Bồi dưỡng năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua dạy học chủ đề phương pháp tọa độ trong không gian hình học 12

Bồi dưỡng năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua dạy học chủ đề Phương pháp tọa độ trong không gian Hình học 12... Một số biện pháp sư phạm nhằm góp phần bồi dưỡn

Bồi dưỡng năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua dạy học chủ đề Phương pháp tọa độ trong không gian Hình học 12

MỞ ĐẦU 1

1 Tính cấp thiết của đề tài khóa luận 1

2 Mục tiêu khóa luận 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 3

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 4

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn 4

7 Bố cục của khóa luận 4

NỘI DUNG 6

Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 6

1.1 Tư duy trong dạy học môn Toán 6

1.1.1 Đặc điểm của tư duy trong dạy học môn Toán 6

1.1.2 Hoạt động trí tuệ của học sinh trong học tập môn Toán 6

1.2 Năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề trong Toán học 10

1.2.1 Năng lực và năng lực toán học 10

1.2.2 Năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề trong toán học 12

1.2.3 Mối quan hệ giữa năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề với năng lực học toán của học sinh 17

1.2.4 Các năng lực thành tố của năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề của học sinh 19

1.2.5 Cấp độ của năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề của học sinh ở trường phổ thông 21

1.3 Khái quát chủ đề “Phương pháp tọa độ trong không gian” trong chương trình Toán ở trường THPT 25

1.4 Thực trạng hoạt động dạy học chủ đề “Phương pháp tọa độ trong không gian” ở trường phổ thông 29

1.5 Kết luận chương 1 30 Chương 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP GÓP PHẦN BỒI DƯỠNG NĂNG

LỰC PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH

TRONG KHÔNG GIAN” HÌNH HỌC 12 31

2.1 Định hướng xây dựng và thực hiện các biện pháp 31

2.1.1 Xây dựng các biện pháp phải đảm bảo tính khoa học và tính thực tiễn 3

1 2.1.2 Xây dựng các biện pháp phải đảm bảo sự thống nhất giữa vai trò chủ đạo của giáo viên với vai trò tự giác, tích cực và độc lập của học sinh 31 2.1.3 Xây dựng các biện pháp phải đảm bảo sự thống nhất giữa tính vừa sức và yêu cầu phát triển 32

2.1.4 Xây dựng các biện pháp phải đảm bảo sự thống nhất giữa đồng loạt và phân hóa 33

2.2 Một số biện pháp sư phạm nhằm góp phần bồi dưỡng năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua dạy học chủ đề “Phương pháp tọa độ trong không gian” 33

2.2.1 Biện pháp 1: Rèn luyện các thao tác tư duy như: dự đoán, lật ngược vấn đề, đặc biệt hóa, giúp học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề 33 2.2.2 Biện pháp 2: Dạy học phân hóa theo các mức độ, cấp độ khác nhau phù hợp với từng đối tượng học sinh 43

2.2.3 Biện pháp 3: Hướng dẫn học sinh phát hiện và sửa chữa sai lầm trong lời giải bài toán 49

2.3 Kết luận chương 2 57

Chương 3: THỬ NGHIỆM SƯ PHẠM 59

3.1 Mục đích và nội dung thử nghiệm 59

3.1.1 Mục đích thử nghiệm 59

3.1.2 Nội dung thử nghiệm 59

3.2 Tổ chức thử nghiệm 59

3.2.1 Đối tượng thử nghiệm 59

3.2.2 Thời gian thử nghiệm 60

3.2.3 Tiến hành thử nghiệm 60

3.3 Đánh giá kết quả thử nghiệm 60

3.3.2 Đánh giá định lượng 61

3.3.3 Nhận xét rút ra từ thử nghiệm 62

3.4 Kết luận chương 3 63

KẾT LUẬN 64

TÀI LIỆU THAM KHẢO 65

PHỤ LỤC 66

A ĐỀ KIỂM TRA TRẮC NGHIỆM VÀ ĐÁP ÁN 66

B MẪU PHIẾU ĐIỀU TRA Ý KIẾN GIẢNG DẠY CỦA GIÁO VIÊN 70

C GIÁO ÁN THỬ NGHIỆM 74

D ĐỀ KIỂM TRA GIỮA ĐỢT THỬ NGHIỆM VÀ ĐÁP ÁN 90

E ĐỀ KIỂM TRA CUỐI ĐỢT THỬ NGHIỆM VÀ ĐÁP ÁN 92

Viết tắt Viết đầy đủ

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài khóa luận

Trong những năm gần đây, trước những thách thức mới của yêu cầuphát triển xã hội, đòi hỏi nhà trường phải đào tạo ra những con người có nănglực phát hiện và giải quyết vấn đề trong học tập cũng như trong thực tiễn cuộcsống Hình thành và bồi dưỡng năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cho

HS trở thành yêu cầu bắt buộc đối với các nhà trường để người học có khảnăng tìm tòi, phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, độc lập và sáng tạotrong quá trình học tập

Dạy học PH&GQVĐ là một trong những PPDH tích cực đã và đangđược quan tâm và áp dụng trong giảng dạy ở các trường phổ thông Vậndụng phương pháp này trong dạy học cho các môn học nói chung và môntoán nói riêng ở các trường phổ thông hiện nay với mục đích tập dượt cho

HS biết phát hiện, đặt ra và giải quyết những vấn đề gặp phải trong học tập,trong cuộc sống của cá nhân, gia đình và cộng đồng Từ đó HS có được mộtnăng lực thích ứng với một xã hội đang phát triển nhanh, cạnh tranh gay gắtnhư hiện nay

Trong chương trình môn Toán ở phổ thông, nội dung Hình học, thực sự

là một thử thách đối với phần lớn HS, đặc biệt là phần Hình học không gian.Phương pháp tọa độ trong không gian là một trong những công cụ giải toánkhông gian quan trọng nó cho phép học sinh tiếp cận những kiến thức hìnhhọc phổ thông có hiệu quả, tổng quát, đôi khi không cần đến vẽ hình Nó cótác dụng tích cực trong việc phát triển tư duy sáng tạo, trừu tượng, năng lựcphân tích, tổng hợp Hơn nữa, chủ đề “Phương pháp tọa độ trong khônggian” có vai trò quan trọng trong hình thành kiến thức toán phổ thông cho HS.Tuy nhiên, chủ đề này có tính trừu tượng cao, lượng kiến thức và kĩ năng

nhiều vì phải tiếp thu, kế thừa kiến thức hình học phẳng, hình học không gian

mà các em đã được học trước đó

Trong những năm gần đây đã có một số công trình nghiên cứu về việc

tổ chức PPDH trong dạy học toán cho HS với nhiều hướng tiếp cận, chủ đề

khác nhau, tiêu biểu như: Luận văn Thạc sỹ Trần Văn Quỳnh, Dạy học chủ đề

“Phương pháp tọa độ trong không gian” cho học sinh lớp 12 THPT theo hướng phân hóa nội tại Luận văn Thạc sỹ Hà Thị Thu Oanh, Vận dụng phương pháp PH và GQVĐ vào dạy học chương “Phương pháp tọa độ trong không gian” cho HS lớp 12 THPT tỉnh Cao Bằng Tuy nhiên, hiện nay chưa

có nghiên cứu cụ thể nào nhằm bồi dưỡng năng lực PH và GQVĐ thông quadạy học chủ đề “Phương pháp tọa độ trong không gian” Vì vậy, trên cơ sở kếthừa những kết quả nghiên cứu của các nhà khoa học đi trước tôi tiếp tục tìmhiểu, phân tích làm rõ vấn đề này, từ đó đề xuất một số biện pháp nhằm bồidưỡng năng lực PH và GQVĐ cho học sinh góp phần nâng cao chất lượngdạy học Toán nói chung, dạy học Hình học ở trường phổ thông nói riêng vàphát triển năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề của HS.Với những lý do

trên, chúng tôi lựa chọn đề tài: Bồi dưỡng năng lực phát hiện và giải quyết

vấn đề cho học sinh thông qua dạy học chủ đề “Phương pháp tọa độ trong không gian” Hình học 12 là nội dung nghiên cứu của mình.

2 Mục tiêu khóa luận

- Nghiên cứu, hệ thống hóa và làm rõ những vấn đề về cơ sở lí luận củanăng lực phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học môn Toán

- Đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm bồi dưỡng năng lực phát hiện

và giải quyết vấn đề cho học sinh trung học phổ thông trong dạy học chủ đề

“Phương pháp tọa độ trong không gian” trên cơ sở thực tiễn dạy học nội dungnày ở môn Toán lớp 12 từ đó nâng cao chất lượng dạy học

- Tổ chức thử nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi của các biện pháp đã

đề ra

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lí luận của đề tài

Hệ thống hóa, làm rõ những vấn đề về cơ sở lí luận của năng lực phát hiệngiải quyết vấn đề trong dạy học Toán ở trường phổ thông Đưa ra năng lực thành

tố của năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề của học sinh Nghiên cứu nộidung chủ đề “Phương pháp tọa độ trong không gian” trong chương trình Hìnhhọc lớp 12

- Đề xuất các biện pháp sư phạm bồi dưỡng năng lực phát hiện giải

quyết vấn đề cho học sinh thông qua dạy học chủ đề “Phương pháp tọa độ trong không gian” hình học 12.

Dựa vào đặc điểm và yêu cầu dạy học của chủ đề “Phương pháp tọa độtrong không gian” để định hướng và đề xuất các biện pháp sư phạm Tiếp đó,thực hành và làm rõ một số nội dung trong dạy học chủ đề “Phương pháp tọa

độ trong không gian” nhằm góp phần bồi dưỡng năng lực phát hiện và giảiquyết vấn đề cho học sinh

- Tổ chức thử nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của

các biện pháp đã đề xuất.

4 Phương pháp nghiên cứu

4.1 Phương pháp nghiên cứu lí luận

- Nghiên cứu các tài liệu về lý luận về dạy học bộ môn toán như: giáotrình PPDH môn Toán, Các văn kiện Nghị quyết, chỉ thị của Đảng và Nhànước để xác định phương hướng của đề tài.

- Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài như: SGK hình học

12 THPT, sách tham khảo, các văn bản hướng dẫn của Bộ Giáo dục vàĐào tạo xung quanh vấn đề PPDH Toán nói chung và chủ đề “Phươngpháp toạ độ trong không gian” nói riêng

- Nghiên cứu các tài liệu triết học, tâm lí học, giáo dục học và lí luậndạy học bộ môn Toán có liên quan đến đề tài

4.2 Phương pháp điều tra, quan sát

- Dự giờ quan sát những biểu hiện của giáo viên và học sinh (về nhậnthức, thái độ, hành vi) trong hoạt động dạy và học (trước và trong khi thửnghiệm)

- Học hỏi kinh nghiệm của đồng nghiệp đã và đang giảng dạy

- Điều tra tình trạng tiếp thu kiến thức của học sinh

- Điều tra, tìm hiểu khả năng vận dụng phương pháp phát hiện và giảiquyết vấn đề của giáo viên trong dạy học bộ môn toán

- Lấy ý kiến của giảng viên trực tiếp hướng dẫn, các giảng viên khác

4.3 Phương pháp thử nghiệm sư phạm

Tổ chức thử nghiệm sư phạm để kiểm chứng tính khả thi và hiệu quảcủa các biện pháp đã xây dựng.

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

 Đối tượng:

- Năng lực PH và GQVĐ của HS trong dạy học toán

- Quá trình dạy học môn Toán theo hướng phát triển năng lựcPH&GQVĐ cho HS thông qua chủ đề “Phương pháp tọa độ trongkhông gian”

 Phạm vi: Chủ đề “Phương pháp tọa độ trong không gian” Hình học 12

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Đề tài đưa ra các năng lực thành tố của năng lực phát hiện và giải quyếtvấn đề của học sinh, các cấp độ của năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề

và xây dựng được 3 biện pháp sư phạm sẽ góp phần bồi dưỡng cho học sinhnăng lực phát hiện và giải quyết vấn đề

Đề tài bước đầu kiểm nghiệm được tính khả thi bằng thử nghiệm sưphạm ba biện pháp đã xây dựng

7 Bố cục của khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung chính củakhóa luận được trình bày trong 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2: Một số biện pháp góp phần bồi dưỡng năng lực phát hiện vàgiải quyết vấn đề cho học sinh thông qua dạy học chủ đề “Phương pháp tọa

độ trong không gian” Hình học 12

Chương 3: Thử nghiệm sư phạm

NỘI DUNG Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Tư duy trong dạy học môn Toán

1.1.1 Đặc điểm của tư duy trong dạy học môn Toán

Tư duy của con người có những đặc điểm như có tính vấn đề, tính giántiếp, tính chất lý tính, tính trừu tượng và khái quát Nhưng trong hoạt độngdạy học thì đặc điểm nổi bật nhất của tư duy là tư duy có mối quan hệ chặtchẽ với ngôn ngữ Vì tư duy của con người gắn liền với ngôn ngữ, lấy ngônngữ làm phương tiện và không thể tồn tại bên ngoài ngôn ngữ Ngược lại,ngôn ngữ cũng không thể có được nếu không dựa vào quá trình tư duy củacon người

Một yêu cầu quan trọng của việc học Toán là phải biết vận dụng cáckiến thức toán học để giải quyết những bài toán thực tiễn Và để giải đượcnhững bài toán đó thì đòi hỏi người học phải biết tư duy, biết chuyển từ tìnhhuống cụ thể sang ngôn ngữ toán học bằng những hình ảnh trực quan hay kíhiệu toán học và biết chuyển ngược lại các kết quả toán học có được sangngôn ngữ của thực tiễn.

Hoạt động tư duy trong dạy học môn toán còn được thể hiện rõ nét nhờvào nhiệm vụ nhận thức của người học Khi GV đặt cho HS một câu hỏi, mộtbài toán hay yêu cầu học sinh giải quyết một nhiệm vụ nhận thức nào đó thì

HS phải tự mình giải quyết nhiệm vụ đó, tự mình huy động kiến thức, đi tìm

sự liên hệ giữa cái chưa biết và cái đã biết, đưa ra dự đoán, nhận thấy mâuthuẫn đề từ đó tìm tòi lời giải cho vấn đề đặt ra

1.1.2 Hoạt động trí tuệ của học sinh trong học tập môn Toán

Hoạt động trí tuệ là tập hợp các hành động trí tuệ để giải quyết nhiệm

vụ nhận thức bao gồm: hành động cảm giác, hành động tri giác, hành độngtưởng tượng, Do đó, khi phân tích hoạt động trí tuệ của học sinh trong họctập môn Toán ta cần quan tâm đến hai vấn đề sau đây:

a) Các thao tác tư duy cơ bản học sinh thường vận dụng trong học Toán

Phân tích – tổng hợp: Phân tích là sự phân chia đối tượng nhận thức

thành các bộ phận, thành phần, thuộc tính, quan hệ khác nhau để nhận thức nósâu sắc hơn Còn tổng hợp là sự hợp nhất các bộ phận, thành phần, thuộc tính,

quan hệ của đối tượng nhận thức thành một chỉnh thể Phân tích và tổng hợp

là hai thao tác tư duy trái ngược nhau nhưng là hai mặt của quá trình thốngnhất

Trừu tượng hóa – khái quát hóa: Trừu tượng hóa là sự gạt bỏ những

mặt, những thuộc tính, những mối liên hệ, quan hệ không cần thiết mà chỉ giữlại những yếu tố cần thiết để tư duy Còn khái quát hóa là sự hợp nhất nhiềuđối tượng khác nhau có chung những thuộc tính, những mối liên hệ, quan hệnhất định thành một loại, một nhóm.Trừu tượng hóa là điều kiện cần của kháiquát hóa

So sánh: So sánh là cơ sở của tư duy và mọi sự hiểu biết Nó là sự xác

định thể hiện rõ sự bằng nhau hay không bằng nhau, sự giống nhau hay khácnhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất giữa các sự vật, hiện tượng

Các thao tác tư duy cơ bản như: Phân tích – tổng hợp, Trừu tượng hóa– khái quát hóa, so sánh đều có mối quan hệ mật thiết với nhau, chúng hỗ trợ,

bổ sung thống nhất cho nhau theo một hướng nhất định và phụ thuộc vàochiến lược tư duy hay do nhiệm vụ tư duy quy định Vì vậy, trong quá trìnhdạy học GV cần quan tâm rèn luyện cho HS các thao tác tư duy này

Ví dụ 1.1: Tìm công thức tính cos3x như sau:

Ta phân tích làm biến đổi cos3x thành cos 2x x   Sự phân tích diễn

ra trên cơ sở tổng hợp, liên hệ cos3x với công thức

 

cos a b cos cosa b sin sina b Sau đó đặc biệt hóa công thức cos a b  

cho trường hợp a2x , b x ta được công thức Thao tác phân tích một lần

 

cos2 cosx sin2 sinx x  x

Đặc biệt hóa

Phân tích

Phân tích Khái quát hóa

cos3x4cos x 3cosx

Có thể minh họa ví dụ trên bằng sơ đồ sau:

Phân tích

Ví dụ 1.2: Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng có ba dạng là:

Phương trình tổng quát: ax by c   với 0 a2 b2 0

Phương trình tham số:

0 0

Khái quát hóa đường thẳng trong không gian thì đường thẳng cũng có

ba dạng phương trình sau:

Phương trình tổng quát: ax by cz d    với 0 a2 b2 c2  0

Phương trình tham số:

0 0 0

b) Hoạt động trí tuệ trong giải toán của học sinh

Dự đoán: Dự đoán giữ vai trò chủ đạo, trung tâm của hoạt động trí tuệ

trong giải toán Có nghĩa là ngay sau khi đọc kĩ đề bài toán thì người giải phải

cố gắng dự đoán để tìm kiếm lời giải cho bài toán đó Dự đoán có thể xuấthiện xuyên suốt trong quá trình giải toán, không chỉ dự đoán để tìm ra cáchgiải bài toán, dự đoán kết quả bài toán mà dự đoán có thể làm thay đổi bảnchất bài toán

Ví dụ 1.3: Cho A1;2;3, B2; 1;1 , C3;4;2, D2; 3; 2   Xác

định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

Đây là dạng toán quen thuộc nên để tìm tâm và bán kính của mặt cầu

ngoại tiếp tứ diện ABCD ta chỉ cần thay tọa độ của 4 điểm A, B, C, D vào

phương trình tổng quát của mặt cầu có dạng:

x  y z  ax by cz d 

Cũng có thể dự đoán cách giải của bài toán như sau: Vì A, B , C , D nằm trên mặt cầu nên khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến 4 điểm A, B , C ,

D là bằng nhau, tức IA2 IB2, IB2 IC2, IC2 ID2, IA2 ID2 Khi đó chỉcần giải hệ phương trình là có thể tìm được tâm và bán kính của mặt cầu

Tổ chức và huy động kiến thức: Huy động kiến thức là tách ra từ trí nhớ

các yếu tố có liên quan đến bài toán Còn tổ chức kiến thức là kết nối các yếu

tố có liên quan đến bài toán lại với nhau

Tách biệt và kết hợp: Tách biệt là tách một bộ phận cụ thể ra khỏi cái

toàn thể bao quanh nó và chuyển sự tập trung vào chi tiết của bộ phận này.Còn kết hợp là liên kết những bộ phận cụ thể sau khi xem xét với nhau thànhcái toàn thể và cái toàn thể này được phản ánh đầy đủ hơn trước

Theo sơ đồ, tập hợp các hành động trí tuệ cùng những mối quan hệ giữachúng cho ta thấy rõ cấu trúc của hoạt động trí tuệ trong giải toán Chẳng hạn,khi giải quyết một bài toán cụ thể thì thao tác nhận biết được thể hiện qua việcđưa bài toán về dạng quen thuộc; thao tác nhớ lại được thể hiện qua việc nhớlại định nghĩa, định lý, tính chất, hệ quả; thao tác bổ sung được thể hiện quaviệc bổ sung những yếu tố phụ như đặt ẩn phụ để giải phương trình , bấtphương trình, hệ phương trình, Hay kẻ thêm đường phụ khi giải nhiều bàitoán hình học Ngoài ra, những dấu hiệu của hoạt dộng trí tuệ trong giải toáncũng được thể hiện rõ như: có cảm giác hiểu được bài toán là dấu hiệu nhậnbiết; tri giác một cách rõ ràng các chi tiết là dấu hiệu tách biệt; nhận định bàitoán một cách chính xác là dấu hiệu nhóm lại; người giải cảm thấy tự tin,sung sướng khi mình nắm được tư tưởng chủ đạo để giải bài toán là dấu hiệu

dự đoán đúng;

1.2 Năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề trong Toán học

1.2.1 Năng lực và năng lực toán học

a) Năng lực

Theo Nguyễn Quang Uẩn “ Năng lực là tổ hợp các thuộc tính độc đáocủa cá nhân, phù hợp với những yêu cầu của một hoạt động nhất định, đảmbảo cho hoạt động đó có kết quả” [6;155]

Năng lực là khả năng huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và cácthuộc tính tâm lí cá nhân để thực hiện thành công một công việc trong một bốicảnh cụ thể Năng lực được chia thành ba mức độ khác nhau là: năng lực, tàinăng và thiên tài Khác với tài năng biểu thị sự hoàn thành một cách sáng tạomột hoạt động nào đó hay thiên tài biểu thị ở mức hoàn chỉnh nhất của những

vĩ nhân trong lịch sử nhân loại thì năng lực là mức độ thấp nhất so với tàinăng và thiên tài Năng lực là một mức độ nhất định của khả năng con người,biểu thị khả năng hoàn thành, đạt kết quả của một hoạt động nào đó

Có thể chia năng lực thành hai loại là năng lực chung và năng lực riêngbiệt Hai loại năng lực này luôn bổ sung, hỗ trợ cho nhau Năng lực chung lànăng lực cần thiết để con người có thể hoàn thành những hoạt động của mìnhmột cách hiệu quả dựa vào quan sát, tư duy, tưởng tượng, Còn năng lựcriêng biệt hay còn gọi là năng lực chuyên biệt hay chuyên môn là sự thể hiệnmột cách độc đáo các phẩm chất riêng biệt, đặc biệt riêng của mỗi cá nhân, nómang tính chuyên môn nhằm đáp ứng yêu cầu hoạt động của con người đạtkết quả cao như năng lực toán học, năng lực âm nhạc, năng lực thể dục thểthao,

Cùng với năng lực thì tri thức, kĩ năng và kĩ xảo là rất cần thiết choviệc thực hiện một hoạt động nào đó đạt kết quả Năng lực chính là điều kiện

đủ để có tri thức, kĩ năng, kĩ xảo trong một lĩnh vực nào đó Nhưng tri thức, kĩ

năng và kĩ xảo không đồng nhất với năng lực mà có sự thống nhất biệnchứng, có mối quan hệ mật thiết với năng lực Ngược lại, năng lực giúp choviệc tiếp thu tri thức, hình thành kĩ năng kĩ xảo tương ứng với năng lực đóđược thực hiện dễ dàng hơn Chẳng hạn, một người có năng lực trong mộtlĩnh vực nào đó thì người đó đã có sẵn tri thức, kĩ năng và kĩ xảo tương ứngvới lĩnh vực đó Ngược lại, khi có tri thức, kĩ năng và kĩ xảo về một lĩnh vựcnào thì người đó không nhất thiết phải có năng lực trong lĩnh vực đó.

Một trong những vấn đề cơ bản của chiến lược giáo dục nước ta hiệnnay là vấn đề phát hiện và bồi dưỡng năng lực cho người học nhằm nâng caodân trí, đào tạo nhân lực và bồi dưỡng nhân tài Năng lực của mỗi người chịuảnh hưởng của đặc điểm tâm lí cá nhân, các yếu tố bẩm sinh di truyền, điềukiện của môi trường sống, Nhưng điều chủ yếu là năng lực được hình thành,phát triển, thể hiện trong hoạt động của con người dựa vào quá trình dạy học,giáo dục và tự rèn luyện Vì vậy, mỗi cá nhân khác nhau thì năng lực cũngkhác nhau Ta nên tiếp cận vấn đề phát triển năng lực theo hướng tiếp cậnnhân cách của người học vì việc hình thành và phát triển nhân cách là phươngtiện có hiệu quả nhất để phát triển năng lực

b) Năng lực toán học

Trong tâm lí học khái niệm về năng lực toán học được hiểu là năng lựctrong học tập, trong việc nắm vững các khái niệm, định lí, tính chất, hệ quảtoán học với tư cách là môn học Ở đây, người học có năng lực học toán sẽnhanh nhạy trong việc tiếp thu các kiến thức toán học và thực hiện thành thạocác kĩ năng, kĩ xảo tương ứng Có thể khẳng định có năng lực học toán là điềukiện cần của năng lực sáng tạo toán học Bởi vì năng lực sáng tạo toán học cóthể xuất phát từ việc tạo lập ra một định nghĩa mới hay một định lí mới, nóhoàn toàn khác so với năng lực hiểu được những định lí toán học đã đượcchứng minh và thừa nhận trước đó

Có nhiều quan điểm khác nhau về năng lực toán học Con người cónhững năng lực khác nhau vì có những tố chất khác nhau và năng lực chỉđược hình thành thông qua hoạt động trong những điều kiện xã hội của môitrường sống Năng lực toán học được cho là có mối quan hệ mật thiết với hoạtđộng trực giác và sự sáng tạo toán học ở người nghiên cứu.

Tóm lại, năng lực toán học gắn liền với hoạt động trí tuệ của HS, giúp HSnắm vững và vận dụng tốt tri thức, kĩ năng và kĩ xảo của mình trong học tậpmôn Toán

1.2.2 Năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề trong toán học

a) Năng lực phát hiện vấn đề

Vấn đề: Là một tình huống đặt ra cho cá nhân hoặc một nhóm để giải

quyết, khi đối mặt với tình huống này họ không thấy được ngay con đườnghoặc các phương pháp để có được lời giải

Để vận dụng một cách có hiệu quả khái niệm vấn đề trong dạy học thìngười ta thường hiểu khái niệm này như sau: Một vấn đề được biểu thị bởimột hệ thống những câu hỏi và mệnh đề thỏa mãn hai điều kiện: Một là HSchưa tự mình trả lời được câu hỏi Hai là HS chưa được học các quy tắc cótính chất thuật toán hay quy trình tự thuật toán để trả lời câu hỏi đặt ra Nếuhiểu vấn đề theo cách tiếp cận này thì có thể phân biệt rõ vấn đề với bài tập.Đối với một bài tập được đưa ra, nếu chỉ yêu cầu HS trực tiếp vận dụng cácquy tắc có tính chất thuật toán hay quy trình tựa thuật toán để giải thì bài tập

đó không phải là những vấn đề

Ví dụ 1.4: Sau khi HS học xong hằng đẳng thứca b 2 a2  2ab b 2

thì việc khai triển bài toán x  42 không phải là một vấn đề Vì chỉ cần áp

dụng hằng đẳng thức a b 2 là có thể giải được Nhưng khi yêu cầu HS giảibài toán a b c  2 lại là một vấn đề đối với HS Việc giải được bài toán này

đòi hỏi HS phải biết biến đổi a b c  2 thành a b c  , sau đó áp dụng2

hằng đẳng thức đối với hai số a và b c ta được:

a b c  2 a2b2 c2 2ab 2bc2ac

Phát hiện vấn đề: Là quá trình tìm ra cái mới mà người nghiên cứu

chưa biết và có nhu cầu muốn biết Có thể hiểu phát hiện vấn đề gần giốngnhư tình huống gợi vấn đề Tức một tình huống gợi ra cho HS những khókhăn mà họ cảm thấy cần thiết và có khả năng vượt qua nhưng không phảingay lập tức mà phải trải qua một quá trình suy nghĩ tích cực, hoạt động đểbiến đổi đối tượng hoạt động hay điều chỉnh hệ thống kiến thức sẵn có nhằmthích nghi với điều kiện hành động mới

Ví dụ 1.5: GV tạo tình huống gợi vấn đề cho HS phát hiện định lí côsin

trong tam giác như sau:

Cho tam giác ABC vuông tại A

a c

b

B

Để tính độ dài cạnh còn lại của tam giác nếu biết góc đối diện cạnh đó

là góc vuông ta dùng định lí Pitago Vậy nếu biết góc đối diện không là gócvuông mà là một góc có số đo bất kì thì ta có tính được độ dài cạnh còn lạicủa tam giác không?

Bài toán thỏa mãn ba điều kiện của tình huống gợi vấn đề là:

- Vấn đề tồn tại vì HS chưa được trang bị công thức để tính độ dài cạnhBC

- Vấn đề gợi nhu cầu nhận thức ở HS Vì bài toán tuy khác lạ nhưng rấtquen thuộc vì liên quan đến tìm các cạnh của tam giác mà các em đãhọc

- Vấn đề gây được niềm tin của HS Bài toán tuy khác lạ nhưng không vìthế mà HS không giải được Chỉ cần HS phát hiện được bình phương

độ dài của vectơ BC

bằng tổng bình phương độ dài của véctơ AC

Theo công thức tích vô hướng ta có:               AC AB               AC AB.               cosAC AB, 

Từ đó suy ra: BC2 AB2  AC2  2AB AC .cosA

(Trong trường hợp tam giác ABC vuông tại A thì cosA cos900 0,tức là BC2 AC2  AB2)

Hình 1.1

Thay BC a  , AC b  , AB c ta được định lí côsin trong tam giác

ABC bất kì là: a2 b2 c2  2 cosbc A

Qua phân tích hai khái niệm cơ bản là vấn đề và phát hiện vấn đề, nhậnthấy để phát triển năng lực phát hiện vấn đề thì đòi hỏi HS phải biết quan sát,phân tích, so sánh, suy luận các kiến thức toán học; suy xét vấn đề cần giảiquyết theo nhiều hướng khác nhau trên cơ sở những tri thức, kinh nghiệm của

cá nhân để phát hiện các mâu thuẫn, các điểm chưa hoàn chỉnh của vấn đề đãđặt ra

b) Năng lực giải quyết vấn đề

Giải quyết vấn đề là một quá trình mà cá nhân vận dụng kiến thức, kĩnăng và kĩ xảo đã được học để đáp ứng yêu cầu của những tình huống khôngquen thuộc

Có nhiều cách phân chia các giai đoạn để GQVĐ như sau:

Theo Kudriasev, GQVĐ chia làm 4 giai đoạn: “Sự xuất hiện của chínhvấn đề và những kích thích đầu tiên thúc đẩy chủ thể GQVĐ; chủ thể nhậnthức sâu sắc và chấp nhận vấn đề cần giải quyết; quá trình tìm kiếm lời giảicho vấn đề đã được chấp nhận giải quyết, lý giải, chứng minh, kiểm tra; tìmđược kết quả cuối cùng và đánh giá kết quả tìm được.”

Theo John Dewey, GQVĐ gồm 5 bước: “Tìm hiểu vấn đề; xác địnhvấn đề; đưa ra những giả thuyết khác nhau để GQVĐ; xem xét hệ quả củatừng giả thuyết dưới ánh sáng của những kinh nghiệm trước đây; thử nghiệmgiải pháp thích hợp nhất”

Dù được phân chia theo cách nào thì GQVĐ vẫn bao gồm ba bướcchính sau đây:

Bước 1: Tìm hiểu vấn đề

+ Tạo tình huống gợi vấn đề;

+ Giải thích để hiểu đúng tình huống;

+ Phát biểu và đặt mục đích giải quyết vấn đề đó

Bước 2: Giải quyết vấn đề

+ Phân tích, làm rõ những mối quan hệ giữa những cái chưa biết vànhững cái đã biết;

+ Đề xuất và thực hiện hướng giải quyết vấn đề, ở đây thường vậndụng quy tắc tìm đoán, quy lạ về quen, đặc biệt hóa, khái quát hóa, xét tínhtương tự, suy ngược suy xuôi,

+ Trình bày cách giải quyết vấn đề

Bước 3: Nghiên cứu cách giải quyết vấn đề

+ Kiểm tra sự đúng đắn của lời giải;

+ Kiểm tra tính tối ưu, tính hợp lí của lời giải;

+ Đề xuất những vấn đề mới có liên quan và giải quyết vấn đề nếu có

Ví dụ 1.6: Giải phương trình: asin2x b cos2 x c sinxcosx d 0 

1

1 cot

2 2

Bước 1: Tìm hiểu vấn đề: GV nêu yêu cầu là giải phương trình lượng giác

Bước 2: Giải quyết vấn đề: GV gợi ý cho HS hai phương pháp giải:

+ Phương pháp đưa về tanx :

Chia hai vế phương

trình (1) cho cos x ta được phương trình mới là gì? Phương trình mới có ở2

dạng quen thuộc không? Nếu quen thuộc thì giải phương trình đó như thếnào?

+ Phương pháp đưa về phương trình bậc nhất đối với sin 2x và cos2x

Từ phương trình (1) dùng công thức hạ bậc đối với sin x2 , cos x2 ta được

phương trình mới như thế nào? Giải phương trình đó?

Bước 3: Nghiên cứu và kiểm tra lời giải

+ Kiểm tra kết quả bằng cách thay nghiệm x tìm được vào (1)

+ Thông qua việc giải phương trình (1), HS có thể rút ra phương pháp:Nếu phương trình chứa nhiều loại hàm số lượng giác ta có thể biến đổi làmgiảm bớt số hàm số lượng giác có trong phương trình Cụ thể là đưa phươngtrình chứa hai hàm số lượng giác sinx và cosx về một hàm số lượng giác làtanx Nếu phương trình chứa các biểu thức bậc cao, ta có thể nghĩ ngay đến

năng lực giải quyết vấn đề có những mối quan hệ khác như: có mối quan hệvới năng lực học Toán, năng lực giải Toán,… chúng đan xen, tương hỗ, gắn

bó với nhau trong quá trình nhận thức nhiều mặt của học sinh:

+ Nếu hiểu mỗi vấn đề trong Toán học của học sinh theo nghĩa hẹp (làkhái niệm, định lí, bài toán,…) thì năng lực giải quyết vấn đề là một trongnhững thành phần quan trọng hình thành nên năng lực học Toán Trong Toánhọc, năng lực giải quyết vấn đề có thể xem xét, nghiên cứu theo đặc thù từngphân môn: Đại số, Hình học,… Chúng có những biểu hiện riêng gắn với tínhchất các hoạt động tương ứng ở mỗi phân môn, đồng thời có mối liên hệ chặtchẽ tương hỗ lẫn nhau, tạo nên năng lực giải quyết vấn đề và năng lực họcToán thông qua quá trình dạy học Toán (yếu tố giáo dục) Mặt khác, nếu xéttheo các tình huống dạy học điển hình của môn Toán thì có năng lực học kháiniệm, năng lực suy luận chứng minh định lí, giải toán… trong năng lực họcToán nói chung Trong đó năng lực giải quyết vấn đề đều có mặt và đóng vaitrò quan trọng ở mỗi năng lực thành phần (nhất là năng lực giải Toán bởi tínhvấn đề trong bài toán và hoạt động giải Toán tự nó thể hiện rõ đặc thù giảiquyết vấn đề)

+ Nếu xét ở phạm vi của thực tiễn cuộc sống, mỗi học sinh luôn phải tựnhận biết và giải quyết những vấn đề xảy ra đối với bản thân (trong đó cónhững vấn đề của việc học Toán) thì năng lực giải quyết vấn đề có cấu trúcphức tạp hơn, bao gồm nhiều thành phần và có vai trò rộng hơn năng lực họctập (nói riêng là năng lực học Toán) Nhưng nếu xét riêng ở phạm vi họcToán, hay hẹp hơn nữa là trong hoạt động giải Toán thì mỗi bài toán có thểchứa nhiều vấn đề Khi đó, năng lực giải quyết vấn đề lại là một bộ phậntrong năng lực giải Toán, năng lực học Toán…

+ Năng lực tư duy sáng tạo đòi hỏi sự phát triển của năng lực giải quyếtvấn đề ở mức độ cao

+ Năng lực học Toán là một thành phần (cùng với năng khiếu bẩm sinhtương đối cao) để hình thành nên năng lực Toán học

+ Ở các nhà Toán học nổi tiếng, năng lực sáng tạo Toán học là sự pháttriển năng lực Toán học, năng lực giải quyết vấn đề ở mức độ cao dựa trên cơ

sở quan trọng là tài năng đặc biệt (yếu tố bẩm sinh)

Năng lực GQVĐ là một trong những thành phần quan trọng hình thànhnên năng lực học toán ở học sinh Nó có mặt xuyên suốt trong quá trình họctập và đóng vai trò quyết định hình thành các năng lực khác ở HS như: nănglực học khái niệm, định nghĩa; năng lực suy luận; năng lực chứng minh định

lý, hệ quả; năng lực giải toán; Ngược lại, nếu HS có năng lực học toán thìcác em có rất nhiều thuận lợi trong việc GQVĐ đặt ra

Do đó để phát triển năng lực học toán ở HS, GV cần đảm bảo:

- Cho học sinh luyện tập thường xuyên các hoạt động PH và GQVĐ

- GV phải tạo được sự hứng thú trong học tập cho học sinh Tổ chức,điều khiển HS tham gia tích cực vào các hoạt động để hình thành động cơ,phương pháp học tập đúng đắn cho các em

- HS phải được trang bị tốt và kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo tương ứng

- GV cần tổ chức cho HS tham gia nhiều vào các hoạt động khác nhau

để tạo điều kiện cho các em độc lập trong việc PH và GQVĐ toán học

1.2.4 Các năng lực thành tố của năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề của học sinh

Mỗi năng lực đều có kết cấu riêng gồm nhiều thuộc tính, trong đó cácthuộc tính không chỉ tồn tại bên cạnh nhau một cách đơn giản, mà chúng liên

hệ với nhau một cách hữu cơ, chúng tác động lẫn nhau trong một hệ thốngnhất định Đặc biệt điều có ý nghĩa quyết định đối với mỗi năng lực khôngphải bản thân từng thuộc tính riêng lẻ mà sự kết hợp chúng theo một cấu trúcnhất định, và năng lực thành tố của năng lực phát hiện và giải quyết vấn đềcủa học sinh có thể phân chia thành các thành tố:

a) Năng lực nhận ra mâu thuẫn trong các tình huống để từ đó thấy được nhu cầu giải quyết vấn đề

Theo Nguyễn Bá Kim [4], thì hoạt động nhận thức một vấn đề Toánhọc nói chung bao gồm hai giai đoạn chính: hình thành, xây dựng và củng cố,vận dụng Mặt tâm lí của năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề trong hoạtđộng này là hứng thú tìm tòi, lòng ham hiểu biết nên nếu sự hứng thú khôngđược hình thành thì bản thân sự lĩnh hội kiến thức sẽ diễn ra thấp hơn nhiều

so với tiềm năng sẵn có của học sinh

Mâu thuẫn giữa nhiệm vụ nhận thức với trình độ tri thức của học sinh

đã là hạt nhân của tình huống có vấn đề và là động lực của hoạt động tìm tòitrong học tập Động cơ đúng đắn và phù hợp phải gắn liền với nội dung Toánhọc, động cơ này lại được cụ thể hoá thành từng nhiệm vụ học tập - là từngđơn vị (tế bào) của hoạt động phát hiện và giải quyết vấn đề Để giải quyếtnhiệm vụ đó, nhất thiết học sinh phải tiến hành một loạt các hành động nhưhuy động và tổ chức kiến thức có liên quan đến tình huống chứa vấn đề; táchbiệt và kết hợp các kiến thức; dự đoán và kiểm tra điều dự đoán;…với cácthao tác tương ứng như: nhận biết, nhớ lại (ở đây đóng vai trò năng lực huyđộng, tái hiện kiến thức), bổ sung, phân nhóm,…

Như vậy học sinh cần phải hòa nhập vào tình huống có vấn đề, tức lànhận thấy có sự mâu thuẫn giữa tình huống mới với vốn tri thức kĩ năng củabản thân.Từ đó nảy sinh nhu cầu tìm hiểu xem có điều gì mới chứa đựng bêntrong tình huống Đồng thời từ việc nắm vững các dữ kiện quy gọn, tránhđược tình trạng lan man không định hướng

Để hình thành, xây dựng nhu cầu phát hiện và giải quyết vấn đề từ tìnhhuống đã có, học sinh cần huy động các kiến thức, kĩ năng có liên quan đếncác dữ kiện trong tình huống đó Trên cơ sở xác định mối liên hệ giữa cáckiến thức, kĩ năng đã có với vấn đề đang cần giải quyết, từ đó học sinh sẽhình thành, xây dựng được nhu cầu giải quyết vấn đề trong tình huống nêu ra

b) Năng lực phát hiện ra mấu chốt của vấn đề nhờ vào kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy

Để phát hiện và giải quyết vấn đề, không chỉ dừng lại ở mức độ nhậnbiết những thuộc tính bên ngoài của nó, bởi nó chỉ là giai đoạn nhận thức cảm

tính, cần phải chuyển qua một giai đoạn nhận thức lí tính, tức là cần phải tìmhiểu bản chất của vấn đề.

Từ những ví dụ cụ thể riêng lẻ, giáo viên cần hướng dẫn học sinh sửdụng các thao tác tư duy thông dụng trong Toán học để thiết lập và biểu diễnmối liên hệ giữa các tình huống đã cho và những kết quả mới Từ đó khái quáthoá rút ra những điểm chung, cốt lõi của vấn đề Đồng thời với việc rút ranhững cái chung từ những cái riêng, cần phải cho học sinh thấy, bên cạnh cáichung cho những lớp đối tượng cùng loại, đối với những đối tượng cụ thể,còn có thể có những hướng giải quyết khác biệt nữa, mà nếu thay đổi đi một

dữ kiện nào đó thì hướng giải khác biệt đó không thực hiện được

Trong quá trình học tập hình học ở trường phổ thông, học sinh có rấtnhiều cơ hội để thể hiện năng lực xem xét các sự vật, hiện tượng một cáchđầy đủ, trong tất cả các mặt, các mối quan hệ (bên trong và bên ngoài, trựctiếp và gián tiếp) trong tổng thể những mối quan hệ phong phú, phức tạp vàmuôn vẻ của nó với các sự vật khác, đồng thời cũng tránh được những sai lầmcủa cách xem xét chủ quan, phiến diện Qua đó, thể hiện suy nghĩ một cáchsáng tạo trong học Toán, tìm được nhiều hướng hay để giải quyết một vấn đề,tìm được cách chứng minh tối ưu cho một định lí hay mệnh đề Toán học, hayphát triển kết quả lên một nấc thang mới, điều mà xã hội luôn mong muốn

c) Năng lực huy động kết nối kiến thức đã học từ đó biết cách lập luận để tìm lời giải bài toán

Học sinh có “vốn” kiến thức, kinh nghiệm đầy đủ, các em biết kết nối

“vốn” đã có và tri thức cần tìm; từ đó dùng suy luận, biến đổi Toán học pháthiện giải pháp GQVĐ Giải pháp có thể quyết định trực tiếp vấn đề đặt ra,hoặc thông qua GQVĐ trung gian ( Bài toán phụ)

Ví dụ 1.7: 2cos2x 2 cosxcos (2 cos x) 3x  3 

Tuy phương trình lượng giác chỉ có một hàm số côsin, một ẩn x nhưngđây là bài toán khó với nhiều HS lớp 11 THPT vì tính chất phức tạp của nó

HS nào biết kết nối tri thức giải PT lượng giác với các kiến thức, kinh nghiệm

của các em về giải PT, hệ PT, bất đẳng thức, đã học các em sẽ phát hiệnđược giải pháp GQVĐ: đặt ẩn phụ hoặc dùng BĐT Bunhiakôpski.

1.2.5 Cấp độ của năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề của học sinh ở trường phổ thông

Năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề có thể phân chia thành 3 cấp

độ trên cơ sở trình độ nhận thức và năng lực phát hiện và giải quyết vấn đềcủa học sinh:

a) Mức độ thứ nhất: HS đáp ứng được những yêu cầu cơ bản phát hiện và giải

quyết vấn đề khi vấn đề đã được giáo viên đặt ra một cách tương đối rõ ràng

HS tiến hành giải quyết vấn đề theo sự hướng dẫn của giáo viên GV đánh giákết quả làm việc của học sinh

Ví dụ 1.8: Viết phương trình mặt cầu có bán kính bằng 2, tiếp xúc với

mặt phẳng (Oyz) và có tâm nằm trên tia Ox

GV hướng dẫn HS phát hiện: Mặt cầu có tâm nằm trên tia Ox và tiếp

xúc mp(Oyz) → Mặt cầu đi qua điểm O(0; 0; 0); Có R = 2 →Tọa độ tâm I(2;0; 0)

Trình bày lời giải: Vì tâm I của mặt cầu nằm trên tia Ox và mặt cầu tiếp

xúc với mp( Oyz) nên điểm tiếp xúc phải là O và do đó bán kính mặt cầu là R

= IO = 2, và I =(2; 0; 0) Mặt cầu có phương trình : x 22  y2 z2  4

Đây là một dạng toán lập phương trình mặt cầu mà ta không tìm ngayđược tâm hoặc bán kính, phải vận dụng các kiến thức về khoảng cách, vị trícủa điểm và tọa độ tương ứng, tức là có sự chuyển hóa ngôn ngữ hình học quangôn ngữ tọa độ và sau đó là đại số hóa để lập phương trình biểu diễn mặtcầu Ta cũng có cách giải tương tự khi thay mp(Oyz) và tia Ox bởi mp(Oxy)

và tia Oz

b) Mức độ thứ hai: HS nhận ra được vấn đề do GV đưa ra; biết hoàn tất việc

phát hiện và giải quyết vấn đề dưới sự gợi ý, dẫn dắt của giáo viên GV và HScùng đánh giá

Ví dụ 1.9: Tạo tình huống để học sinh phát hiện ra cách tính khoảng

GV: Ta đã biết cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằngcách đưa về tính khoảng cách từ một điểm bất kỳ của mặt phẳng này tới mặtphẳng kia Liệu ta có thể đưa trường hợp khoảng cách giữa điểm và đườngthẳng về trường hợp khoảng cách giữa hai điểm hoặc khoảng cách giữa điểm

và mặt phẳng được không? đưa về bằng cách nào?

GV: Về mặt hình ảnh hình học khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng

được xác định như thế nào? (GV vẽ hình lên bảng (điểm và đường thẳng) và

yêu cầu học sinh vẽ khoảng cách)

HS: Vẽ khoảng cách

Khoảng cách giữa điểm M và đường thẳng  là khoảng cách giữa hai điểm M

và H (H là hình chiếu của M trên )

GV: Ta đã biết toạ độ điểm M, để tính được khoảng cách ta phải tìm toạ độđiểm H, hãy nêu cách tìm toạ độ điểm H?

GV: Đường thẳng có vectơ chỉ phương a (a; b; c), hãy cho biết vị trí tươngđối của MH

và a? HS: MH                            a

GV: Như vậy H là một điểm thoả mãn (H nằm trên  và MH a

GV: Dựa vào kết quả trên em hãy cho biết cách tính khoảng cách từ một điểm

M tới đường thẳng ?

HS: Để tính khoảng cách giữa điểm M và đường thẳng ta đi tính khoảng

cách giữa hai điểm M và H (H là hình chiếu của M trên )

Để tìm toạ độ điểm H ta dựa vào điều kiện (H nằm trên và        MH                    a

)

GV: Ngoài cách tìm toạ độ điểm H như trên còn có cách nào khác không?

HS: Tự tìm được (hoặc dưới sự hướng dẫn của GV) các cách tìm toạ độ điểm

H khác như sau:

+ Gọi   là mặt chứa M và vuông góc với khi đó H là giao điểm

của và  

+ Mọi M  0 ta có MM0 MH

c) Mức độ thứ ba: HS chủ động phát hiện được vấn đề, dự đoán những điều

kiện nảy sinh vấn đề và nhận xét cách thức tiếp cận để phát hiện và giải quyếtvấn đề

Ví dụ 1.10: Tính khoảng cách từ điểm A (1; 2;1) đến đường thẳng

HS phát hiện ra 2 cách giải bài toán trên:

Cách 1: Trong không gian Oxyz, để tính khoảng cách từ điểm A đến đường

thẳng d ta thực hiện theo các bước:

* Viết phương trình mặt phẳng   chứa A và vuông góc với d

*Tìm giao điểm H của d và  

* Khoảng cách từ A đến d chính là khoảng cách giữa hai điểm A và H

Cách 2: Trong không gian Oxyz, để tính khoảng cách từ điểm A đến đường

thẳng d ta thực hiện theo các bước:

* Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu của A trên d dựa vào điều kiện (H nằm trên  và MH  a

* Khoảng cách từ A đến d chính là khoảng cách giữa hai điểm A và H

Từ cách tiếp cận vấn đề như trên, với mục đích góp phần bồi dưỡngnăng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, chúng tôi phân cấp trong mỗi nănglực thành tố để làm tiêu chí Từ đó lựa chọn các ví dụ và bài tập để bồi dưỡng

HS ở từng cấp độ đối với mỗi năng lực và kĩ năng thành phần (phân bậc hoạtđộng bồi dưỡng năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề)

+ Mức độ tập dượt: bước đầu biết tiến hành các thao tác tư duy liên quan + Mức độ phát triển: biết sử dụng các thao tác trên một cách chọn lọc và cóhiệu quả

+ Mức độ hoàn thiện: năng lực, kĩ năng được hoàn thiện, được thực hiện mộtcách sáng tạo

1.3 Khái quát chủ đề “Phương pháp tọa độ trong không gian” trong chương trình Toán ở trường THPT

Phương pháp tọa độ trong không gian dùng hệ tọa độ chuyển nhữnghình ảnh hình học không gian về ngôn ngữ đại số tức là về dạng phương trình.Với phương pháp toạ độ, HS tập suy luận và tư duy một cách chính xác, tránhđược những sai lầm do trực giác gây ra, tạo điều kiện tiếp cận và làm quenvới những phương pháp suy luận tổng quát hơn và sâu hơn, chuẩn bị tốt choviệc tiếp thu những kiến thức rộng hơn và cao hơn ở bậc đại học Tuy nhiêndùng phương pháp này hạn chế trí tưởng tượng không gian ở HS

a) Nội dung chủ đề Phương pháp tọa độ trong không gian lớp 12 Trung học phổ thông

Trong chương trình hình học ở trường THPT, phương pháp tọa độ đượcxác định là một trọng tâm Thực chất của nghiên cứu phương pháp tọa độ ởtrường phổ thông là nghiên cứu một cách thể hiện khác của các hệ tiên đềhình học phẳng và không gian

+ Nội dung lí thuyết của chương bao gồm:

- Nghiên cứu tọa độ điểm, phương trình đường thẳng, mặt phẳng và mặtcầu

- Nghiên cứu vị trí tương đối của các đối tượng điểm, đường thẳng mặtphẳng, mặt cầu Trong đó đặc biệt chú trọng nghiên cứu quan hệ song song vàvuông góc

- Nghiên cứu các khái niệm về góc, khoảng cách giữa các đối tượngđường thẳng, điểm và mặt phẳng

Căn cứ vào nội dung kiến thức chương này được chia làm 3 bài và phân bốthời gian như sau:

Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian (5 tiết)

Bài 2: Phương trình mặt phẳng (5 tiết)

Bài 3: Phương trình đường thẳng (8 tiết)

Ôn tập chương (2 tiết)

+ Nội dung thực hành (bài tập):

- Các bài tập về tìm tọa độ điểm

- Các bài tập về lập phương trình đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu

- Các bài tập về vị trí tương đối của điểm , đường thẳng, mặt phẳng,mặt cầu

- Các bài tập về quan hệ song song và vuông góc

1) HS hiểu được cách xây dựng không gian với hệ tọa độ Oxyz (gọi tắt

là không gian Oxyz), biết xác định tọa độ của một điểm trong không gian vàbiết thực hiện các phép toán về vectơ thông qua hệ tọa độ của các vectơ đó

2) HS biết viết phương trình của mp, của đường thẳng, của mặt cầu,biết xét vị trí tương đối của chúng bằng phương pháp tọa độ đồng thời biếtthực hiện các bài toán về khoảng cách, biết ứng dụng các phép toán về vectơ

và tọa độ trong việc nghiên cứu hình học không gian

b) Một số chú ý về chương trình, nội dung

Theo Bùi Văn Nghị [2, tr.182], về nội dung chủ đề Phương pháp tọa độtrong không gian để giảm nhẹ phần lý thuyết những chứng minh quá phức tạp

sẽ bỏ qua, thay bằng những hoạt động kiểm chứng và những minh họa đơngiản

SGK không đưa ra định nghĩa thế nào là phương trình của một đườngthẳng, kiểu như: "Phương trình F(x,y,z) = 0 gọi là phương trình của đườngthẳng d nếu điểm M thuộc d khi và chỉ khi tọa độ (x,y,z) của M là nghiệm củaphương trình đó" Vì nếu theo định nghĩa đó thì ta phải chấp nhận:

( 2 x− y+3 z−1 )2+( x+ y+z+2)2=0 là phương trình đường thẳng;

(x y z 1) (2 x 3y z  1) 0 là phương trình mặt phẳng

Hầu hết các bài toán trong chương này đều liên quan đến việc giải hệphương trình nhiều ẩn số HS cần thành thạo trong cách giải, có thể dùng máytính Tuy vậy, nên chú ý trường hợp hệ phương trình có số ẩn số nhiều hơn sốphương trình Chẳng hạn để viết phương trình dạng tổng quát

Ax By Cz D 0    cần tìm các hệ số A, B, C, D Ta chỉ cần tìm mộtnghiệm riêng không tầm thường của hệ Bằng cách khử hai trong bốn ẩn A,

B, C, D ta đưa về một phương trình bậc nhất và thuần nhất của hai ẩn A, Bchẳng hạn mA nB 0  Nên làm cho HS hiểu khi đó một nghiệm riêng là

A n  , Bm và do đó tính được C và D

c) Về phương pháp

- Nội dung của chương này có liên hệ mật thiết với chương “Phươngpháp toạ độ trong mặt phẳng” ở lớp 10 và những kiến thức hình học khônggian lớp 11 Bởi vậy các thầy cô nên hướng đẫn HS xem lại chương 3, Hìnhhọc lớp 10 và hình học lớp 11

- Nên chú ý đúng mức tới yếu tố trực quan: hình vẽ, bảng biểu,…Vềnguyên tắc, khi giải bài toán hình học bằng phương pháp toạ độ, ta không cầntới vẽ hình nhưng nhiều khi vẽ hình giúp học sinh đưa ra phương pháp giảihợp lí

- Nên rèn luyện cho học sinh biết cách chuyển từ ngôn ngữ hình họcsang ngôn ngữ đại số và ngược lại chẳng hạn:

+ Ba điểm A, B, C (với toạ độ đã biết) là thẳng hàng khi và chỉ khi toạ độ các

- Cần làm cho học sinh thấy rằng để giải các bài toán bằng phươngpháp toạ độ cần phải thành thạo hai thao tác: “đọc” và “viết” sau đây:

Thao tác “đọc” khi cho trước một phương trình của một đường hoặccủa một mặt ta phải đọc được các yếu tố liên quan Chẳng hạn phương trình

2x3y z  cho ta một mặt phẳng đi qua gốc toạ độ và có vectơ pháp0

tuyến n2;3; 1 , hoặc phương trình

thẳng đi qua điểm M (1; -2; 0) và có véc tơ chỉ phương u3; 1;1 

Thao tác “viết” khi đã biết các yếu tố xác định một đường hay một mặtnào đó, ta có thể viết được phương trình biểu thị các đối tượng đó

- Để HS ôn tập tốt, GV nên cho HS làm các tóm tắt, tổng kết theo từngvấn đề, có thể lập thành các bảng biểu cho dễ nhớ Vấn đề có thể là:

Tóm tắt vị trí tương đối của hai đường thẳng, của đường thẳng và mặtphẳng, của hai mặt phẳng Nhưng cũng có thể tổng kết theo cách khác, chẳnghạn về điều kiện song song, hai đường thẳng song song, đường thẳng songsong với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song, …

1.4 Thực trạng hoạt động dạy học chủ đề “Phương pháp tọa độ trong không gian” ở trường phổ thông

Qua việc điều tra, khảo sát bằng phiếu điều tra, bài kiểm tra trắcnghiệm và thông qua hình thức dự giờ, trao đổi với đồng nghiệp, chúng tôinhận thấy một số vấn đề nổi bật lên như sau:

- Do thời gian của một tiết học bị hạn chế, khối lượng kiến thức theoquy định lại nhiều Nên phần lớn GV vẫn dùng những PPDH truyền thốngnhư: PPDH thuyết trình và PPDH vấn đáp vẫn chiếm ưu thế và được vậndụng theo quy trình sau:

+ Dạy giờ lý thuyết: GV dạy theo các bước: Đặt vấn đề, giảng giải đểdẫn HS tới kiến thức kết hợp với PPDH vấn đáp để củng cố kiến thức, hướngdẫn việc học ở nhà

+ Dạy giờ luyện tập: HS chuẩn bị bài tập ở nhà hoặc ít phút tại lớp, GVgọi HS lên bảng chữa bài, sau đó gọi HS khác nhận xét lời giải của bạn, GVđưa ra lời giải chính xác thông qua đó củng cố kiến thức cho HS Đối với HSkhá, giỏi một số ít GV phát triển bài toán bằng cách khái quát hoá, đặc biệthoá bài toán

- Trong quá trình giảng dạy GV vẫn còn nặng về dạy kiến thức và thựchành giải bài tập theo thuật giải nêu sẵn, chưa quan tâm nhiều đến việc pháttriển tư duy của học sinh nhất là tư duy sáng tạo

- HS hay mắc sai lầm như: không xác định được VTPT, VTCP củađường thẳng dẫn đến không viết được phương trình đường thẳng, phươngtrình mặt phẳng HS hay nhầm lẫn, áp dụng sai công thức tính khoảng cách từmột đường thẳng đến một mặt phẳng; Cụ thể, tỉ lệ số HS trả lời đúng bàikiểm tra đối với những câu hỏi mang tính chất nhận biết là tương đối cao.Còn đối với những câu hỏi mang tính chất thông hiểu và vận dụng thì tỉ lệ số

HS trả lời đúng là rất thấp

- Phần lớn HS không quan tâm đến các nội dung lí thuyết có trong bàihọc mà chỉ chú trọng làm bài tập theo những dạng mẫu GV đã dạy trên lớp.Dẫn đến gặp bài tập khó hay những dạng toán mà GV chưa hướng dẫnphương pháp giải thì hầu như các em không làm được

- Năng lực học toán của HS trong cùng một lớp không đồng đều, cònnhiều em chưa thực sự yêu thích môn Toán Thường những em này luôn nétránh trả lời các câu hỏi của GV, thậm chí không hiểu GV đang yêu cầu mìnhlàm gì, điều này làm cho tiết học không đạt hiệu quả, mất rất nhiều thời gian

1.5 Kết luận chương 1

Trong chương này khóa luận đã nghiên cứu lí luận về hoạt động tư suytrong dạy học môn Toán Tư duy để phát hiện và giải quyết vấn đề và thôngqua giải quyết vấn đề mà phát triển tư duy của người học Do đó giữa tư duyvới phát hiện và giải quyết vấn đề có mối quan hệ mật thiết với nhau Khóaluận cũng tìm hiểu hoạt động trí tuệ của học sinh trong học tập môn Toán

Phân tích, hệ thống lại lý luận về năng lực và năng lực toán học, năng lựcPH&GQVĐ trong toán học; mối quan hệ giữa năng lực PH&GQVĐ trongtoán học với năng lực học toán của học sinh Phân tích các năng lực thành tốcủa năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề của học sinh để từ đó đưa ra cácbiện pháp sư phạm tác động vào các năng lực thành tố này ở chương 2 nhằmbồi dưỡng năng lực PH và GQVĐ cho học sinh.

Qua việc tìm hiểu về nội dung, mục tiêu và thực trạng dạy học chủ đề

“Phương pháp tọa độ trong không gian” Hình học 12, tôi nhận thấy: vẫn cònnhững vấn đề cần phải giải quyết Đó là, sự chưa chú trọng thích đáng củamột số GV đến việc khai thác các dạng toán, hệ thống các dạng toán, đưa một

số hoạt động trí tuệ như: Phân tích - tổng hợp, khái quát hóa - đặc biệt hóa,tương tự hóa vào giảng dạy để phát triển trí tuệ cho HS Việc quan tâm vậndụng phương pháp dạy học PH&GQVĐ giúp nâng cao năng lực tư duy vàphát triển trí tuệ cho học sinh

Chương 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP GÓP PHẦN BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ “PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN” HÌNH HỌC 12

2.1 Định hướng xây dựng và thực hiện các biện pháp

Định hướng trong việc xây dựng các biện pháp là tuân thủ chặt chẽ,nghiêm ngặt một số nguyên tắc dạy học vận dụng vào môn toán, bao gồm:

2.1.1 Xây dựng các biện pháp phải đảm bảo tính khoa học và tính thực tiễn

Toán học cũng như các môn học khác được giảng dạy trong nhà trườngphổ thông đều có sự thống nhất giữa tính khoa học và tính thực tiễn Vì toánhọc có nguồn gốc từ thực tiễn, phản ánh thực tiễn và có nhiều ứng dụng trongthực tiễn Sự thống nhất giữa tính khoa học và tính thực tiễn là thông qua dạyhọc GV hình thành cho HS những quan niệm, những phương thức tư duy và