f (x ) hệ số góc tiếp tuyến y = f (x ) Định lý 2: Cho hàm số (C) đường thẳng (d) có phương trình: y = f(x) y = kx + b (C) (d) Đường thẳng d tiếp xúc với (C) hệ sau có nghiệm: f kx + b  ( x) =  ,  k =f ( x ) Khi nghiệm x hệ phương trình hồnh độ tiếp điểm Một số tốn viết phương trình tiếp tuyến hàm số B.BÀI TỐN Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: y =f(x) I Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: y =f(x) thuộc đồ thị hàm số ( C ) (C) M(x ;y ) * Phương pháp: - Viết phương trình tiếp tuyến h/s: y =f(x) M(x ;y ) có dạng: , y= f (x ).( x-x ) + y , -Với: f (x ) hệ số góc tiếp tuyến , , -Tính: f (x) =? → f (x ) =? -Kêt luận:… Nhận xét:+bài toán có phương trình tiếp tuyến Ví dụ 1`( Đề TNTHPT-2007 ) Cho hàm số (C): y = x+1 tiếp tuyến với đồ thị (C) A(0;3) Hãy viết phương trình 2x − Giải Ta có: y’= 1+ (2 x − 1) nên y’(0) = Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) A(0;3) có dạng: y = 5(x-0) + hay y = 5x + Ví dụ 2: ( Đề TNTHPT-2006 ) Cho hàm số (C): y = x3-6x2+9x Hãy viết phương trình tiếp tuyến điểm uốn đồ thị (C) Giải ’ ” ” Ta có: y =3.x -12x +9 ; y =6x-12 ; y =0 ⇒ x=2 Với: x = ⇒ y = y’(2)= -3 Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm uốn A(2;2) có dạng: y = -3(x-2) + hay y = -3x + II Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: y =f(x) điểm có hồnh độ x=x * Phương pháp: -Với: x =x → y =f(x )=? ( dạng trên) Một số tốn viết phương trình tiếp tuyến hàm số - Viết phương trình tiếp tuyến hàm số: y =f(x) điểm có hồnh độ x = x có dạng: , y=f (x ).( x-x ) + y Nhận xét:+áp dụng tương tự với tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có tung độ: y= y → y =f(x ) →x =? ( tốn dạng tiếp tuyến điểm ) Ví dụ: ( Đề TNTHPT-2008 ) Cho hàm số (C): y = x4-2x2 Hãy viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hồnh độ x= -2 Giải ’ Ta có: y =4x - 4x Với: x = -2 ⇒ y = y’(-2)= - 24 Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm A(-2;8) có dạng: y = -24( x + ) + hay y = -24x - 40 III.Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: y =f(x) có hệ số góc k *Phương pháp: , , -Tính: f (x) =? → f (x ) =? (chứa ẩn x ) , -Hệ số góc tiếp tuyến là: f (x ) = k→ x =? → y =f(x )=? - Viết phương trình tiếp tuyến hàm số:y =f(x) có hệ số góc k có dạng: y=k.( x-x ) + y Nhận xét: , +Số nghiệm x phương trình: f (x ) = k số phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k , +Tiếp tuyến song song với đường thẳng: y = kx +b→ f (x ) = k→ x =? → y =f(x )=? +Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng: y= kx +b→ f (x )= - k → x =? , )=?→Phương trình tiếp tuyến : y=- k y =f(x (x- x ) + y +Tiếp tuyến tạo với chiều dương trục ox góc Phương trình tiếp tuyến : y= tan α (x- x ) + y α thì: f ' ( x ) = tan α ↔ x = ? → y = ? Ví dụ: ( Đề TNTHPT-2009 ) Một số tốn viết phương trình tiếp tuyến hàm số 2x + Hãy viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) ,biết hệ số x−2 Cho hàm số (C): y = góc tiếp tuyến -5 Giải −5 −5 Ta có: y’= ( x − 2) Ta có hệ số góc tiếp tuyến: ( x − 2) = -5 ⇒ ( x − 2) = ⇔ x=1 x=3 -Với x=1 ⇒ y=-3 Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm A(1;-3) có dạng: y = -5( x -1 ) - hay y = -5x + -Với x=3 ⇒ y=7 Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm B( 3;7 ) có dạng: y = -5( x -3 ) +7 hay y = -5x + 22 IV Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: y =f(x) qua điểm A(x ;y ) *Phương pháp: , -Tính : f (x) =? -Gọi đường thẳng qua A(x ;y ) có hệ số góc k→phương trình có dạng: y=k.(x- x )+y -Để đường thẳng tiếp tuyến đồ thị hàm số thì:  f ( x) = k ( x − x1 ) + y1  k = f , ( x)  có nghiệm , -Thay (2) vào (1)ta có: f(x) = f (x) (x- x )+ y (3)→x = ? thay vào(2)→k = ? -Kết luận: +Nhận xét:-số nghiệm x phương trình(3) số tiếp tuyến đồ thị hàm số qua A(x ;y ) Ví dụ: ( Đề TNTHPT-2004 ) Cho hàm số (C): y = x -x Hãy viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) qua điểm A(3;0) Giải ’ Ta có: y = x -2x -Gọi đường thẳng qua A(3;0) có hệ số góc k→phương trình có dạng: y=k.(x- 3)+0 -Để đường thẳng tiếp tuyến đồ thị hàm số thì: Một số tốn viết phương trình tiếp tuyến hàm số 1  x − x = k ( x − 3) 3  k = x − 2x  có nghiệm x − x = ( x − x)( x − 3) →x=0 x= 3 -Với x=0 thay vào(2)→k = Phương trình tiếp tuyến: y = -Với x= thay vào(2)→ k= Phương trình tiếp tuyến: y = 3.(x-3) = 3x – -Vậy có hai phương trình tiếp tuyến qua A(3;0) là: y=0 y = 3x – Ví dụ: ( Đề TS ĐH khối A-2009 ) -Thay (2) vào (1)ta có Cho hàm số (C): y = x+2 2x + Hãy viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) ,biết tiếp tuyến cắt trục hoành,trục tung A B cho tam giác AOB cân O Giải Phân tích: tiếp tuyến (d)cần tìm thỏa mãn*(d)là tiếp tuyến ( C) *(d)cắt ox A cắt oy B *OA=OB Cách 1: Vì (d) cắt ox A nên A(a;0) (d) cắt oy B nên B(0;b) điều kiện: a ≠ b ≠ Để tam giác AOB cân O OA=OB ⇔ a = b ⇔a=b a = -b *Với a = b ta có phương trình đường thẳng (d) có dạng: y x + = a a ⇔y=-x +a Để (d) tiếp tuyến (C) thì:  x+2  2x + = − x + a   −1  −1 =  (2 x + 3)  có nghiệm Từ (2) ta có: x = -2 x = -1 -Với x = -2 thay vào (1) ta có: a = -2 thay vào phương trình tiếp tuyến (d) có dạng: y = -x - -Với x = -1 thay vào (1) ta có: a = (loại) Một số tốn viết phương trình tiếp tuyến hàm số *Với a = -b ta có phương trình đường thẳng (d) có dạng: x y + = a −a ⇔y=x -a  x +2  x +3 = x −a  Để (d) tiếp tuyến (C) thì:  − 1 =  ( x +3)  Từ (2) suy hệ vơ nghiệm có nghiệm Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm (d): y = -x - Cách 2: Vì tam giác AOB cân O nên tiếp tuyến đồ thị hàm số tạo với ox góc 45 1350 khơng qua gốc tọa độ O −1 ' -Tiếp tuyến đồ thị hàm số tạo với ox góc 45 ta có: tan 45 = y ( x ) ⇔ = (2 x + 3) ⇒ phương trình vơ nghiệm - Tiếp tuyến đồ thị hàm số tạo với ox góc 135 ta có: tan 135 = y ' ( x ) ⇔ −1 = −1 ⇒ (2 x + 3) = ⇔ x = -1 x = -2 (2 x + 3) Với x = -1 ⇒ y = Phương trình tiếp tuyến: y= -1(x+1) +1 hay y= -x (loại qua gốc tọa độ O) Với x = -2 ⇒ y = Phương trình tiếp tuyến: y= -1(x+2) hay y= -x - Kết luận: Phương trình tiếp tuyến cần tìm : y= -x - NHẬN XÉT: - Với cách 1: học sinh thường thiếu điều kiện a b để A BO tam giác -Với cách 2: đơn giản xong học sinh hay bỏ qua điều kiện tiếp tuyến đồ thị hàm số không qua gốc tọa độ O ******************************** C) BÀI TÂP CHUYÊN ĐỀ 1: TIẾP TUYẾN HÀM ĐA THỨC BẬC I, Bài tốn 1: Phương trình tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị Bài 1: Viết p.tr tiếp tuyến đồ thị (C): y = f(x) = x3 – 3x + biết: 1, Hoành độ tiếp điểm là: x1 = -1; x2 = 2, Tung độ tiếp điểm : y1 = 5; y2 = Bài 2: Cho (C): y = f(x) = 2x3 – 3x2 + 9x – Viết p.tr tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với đồ thị sau: 1, Đường thẳng d: y = 7x + 2,Parapol P: y = -x2 + 8x – 3, Đường cong (C): y = x3 -4x2 + 6x – Bài 3: Học viện quân y – 98 Một số tốn viết phương trình tiếp tuyến hàm số Cho hàm số: (Cm): y= x + – m(x + 1) 1,Viết p.tr tiếp tuyến (Cm) giao điểm (Cm) với oy 2, Tìm m để tiếp tuyến nói chắn trục toạ độ tam giác có diện tích Bài 4: ĐH Thương Mại - 20 Cho điểm A(x0;y0) ∈ đồ thị (C): y = x3 – 3x + Tiếp tuyến với (C) A(x 0;y0) cắt đồ thị (C) điểm B khác điểm A Tìm tọa độ điểm B Bài 5: ĐH Y Hà nội – 96 Cho (C): y = x3 + 3x2 + 3x + 1, CMR không tồn điểm ∈ (C) để tiếp tuyến ⊥ với 2, Tìm k để (C) ln có điểm cho tiếp tuyến điểm ⊥ với đường thẳng: y = kx + m Bài 6: Cho (Cm): y = f(x) = x3 + 3x2 + m + 1, Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = điểm phân biệt C(0;1),D, E 2, Tìm m để tiếp tuyến với (Cm) D E vng góc với Bài 7: ĐH Quốc gia TP.HCM – 96 Cho (Cm): y = f(x) = x3 + mx2 + Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = -x + điểm phân biệt A(0;1), B,C cho tiếp tuyến với (Cm) B C vuông góc với Bài 8: HV Cơng nghệ BCVT HN – 01 Cho hàm số (C) : y = x3 – 3x 1, Cmr: đt ( ∆ m): y = m(x+1) + cắt (C) điểm A cố định 2, Tìm m để ( ∆ m) cắt (C) A, B,C phân biệt cho tiếp tuyến với đồ thị B C vng góc với Bài 9: ĐH Ngoại ngữ HN – 01 Tìm điểm đồ thị (C): y = thẳng y = - x + x –x+ mà tiếp tuyến ⊥ với đường 3 Bài 10: Cho đồ thị (C): y = f(x) = x3 – 3x2 + Cmr (C) có vơ số cặp điểm mà tiếp tuyến cặp điểm song song với đồng thời đường thẳng nối cặp tiếp điểm đồng quy điểm cố định Bài 11: Cho đồ thị (C): y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) Cmr (C) có vơ số cặp điểm mà tiếp tuyến cặp điểm song song với đồng thời đường thẳng nối cặp tiếp điểm đồng quy điểm cố định Bài 12: ĐH ngoại thương TP.HCM – 98 Cho đồ thị (C): y= x3 + 3x2 – 9x + Tìm tiếp tuyến với (C) có hệ số góc Bài 13: HV QHQT – 01 Một số tốn viết phương trình tiếp tuyến hàm số Cho đồ thị (C): y = x – mx2 –x + m – Tìm t.tuyến với (C) có hệ số góc Bài 14: ĐH mỏ địa chất – 94 Cho đồ thị (C): y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) Cmr tất tiếp tuyến đồ thị (C), tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc a>0 lớn a