Tích phân liên quan đến phương trình hàm ẩn

NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 TÍCH PHÂN LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH HÀM ẨN KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Các tính chất tích phân: b c b   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx với a  c  b a a b c b  k  f  x  dx   kf  x  dx  k   a a b a   f  x  dx    f  x  dx a b b b   f  x  dx  F  x  a  F  b   F  a  a b b b    f  x   g  x   d x   f  x  d x   g  x  dx a a b b a b   f  x  dx   f  t  dt   f  z  dz a a b a b   f   x  dx  f  x  a  f  b   f  a  a  f  u  x   u  x  dx   f  u  du, u  u  x  Công thức đổi biến số: u b  b  f  u  x   u   x  dx   f  u  du, u  u  x  ua  a Phương pháp đổi biến số thường sử dụng theo hai cách sau đây: b  Giả sử cần tính  g  x  dx Nếu ta viết g  x dạng f u  x  u   x  a b u b u b   g  x  dx   f  u  du Vậy tốn quy tính  f  u  du , nhiều trường hợp tích phân a ua u a đơn giản   Giả sử cần tính  f  x  dx Đặt x  x  t  thỏa mãn   x  a  ,   x  b      b b f  x  dx   f  x  t   x  t  dt   g  t  dt , g  t   f  x  t   x  t  a a Trang 731 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 BÀI TẬP MẪU     Cho hàm số f  x  liên tục  , thỏa mãn xf x3  f  x   x10  x  x, x   Khi  f  x  dx 1 A 17 20 B 13 C 17 D 1 Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Tính tích phân hàm ẩn KIẾN THỨC CẦN NHỚ: u (b ) b Công thức đổi biến số tích phân:  f u ( x) u ( x) dx  a  f (u ) du u(a)  Tính chất tích phân: a  f ( x ) dx  a b  a c b f ( x) dx   f ( x) dx   f ( x) dx a c b  f ( x) dx  f ( x) x b x a  f (b)  f ( a) a HƯỚNG GIẢI: B1: Nhân hai vế phương trình với x , sử dụng tích phân hai vế để tính  f  x  dx 1 B2: Nhân hai vế phương trình với x , sử dụng tích phân hai vế để tính  f  x dx 0 B3: Kết luận  f  x  dx 1 Từ đó, ta giải toán cụ thể sau: Lời giải Chọn B Cách : Dùng vi phân     Ta có: xf x3  f  x   x10  x  x, x   Trang 732 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020  x f  x   xf 1  x    x11  x  x , x   * 1 Khi đó: *   x f  x  dx   xf 1  x  dx  1 1   x  x  x  dx, x   11 1 1   f  t  dt   f  t  dt   1 20  1 f  t  d t      f  t  d t  4   f  x  d x  4  1 1 1 1       Mặt khác: *   x f x dx   xf  x dx    x11  x  x dx 0  1 f  t  dt   f  t  dt    30 21  5 f  t  dt    60 1   f  t  dt   0 Theo tính chất tích phân ta có:  1   f  x dx   f  x dx   f  x dx   f  x dx  1 13 Cách 2: (Tham khảo khơng giống phân tích trên)   Bậc cao vế phải x10 , bậc cao vế phải x f x3 Kết luận: f  x  bậc x  x3   x10 Hệ số bậc cao vế phải 1 Kết luận: Hệ số bậc cao vế trái 1 Vậy f  x    x  ax  bx  c x f  x3    x10  x.a  x3     x10  ax  Vế phải khơng có x7 Vậy a  Kết luận f  x    x  bx  c x f  x   f 1  x    x10  bx  cx  1  x   b 1  x   c   x10  bx  cx   3x  3x  x  b  bx  c   x10  x   b   x    b  x  cx  b  c  Đồng hệ số b  3; c  2 Tóm lại f  x    x  x  Suy  f  x  dx  1 13 Bài tập tương tự phát triển: Câu 48.1: Cho hàm số y  f  x  liên tục  thỏa mãn f  x   f   x    x  1 e x 2 x 1  Trang 733 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Khi I   f  x  dx A I  e  C I  B I  D I  e  Lời giải Chọn C 2  3 f  x   f   x   dx     x 1 e Ta có x2  x 1 2 2  3 f  x  dx   f   x  dx    x  1 e 0 2 2 dx   dx 2 d  x  x  1   x 1  3 f  x  dx   f  x  dx  e x x  x 1  3 f  x  dx   f   x  d   x    e x   dx   x 1 8   f  x  dx    f  x  dx  Câu 48.2: Cho hàm số y  f  x  liên tục  0;   thỏa mãn f  ln x   f 1  ln x   x Khi I   f  x  dx A e 1 B e 1 C e D e 1 Lời giải Chọn A Ta có f  ln x   f 1  ln x   x  1 f  ln x   f 1  ln x     x x Lấy tích phân từ đến e hai vế   , ta e e 1  1  x f  ln x   x f 1  ln x   dx  1 dx e  e  e 1 1 x f  ln x  dx  1 x f 1  ln x  dx  e   e f  ln x  d  ln x    f 1  ln x  d 1  ln x   e     Trang 734 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Đặt t  ln x Đổi cận x 1 t  x  e  t 1 Khi        f  x  dx   f 1  t  d 1  t   e  1  f  x  dx   f  x  dx  e  1 e 1 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020  f  x  dx   f 1  2 ln  Câu 48.3: Cho hàm số y  f  x  liên tục  \ 0;  1 thỏa mãn  f    a  b ln 3; a, b     x  x  1 f   x   f  x   x  x Tính a  b 25 A B C D 13 Lời giải Chọn B Ta có x  x  1 f   x   f  x   x  x (1) Chia vế biểu thức (1) cho  x  1 ta x x f  x  f  x  x 1 x 1  x  1 x  x  f  x   , với x   \ 0;  1   x 1  x 1  x x f  x   dx x 1 x 1  x f  x   x  ln x   C x 1  f  x  x 1  x  ln x   C  x Mặt khác, f 1  2 ln  1  ln  C   2 ln  C   Do f  x   x 1  x  ln x   1 x Với x  f  x   Vậy a  b  3 3 1  ln 3   ln Suy a  b   2 2 Trang 735 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Câu 48.4: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  Biết f 1  e  x   f  x   x f   x   x với x   Tính  f  x  dx A   e B e  C e  e D e   e Lời giải Chọn D Ta có:  x   f  x   x f   x   x   e x f  x  x xf   x    x   f  x  x3  e  x f  x   x 1    e x     e x dx  e x  C  f  x    x  C x e x Vì f 1  e  1  C e  e  C   e  1 Do f  x    x     x e x  e Vậy  1    1  1 f  x  dx     x     x 2e x  dx    x 2dx      x e x dx  e  e0   1   1  1  1        x 2d  e x     1   e   xe x dx     e   1    xd  e x   e0  e   e0    2  1  1  e     e   e x dx    e     e   e  1     e  3 e  e   e  15 x 2 Câu 48.5: Cho hàm số y  f  x  liên tục  \ 0 thỏa mãn f  3x   f     ,  x 1  f  x  dx  2019 Tính I   f  x  dx A I   688 B I  688 C I  886 D I  68 Lời giải Chọn A Xét I    t 1 1 f   dx Đặt t  x  dx  dt Đổi cận  x x t 3 x Trang 736 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Khi I  1 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 2 f   dt t  15 x 5x 5t  2 2 2 Mà f  3x   f      f      f  x  hay f      f  3t  2 3 x  x t Nên I  3  5t 1    f  3t   dt    t dt   f  3t  dt  5   f  3t  dt 1   21 41 31 31  t 1  u  Đặt u  3t  dt  du Đổi cận t  3 u  9 Khi I  5  2019 688 f  u  du  5    93 1 Câu 48.6: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  \ 0 thỏa mãn f  x   f    x ,  x 2  xf   x  dx  Giá trị  f  x  dx 103 A  48 2 B 103 24 C 103 48 D  103 12 Lời giải Chọn D u  x  du  dx Đặt    dv  f ( x)dx v  f ( x ) Ta có 2  x f   x  dx  x f  x    f  x  dx   f    f 1   f  x  dx (1) 1 Lần lượt thay x  x  1 vào f  x   1 f    x ta x   f    f 1  f  2        f 1  f     f 1    2 Khi 1   f  x  dx  f    f 1   4   f  x  dx  1 f  x  dx  2 1 1 1 2 2 1 1 1 Lại có f  x   f    x   f  x  dx   f   dx   x dx  2.(2)   f   dx  24 x x  x 1 1 103 1   f   dx  4   24 24 x Trang 737 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Đặt t  50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 2  x   dx   dt ta có x t t  1 1  x   dx   du ta có x u u Đặt u  Thay vào (2) ta 2 1 2 1 2 f  dx   f (t ) dt   f (t ) dt (2) t t  x 2  1 1 1 103 1 f  dx   f (u ) du   f (t ) dt   u 24 t  x 2  103  103  f  x  dx    24    12 Câu 48.7: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 đồng thời thỏa mãn f     f   x    f   x   x   Tính T  f 1  f   A T   ln B T  C T   ln D T   ln Lời giải Chọn C 2 Ta có f   x    f   x   x     f   x   1    f   x   x    f   x    f   x   x     1 1 x   C  f  x  x    dx         f  x  x f  x  x x  9C  f  x  x  Do f     nên C   f  x  x x 1 1  x2    Vậy T  f 1  f       x  dx   ln x     ln  x 1 0   0 Câu 48.8: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục đoạn  0; 2 Biết f    f  x  f   x   e2x 4 x , với x   0;2 Tính tích phân I   A I   16 B I   16 C I   14 x  3x  f   x  f x D I   dx 32 Lời giải Chọn B Ta có f  x  f   x   e x 4 x  ln  f  x  f   x    ln e x 4 x  ln f  x   ln f   x   x  x   Trang 738 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020  f   f    Mặt khác, với x  , ta có  nên f     f    Xét I   x  3x  f   x  f x dx    x3  x    f  x dx f  x    x  x  d ln  f  x     x  x  ln  f  x    2    x  x  ln  f  x   dx 0     x  x  ln f  x  dx    x  x  ln  f  x   dx 1 Đặt t   x  dx  dt Đổi cận x0t  x2t 0 Do I      t  t.ln  f   t   dt    6t  3t  ln  f   t   dt 2 Vì tích phân không phụ thuộc vào biến nên I    x  x  ln  f   x   dx     Cộng vế 1   , ta I    x  x  ln  f  x    ln  f   x   dx Hay I   x  3x  ln  f  x    ln  f   x   dx  0   Thế   vào  , ta có I  16 x  x   x  x  dx     20 Câu 48.9: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục  0;   thỏa mãn f    f   x    x   f  x   Biết  f  x  dx  A S  15 a c ln , với a, b, c   Tính S  a  b  c b B S  C S  D S  Lời giải Chọn D Do f  x   , với x   0;   nên f   x    x   f  x     f  x  2x  f  x Trang 739 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Suy  x2  4x  C f  x Mặt khác f    Vậy 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 1 nên C  hay f  x   15 x  4x   f  x  dx   x dx  ln  a  1, b  2, c   S   4x  2  f    f     Câu 48.10: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  thỏa mãn   f  x  y   f  x   f  y   xy  x  y   1 , với x, y   Tính  f  x  1dx A B  C D Lời giải Chọn C Lấy đạo hàm theo hàm số y f   x  y   f   y   x  xy , x   Cho y   f   x   f     x  f   x    3x  f  x    f   x dx  x  x  C mà f     C  Do f  x   x  x  Vậy  f  x  1dx  f  x  dx   1  x  x  1 dx  1  Câu 48.11: Cho hàm số f  x  liên tục  biết  x2 f  x  0 x2  dx  f  tan x  dx  , Giá trị tích phân  f  x  dx thuộc khoảng đây? A  5;9  B  3;6  C   2;5 D 1;  Lời giải Chọn A Đặt x  tan t  dx  dt  1  tan t  dt cos t Đổi cận x   t  ; x   t  Khi  x2 f  x  x 1  dx    tan t f  tan t  tan t   tan  t  1 dt   tan t f  tan t  dt Trang 740 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Mặt khác, π  f  x   f   x   sin x.cos x  2   0      f  x  dx   f   x  dx   sin x.cos x dx  0 2    f   x  dx  (*) 2  Suy ra:  f  x  dx   Đặt t    x  dt   dx   2        f   x  dx    f  t  dt    f  x  dx 0 2  Nên từ (*)   f  x  dx  π Vậy I    f  x  dx   Câu 48.15: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  0;1 thỏa mãn f 1  ,   f   x   dx  1 0 x f  x  dx  Tích phân A  f  x  dx B C D Lời giải Chọn A 1  x3  x Ta có  x f  x  dx   f  x     f   x  dx Suy 3 0 1 x3 0 f   x  dx   Hơn ta dễ dàng tính 1 Do   f   x   dx  2.21 0 x6 0 dx  63 1 x3 x6 f   x  dx  212  dx     f   x   x3  dx  0 7 Suy f   x   7 x3 , f  x    x  C Vì f 1  nên C  4 Vậy  f  x  dx   f  x Câu 48.16: Cho hàm số    f   x  7 x  1 dx    40 có đạo hàm liên tục  dx   sin xf  x  dx   Tích phân   0;  thỏa mãn f  0  ,   f  x  dx Trang 743 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A  B 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020  C D Lời giải Chọn D    Ta có  sin x f  x  dx   cos x f  x     cos x f   x  dx Suy 0      cos x f   x  dx    cos x  x  sin x   Hơn  cos xdx   dx     4  0 0   2   2 Do   f   x   dx  2. cos x f   x  dx   cos xdx     f   x   cos x  dx  0 0 Suy f   x   cos x , f  x   sin x  C Vì f    nên C   Ta   f  x  dx   sin xdx  0   Câu 48.17: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f  x  6x f x  Giá trị 3x 1  x   x  1 f    dx A  B C  12 D Lời giải Chọn D u  x  du  dx   Đặt  x  x  dv  f    dx v  f         2 x  x 0  x  1 f   dx   x  1 f    20  x f   dx  f 1  f  0  4 f  u  du ;  2  x   u   x  u   du  dx;   2 x   u    f  x   x2 f  x   1 dx     f  x  dx    6x2 f  x3   1 dx   6x f  x  dx  6 3x 1 3x 1  0 0 3x  1   *Tính  6x f x3 dx Đặt t  x  dt  3x dx ; x   t  0, x   t  Trang 744 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 1 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020  x f  x dx  2 f  t dt  2 f  x  dx (2) 0 *Tính 1 dx 3dx    x   (3) 3x  3x   Thay kết (2) (3) vào (1) ta được:    Thay x  0; x  vào f  x  6x f x  f    6; f 1  f 1   f 1   Vậy f  x  dx   f  x  dx    f  x  dx  4 0 ta 3x 1 x  3 dx  f 1  f    4 f  u  du  6.    2.6   4   2  5    x  1 f       Câu 48.18: Cho hàm số f  x  liên tục  , tích phân   f   x   dx  ,  sin x f  x  dx  4   Biết f    , tính f   3   B f    3   A f     3   C f     3   D f     3 Lời giải Chọn B   Ta có  sin x f  x  dx   u  f  x  du  f   x  dx Đặt   dv  sin xdx v   cos x      cos x f  x    cos x f   x  dx  4 Khi  sin x f  x  dx     cos x f   x  dx     Xét   f   x   cos x      cos x     dx   4  2   dx    f   x   dx   cos x f   x  dx   cos xdx     0   x sin x      2    f   x   cos x  dx   f   x   cos x   f   x   cos x Suy f  x   sin x  C Trang 745 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Mà f     C  Khi f  x   sin x    Vậy f    sin  3 Câu 48.19: Cho hàm số y  f  x  liên tục đoạn  0; 1 , thỏa mãn    f  x  1 f  x  dx   xf  x  dx  dx  Giá trị tích phân   f  x   dx A B C 10 D 80 Lời giải Chọn C Xét   f  x    ax  b  1 dx    f  x   dx    f  x   ax  b   dx    ax  b  dx 0 1   2a  xf  x  dx  2b  f  x  dx  a2 ax  b   a  b   ab  b     3a a2    b  a  b  2b   (1) Coi (1) phương trình bậc hai ẩn a Cần xác định a, b để Ta có:   b  4b    b  2   b   a  6 b  2b     3 Khi đó:   f  x    6 x    dx   f  x   x  Suy 1 3 0  f  x  dx  0  x   dx  24  x    10 Câu 48.20: Xét hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  thỏa mãn điều kiện f 1  f     f  x  f  x  1  Tính J      dx x x2  1 A J   ln B J   ln C J  ln   ln D J  Lời giải Chọn D 2 2  f  x  f  x  1  f  x f  x 2  Ta có J     d x  d x  d x      dx 2    x x x x x x   1 1 1 1   u  du   dx x x  Đặt  dv  f   x  dx v  f  x    2 2  f  x   f  x   f  x f  x 2 J    d x  f x  d x  d x       2 2    x x x x x x x  1 1 1   dx  Trang 746 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 1   f    f 1   ln x     ln x 1  Cho hàm số Câu 48.21: y  f  x  liên tục   f   x  f  f  x  dx  10 thỏa mãn f    1, f 1  Tích phân  f  x  dx A 10 C B D 30 Lời giải Chọn A Đặt t  f  x   dt  f   x  dx; x   t  f    1, x   t  f 1  Khi 10   f   x  f  f  x   dx   f  t  dt  f  x  dx  10 Vậy  Câu 48.22: Cho  1  x  f  x  dx  10 Tính I   cos3 xf  sin x  dx 0 A I  5 B I  10 C I  10 D I  Lời giải Chọn C   0 I   cos3 xf  sin x  dx   1  sin x  f  sin x  cosxdx Đặt t  sin x  dt  cos xd x x   t  0; x    t 1 Khi I   1  t  f  t dt  10 e Câu 48.23: Cho  e f  x  dx    x  1 f  x  dx  Tích phân x B 1 A  f  e  dx x C D  Lời giải Chọn B Đặt t  e x  dt  e x dx  tdx  dx  Do đó:  e f  e x  dx   f  t  dt x   t  1; x   t  e t dt t Trang 747 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Mặt khác theo giả thiết có: e 1    x  1 f  x  dx  e dt  f  e  dx   f  t  t x Câu 48.24: e Vậy  x e e   x  1 f  x   f x f  x  dx     f  x   dx    dx x x    1 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  Đồ thị hàm số y  f  x  hình vẽ bên Khi tổng  f   x   dx   f   x   dx B 2 A 10 C D Lời giải Chọn D Dựa vào đồ thị hàm số có f  1  2, f    2, f    Đặt t  x   dt  dx  f   x   dx  Đặt t  x   dt  dx  Vậy  Câu 48.25:  f   t  dt  f    f  2     2   2 f   x   dx   f   t  dt  f    f      2 f   x   dx   f   x   dx  Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  Đồ thị hàm số y  f  x  hình vẽ bên Trang 748 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Khi tổng  2 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 f   x  1 dx   f   x  1 dx A B 10 C D Lời giải Chọn A Đặt t  x   d t  2dx Ta có f   x  1 dx   2  f t  3 f 1  f  3   2  dt   f   t  dx    2 3 2 Đặt t  x   dt  dx Ta có  f   x  1 dx   f   t  dt  f  3  f 1     Vậy 2 Câu 48.26: f   x  1 dx   f   x  1 dx      Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  thỏa mãn f x3  3x   3x  , với x   Tích phân  xf   x  dx A  31 B 17 C 33 D 49 Lời giải Chọn C   Từ giả thiết ta có f x3  3x   3x  nên suy f 1  , f    5 5 Suy I   xf   x  dx  xf  x    f  x  dx  23   f  x  dx 1   Đặt x  t  3t   dx  3t  dt Với x   t  0; x   t  Trang 749 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Do  1 f  x  dx   f  t  3t  1 3t  3 dt    3t    3t  3 dt  Vậy I  23  Câu 48.27: 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 59 59 33  4 Cho hàm số f  x  xác định liên tục  đồng thời thỏa mãn   f  x   0, x    / x  f  x   e f  x  , x   Tính giá trị f  ln    f  0   A f  ln   B f  ln   C f  ln   ln  1 D f  ln   ln 2  2 Lời giải Chọn B Ta có f /  x   e x f  x    f /  x  e x (do f  x   ) f x f /  x 1 dx    e x dx    e x  C  f  x   x f  x f x e C f  0  Thay x  ta f     C  1 e C Vậy f  x   Câu 48.28: 1 1  f  ln   ln   e 1 e  1 x Cho hàm số y  f ( x) xác định liên tục  thỏa mãn  f ( x)  f ( x)   x với 10 x   Tính I   f ( x)dx A I  B I  C I  D I  Lời giải Chọn B Đặt t  f ( x)  2t  3t   x  dx  (6t  3)dt x   2t  3t    t  x  10  2t  3t   10  t  10 Vậy I   f ( x)dx   t (6t  3)dt  Câu 48.29: Cho hàm số y  f  x  liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn bf  a   af  b   , với a, b   0;1 Trang 750 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Tính I   f  x  dx A I   B I  C I   D I  Lời giải Chọn C - Đặt x  sin t  dx  cos tdt Với x  t  ; Với x  t    Ta được: I   f  sin t  cos tdt Đặt x  cos t  dx   sin tdt Với x  t   ; Với x  t   Ta được: I    f  cos t  sin tdt   f  cos t  sin tdt   Suy ra: I    f  sin t  cos t  f  cos t  sin t dt   dt  Câu 48.30: Cho hàm f  x   x f  x3   f  x số 6x 3x  liên tục   I   a; b  đoạn thỏa mãn , x   a; b  Tính  f  x dx A B C 1 D Lời giải Chọn B Ta có: f  x   x f  x   1   f  x dx  2 3x f x3 dx  6 dx (*) 3x  3x  0   Đặt u  x3  du  3x dx Với x   u  x   u  1 1   Khi  3x f x3 dx   f  u du=  f  x dx thay vào (*), ta được:  Câu 48.31: 1 f  x dx  2 f  x dx  6 0 1 1 dx   f  x dx  6 dx  3x  3x  0 Cho hàm số f  x  g  x  có đạo hàm 1;  thỏa mãn f 1  g 1  Trang 751 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020  x g  x   2017 x   x  1 f   x     x  1 , x  1; 2  x   x  g   x   f  x   2018 x x 1  x  Tính tích phân I    g x  f  x  dx  x  x 1  A B C 1 D Lời giải Chọn A  x g  x   2017 x   x  1 f   x     x  1 Từ giả thiết ta có  , x  1; 2  x  x  g   x   f  x   2018 x     x  1  x / Suy  g x  g x  f   x   f  x        x 1 x    x  1   x  x x 1  x    x  1 g  x  f  x   x  C  g  x    f  x    x 1 x  x 1   x  2 x 1  x 1  Mà  f 1  g 1   C  1  I    f x  f  x  dx    x  1 dx  x x   Câu 48.32: Cho hàm số y  f  x  liên tục đoạn  0;1 thoả mãn f  x   x f  x   x3 x2  0 a b a b , a, b, c   , , tối giản Tính a  b  c c c c Tích phân I   f  x  dx có kết dạng B 4 A C D  10 Lời giải Chọn A Ta có: f  x   x f  x   1 x3 x2  1 I   f  x  dx   x f  x  dx   0   f  x   x3 f  x   x3 x2  1   x3 x2 1 dx 1     Xét  x3 f x dx   f x d x  2 f  x  dx  I 0 Trang 752 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Xét  x3 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 dx Đặt t  x   t  x   tdt  xdx x 1 Đổi cận x   t  , x   t  Nên x3  x2 1 dx   t  1 tdt t  t3  2   t   3  1  2  2 Do 1  I  I   Nên a  , b  , c    I  3   Vậy a  b  c  Câu 48.33: Cho hàm số f  x  liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn điều kiện   C I   15 f  x   f 1  x   x  x, x   0;1 Tính I   f  x dx A I  15 B I  D I  15 Lời giải Chọn C Đặt t   x, x   0;1  t   0;1 Ta có f  x   f 1  x   3x  x  f  x   f 1  x   1  x    f 1  t   f  t   3t   f  x   f 1  x   x  Ta có hệ phương trình  f  x   f 1  x   3x  x  f  x   f 1  x   3x  x    2  f  x   f 1  x   3x   f  x   f 1  x   x   f  x   3x  x   f  x   x  x  2 Khi f 1  x   1  x   1  x    x  x  1     Suy I   f  x dx   x  x  dx   Câu 48.34: 2 15 Cho hàm số y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương  0;    thỏa mãn f 1  , biểu thức f  x   f   x  x  , với x  Mệnh đề sau đúng? A  f    B  f    C  f    D  f    Lời giải Chọn D Trang 753 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Theo giả thiết ta có f  x f  x 50 BÀI TỐN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 5 f  x 1 d  x  1  dx   dx  ln  f  x     f  x 3x  3x  3x  1  4  ln  f     ln  f 1   x   ln  f  5    f  5  e  3,7937 3 Vậy  f    Cho hàm số y  f  x  liên tục  thỏa mãn f  x   x 2019 f  x 2020    x với x Câu 48.35: thuộc  0;1 Tích phân  f  x  dx bằng: A 1020604 B 2017 8072 C 505 2021 D  8076 Lời giải Chọn C Có  1 f  x  dx   x 2019 f  x 2020  dx    x dx  0  Đặt t  x 2020  dt  2020.x 2019 dx 2019 2020  x f  x  dx  Vậy  Câu 48.36: f  x  dx   x 2019 f  x 2020  dx  1 f  t  dt  f  x  dx 2020 0 2020 0 1  2021  505  f x dx   f  x  dx      2020 2021 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  4;8 f  x   x   4;8 Biết  f   x   1 4  f  x  dx  f    , f 8  Tính f     A B C D Lời giải Chọn D 8  f ( x)  1    (1) Ta có:    dx   f ( x)  f ( x) f (8) f (4) 4  f ( x)  Gọi k số thực, ta tìm k để    k  dx  f ( x)  4 2 8 f ( x)   f ( x)   f ( x)   2  k  dx   dx  2k   Ta có    dx  k  dx   k  4k  1  k  f ( x) f ( x)   4  f ( x)  4 6  f ( x)  f ( x) f ( x)  k       dx     dx   dx f ( x)  f ( x) f ( x) 24 4 Trang 754 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 6 df ( x) 1 1  1  1  1 4   f 6  f ( x) f ( x) f (4) f (6) f (6) b Chú ý: b  a Câu 48.37: 2k f  x  dx  không phép suy f  x     f  x   dx   f  x   a Cho hàm số f  x  liên tục  0;1 thỏa mãn điều kiện xf  x   f 1  x    x , x   0;1 Khi  f  x  dx A  20 B  16 C  D  Lời giải Chọn A   Vì f  x  liên tục  0;1 xf x  f 1  x    x , x   0;1 nên ta có 1 1 2 2  4 x f  x   f 1  x  dx    x dx   x f  x  dx   f 1  x  dx    x dx 1 0 Lại có 1 t  x2  x f  x  dx   f  x  d  x    f  t  dt  I 2 u 1 x  f 1  x  dx  3 f 1  x  d 1  x   3 f  u  du  3I 0  Đồng thời   x dx  Vậy 1  I  3I  Câu 48.38: x  sin t  0 A I    sin t cos tdt   cos tdt   1  cos 2t  dt   20    I   f  x  dx  20 20  f  x  dx   Cho  x2 f  x  x2  B I  1  dx  Tính I   f  tan x dx D I  3 C I  Lời giải Chọn B Đặt t  tan x  dt  1  tan x  dx Và x   t  0; x     t   1 f  tan x  f t  f  x  tan x dx  dt  dx   2    tan x 1 t  x2 0 Do I   f  tan x  dx   Ta có :   x   1 f x    dx   dx   0 x 1 x2  x2 f  x  Trang 755 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 1   f  x dx   0 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 f  x dx    I   I  1 x2  Cho f  x  liên tục  \ 0 thỏa mãn xf  x   f  x   x3  Câu 48.39:  2, x   \ 0 Giá 2x trị tích phân  f  x  dx thuộc khoảng sau đây? A  5;  B  3;  C 1;  D  2;3  Lời giải Chọn D Ta có xf  x   f  x   x3  2 1  2, x   \ 0 2x      xf  x   f  x  dx    x   dx 2x   2  x4  1   f  x  d  x    f  x d  x     ln x  x  21 21  1 u  x2 4 1 1  f  u  du   f  v dv   ln   f  x  dx   f  x  dx   ln v2x  22 21 22   14 1   f  x  dx   f  x  dx    f  x  dx   ln 2 1 2  22  7 f  x  dx   ln   f  x  dx   ln  2.80852819  21 2 Câu 48.40: Cho hàm số f  x  liên tục  thỏa mãn phân A  1  16 f  x  dx  x    cot x f  sin x  dx  Tích f  4x  dx x B C D Lời giải Chọn A Đặt t  x  t  x  dx  2tdt Đổi cận x   t  1; x  16  t  Suy   16 f  x dx  f t  t 2tdt   f t  t dt   f t  dt  t d t dt dt Đặt t  sin x  dt  sin x cos xdx  cot xdx  cot x   2 sin x cos x sin x 2t x  Trang 756 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Đổi cận x  50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020    t  ;x   t 1 2 f t  dt 1 f  t   1 dt  1 dt  2t 2 t t 2 1 Đặt t  x  dt  4dx Đổi cận x   t  ; x   t  f  x  dx f  t  dt f t  f t  f t  Suy 1  1  1 dt  1 dt   dt    t x t t t 2 2   Do   cot x f  sin x  dx  1 f  t  Trang 757 ...  Cho hàm số f  x  liên tục  , thỏa mãn xf x3  f  x   x10  x  x, x   Khi  f  x  dx 1 A 17 20 B 13 C 17 D 1 Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Tính tích phân hàm ẩn ... HƯỚNG GIẢI: B1: Nhân hai vế phương trình với x , sử dụng tích phân hai vế để tính  f  x  dx 1 B2: Nhân hai vế phương trình với x , sử dụng tích phân hai vế để tính  f  x dx 0... 1 0   0 Câu 48.8: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục đoạn  0; 2 Biết f    f  x  f   x   e2x 4 x , với x   0;2 Tính tích phân I   A I   16 B I