Tích phân liên quan đến phương trình hàm ẩn

Tài liệu gồm 27 trang được biên soạn bởi tập thể quý thầy, cô giáo nhóm Nhóm Word Và Biên Soạn Tài Liệu Môn Toán THPT, hướng dẫn giải bài toán tích phân liên quan đến phương trình hàm ẩn, được phát triển dựa trên câu 48 đề thi minh họa THPT Quốc gia môn Toán năm học 2019 – 2020 do Bộ Giáo dục và Đào tạo công bố.

NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 TÍCH PHÂN LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH HÀM ẨN KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Các tính chất tích phân: b c b   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx với a  c  b a a b c b  k  f  x  dx   kf  x  dx  k   a a b a   f  x  dx    f  x  dx a b b b   f  x  dx  F  x  a  F  b   F  a  a b b b    f  x   g  x   d x   f  x  d x   g  x  dx a a b b a b   f  x  dx   f  t  dt   f  z  dz a a b a b   f   x  dx  f  x  a  f  b   f  a  a  f  u  x   u  x  dx   f  u  du, u  u  x  Công thức đổi biến số: u b  b  f  u  x   u   x  dx   f  u  du, u  u  x  ua  a Phương pháp đổi biến số thường sử dụng theo hai cách sau đây: b  Giả sử cần tính  g  x  dx Nếu ta viết g  x dạng f u  x  u   x  a b u b u b   g  x  dx   f  u  du Vậy tốn quy tính  f  u  du , nhiều trường hợp tích phân a ua u a đơn giản   Giả sử cần tính  f  x  dx Đặt x  x  t  thỏa mãn   x  a  ,   x  b      b b f  x  dx   f  x  t   x  t  dt   g  t  dt , g  t   f  x  t   x  t  a a Trang 731 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 BÀI TẬP MẪU     Cho hàm số f  x  liên tục  , thỏa mãn xf x3  f  x   x10  x  x, x   Khi  f  x  dx 1 A 17 20 B 13 C 17 D 1 Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Tính tích phân hàm ẩn KIẾN THỨC CẦN NHỚ: u (b ) b Công thức đổi biến số tích phân:  f u ( x) u ( x) dx  a  f (u ) du u(a)  Tính chất tích phân: a  f ( x ) dx  a b  a c b f ( x) dx   f ( x) dx   f ( x) dx a c b  f ( x) dx  f ( x) x b x a  f (b)  f ( a) a HƯỚNG GIẢI: B1: Nhân hai vế phương trình với x , sử dụng tích phân hai vế để tính  f  x  dx 1 B2: Nhân hai vế phương trình với x , sử dụng tích phân hai vế để tính  f  x dx 0 B3: Kết luận  f  x  dx 1 Từ đó, ta giải toán cụ thể sau: Lời giải Chọn B Cách : Dùng vi phân     Ta có: xf x3  f  x   x10  x  x, x   Trang 732 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020  x f  x   xf 1  x    x11  x  x , x   * 1 Khi đó: *   x f  x  dx   xf 1  x  dx  1 1   x  x  x  dx, x   11 1 1   f  t  dt   f  t  dt   1 20  1 f  t  d t      f  t  d t  4   f  x  d x  4  1 1 1 1       Mặt khác: *   x f x dx   xf  x dx    x11  x  x dx 0  1 f  t  dt   f  t  dt    30 21  5 f  t  dt    60 1   f  t  dt   0 Theo tính chất tích phân ta có:  1   f  x dx   f  x dx   f  x dx   f  x dx  1 13 Cách 2: (Tham khảo khơng giống phân tích trên)   Bậc cao vế phải x10 , bậc cao vế phải x f x3 Kết luận: f  x  bậc x  x3   x10 Hệ số bậc cao vế phải 1 Kết luận: Hệ số bậc cao vế trái 1 Vậy f  x    x  ax  bx  c x f  x3    x10  x.a  x3     x10  ax  Vế phải khơng có x7 Vậy a  Kết luận f  x    x  bx  c x f  x   f 1  x    x10  bx  cx  1  x   b 1  x   c   x10  bx  cx   3x  3x  x  b  bx  c   x10  x   b   x    b  x  cx  b  c  Đồng hệ số b  3; c  2 Tóm lại f  x    x  x  Suy  f  x  dx  1 13 Bài tập tương tự phát triển: Câu 48.1: Cho hàm số y  f  x  liên tục  thỏa mãn f  x   f   x    x  1 e x 2 x 1  Trang 733 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Khi I   f  x  dx A I  e  C I  B I  D I  e  Lời giải Chọn C 2  3 f  x   f   x   dx     x 1 e Ta có x2  x 1 2 2  3 f  x  dx   f   x  dx    x  1 e 0 2 2 dx   dx 2 d  x  x  1   x 1  3 f  x  dx   f  x  dx  e x x  x 1  3 f  x  dx   f   x  d   x    e x   dx   x 1 8   f  x  dx    f  x  dx  Câu 48.2: Cho hàm số y  f  x  liên tục  0;   thỏa mãn f  ln x   f 1  ln x   x Khi I   f  x  dx A e 1 B e 1 C e D e 1 Lời giải Chọn A Ta có f  ln x   f 1  ln x   x  1 f  ln x   f 1  ln x     x x Lấy tích phân từ đến e hai vế   , ta e e 1  1  x f  ln x   x f 1  ln x   dx  1 dx e  e  e 1 1 x f  ln x  dx  1 x f 1  ln x  dx  e   e f  ln x  d  ln x    f 1  ln x  d 1  ln x   e     Trang 734 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Đặt t  ln x Đổi cận x 1 t  x  e  t 1 Khi        f  x  dx   f 1  t  d 1  t   e  1  f  x  dx   f  x  dx  e  1 e 1 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020  f  x  dx   f 1  2 ln  Câu 48.3: Cho hàm số y  f  x  liên tục  \ 0;  1 thỏa mãn  f    a  b ln 3; a, b     x  x  1 f   x   f  x   x  x Tính a  b 25 A B C D 13 Lời giải Chọn B Ta có x  x  1 f   x   f  x   x  x (1) Chia vế biểu thức (1) cho  x  1 ta x x f  x  f  x  x 1 x 1  x  1 x  x  f  x   , với x   \ 0;  1   x 1  x 1  x x f  x   dx x 1 x 1  x f  x   x  ln x   C x 1  f  x  x 1  x  ln x   C  x Mặt khác, f 1  2 ln  1  ln  C   2 ln  C   Do f  x   x 1  x  ln x   1 x Với x  f  x   Vậy a  b  3 3 1  ln 3   ln Suy a  b   2 2 Trang 735 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Câu 48.4: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  Biết f 1  e  x   f  x   x f   x   x với x   Tính  f  x  dx A   e B e  C e  e D e   e Lời giải Chọn D Ta có:  x   f  x   x f   x   x   e x f  x  x xf   x    x   f  x  x3  e  x f  x   x 1    e x     e x dx  e x  C  f  x    x  C x e x Vì f 1  e  1  C e  e  C   e  1 Do f  x    x     x e x  e Vậy  1    1  1 f  x  dx     x     x 2e x  dx    x 2dx      x e x dx  e  e0   1   1  1  1        x 2d  e x     1   e   xe x dx     e   1    xd  e x   e0  e   e0    2  1  1  e     e   e x dx    e     e   e  1     e  3 e  e   e  15 x 2 Câu 48.5: Cho hàm số y  f  x  liên tục  \ 0 thỏa mãn f  3x   f     ,  x 1  f  x  dx  2019 Tính I   f  x  dx A I   688 B I  688 C I  886 D I  68 Lời giải Chọn A Xét I    t 1 1 f   dx Đặt t  x  dx  dt Đổi cận  x x t 3 x Trang 736 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Khi I  1 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 2 f   dt t  15 x 5x 5t  2 2 2 Mà f  3x   f      f      f  x  hay f      f  3t  2 3 x  x t Nên I  3  5t 1    f  3t   dt    t dt   f  3t  dt  5   f  3t  dt 1   21 41 31 31  t 1  u  Đặt u  3t  dt  du Đổi cận t  3 u  9 Khi I  5  2019 688 f  u  du  5    93 1 Câu 48.6: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  \ 0 thỏa mãn f  x   f    x ,  x 2  xf   x  dx  Giá trị  f  x  dx 103 A  48 2 B 103 24 C 103 48 D  103 12 Lời giải Chọn D u  x  du  dx Đặt    dv  f ( x)dx v  f ( x ) Ta có 2  x f   x  dx  x f  x    f  x  dx   f    f 1   f  x  dx (1) 1 Lần lượt thay x  x  1 vào f  x   1 f    x ta x   f    f 1  f  2        f 1  f     f 1    2 Khi 1   f  x  dx  f    f 1   4   f  x  dx  1 f  x  dx  2 1 1 1 2 2 1 1 1 Lại có f  x   f    x   f  x  dx   f   dx   x dx  2.(2)   f   dx  24 x x  x 1 1 103 1   f   dx  4   24 24 x Trang 737 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Đặt t  50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 2  x   dx   dt ta có x t t  1 1  x   dx   du ta có x u u Đặt u  Thay vào (2) ta 2 1 2 1 2 f  dx   f (t ) dt   f (t ) dt (2) t t  x 2  1 1 1 103 1 f  dx   f (u ) du   f (t ) dt   u 24 t  x 2  103  103  f  x  dx    24    12 Câu 48.7: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 đồng thời thỏa mãn f     f   x    f   x   x   Tính T  f 1  f   A T   ln B T  C T   ln D T   ln Lời giải Chọn C 2 Ta có f   x    f   x   x     f   x   1    f   x   x    f   x    f   x   x     1 1 x   C  f  x  x    dx         f  x  x f  x  x x  9C  f  x  x  Do f     nên C   f  x  x x 1 1  x2    Vậy T  f 1  f       x  dx   ln x     ln  x 1 0   0 Câu 48.8: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục đoạn  0; 2 Biết f    f  x  f   x   e2x 4 x , với x   0;2 Tính tích phân I   A I   16 B I   16 C I   14 x  3x  f   x  f x D I   dx 32 Lời giải Chọn B Ta có f  x  f   x   e x 4 x  ln  f  x  f   x    ln e x 4 x  ln f  x   ln f   x   x  x   Trang 738 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020  f   f    Mặt khác, với x  , ta có  nên f     f    Xét I   x  3x  f   x  f x dx    x3  x    f  x dx f  x    x  x  d ln  f  x     x  x  ln  f  x    2    x  x  ln  f  x   dx 0     x  x  ln f  x  dx    x  x  ln  f  x   dx 1 Đặt t   x  dx  dt Đổi cận x0t  x2t 0 Do I      t  t.ln  f   t   dt    6t  3t  ln  f   t   dt 2 Vì tích phân không phụ thuộc vào biến nên I    x  x  ln  f   x   dx     Cộng vế 1   , ta I    x  x  ln  f  x    ln  f   x   dx Hay I   x  3x  ln  f  x    ln  f   x   dx  0   Thế   vào  , ta có I  16 x  x   x  x  dx     20 Câu 48.9: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục  0;   thỏa mãn f    f   x    x   f  x   Biết  f  x  dx  A S  15 a c ln , với a, b, c   Tính S  a  b  c b B S  C S  D S  Lời giải Chọn D Do f  x   , với x   0;   nên f   x    x   f  x     f  x  2x  f  x Trang 739 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Suy  x2  4x  C f  x Mặt khác f    Vậy 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 1 nên C  hay f  x   15 x  4x   f  x  dx   x dx  ln  a  1, b  2, c   S   4x  2  f    f     Câu 48.10: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  thỏa mãn   f  x  y   f  x   f  y   xy  x  y   1 , với x, y   Tính  f  x  1dx A B  C D Lời giải Chọn C Lấy đạo hàm theo hàm số y f   x  y   f   y   x  xy , x   Cho y   f   x   f     x  f   x    3x  f  x    f   x dx  x  x  C mà f     C  Do f  x   x  x  Vậy  f  x  1dx  f  x  dx   1  x  x  1 dx  1  Câu 48.11: Cho hàm số f  x  liên tục  biết  x2 f  x  0 x2  dx  f  tan x  dx  , Giá trị tích phân  f  x  dx thuộc khoảng đây? A  5;9  B  3;6  C   2;5 D 1;  Lời giải Chọn A Đặt x  tan t  dx  dt  1  tan t  dt cos t Đổi cận x   t  ; x   t  Khi  x2 f  x  x 1  dx    tan t f  tan t  tan t   tan  t  1 dt   tan t f  tan t  dt Trang 740 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Mặt khác, π  f  x   f   x   sin x.cos x  2   0      f  x  dx   f   x  dx   sin x.cos x dx  0 2    f   x  dx  (*) 2  Suy ra:  f  x  dx   Đặt t    x  dt   dx   2        f   x  dx    f  t  dt    f  x  dx 0 2  Nên từ (*)   f  x  dx  π Vậy I    f  x  dx   Câu 48.15: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  0;1 thỏa mãn f 1  ,   f   x   dx  1 0 x f  x  dx  Tích phân A  f  x  dx B C D Lời giải Chọn A 1  x3  x Ta có  x f  x  dx   f  x     f   x  dx Suy 3 0 1 x3 0 f   x  dx   Hơn ta dễ dàng tính 1 Do   f   x   dx  2.21 0 x6 0 dx  63 1 x3 x6 f   x  dx  212  dx     f   x   x3  dx  0 7 Suy f   x   7 x3 , f  x    x  C Vì f 1  nên C  4 Vậy  f  x  dx   f  x Câu 48.16: Cho hàm số    f   x  7 x  1 dx    40 có đạo hàm liên tục  dx   sin xf  x  dx   Tích phân   0;  thỏa mãn f  0  ,   f  x  dx Trang 743 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A  B 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020  C D Lời giải Chọn D    Ta có  sin x f  x  dx   cos x f  x     cos x f   x  dx Suy 0      cos x f   x  dx    cos x  x  sin x   Hơn  cos xdx   dx     4  0 0   2   2 Do   f   x   dx  2. cos x f   x  dx   cos xdx     f   x   cos x  dx  0 0 Suy f   x   cos x , f  x   sin x  C Vì f    nên C   Ta   f  x  dx   sin xdx  0   Câu 48.17: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f  x  6x f x  Giá trị 3x 1  x   x  1 f    dx A  B C  12 D Lời giải Chọn D u  x  du  dx   Đặt  x  x  dv  f    dx v  f         2 x  x 0  x  1 f   dx   x  1 f    20  x f   dx  f 1  f  0  4 f  u  du ;  2  x   u   x  u   du  dx;   2 x   u    f  x   x2 f  x   1 dx     f  x  dx    6x2 f  x3   1 dx   6x f  x  dx  6 3x 1 3x 1  0 0 3x  1   *Tính  6x f x3 dx Đặt t  x  dt  3x dx ; x   t  0, x   t  Trang 744 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 1 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020  x f  x dx  2 f  t dt  2 f  x  dx (2) 0 *Tính 1 dx 3dx    x   (3) 3x  3x   Thay kết (2) (3) vào (1) ta được:    Thay x  0; x  vào f  x  6x f x  f    6; f 1  f 1   f 1   Vậy f  x  dx   f  x  dx    f  x  dx  4 0 ta 3x 1 x  3 dx  f 1  f    4 f  u  du  6.    2.6   4   2  5    x  1 f       Câu 48.18: Cho hàm số f  x  liên tục  , tích phân   f   x   dx  ,  sin x f  x  dx  4   Biết f    , tính f   3   B f    3   A f     3   C f     3   D f     3 Lời giải Chọn B   Ta có  sin x f  x  dx   u  f  x  du  f   x  dx Đặt   dv  sin xdx v   cos x      cos x f  x    cos x f   x  dx  4 Khi  sin x f  x  dx     cos x f   x  dx     Xét   f   x   cos x      cos x     dx   4  2   dx    f   x   dx   cos x f   x  dx   cos xdx     0   x sin x      2    f   x   cos x  dx   f   x   cos x   f   x   cos x Suy f  x   sin x  C Trang 745 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Mà f     C  Khi f  x   sin x    Vậy f    sin  3 Câu 48.19: Cho hàm số y  f  x  liên tục đoạn  0; 1 , thỏa mãn    f  x  1 f  x  dx   xf  x  dx  dx  Giá trị tích phân   f  x   dx A B C 10 D 80 Lời giải Chọn C Xét   f  x    ax  b  1 dx    f  x   dx    f  x   ax  b   dx    ax  b  dx 0 1   2a  xf  x  dx  2b  f  x  dx  a2 ax  b   a  b   ab  b     3a a2    b  a  b  2b   (1) Coi (1) phương trình bậc hai ẩn a Cần xác định a, b để Ta có:   b  4b    b  2   b   a  6 b  2b     3 Khi đó:   f  x    6 x    dx   f  x   x  Suy 1 3 0  f  x  dx  0  x   dx  24  x    10 Câu 48.20: Xét hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  thỏa mãn điều kiện f 1  f     f  x  f  x  1  Tính J      dx x x2  1 A J   ln B J   ln C J  ln   ln D J  Lời giải Chọn D 2 2  f  x  f  x  1  f  x f  x 2  Ta có J     d x  d x  d x      dx 2    x x x x x x   1 1 1 1   u  du   dx x x  Đặt  dv  f   x  dx v  f  x    2 2  f  x   f  x   f  x f  x 2 J    d x  f x  d x  d x       2 2    x x x x x x x  1 1 1   dx  Trang 746 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 1   f    f 1   ln x     ln x 1  Cho hàm số Câu 48.21: y  f  x  liên tục   f   x  f  f  x  dx  10 thỏa mãn f    1, f 1  Tích phân  f  x  dx A 10 C B D 30 Lời giải Chọn A Đặt t  f  x   dt  f   x  dx; x   t  f    1, x   t  f 1  Khi 10   f   x  f  f  x   dx   f  t  dt  f  x  dx  10 Vậy  Câu 48.22: Cho  1  x  f  x  dx  10 Tính I   cos3 xf  sin x  dx 0 A I  5 B I  10 C I  10 D I  Lời giải Chọn C   0 I   cos3 xf  sin x  dx   1  sin x  f  sin x  cosxdx Đặt t  sin x  dt  cos xd x x   t  0; x    t 1 Khi I   1  t  f  t dt  10 e Câu 48.23: Cho  e f  x  dx    x  1 f  x  dx  Tích phân x B 1 A  f  e  dx x C D  Lời giải Chọn B Đặt t  e x  dt  e x dx  tdx  dx  Do đó:  e f  e x  dx   f  t  dt x   t  1; x   t  e t dt t Trang 747 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Mặt khác theo giả thiết có: e 1    x  1 f  x  dx  e dt  f  e  dx   f  t  t x Câu 48.24: e Vậy  x e e   x  1 f  x   f x f  x  dx     f  x   dx    dx x x    1 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  Đồ thị hàm số y  f  x  hình vẽ bên Khi tổng  f   x   dx   f   x   dx B 2 A 10 C D Lời giải Chọn D Dựa vào đồ thị hàm số có f  1  2, f    2, f    Đặt t  x   dt  dx  f   x   dx  Đặt t  x   dt  dx  Vậy  Câu 48.25:  f   t  dt  f    f  2     2   2 f   x   dx   f   t  dt  f    f      2 f   x   dx   f   x   dx  Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  Đồ thị hàm số y  f  x  hình vẽ bên Trang 748 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Khi tổng  2 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 f   x  1 dx   f   x  1 dx A B 10 C D Lời giải Chọn A Đặt t  x   d t  2dx Ta có f   x  1 dx   2  f t  3 f 1  f  3   2  dt   f   t  dx    2 3 2 Đặt t  x   dt  dx Ta có  f   x  1 dx   f   t  dt  f  3  f 1     Vậy 2 Câu 48.26: f   x  1 dx   f   x  1 dx      Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  thỏa mãn f x3  3x   3x  , với x   Tích phân  xf   x  dx A  31 B 17 C 33 D 49 Lời giải Chọn C   Từ giả thiết ta có f x3  3x   3x  nên suy f 1  , f    5 5 Suy I   xf   x  dx  xf  x    f  x  dx  23   f  x  dx 1   Đặt x  t  3t   dx  3t  dt Với x   t  0; x   t  Trang 749 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Do  1 f  x  dx   f  t  3t  1 3t  3 dt    3t    3t  3 dt  Vậy I  23  Câu 48.27: 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 59 59 33  4 Cho hàm số f  x  xác định liên tục  đồng thời thỏa mãn   f  x   0, x    / x  f  x   e f  x  , x   Tính giá trị f  ln    f  0   A f  ln   B f  ln   C f  ln   ln  1 D f  ln   ln 2  2 Lời giải Chọn B Ta có f /  x   e x f  x    f /  x  e x (do f  x   ) f x f /  x 1 dx    e x dx    e x  C  f  x   x f  x f x e C f  0  Thay x  ta f     C  1 e C Vậy f  x   Câu 48.28: 1 1  f  ln   ln   e 1 e  1 x Cho hàm số y  f ( x) xác định liên tục  thỏa mãn  f ( x)  f ( x)   x với 10 x   Tính I   f ( x)dx A I  B I  C I  D I  Lời giải Chọn B Đặt t  f ( x)  2t  3t   x  dx  (6t  3)dt x   2t  3t    t  x  10  2t  3t   10  t  10 Vậy I   f ( x)dx   t (6t  3)dt  Câu 48.29: Cho hàm số y  f  x  liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn bf  a   af  b   , với a, b   0;1 Trang 750 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Tính I   f  x  dx A I   B I  C I   D I  Lời giải Chọn C - Đặt x  sin t  dx  cos tdt Với x  t  ; Với x  t    Ta được: I   f  sin t  cos tdt Đặt x  cos t  dx   sin tdt Với x  t   ; Với x  t   Ta được: I    f  cos t  sin tdt   f  cos t  sin tdt   Suy ra: I    f  sin t  cos t  f  cos t  sin t dt   dt  Câu 48.30: Cho hàm f  x   x f  x3   f  x số 6x 3x  liên tục   I   a; b  đoạn thỏa mãn , x   a; b  Tính  f  x dx A B C 1 D Lời giải Chọn B Ta có: f  x   x f  x   1   f  x dx  2 3x f x3 dx  6 dx (*) 3x  3x  0   Đặt u  x3  du  3x dx Với x   u  x   u  1 1   Khi  3x f x3 dx   f  u du=  f  x dx thay vào (*), ta được:  Câu 48.31: 1 f  x dx  2 f  x dx  6 0 1 1 dx   f  x dx  6 dx  3x  3x  0 Cho hàm số f  x  g  x  có đạo hàm 1;  thỏa mãn f 1  g 1  Trang 751 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020  x g  x   2017 x   x  1 f   x     x  1 , x  1; 2  x   x  g   x   f  x   2018 x x 1  x  Tính tích phân I    g x  f  x  dx  x  x 1  A B C 1 D Lời giải Chọn A  x g  x   2017 x   x  1 f   x     x  1 Từ giả thiết ta có  , x  1; 2  x  x  g   x   f  x   2018 x     x  1  x / Suy  g x  g x  f   x   f  x        x 1 x    x  1   x  x x 1  x    x  1 g  x  f  x   x  C  g  x    f  x    x 1 x  x 1   x  2 x 1  x 1  Mà  f 1  g 1   C  1  I    f x  f  x  dx    x  1 dx  x x   Câu 48.32: Cho hàm số y  f  x  liên tục đoạn  0;1 thoả mãn f  x   x f  x   x3 x2  0 a b a b , a, b, c   , , tối giản Tính a  b  c c c c Tích phân I   f  x  dx có kết dạng B 4 A C D  10 Lời giải Chọn A Ta có: f  x   x f  x   1 x3 x2  1 I   f  x  dx   x f  x  dx   0   f  x   x3 f  x   x3 x2  1   x3 x2 1 dx 1     Xét  x3 f x dx   f x d x  2 f  x  dx  I 0 Trang 752 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Xét  x3 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 dx Đặt t  x   t  x   tdt  xdx x 1 Đổi cận x   t  , x   t  Nên x3  x2 1 dx   t  1 tdt t  t3  2   t   3  1  2  2 Do 1  I  I   Nên a  , b  , c    I  3   Vậy a  b  c  Câu 48.33: Cho hàm số f  x  liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn điều kiện   C I   15 f  x   f 1  x   x  x, x   0;1 Tính I   f  x dx A I  15 B I  D I  15 Lời giải Chọn C Đặt t   x, x   0;1  t   0;1 Ta có f  x   f 1  x   3x  x  f  x   f 1  x   1  x    f 1  t   f  t   3t   f  x   f 1  x   x  Ta có hệ phương trình  f  x   f 1  x   3x  x  f  x   f 1  x   3x  x    2  f  x   f 1  x   3x   f  x   f 1  x   x   f  x   3x  x   f  x   x  x  2 Khi f 1  x   1  x   1  x    x  x  1     Suy I   f  x dx   x  x  dx   Câu 48.34: 2 15 Cho hàm số y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương  0;    thỏa mãn f 1  , biểu thức f  x   f   x  x  , với x  Mệnh đề sau đúng? A  f    B  f    C  f    D  f    Lời giải Chọn D Trang 753 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Theo giả thiết ta có f  x f  x 50 BÀI TỐN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 5 f  x 1 d  x  1  dx   dx  ln  f  x     f  x 3x  3x  3x  1  4  ln  f     ln  f 1   x   ln  f  5    f  5  e  3,7937 3 Vậy  f    Cho hàm số y  f  x  liên tục  thỏa mãn f  x   x 2019 f  x 2020    x với x Câu 48.35: thuộc  0;1 Tích phân  f  x  dx bằng: A 1020604 B 2017 8072 C 505 2021 D  8076 Lời giải Chọn C Có  1 f  x  dx   x 2019 f  x 2020  dx    x dx  0  Đặt t  x 2020  dt  2020.x 2019 dx 2019 2020  x f  x  dx  Vậy  Câu 48.36: f  x  dx   x 2019 f  x 2020  dx  1 f  t  dt  f  x  dx 2020 0 2020 0 1  2021  505  f x dx   f  x  dx      2020 2021 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  4;8 f  x   x   4;8 Biết  f   x   1 4  f  x  dx  f    , f 8  Tính f     A B C D Lời giải Chọn D 8  f ( x)  1    (1) Ta có:    dx   f ( x)  f ( x) f (8) f (4) 4  f ( x)  Gọi k số thực, ta tìm k để    k  dx  f ( x)  4 2 8 f ( x)   f ( x)   f ( x)   2  k  dx   dx  2k   Ta có    dx  k  dx   k  4k  1  k  f ( x) f ( x)   4  f ( x)  4 6  f ( x)  f ( x) f ( x)  k       dx     dx   dx f ( x)  f ( x) f ( x) 24 4 Trang 754 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 6 df ( x) 1 1  1  1  1 4   f 6  f ( x) f ( x) f (4) f (6) f (6) b Chú ý: b  a Câu 48.37: 2k f  x  dx  không phép suy f  x     f  x   dx   f  x   a Cho hàm số f  x  liên tục  0;1 thỏa mãn điều kiện xf  x   f 1  x    x , x   0;1 Khi  f  x  dx A  20 B  16 C  D  Lời giải Chọn A   Vì f  x  liên tục  0;1 xf x  f 1  x    x , x   0;1 nên ta có 1 1 2 2  4 x f  x   f 1  x  dx    x dx   x f  x  dx   f 1  x  dx    x dx 1 0 Lại có 1 t  x2  x f  x  dx   f  x  d  x    f  t  dt  I 2 u 1 x  f 1  x  dx  3 f 1  x  d 1  x   3 f  u  du  3I 0  Đồng thời   x dx  Vậy 1  I  3I  Câu 48.38: x  sin t  0 A I    sin t cos tdt   cos tdt   1  cos 2t  dt   20    I   f  x  dx  20 20  f  x  dx   Cho  x2 f  x  x2  B I  1  dx  Tính I   f  tan x dx D I  3 C I  Lời giải Chọn B Đặt t  tan x  dt  1  tan x  dx Và x   t  0; x     t   1 f  tan x  f t  f  x  tan x dx  dt  dx   2    tan x 1 t  x2 0 Do I   f  tan x  dx   Ta có :   x   1 f x    dx   dx   0 x 1 x2  x2 f  x  Trang 755 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 1   f  x dx   0 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 f  x dx    I   I  1 x2  Cho f  x  liên tục  \ 0 thỏa mãn xf  x   f  x   x3  Câu 48.39:  2, x   \ 0 Giá 2x trị tích phân  f  x  dx thuộc khoảng sau đây? A  5;  B  3;  C 1;  D  2;3  Lời giải Chọn D Ta có xf  x   f  x   x3  2 1  2, x   \ 0 2x      xf  x   f  x  dx    x   dx 2x   2  x4  1   f  x  d  x    f  x d  x     ln x  x  21 21  1 u  x2 4 1 1  f  u  du   f  v dv   ln   f  x  dx   f  x  dx   ln v2x  22 21 22   14 1   f  x  dx   f  x  dx    f  x  dx   ln 2 1 2  22  7 f  x  dx   ln   f  x  dx   ln  2.80852819  21 2 Câu 48.40: Cho hàm số f  x  liên tục  thỏa mãn phân A  1  16 f  x  dx  x    cot x f  sin x  dx  Tích f  4x  dx x B C D Lời giải Chọn A Đặt t  x  t  x  dx  2tdt Đổi cận x   t  1; x  16  t  Suy   16 f  x dx  f t  t 2tdt   f t  t dt   f t  dt  t d t dt dt Đặt t  sin x  dt  sin x cos xdx  cot xdx  cot x   2 sin x cos x sin x 2t x  Trang 756 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Đổi cận x  50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020    t  ;x   t 1 2 f t  dt 1 f  t   1 dt  1 dt  2t 2 t t 2 1 Đặt t  x  dt  4dx Đổi cận x   t  ; x   t  f  x  dx f  t  dt f t  f t  f t  Suy 1  1  1 dt  1 dt   dt    t x t t t 2 2   Do   cot x f  sin x  dx  1 f  t  Trang 757 ...  Cho hàm số f  x  liên tục  , thỏa mãn xf x3  f  x   x10  x  x, x   Khi  f  x  dx 1 A 17 20 B 13 C 17 D 1 Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Tính tích phân hàm ẩn ... HƯỚNG GIẢI: B1: Nhân hai vế phương trình với x , sử dụng tích phân hai vế để tính  f  x  dx 1 B2: Nhân hai vế phương trình với x , sử dụng tích phân hai vế để tính  f  x dx 0... 1 0   0 Câu 48.8: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục đoạn  0; 2 Biết f    f  x  f   x   e2x 4 x , với x   0;2 Tính tích phân I   A I   16 B I