Tìm hiểu về bài toán ổn định và ổn định hóa cho lớp hệ điều khiển tuyến tính với thời gian rời rạc

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ PHƯƠNG TÌM HIỂU VỀ BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA CHO LỚP HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH VỚI THỜI GIAN RỜI RẠC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ PHƯƠNG TÌM HIỂU VỀ BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA CHO LỚP HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH VỚI THỜI GIAN RỜI RẠC Chuyên ngành: Toán ứng dụng KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: ThS Nguyễn Trung Dũng Hà Nội – Năm 2017 Lời cảm ơn Trước hết cho bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo Nguyễn Trung Dũng hết lòng giúp đỡ, động viên suốt trình nghiên cứu đề tài Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa bạn sinh viên đóng góp cho lời khuyên bổ ích Trong trình nghiên cứu không tránh khỏi sai sót Vì mong nhận ý kiến đóng góp bạn đọc để viết hoàn thiện Hà Nội, ngày 24 tháng năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Phương i Lời cam đoan Khóa luận tốt nghiệp "Tìm hiểu toán ổn định ổn định hóa cho lớp hệ điều khiển tuyến tính với thời gian rời rạc " hoàn thành cố gắng, nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu thân với giúp đỡ tận tình thầy Nguyễn Trung Dũng Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp không trùng lặp với kết tác giả khác Hà Nội, ngày 24 tháng năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Phương ii KÍ HIỆU TOÁN HỌC R Tập tất số thực Rn Không gian Euclide n chiều R+ Tập số thực dương Z Tập số nguyên Z+ Tập số nguyên dương Z0 Tập số nguyên không âm PT Ma trận chuyển vị ma trận P W −1 Ma trận nghịch đảo ma trận W x(t) Chuẩn vectơ x(t) diag( ) Ma trận đường chéo iii Mục lục MỞ ĐẦU 1 Cơ sở toán học 1.1 Hệ động lực với thời gian rời rạc 1.1.1 Một số khái niệm kết 1.1.2 Các định lí ổn định ổn định tiệm 1.2 Bài toán ổn định hóa 1.3 Bài toán đảm bảo giá trị 1.4 Một số bất đẳng thức cận 3 10 11 Bài toán ổn định hóa đảm bảo giá trị tối ưu cho hệ tuyến tính với thời gian rời rạc 14 2.1 Các tiêu chuẩn ổn định hóa 14 2.2 Đảm bảo giá trị tối ưu 22 iv MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong năm gần đây, vấn đề nghiên cứu định tính hệ điều khiển nhận ý quan tâm nhiều nhà khoa học nước giới Việc nghiên cứu có nhiều ứng dụng kỹ thuật mô máy tính, thí nghiệm, tính toán Chính thế, nghiên cứu tính ổn định hệ điều khiển đóng vai trò vô quan trọng trình nghiên cứu lý thuyết hệ động lực Mặt khác hệ điều khiển có giá trị thay đổi liên tục theo thời gian chúng ổn định với thời gian liên tục Vậy hệ điều khiển có thay đổi định tính với thời gian rời rạc (một tập hợp thời điểm rời rạc) hay không? Nếu hệ điều khiển ổn định với thời gian rời rạc ổn định nào? Để trả lời cho thắc mắc với giúp đỡ định hướng Thạc sỹ Nguyễn Trung Dũng, chọn đề tài: " Tìm hiểu toán ổn định ổn định hóa cho lớp hệ điều khiển tuyến tính với thời gian rời rạc" làm đề tài khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu khái niệm ổn định, ổn định hóa hệ đông lực với thời gian rời rạc - Bài toán ổn định đảm bảo giá trị cho hệ tuyến tính với thời gian rời rạc Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày kiến thức ổn định, ổn định tiệm cận - Đưa toán ổn định hóa đảm bảo giá trị cho hệ tuyến tính với thời gian rời rạc Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Kiến thức vế ổn định ổn định tiệm cận, hàm Lyapunov - Phạm vi nghiên cứu: Khái niệm vế ổn định, hàm Lyapunov toán ổn định hóa đảm bảo giá trị cho hệ tuyến tính với thời gian rời rạc Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo khóa luận bao gồm chương: Chương 1: Cơ sở toán học Chương 2: Bài toán ổn định hóa đảm bảo giá trị cho hệ tuyến tính với thời gian rời rạc Chương Cơ sở toán học 1.1 1.1.1 Hệ động lực với thời gian rời rạc Một số khái niệm kết Cho hệ động lực với thời gian rời rạc sau:   x(k + 1) = f (k, x(k)), k ∈ Z0 (1.1)  x(0) = x đó: • x(k) ∈ Rn vectơ trạng thái + • f (x, x(k)) : Z × Rn → Rn hàm liên tục theo biến x • x0 điều kiện ban đầu Nếu f (x, x(k)) = Ax(k) hệ (1.1) gọi hệ tuyến tính với thời Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯƠNG gian rời rạc Giả sử f (k, 0) = ∀k ∈ Z+ tức x(k) ≡ nghiệm tầm thường hệ (1.1) Tiếp theo có số khái niệm ổn định theo nghĩa Lyapunov sau Định nghĩa 1.1 Nghiệm tầm thường hệ (1.1) gọi ổn định ∀ε > 0, tồn δ1 = δ(ε) > mà x(0) < δ(ε) x(k) < ε ∀ k > Định nghĩa 1.2 Nếu nghiệm tầm thường hệ (1.1) ổn định tồn δ2 = δ(k0 ) > mà x(k0 ) δ(k0 ) ⇒ lim x(k) = k→∞ nghiệm tầm thường hệ ( 1.1) gọi ổn định tiệm cận Định nghĩa 1.3 [3] Hàm V (x) gọi xác định dương Ω V (x) > 0, ∀ x = 0, x ∈ Ω Định nghĩa 1.4 [3] Hàm V (x) gọi nửa xác định dương Ω V (x) ≥ 0, ∀ x ∈ Ω Định nghĩa 1.5 [3] Hàm V (x) gọi xác định âm (nửa xác định âm) Ω −V (x) xác định dương (nửa xác định dương) Ω Định nghĩa 1.6 [3] Hàm φ(x) gọi thuộc lớp K φ ∈ C[0, p, R+ ], φ(0) = φ(Ω) đơn điệu tăng theo r Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯƠNG Chứng minh Sử dụng kết ổn định, hệ đóng ổn định tồn ma trận đối xứng xác định dương P > thỏa mãn bất đẳng thức sau   −P ATcl P P Acl −P   < Sử dụng biểu thức Acl có   T −P [A + BK] P P [A + BK] −P  0     −X X[A + αI]T + Y T B T       <     [A + αI] X + BY −X Ma trận điều khiển ngược cho K = Y X −1 Ví dụ 2.1.1 Cho hệ điều khiển (1.1) với ma trận hệ cho bởi:  −1   A =  −2  −1 −2            B=2 0   1 Mục tiêu thiết kế điều khiển phản hồi để ổn định hóa hệ (1.7) Sử dụng gói công cụ Matlab Tool để giải LMIs Định lí 2.1 thu   416.9192 109.9989 106.7370     X =  109.9989 532.7776 −46.9652    106.7370 −46.9652 207.6739 16 Khóa luận tốt nghiệp Đại học  Y = −23.2314 NGUYỄN THỊ PHƯƠNG 498.6871 −88.5828 −444.8524 −252.1721 207.7342   Giá trị riêng ma trận X là: S1 = 142.7975, S2 = 414.7446, S3 = 599.8286, ma trận X đối xứng xác định dương Ma trận điều khiển ngược cho  K= −0.3073 0.9956 −1.5229 −0.0018 −0.0435 1.7826   Định lý 2.2 [1] Tồn điều khiển phản hồi trạng thái ổn định hóa hệ (1.8) có tồn ma trận đối xứng xác định dương X > 0, ma trận Y số εA > εB > thỏa mãn LMIs sau:     X>0          −X XAT + Y T B T XEAT Y EBT          T T   AX + BY − X +εA DA DA + εB DB DB 0       thỏa mãn điều kiện sau  T −P (Acl + ∆A + ∆BK) P  −P   < Chúng ta viết lại bất đẳng thức sau:   −P ATcl P −P   +   T (DA FA (k)EA ) P + 0 T (DB FB (k)EB K) P   < Chú ý có     0 P DA FA (k)EA 0 P DB FB (k)EB   =   =  P DA P DB  FA (k) EA   FB (k) EA K Sử dụng Bổđề 1.2  chúng tacó   T T E −P Acl P  (P DA )T + ε−1  A  EA  + εA   A −P P DA     K T EBT −1  T    EB K < + εB + εB (P DB ) P DB số dương εA > εB > Dựa vào bổ đề phần bù Schur cho bất đẳng thức thu 18 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯƠNG điều kiện đảm bảo ổn định hệ đóng  −P + T ε−1 A EA EA        + T T ε−1 B K EB EB K ATcl P −P P Acl P DA P DB DAT P −ε−1 A I DBT P −ε−1 B I      <    Sử dụng biểu thức Acl Bổ đề 1.2 có  T J [A + BK] P 0    P [A + BK] −P P DA P DB    DAT P −ε−1 A I  DBT P −ε−1 B I      0, εB > số dương, P K tham số Bất đẳng thức phi tuyến P, K tham số Đặt X = P −1 , nhân trước nhân sau bất đẳng thức diag(X, X, I, I), ta có  T XJX XA    AX + BKX     T +XK B T 0 −X DA DB DAT −ε−1 A I DBT −ε−1 B I −1 T T T với XJX = −X + ε−1 A XEA EA X + εA XK EB EB KX 19      0, ma trận Y số εA > εB > thỏa mãn điều kiện LMIs sau:     X>0         −X X[A + αI]T + Y T B T XEAT Y T EBT        [A + αI]X −X + εA DA DAT + εB DB DBT 0           EA X −εA I           EA X 0 −εB I Khi ma trận điều khiển ngược cho K = Y X −1 Ví dụ2.1.2. Xét hệ (1.8) với số liệu cho ví dụ 2.1.1 0.1     DA =  0.2 , EA = 0.1 0.4   0.3 20       