Tìm số nghiệm của phương trình hàm hợp khi biết bảng biến thiên hoặc đồ thị

Tài liệu gồm 36 trang, được tách từ chuyên đề 50 dạng toán ôn thi tốt nghiệp THPT 2020 môn Toán do tập thể quý thầy, cô giáo Nhóm Word Và Biên Soạn Tài Liệu Toán biên soạn, hướng dẫn giải bài toán tìm số nghiệm của phương trình hàm hợp khi biết bảng biến thiên hoặc đồ thị, một dạng toán thường gặp trong chương trình Giải tích 12 chương 1 và đề thi THPT Quốc gia môn Toán.

TÌM SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM HỢP KHI BIẾT BẢNG BIẾN THIÊN HOẶC ĐỒ THỊ I KIẾN THỨC CẦN NHỚ  f (x )=m phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị y = f ( x ), y = m Số nghiệm phương trình số giao điểm hai đồ thị y = f ( x ) , y = m  f (x) = g (x) phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị y = f (x), y = g (x) Số nghiệm phương trình số giao điểm hai đồ thị y = f (x), y = g (x) II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Sử dụng BBT đồ thị hàm số f ( x ) để tìm số nghiệm thuộc đoạn  a ; b  phương trình c f ( g ( x ) ) + d = m , với g(x) hàm số lượng giác  Sử dụng BBT đồ thị hàm số f ( x ) để tìm số nghiệm thuộc đoạn  a ; b  phương trình c f ( g ( x ) ) + d = m , với g(x) hàm số thức, đa thức, …  Sử dụng BBT đồ thị hàm số f ( x ) để tìm số nghiệm thuộc đoạn  a ; b  phương trình c f ( g ( x ) ) + d = m , với g(x) hàm số mũ, hàm số logarit  Sử dụng BBT đồ thị hàm số f ( x ) để tìm số nghiệm thuộc đoạn  a ; b  phương trình c f ( g ( x ) ) + d = m , với g(x) hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối III BÀI TẬP MẪU VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CÂU 46 - ĐỀ MINH HỌA TỐT NGHIỆP THPT 2020 MƠN TỐN Đề bài: Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên sau:  5  Số nghiệm thuộc đoạn 0;  phương trình f ( sin x ) =  2 A B C D Trang 1 DẠNG TOÁN: Đây dạng toán sử dụng BBT đồ thị hàm số f ( x ) để tìm số nghiệm thuộc đoạn  a ; b  PT c f ( g ( x ) ) + d = m KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Số nghiệm thuộc đoạn  a ; b PT f ( t ) = k số giao diểm đồ thị y = f ( t ) đường thẳng y = k với t   a ; b ( k tham số) HƯỚNG GIẢI: B1: Đặt ẩn phụ t = g ( x ) Với x   a ; b  t   a ; b B2: Với c f ( g ( x ) ) + d = m  f ( t ) = k B3: Từ BBT hàm số y  f (x) suy BBT hàm số y  f (t) để giải toán số nghiệm thuộc đoạn  a ';b ' cúa phương trình f (t)  k LỜI GIẢI CHI TIẾT: Chọn C Đặt t = sin x, t   −1;1 PT f ( sin x ) = (1) trở thành f ( t ) = ( ) BBT hàm số y = f ( t ) , t   −1;1 : Dựa vào BBT ta có số nghiệm t   −1;1 PT (1) nghiệm phân biệt t1  ( −1;0 ) , t2  ( 0;1) Quan sát đồ thị y = sin x hai đường thẳng y = t1 với t1  ( −1;0 ) y = t2 với t2  ( 0;1)  5  + Với t1  ( −1;0 ) PT sin x = t1 có nghiệm x  0;     5  + Với t2  ( 0;1) PT sin x = t2 có nghiệm x  0;    Trang  5  Vậy số nghiệm thuộc đoạn 0;  phương trình f ( sin x ) = + = nghiệm  2 IV BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN  Mức độ Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình đây: Số nghiệm thuộc khoảng ( 0;  ) phương trình f ( sin x ) = −4 A B C D Lời giải Chọn C sin x =   ( −1;0 ) Xét phương trình: f ( sin x ) = −4   sin x =   ( 0;1) Vì x  ( 0;  )  sin x  ( 0;1 Suy với x  ( 0;  ) f ( sin x ) = −4  sin x =   ( 0;1) Vậy phương trình cho có nghiệm x  ( 0;  ) Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục có bảng biến thiên sau: Trang Phương trình f ( cos x ) = 13 có nghiệm thuộc khoảng A B C    − ; ?  2 D Lời giải Chọn C    Đặt t = cos x , x   − ;   t  ( 0;1  2 13 13 Phương trình f ( cos x ) = trở thành f ( t ) = 3 13 có nghiệm t  ( 0;1) Với nghiệm t  ( 0;1) , thay vào phép đặt ta phương trình cosx = t có hai nghiệm phân Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình f ( t ) =    biệt thuộc thuộc khoảng  − ;   2 Vậy phương trình f ( cos x ) = Câu 13 có hai nghiệm phân biệt thuộc thuộc khoảng    − ;   2 Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ sau: Số nghiệm phương trình f ( 2sin x ) = đoạn  0; 2  A B C Lời giải D Chọn C Đặt t = 2sin x , t   −2; 2 Xét phương trình f ( t ) = , dựa vào đồ thị ta thấy: Trang t  t f (t ) =   t t  = −3 ( l ) = −2 = −1 =5 ( n )  sin x = −2 sin x = −1   ( n )  2sin x = −1 sin x = −  (l ) Với sin x = −1  x = −  3 + k 2 , x   0; 2   x = 2   x = − + k 2  11 7 Với sin x = −   , x   0; 2   x = , 6  x = 7 + k 2  Vậy phương trình f ( 2sin x ) = có nghiệm đoạn  0; 2  Câu Cho hàm số f ( x ) có đồ thị hình vẽ sau: y -1 O x -1 -2  3  Số nghiệm thuộc đoạn  − ; 2  phương trình f ( cos x ) + =   A C B D Lời giải Chọn B cos x = a  ( −2; − 1)  cos x = b  ( −1;0 ) Ta có f ( cos x ) + =  f ( cos x ) = −   cos x = c  ( 0;1) cos x = d  (1; )  Vì cos x  −1;1 nên cos x = a  ( −2; − 1) cos x = d  (1; ) vô nghiệm  3  Xét đồ thị hàm số y = cos x  − ; 2    Trang Phương trình cos x = b  ( −1;0 ) có nghiệm phân biệt Phương trình cos x = c  ( 0;1) có nghiệm phân biệt, khơng trùng với nghiệm phương trình cos x = b  ( −1;0 )  3  Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt thuộc đoạn  − ; 2    Câu Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên sau: Số nghiệm thuộc đoạn  − ;   phương trình f ( 2sin x ) + = A B C D Lời giải Chọn A Đặt t = 2sin x Vì x   − ;   nên t   −2; 2  f (t ) + =  f (t ) = − Dựa vào bảng biến thiên, phương trình f ( t ) = − Suy sin x = có nghiệm t1  ( −2;0 ) t2  ( 0; ) t1 t  ( −1; ) sin x =  ( 0;1) 2 ➢ Với sin x = t1  ( −1; ) phương trình có nghiệm −  x1  x2  ➢ Với sin x = t2  ( 0;1) phương trình có nghiệm  x3  x4   Vậy phương trình có nghiệm phân biệt thuộc đoạn  − ;   Trang Câu Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên sau: 3   Số nghiệm thuộc đoạn  − ;  phương trình f ( cos x ) − = 2  A B C D Lời giải Chọn A Đặt t = 2cos x , t   −2; 2 f ( 2cos x ) − = trở thành f ( t ) − =  f ( t ) = (1) Nhận xét: số nghiệm phương trình (1) số giao điểm hai đồ thị: ( C ) : y = f ( t ) đường thẳng ( d ) : y = Bảng biến thiên hàm số y = f ( t ) đoạn  −2; 2 : Dựa vào bảng biến thiên, đoạn  −2; 2 phương trình ( 2) có nghiệm phân biệt t1  ( −2;0 ) , t2  ( 0; ) 3   Ta có đồ thị hàm số y = cos x  − ;  : 2  Trang ▪ Với t1  ( −2;0 )  cos x = t1  ( −2;0 )  cos x = t1  ( −1; ) 3  t  Dựa vào đồ thị hàm số y = cos x  − ;  ta thấy phương trình cos x =  ( −1; ) có 2  nghiệm phân biệt: −  x1  − ▪     x2    x3  Với t2  ( 0; )  cos x = t2  ( 0; )  cos x = 3 t2  ( 0;1) 3  t  Dựa vào đồ thị hàm số y = cos x  − ;  ta thấy phương trình cos x =  ( 0;1) có 2 2  nghiệm phân biệt −   x4   x5   3   Vậy số nghiệm thuộc đoạn  − ;  phương trình f ( cos x ) − = nghiệm 2  Câu Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên sau: Số nghiệm đoạn  −2 ;2  phương trình f ( cos x ) + = A B C D Lời giải Chọn D Từ f ( cos x ) + =  f ( cos x ) = − (1) Đặt t = cos x với x   −2 ;2  t   −1;1 Ta có (1)  f ( t ) = − Trang Xét hàm số h ( x ) = cos x ; x   −2 ; 2  , ta có BBT: Với t = −1 phương trình có nghiệm Với −1  t  phương trình có nghiệm Với t = phương trình có nghiệm Xét f ( t ) = − với t   −1;1 Nhìn vào BBT, phương trình f ( t ) = − có nghiệm Vậy tất có nghiệm Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục có đồ thị hình vẽ Tập hợp tất giá ( ) trị thực tham số m để phương trình f x + x − = 3m + có nghiệm thuộc đoạn  0;1 A  0; 4 C  0;1 B  −1;0   D  − ;1   Lời giải Chọn D Đặt t = x + x − Với x  0;1  t   −2;1 ( ) Phương trình f x + x − = 3m + có nghiệm thuộc đoạn  0;1 phương trình f ( t ) = 3m + có nghiệm thuộc  −2;1   3m +   −  m  Trang Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục khoảng ( −;1) ; (1; +) có đồ thị hình vẽ đây: y O x Tập hợp tất giá trị thực tham số m để phương trình f ( log x ) = m có nghiệm thuộc khoảng ( 4; +  ) C  0;1) B ( 0; ) A (1;+  ) D \ 1 Lời giải Chọn C Đặt t = log x Với x  ( 4; +  ) t  ( 2; +  ) Do phương trình f ( log x ) = m có nghiệm thuộc khoảng ( 4; +  ) phương trình f ( t ) = m có nghiệm thuộc khoảng ( 2; +  ) Quan sát đồ thị ta suy f ( t ) = m có nghiệm thuộc khoảng ( 2; +  ) m 0;1) Câu 10 Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị hàm số hình vẽ đây: Tìm số nghiệm thực phương trình f B A ( ) − x + x − = −2 C Lời giải D Chọn A Cách 1: Ta có − x + x − xác định  x  Trang 10 Theo đồ thị : ( f + f (e x ))  + f ( e x ) = −1 =1   + f ( e x ) = a, (  a  )  e x = + f ( e ) = −1  f ( e ) = −3   x  x=0 e = b  −1( L ) x x e x = c  −1( L )  + f ( e x ) = a  f ( e x ) = a − 2, (  a −  1)  e x = d  ( L )  x = ln t  x e = t  Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục thỏa mãn điều kiện lim f ( x ) = lim f ( x ) = − có đồ x →− x →+ thị hình đây: ( ) Với giả thiết, phương trình f − x3 + x = a có nghiệm Giả sử tham số a thay đổi, phương trình cho có nhiều m nghiệm có n nghiệm Giá trị m + n A B C Lời giải D Chọn C Dễ thấy điều kiện phương trình cho x  Đặt t = − x3 + x (1)  t  (−;1] Trang 22 Dễ thấy phương trình (1) ln có nghiệm t  (−;1] Phương trình cho có dạng: f ( t ) = a (2), t  Số nghiệm phương trình cho số nghiệm (2) Đồ thị hàm số y = f ( t ) , t  có dạng: Do đó: (2) vơ nghiệm a  (2) có hai nghiệm −3  a  (2) có nghiệm a = a  −3 Vậy m = 2, n =  m + n = Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục có đồ thị hình vẽ Gọi S tập giá trị nguyên m phương trình f ( sin x ) = 3sin x + m có nghiệm thuộc khoảng ( 0;  ) Tổng phần tử S A −5 B −8 C −10 D −6 Lời giải Chọn C Đặt t = sin x , x  ( 0;  )  sin x  ( 0;1  t  ( 0;1 Phương trình cho trở thành f ( t ) = 3t + m  f (t ) − 3t = m (*) Đặt g (t ) = f (t ) − 3t Ta có: g '(t ) = f '(t ) − (1) Trang 23 Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ), ta có: t  ( 0;1 : f '(t )  (2) Từ (1) (2) suy ra: t  ( 0;1 : g '(t )  Do hàm số g (t ) nghịch biến khoảng ( 0;1) PT (*) có nghiệm t  ( 0;1  g (t )  m  max g (t )  g (1)  m  g (0) 0;1 0;1  f (1) −  m  f (0)  −4  m  Vậy m nguyên là: m −4; −3; −2; −1;0  S = −10 Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục có đồ thị hình vẽ sau: m Có giá trị nguyên tham số m để phương trình f ( sin x ) = f   có 12 2 nghiệm phân biệt thuộc đoạn  − ; 2  ? A B C Lời giải D Chọn C Ta có bảng biến thiên hàm số y = g ( x ) = sin x đoạn  − ; 2  m Phương trình f ( sin x ) = f   có 12 nghiệm phân biệt thuộc đoạn  − ; 2  2 m phương trình f ( t ) = f   có nghiệm phân biệt t  ( 0; ) 2 Trang 24 m Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) suy phương trình f ( t ) = f   có nghiệm phân biệt 2 m  0 2  27 0  m  m   f  0  t  ( 0; ) −  16 m m  2     2 Do m nguyên nên m  1; 2 Vậy có giá trị m thoả mãn toán Câu 10 Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau: 1  Số nghiệm thuộc đoạn  − ;   phương trình f  sin x − cos x  = −2 3  A B C D Lời giải Chọn B x = Nhìn vào đồ thị ta xét phương trình f ( x ) = −2    x = −1 1 1  Nên từ ta có : f  sin x − cos x  = −2  sin x − cos x = 1 4 3   4 12   sin x − cos x  = 1  12 sin ( x −  ) = 1  sin ( x −  ) =  12  5  Dễ thấy phương trình vơ nghiệm Vậy phương trình vơ nghiệm đoạn  0; 2  Câu 11 Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên sau Trang 25   Số nghiệm thuộc đoạn  −2 ;  phương trình f ( sinx + cos x ) + = 2  A B D C Lời giải Chọn B Xét phương trình f ( sin x + cos x ) + =   Đặt t = sin x + cos x = sin  x +  , ta phương trình f ( t ) + =  f ( t ) = − 4  Dựa vào bảng biến thiên kết hợp điều kiện ẩn t ta có:    t = a  − ;0 sin  x +  =   f (t ) = −    t = b  0;     sin  x +  = 4   ( ( ) ) a  ( −1;0 ) b  ( 0;1) (1) ( 2)   Ta có: đoạn  −2 ;  phương trình (1) có nghiệm, cịn phương trình ( ) có nghiệm 2  khác nghiệm phương trình (1)   Vì phương trình cho có nghiệm đoạn  −2 ;  2  Câu 12 Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị sau: Số nghiệm thuộc đoạn  − ;   phương trình f ( cos x ) + = A B C D Lời giải Chọn A Đặt t = cos x Vì x   − ;   nên t   0; 2  f ( t ) + =  f ( t ) = − Trang 26 Dựa vào bảng biến thiên, phương trình f ( t ) = − Suy cos x = có nghiệm t0  ( 0;1) t0     0;   2 ➢ Với cos x = t0 −  phương trình cho có nghiệm  x1   x2  2 ➢ Với cos x = − t0   phương trình cho có nghiệm −  x3  − ;  x4   2 Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt thuộc đoạn  − ;   Câu 13 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục có đồ thị hình vẽ Tập hợp tất giá trị thực tham số m để phương trình f ( sin x + 1) = m có nghiệm thuộc khoảng ( 0; ) y −3 −1 O A  0;4 ) B ( 0;4 ) C (1;3) x D  0;8 ) Lời giải Chọn D Đặt t = sin x + Với x  ( 0; ) t  (1;3 Do phương trình f ( sin x + 1) = m có nghiệm thuộc khoảng ( 0; ) phương trình f ( t ) = m có nghiệm thuộc nửa khoảng (1;3 Quan sát đồ thị ta suy điều kiện tham số m Câu 14 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục m   0;4 )  m   0;8) có bảng biến thiên hình vẽ bên Có số ngun dương m để phương trình f ( 2sin x + 1) = f ( m ) có nghiệm thực? Trang 27 A B D C Lời giải Chọn D Đặt 2sin x + = t  t   −1;3 phương trình f ( 2sin x + 1) = f ( m ) trở thành f ( t ) = f ( m ) Phương trình f ( 2sin x + 1) = f ( m ) có nghiệm phương trình f ( t ) = f ( m ) có nghiệm t   −1;3 Từ bảng biến thiên suy phương trình f ( t ) = f ( m ) có nghiệm t   −1;3 −2  f ( m )  Cũng từ bảng biến thiên suy −2  f ( m )   −1  m  Do m nguyên dương nên m  1, 2,3 Câu 15 Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên sau: 3   Số nghiệm thuộc đoạn  −2 ;  phương trình f ( −2 sin x ) + 10 = 2  A C B D Lời giải Chọn D Đặt t = −2 sin x , t   −2;0 f ( −2 sin x ) + 10 = (1) trở thành f ( t ) + 10 =  f ( t ) = − 10 ( 2) Nhận xét: Số nghiệm phương trình ( ) số giao điểm hai đồ thị: ( C ) : y = f ( t ) đường thẳng ( d ) : y = − 10 Bảng biến thiên hàm số y = f ( t ) đoạn  −2;0 : Trang 28 Dựa vào bảng biến thiên, số nghiệm t   −2;0 ( 2) nghiệm t  ( −2;0 ) sin x = t1  ( −1;0 )  sin x = t2  ( 0;1) ▪ Trường hợp 1: sin x = t1  ( −1;0 ) 3   Đồ thị hàm số: y = sin x đoạn  −2 ;  2  Nhận xét: Số nghiệm phương trình sinx = t1  ( −1;0 ) số giao điểm cuả hai đồ thị y = sin x đường thẳng d : y = t1 , t1  ( −1;0 ) Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình − ▪ sinx = t1  ( −1;0 ) có nghiệm phân biệt 3   3  x1  − ; −   x2  − ;  x3   ;   x  2 2 Trường hợp 2: sin x = t2  ( 0;1) PT (1) 3   Đồ thị hàm y = sin x đoạn  −2 ;  2  Nhận xét: Số nghiệm phương trình sinx = t  ( 0;1) số giao điểm cuả hai đồ thị y = sin x đường thẳng d : y = t2 , t2  ( 0;1) Trang 29 Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình −2  x5  − sinx = t  ( 0;1) có nghiệm phân biệt 3   ; −  x6  0;  x  2 3   Vậy số nghiệm thuộc đoạn  −2 ;  phương trình f ( −2 sin x ) + 10 = nghiệm 2  Câu 16 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục tham số m để phương trình f ( có đồ thị hình vẽ Tổng tất giá trị nguyên )   f ( cos x ) = m có nghiệm x   ;   2  y −2 x −1 O −1 −2 A −1 B C D −2 Lời giải Chọn D   +) Đặt t = cos x , x   ;   nên suy t  ( −1;0 2  Trên khoảng ( −1;0 ) hàm số nghịch biến nên suy Với t  ( −1;0 f ( )  f ( t )  f ( −1) hay  f ( t )  +) Đặt u = f ( cos x ) u = f ( t ) , u   0; ) Khi tốn trở thành: Tìm m để phương trình f ( u ) = m có nghiệm u   0; ) Quan sát đồ thị ta thấy với u  0; ) f ( u )   −2; )  −2  m  Vì m   m  −2; −1;0;1 Vậy có giá trị m Tổng giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán −2 Câu 17 Cho hàm số f ( x ) có đồ thị sau: Trang 30 Số nghiệm thuộc đoạn [0;3 ] phương trình f (cos x) − = là: A 12 B C 10 D Lời giải Chọn A Đặt t = cos x với x  [0;3 ]  t  [−1;1]  f (t) =  Phương trình f (cos x) − = trở thành   f (t) = −1  (1) (2) Căn đồ thị hàm số f ( x ) ta thấy: t = t1  (−1;0) (t1  t2 ) + (1)   t = t2  (−1;0) Với t = t1  (−1;0)  cos x = t1 có nghiệm thuộc [0;3 ] Với t = t2  (−1;0)  cos x = t2 có nghiệm thuộc [0;3 ] t = t3  (0;1) + (2)   t = t4  (0;1) (t3  t4 ) Với t = t3  (0;1)  cos x = t3 có nghiệm thuộc [0;3 ] Với t = t4  (0;1)  cos x = t4 có nghiệm thuộc [0;3 ] Các nghiệm khơng có nghiệm trùng Vậy phương trình cho có 12 nghiệm thuộc [0;3 ] Trang 31 Câu 18 Cho hàm số f ( x ) = ax + bx + c , a  có đồ thị sau: ( ) Tính tổng giá trị nguyên tham số m để phương trình f f ( sin x ) − = m có nghiệm   x  0;   2 A B C D Lời giải Chọn C     Đặt sin x = t , x  0;   t  0;1  f ( sin x ) = f ( t )   2;4 Đặt u = f ( sin x ) −  u   −1;1 Phương trình trở thành: f ( u ) = m   Phương trình cho có nghiệm x  0;  đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số điểm  2 có hồnh độ thuộc  −1;1 Dựa vào đồ thị suy  m  Vậy tổng giá trị nguyên tham số m thỏa mãn Câu 19 Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên sau: Có giá trị nguyên tham số m để phương trình f ( 2sin x + m ) + = có nghiệm phân biệt thuộc  0;3  ? Trang 32 A B C D Lời giải Chọn B −m −  sin x =   2sin x + m = −1 f ( 2sin x + m ) + =  f ( 2sin x + m ) = −2     2sin x + m = sin x = −m +  −m + −m − − = 2 Để phương trình f ( 2sin x + m ) + = có nghiệm phân biệt thuộc  0;3  Nhận xét −m −  sin x =  sin x = −m +  (1) ( 2) có nghiệm phân biệt thuộc  0;3   (1) có nghiệm phân biệt ( ) có nghiệm phân biệt thuộc  0;3  (1) có nghiệm phân biệt ( ) có nghiệm phân biệt thuộc  0;3  Dựa vào đồ thị hàm số y = sin x , để (1) có nghiệm phân biệt ( ) có nghiệm phân biệt thuộc 0;3  (1) có nghiệm phân biệt ( ) có nghiệm phân biệt thuộc  0;3    −m − =0      −m + =  m = −1      −1  m   −1  m     −1  −m −    −1  m      0  − m +     Vậy có giá trị nguyên m m = 0; m = −1 để phương trình f ( 2sin x + m ) + = có nghiệm phân biệt thuộc  0;3  Câu 20 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục có đồ thị hình vẽ bên đây: Trang 33  7 Tìm m để phương trình f x − x = m có nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn  − ;   2 ( ) A  m  f ( )  m  B  m  f ( )  m  C  m  f ( )  m  D  m  f ( )  m  Lời giải Chọn C  7 Đặt t = x − x , với x   − ;   2  7 Ta thấy hàm số u ( x ) = x − x liên tục đoạn  − ;  u = 2x − ; u  ( x ) =  x =  2 Bảng biến thiên: Ta có nhận xét: Với t =  t  21 phương trình t = x − x có nghiệm phân biệt; Trang 34 Với t = phương trình t = x − x có nghiệm phân biệt; Với t  ( 0;1) phương trình t = x − x có nghiệm phân biệt  21  Với t = x − x phương trình f x − x = m thành f ( t ) = m,  t  0;      ( )  21  Dựa vào đồ thị, ta biện luận số nghiệm phương trình f ( t ) = m,  t  0;      trường hợp sau: Trường hợp 1: m = ( ) f ( t ) =  t = Khi phương trình f x − x = m có nghiệm phân biệt Trường hợp 2:  m   t = a  ( 0;1) Khi phương trình f x − x = m có nghiệm phân biệt f (t ) = m   t = b  1;3 ( )  ( ) Trường hợp 3: m = t = Khi phương trình f x − x = m có nghiệm phân biệt f (t ) = m   t = b  1;3 ( )  ( ) ( ) Trường hợp 4:  m  f ( ) f ( t ) = m  t = a  (1; ) Khi phương trình f x − x = m có nghiệm phân biệt Trường hợp 5: m = f ( ) t = Khi phương trình f x − x = m có nghiệm phân biệt f (t ) = m   t = b  (1; ) ( ) Trường hợp 6: f ( )  m  ( ) ( ) f ( t ) = m có nghiệm phân biệt thuộc (1;5) Khi phương trình f x − x = m có nghiệm phân biệt Trường hợp 7: m = f ( t ) = m có nghiệm phân biệt thuộc (1;5) Khi phương trình f x − x = m có nghiệm phân biệt  21  Trường hợp 8:  m  f    4  21  f ( t ) = m có nghiệm thuộc 1;  Khi phương trình f x − x = m có nghiệm phân  4 biệt ( ) Trang 35  7 Vậy phương trình f x − x = m có nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn  − ;   2  m  f ( )  m  ( ) HẾT -https://toanmath.com/ Trang 36 ... Dựa vào bảng biến thiên suy đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt đường thẳng y = hai điểm phân biệt nên phương trình f ( x ) = có hai nghiệm phân biệt Dựa vào bảng biến thiên suy đồ thị hàm số y = f... xét: Số nghiệm phương trình ( ) số giao điểm hai đồ thị: ( C ) : y = f ( t ) đường thẳng ( d ) : y = − 10 Bảng biến thiên hàm số y = f ( t ) đoạn  −2;0 : Trang 28 Dựa vào bảng biến thiên, số nghiệm. .. thấy phương trình (1) ln có nghiệm t  (−;1] Phương trình cho có dạng: f ( t ) = a (2), t  Số nghiệm phương trình cho số nghiệm (2) Đồ thị hàm số y = f ( t ) , t  có dạng: Do đó: (2) vơ nghiệm