2 Sự ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính
2.8.4. Tính ổn định nghiệm
Định lý 2.14. (Đnh l thł nh˚t LiapunŁp) (xem [2]) Nu fiŁi vi h quy fii (2.40) tn t„i mỉt hm v(t, X) ∈ CtX(1,1)(T0),(T0 ∈ T) x‚c finh d›‹ng cê fi„o
hm v˙(t, X) theo t trong ngha cổa h x‚c finh 'm , th nghim t˙m th›Œng
X ≡ 0 (a < t < ∞) cổa h fi• cho n finh theo Liapunov khi t → +∞.
Chłng minh. Theo điều kiện của định lí thì có một hàm liên tục xác định dương
ω(X) sao cho
v(t, X) ≥ ω(X) > 0, ∀X 6= 0 (2.41) và v(t,0) = ω(0) = 0.
Trong không gian RnX xét mặt cầu Sε
Sε hoàn toàn bị chứa trong T0, trong đó 0 < ε ≤ h < H.
Vì mặt cầu Sε là một tập compắc và hàm ω(X) liên tục và dương trên Sε
cho nên (theo Định lí Weiertrass) cận dưới của hàm đó sẽ đạt được tại một điểm X∗ ∈ Sε. nào đó, vì vậy
inf X∈Sε
ω(X) = ω(X∗) = α > 0 (2.43) Giả sử t0 ∈ (a,+∞) là tùy ý. Hàm v(to, X) liên tục theo X và
v(to,0) = 0.
Do đó tồn tại một lân cận kXk < δ < ε sao cho 0 ≤v(t0, X) < α với
kXk < δ (2.44) Bây giờ ta xét một nghiệm không tầm thường bất kì
X = X (t) (2.45)
với điều kiện ban đầu kX(t0)k < δ.
Ta chứng minh rằng quỹ đạo của nghiệm này hoàn toàn nằm bên trong mặt cầu Sε, tức là
kX(t)k< ε, ∀t0 ∈ [0,∞) (2.46) Thật vậy, khi t= to ta có
kX(t0)k < δ < ε.
Giả sử bất đẳng thức (2.46) thỏa mãn không phải với mọi t ∈ [t0,+∞) và t1
là điểm đầu tiên nghiệm X(t) gặp biên Sε, tức là
kX(t)k < ε với t0 ≤ t < t1 và kX(t1)k = ε.
Hãy xét sự biến động của hàm v(t) = v(t, X(t)) dọc theo nghiệm X(t). Từ điều kiện của định lí
˙
v(t) = dv
nên hàm v(t) là không tăng. Do đó từ (2.44) và (2.43) ta có
α > v(t0, X(t0)) ≥ v(t1, X(t1)) ≥ ω(X(t1)) ≥ α
điều này là phi lí.
Như vậy nghiệm X = X(t) với mọi t ∈ [t0,∞) hữu hạn luôn luôn ở bên trong mặt cầu Sε và bởi vì ε < H nên nghiệm này xác định với t0 ≤ t < ∞
(kéo dài vô hạn về phía phải) và nếu kX(t0)k < δ thì
kX(t)k< ε, ∀t0 ∈ [0,∞)
Điều đó có nghĩa là nghiệm X ≡0 ổn định theo Liapunốp khi t→ +∞
Hệ quả 2.6. Nu fiŁi vi h ph›‹ng trnh vi ph'n tuyn tnh thu˙n nh˚t
dX
dt = A(t)X (A(t) ∈ C[t0,∞))
tn t„i hm x‚c finh d›‹ng v(t, X)cê fi„o hm trong ngha cổa h v˙(t, X) ≤ 0
th t˚t cả c‚c nghim X(t) cổa h fiê x‚c finh v b ch˘n tr“n na trc [t0,∞).
Định lý 2.15. (Đnh l thł hai LiapunŁp) Giả s fiŁi vi h quy fii (2.40) tn t„i mỉt hm x‚c finh d›‹ng v(t, X) ∈ CtX(1,1)(T0) cê gii h„n vô cng b— bác
cao khi X → 0 v cê fi„o hm theo t x‚c finh 'm v˙(t, X) trong ngha cổa h
fiê. Khi fiê nghim t˙m th›Œng X ≡0 cổa h n finh tim cán khi t→ +∞.
Chłng minh. Theo giả thiết v(t, X) xác định dấu dương còn v˙(t, X) là hàm
xác định dấu âm. Khi đó hệ đã cho ổn định theo Định lí 2.14 , nghĩa là
∀ε > 0, ∃δ(ε), t0 : |xs(t0)| < δ, ∀t > t0 thỏa mãn |xs(t)| < ε. Chúng ta cần chứng minh
lim
t→∞|xs(t)| = 0.
Thật vậy, vì v˙(t, X) xác định âm nên v(t, X) là hàm đơn điệu giảm theo t, nghĩa là
v(x1(t), x2(t), . . . , xn(t)) > α khi t→ ∞ thì α = 0.
Giả sử α 6= 0, vì v(t, X) xác định dương nên α > 0 sẽ tồn tại a > 0, sao cho
x(t) =max{|x1(t)|, ...,|xn(t)|} > a
do v˙(t, X) xác định âm, nên tồn tại số b > 0 , sao cho v˙(t, X) < −b.
Mặt khác v(x1(t), x2(t), . . . , xn(t)) = v(x1(to), x2(to), . . . , xn(to)) + t R t0 ˙ v(τ, X)dτ ≤ v(x1(to), x2(to), . . . , xn(to)) −b(t−to) (2.47) vớitđủ lớn, vế phải của(2.47)sẽ âm, điều đó mâu thuẫn với giả thiết làv > 0.
Điều đó dẫn đến lim t→∞v(x1(t), ..., xn(t)) = 0 hay lim t→∞|xs(t)| = 0.
Hệ quả 2.7. Nu vi h ph›‹ng trnh vi ph'n tuyn tnh thu˙n nh˚t
dX
dt = A(t)X
tn t„i hm x‚c finh d›‹ng v(t, X) thặa m•n c‚c fiiu kin trong finh l thł
hai cổa Liapunov th mi nghim cổa h fiê fiu n finh tim cán ton cc.
Định lý 2.16. (Đnh l thł 3 LiapunŁp) (xem [2]) Giả s fiŁi vi h qui fii
(2.40) tn t„i hm v(t, X) ∈ CtX(1,1)(T0) cê gii h„n vô cng b— bác cao khi
X →0v cê fi„o hm vi d˚u x‚c finh v˙(t, X)theo t trong ngha cổa h. Nu
(t0, X0) sao cho d˚u cổa hm v(t, X) trng vi d˚u cổa fi„o hm v˙(t, X), tłc l sao cho
v(t, X) ˙v(t, X) > 0 (2.48)
Định lý 2.17. (Đnh l Tsheta—p) (xem [2]) Giả s vi h (2.40) trong min
T =
n
t0 ≤t < ∞, kXk ≤ h < H
o
tn t„i mỉt hm khả vi li“n tc v(t, X) vi min d›‹ng
E =
n
(t, X) ∈ T, v(t, X) > 0}.
Min E cê thit din mº kh‚c không Dt dnh vi gŁc ta fiỉ O fiŁi vi mi
t∈ [t0,∞) ngoi ra tr“n ph˙n bi“n cổa min E nằm v pha trong cổa hnh tr T (bao gm cả trc Ot) fi…ng thłc sau fi›c thặa m•n (nu v x‚c finh d›‹ng th ph˙n cổa bi“n fiê quy v mỉt fiim duy nh˚t l gŁc ta fiỉ)
v(t, X) = 0.
Khi fiê, nu
i) Hm v(t, X) b ch˘n trong min E;
ii) Hm v(t, X) trong min E cê fi„o hm v˙(t, X) trong ngha cổa h (2.40)
d›‹ng ;
iii) Trong mi min con {v(t, X) ≥ α > 0} thặa m•n b˚t fi…ng thłc
˙
v(t, X) ≥ β > 0, trong fiê β = β(α) l sŁ d›‹ng ph thuỉc vo α,
th nghim t˙m th›Œng cổa h (2.40) không n finh theo Liapunov khi t → ∞.
Chłng minh. Giả sử δ > 0 bé tùy ý, vì điểm O là điểm biên đối với thiết
diện mở Dt0 = D nên trong siêu phẳng t = t0 tồn tại điểm Xo ∈ D sao cho 0< kX0k < δ < h ngoài ra v(to, Xo) = α > 0.
Ta hãy chứng minh rằng nghiệm X(t) xác định với điều kiện ban đầu
X (to) = Xo khi t tăng dần sẽ rời khỏi hình cầu kXk < h khit ≥ to.
Do điều kiện ii) của định lí ˙
từ đó khi t ≥ to vàv(t, X(t)) > 0, ta có
v(t, X(t)) ≥ v(to, X(to)) = α. (2.49) Vì nghiệm X(t) có thể rời khỏi miền E chỉ khi vượt qua phần trong của biên ở một thời điểmt1 > t0nào đó, mà ở đóv(t1, X (t1)) = 0, ngoài rav(t, X(t)) ≥
α > 0 khi t0 ≤ t < t1, cho nên chuyển qua giới hạn khi t → t1 →0 trong bất đẳng thức trên, ta có
v(t1, X(t1)) ≥ α > 0 điều đó không thể xảy ra được.
Như vậy, nghiệm X(t) khit ≥ to hoàn toàn nằm trong miền con
{v(t, X) ≥α > 0} của E.
Từ đó theo Điều kiện iii) của định lí, ta được ˙
v(t, X(t)) ≥ β > 0. (2.50) Lấy tích phân từng vế đối với bất đẳng thức (2.50) với t≥ to ta có
v(t, X(t)) ≥ v(to, X(to)) + β(t−to). (2.51) Bất đẳng thức (2.51) không thể xảy ra vì theo Điều kiện i) của định lí thì hàm v(t, X) bị chặn trong miền E.
Như vậy, trong lân cận δ bất kì của điểm O khi t = t0 tồn tại một nghiệm
X(t) sẽ rời khỏi phía trong của hình cầu kXk< h khi t→ +∞.
Điều đó chứng tỏ rằng nghiệm X ≡0 không ổn định theo Liapunốp.
V d 2.9. Xét tính ổn định của nghiệm tầm thường của hệ
( ˙ x = −(x−2y)(1−x2 −3y2) ˙ y = −(x+ y)(1−x2 −3y2). Chọn hàm v(t, x, y) = x2 + 2y2 xác định dương.
Đạo hàm của hàm này theo t trong nghĩa của hệ là dv dt = ∂v ∂x. dx dt + ∂v ∂y. dy dt = 2x(2y −x)(1−x2 −3y2)−4y(x+y)(1−x2 −3y2) = −2(1−x2 −3y2)(x2 + 2y2) ≤0.
Vậy nghiệm tầm thường (0,0) của hệ ổn định theo Định lí thứ nhất Liapunốp
V d 2.10. Xét tính ổn định của nghiệm tầm thường đối với hệ sau
(
˙
x = −5y−2x3
˙
y = 5x−3y3.
Hàm v = x2 +y2 thỏa mãn các điều kiện của định lí thứ hai Liapunốp. Thật vậy, v(x, y) ≥ 0, v(0,0) = 0 dv dt = 2x(−5y −2x3) + 2y(5x−3y3) = −(4x4 + 6y4) ≤ 0 và v˙(0,0) = 0.
Vậy nghiệm tầm thường của hệ là ổn định tiệm cận theo Định lí thứ 2 Liapunov. V d 2.11. Xét hệ phương trình ( ˙ x = x3 + 2xy2 ˙ y = xy. Hệ có nghiệm tầm thường x = y = 0. Chọn hàm v(x, y) = x−y2 có miền L = {x| v(x) > 0}. khi đó dv dt = ˙x−2yy˙ = x3 > 0, ∀x ∈ L.