bồi dưỡng năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh trong dạy học hình học lớp 10 thpt

Xác định được những định hướng trong việc hình thành và phát triển năng lực học tập nói chung, năng lực phát hiện và GQVĐ nói riêng trong quá trình dạy học toán.. - Năng lực Toán học đư

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Lê Văn Tuyên

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH

TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC LỚP 10 THPT

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thái Nguyên - 2013

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Lê Văn Tuyên

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH

TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC LỚP 10 THPT

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Chuyên ngành: Lý luận và PPDH bộ môn Toán

Mã số: 60.14.01.11

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Trần Việt Cường

Thái Nguyên - 2013

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

NHỮNG CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

4 GS.TSKH Giáo sƣ, Tiến sĩ khoa học

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Quá trình nhận thức 5

1.2 Năng lực phát hiện và GQVĐ trong toán học 8

1.3 Vấn đề phát triển năng lực phát hiện và GQVĐ cho HS trong dạy học Hình học 16

1.4 Các năng lực thành tố của năng lực phát hiện và GQVĐ của HS trong dạy học Toán ở THPT 19

1.5 Những biểu hiện và cấp độ của năng lực phát hiện và GQVĐ trong học Toán của HS THPT 40

1.6 Thực trạng việc dạy học nội dung Hình học lớp 10 theo định hướng góp phần phát triển năng lực phát hiện và GQVĐ cho HS THPT 42

1.7 Kết luận chương 1 46

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC PHÁT HIỆN VÀ GQVĐ CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 48

2.1 Định hướng xây dựng và thực hiện các biện pháp 48

2.2 Một số biện pháp sư phạm nhằm góp phần phát triển năng lực phát hiện và GQVĐ cho HS trong học Toán 48

2.3 Một số hình thức dạy học góp phần hình thành và phát triển năng lực phát hiện và GQVĐ cho HS trong dạy học hình học lớp 10 89

2.4 Kết luận chương 2 100

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 101

3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 101

3.2 Nội dung thực nghiệm sư phạm 101

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

3.3 Đối tượng thực nghiệm sư phạm 101

3.4 Đánh giá thực nghiệm sư phạm 102

3.5 Kết luận chương 3 108

KẾT LUẬN 109

CÔNG TRÌNH KHOA HỌC LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN VĂN 110

TÀI LIỆU THAM KHẢO 111

và trách nhiệm cũng như năng lực phát hiện và giải quyết các vấn đề phức hợp Hình thành, phát triển năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề (GQVĐ) trở thành yêu cầu cấp bách của mọi quốc gia , các tổ chức giáo dục và các doanh nghiệp

Ở các nước có nền giáo dục tiên tiến , trẻ em được dạy tư duy phát hiện

và GQVĐ từ rất sớm Nói về vai trò của năng lực phát hiện v à GQVĐ, Raja

Roy Singh - nhà giáo dục học nổi tiếng ở Ấn Độ đã khẳng định [27]: “Để đáp ứng những đòi hỏi mới đặt ra do sự bùng nổ kiến thức và sáng tạo ra kiến thức mới, cần thiết phải phát triển năng lực tư duy, năng lực GQVĐ một cách sáng tạo… Các năng lực này có thể quy gọn là “năng lực phát hiện và

GQVĐ””

Ở nước ta, Đảng và Nhà nước luôn coi trọng việc phát triển con người,

con người luôn được coi là nhân tố quan trọng nhất “vừa là động lực, vừa là mục tiêu’’ cho sự phát triển bền vững của xã hội

Về mục tiêu giáo dục phổ thông, Luật Giáo dục đã chỉ rõ: “Giáo dục phổ thông là giúp HS phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm

mỹ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho HS tiếp tục học lên hoặc

đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc’’ [21]

2

Về phương pháp gi áo dục phổ thông, Điều 28.2 Luật Giáo dục có viết:

“Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của HS; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho HS’’ [21]

1.2 Để đạt được các mục tiêu trên, đổi mới phương pháp dạy học (PPDH)

là một nhiệm vụ quan trọng của ngành Giáo dục nhằm nâng cao chất lượng giáo dục Việc đổi mới PPDH ở trường phổ thông là làm thay đổi lối dạy học

truyền thụ một chiều sang các “kỹ thuật dạy học tích cực” nhằm giúp HS phát

huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo, rèn luyện thói quen và khả năng

tự học, tinh thần hợp tác, kỹ năng vận dụng kiến thức vào các tình huống khác nhau trong học tập và trong thực tiễn Làm cho “học” là quá trình kiến tạo

HS tìm tòi khám phá, phát hiện, luyện tập, khai thác và xử lí thông tin tự hình thành phẩm chất và năng lực cá nhân cho bản thân

1.3 Việc dạy và học ở các trường phổ thông hiện nay đang từng bước tiếp cận các kỹ thuật dạy học tích cực Hình thành, phát triển năng lực phát hiện và GQVĐ được quan tâm đến như một nhiệm vụ cấp bách để bước đầu trang bị cho

HS cách học, cách suy nghĩ, cách GQVĐ một cách thông minh, độc lập sáng tạo Toán học là môn học có tính khái quát cao, chứa đựng nhiều tiềm năng để bồi dưỡng cho HS năng lực phát hiện và GQVĐ Nội dung Hình học lớp 10 thực sự

là một thử thách đối với HS Trung học phổ thông (THPT) bởi những kiến thức hoàn toàn mới như vectơ hay việc tọa độ hóa các đối tượng hình học phẳng

Những cơ sở lý luận và thực tiễn nói trên đã đặt ra yêu cầu và tạo điều kiện cho việc nghiên cứu năng lực phát hiện và GQVĐ trên bình diện đề xuất các biện pháp sư phạm, để bồi dưỡng năng lực này trong dạy học Toán ở trường THPT nói chung và trong dạy học Hình học lớp 10 nói riêng Qua đó,

3

góp phần nâng cao chất lượng dạy học Hình học lớp 10 ở các trường THPT

và phát triển khả năng phát hiện và GQVĐ cho HS

Vì các lí do trên, chúng tôi đã chọn đề tài: “Bồi dưỡng năng lực phát hiện và GQVĐ cho HS trong dạy học hình học lớp 10 THPT”

2 Mục đích nghiên cứu

Đề xuất được một số biện pháp sư phạm nhằm bồi dưỡng năng lực phát hiện và GQVĐ trong quá trình học tập môn Hình học cho HS lớp 10 THPT

3 Giả thuyết khoa học

Nếu xác định được một số thành tố của năng lực phát hiện và GQVĐ và

xây dựng được một số biện pháp sư phạm phù hợp trong quá trình dạy học

Hình học lớp 10 thì sẽ góp phần phát triển năng lực này cho HS và nâng cao

hiệu quả dạy học Hình học 10 ở trường phổ thông

4 Phạm vi nghiên cứu

Trong phạm vi của đề t ài, chúng tôi tập trung nghiên cứu dựa trên nội dung sách giáo khoa (SGK) Hình học 10 - chương trình chuẩn Bên cạnh đó ,

ở Chương 1 có minh họa thêm một số ví dụ khác trong chương trình toán THPT nhằm làm sáng tỏ thêm cơ sở lý luận và thực tiễn của đề tài

5 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu một số văn bản, tài liệu liên quan

đến PPDH, năng lực phát hiện và GQVĐ và các tài liệu liên quan đến đề tài…

- Điều tra, quan sát: Dự giờ, phỏng vấn, điều tra, thu thập ý kiến của

giáo viên (GV) ở một số trường THPT trong dạy học

- Thực nghiệm sư phạm: Nhằm kiểm nghiệm thực tiễn một phần tính

khả thi và hiệu quả của đề tài nghiên cứu

6 Nhiệm vụ nghiên cứu

6.1 Tìm hiểu về năng lực nói chung, năng lực phát hiện và GQVĐ nói riêng của HS trong quá trình học tập môn toán

4

6.2 Xác định được những định hướng trong việc hình thành và phát triển năng lực học tập nói chung, năng lực phát hiện và GQVĐ nói riêng trong quá trình dạy học toán

6.3 Đề xuất được một số biện pháp sư phạm nhằm hình thành, phát triển năng lực phát hiện và GQVĐ cho HS lớp 10 THPT thông qua quá trình dạy học môn Hình học

6.4 Tổ chức thực nghiệm sư phạm nhằm xem xét tính khả thi của phương án đề xuất và tìm hiểu khả năng triển khai trong thực tiễn

7 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần “Mở đầu”, “Kết luận” và “Danh mục tài liệu tham khảo”, luận văn gồm có ba chương:

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2 Một số biện pháp sư phạm góp phần phát triển năng lực phát hiện và GQVĐ cho HS trong dạy học Hình học lớp 10 THPT

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

Nhận thức cảm tính (còn gọi là trực quan sinh động) là giai đoạn đầu tiên của quá trình nhận thức Đó là giai đoạn con người sử dụng các giác quan

để tác động vào sự vật nhằm nắm bắt sự vật ấy, nhận thức cảm tính có vai trò quan trọng trong đời sống tâm lí của con người, nó cung cấp vật liệu cho các hoạt động tâm lí cao hơn Tuy nhiên, thực tế cuộc sống luôn đặt ra vấn đề mà bằng nhận thức cảm tính, con người không thể nhận thức và giải quyết được Muốn nhận thức và giải quyết được những vấn đề như vậy, con người phải đạt tới mức độ nhận thức cao hơn, đó là nhận thức lí tính (còn gọi là tư duy)

Tư duy là giai đoạn phản ánh gián tiếp trừu tượng, khái quát sự vật, được thể hiện qua các hình thức như khái niệm, phán đoán, suy luận

Ta có thể chỉ ra một số định nghĩa khác về tư duy, chẳng hạn: “Tư duy

là quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan

hệ có tính qui luật của sự vật hiện tượng trong hiện thực khách quan” [12]; hay “Tư duy là một quá trình tâm lí liên quan chặt chẽ với ngôn ngữ - quá trình tìm tòi và sáng tạo cái chính yếu, quá trình phản ánh một cách hay từng phần hay khái quát thực thể trong khi phân tích và tổng hợp nó Tư duy sinh

ra trên cơ sở hoạt động thực tiễn, từ nhận thức cảm tính và vượt xa giới hạn của nó” [34] Theo X L Rubinstein: “Tư duy - đó là sự khôi phục trong ý

có vấn đề, để từ đó tiến hành các thao tác tư duy: Phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, khái quát hoá nhằm đi đến những khái niệm, phán đoán, những qui luật - những sản phẩm khái quát của tư duy

Tư duy có đặc điểm mới về chất so với cảm giác và tri giác Tư duy có những đặc điểm cơ bản sau ([12]):

- Tư duy là sản phẩm của bộ não con người và là một quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan;

- Bản chất của tư duy là ở sự phân biệt sự tồn tại độc lập của đối tượng được phản ánh với hình ảnh nhận thức được qua khả năng hoạt động suy nghĩ của con người nhằm phản ánh đối tượng;

- Tư duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo;

- Khách thể trong tư duy được phản ánh với nhiều mức độ khác nhau từ thuộc tính này đến thuộc tính khác, nó phụ thuộc vào chủ thể là con người;

- Tư duy chỉ nảy sinh khi gặp hoàn cảnh có vấn đề;

- Tư duy có tính khái quát và có tính gián tiếp;

- Tư duy của con người có quan hệ mật thiết với ngôn ngữ: Tư duy và ngôn ngữ có quan hệ chặt chẽ với nhau, không tách rời nhau nhưng cũng không đồng nhất với nhau Sự thống nhất giữa tư duy và ngôn ngữ thể hiện ở khâu biểu đạt kết quả của quá trình tư duy

7

- Tư duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính: Tư duy thường bắt đầu từ nhận thức cảm tính, dù tư duy có tính khái quát và tính trừu tượng đến đâu thì nội dung của tư duy vẫn chứa đựng những thành phần cảm tính (cảm giác, tri giác, hình tượng trực quan ) X.L.Rubinstein khẳng định rằng:

“Nội dung cảm tính bao giờ cũng có trong tư duy trừu tượng, tựa hồ như làm thành chỗ dựa cho tư duy” [12]

- Tư duy là một quá trình: Tư duy có nảy sinh, diễn biến và kết thúc Quá trình tư duy bao gồm nhiều giai đoạn kế tiếp nhau và được minh hoạ bởi

sơ đồ sau ([34]):

Hình 1.1. Các giai đoạn của quá trình tư duy

- Quá trình tư duy là một hành động trí tuệ: Quá trình tư duy được diễn

ra bằng cách tiến hành những thao tác trí tuệ nhất định Có rất nhiều thao tác trí tuệ tham gia vào một quá trình tư duy cụ thể với tư cách một hành động trí tuệ: Phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, khái quát hoá

Có thể tìm thấy sự đầy đủ, sâu sắc hơn ở nghiên cứu về tư duy trong luận án tiến sĩ của Nguyễn Văn Thuận [34] và các tài liệu chuyên khảo khác

8

Nhưng điều cốt lõi là chúng ta thấy được những tác dụng của tư duy trong đời sống xã hội, bởi con người dựa vào tư duy để “nhận thức những qui luật khách quan của tự nhiên, xã hội và lợi dụng những qui luật đó trong hoạt động thực tiễn của mình” [34]

1.2 Năng lực phát hiện và GQVĐ trong toán học

1.2.1 Năng lực và năng lực toán học

a) Năng lực

Vấn đề năng lực là vấn đề của loài người, tức là, từ khi xuất hiện trên trái đất, con người đã muốn biết về bản thân, về những khả năng của mình Các tác phẩm Triết học, Tâm lí học… cổ đại đã phản ánh tính chất đặc thù đó

ở con người

Trong cuộc sống thực tiễn, hoạt động của con người rất đa dạng, phong phú Do vậy, khả năng của con người là rất khác nhau, thể hiện ở những đặc điểm tâm - sinh lí phù hợp với yêu cầu của một lĩnh vực hoạt động nhất định Nhìn chung, khi nói về năng lực của cá nhân, tức là muốn nói đến khả năng của cá nhân trong một lĩnh vực hoạt động nhất định Những khả năng này giúp cá nhân hoạt động đạt hiệu quả mong muốn trong lĩnh vực đó

C.Mác đã nói [33]: Năng lực vừa là tiền đề, vừa là kết quả của phân công lao động Sự phân công lao động tạo ra hoạt động có đối tượng xác định,

trong đó con người thực hiện mục đích của công việc mình làm để thỏa mãn nhu cầu cuộc sống của bản thân và gia đình Do công việc khác nhau, một cá nhân có thể hình thành nên những khả năng khác nhau (ví dụ, khả năng tính thể tích của các hình khối bất kỳ trong không gian của người làm toán…)

Trong lịch sử Tâm lí học, kể từ khi vấn đề năng lực được quan tâm nghiên cứu đã có những cách hiểu khác nhau về bản chất khái niệm năng lực, về cấu trúc của năng lực cũng như về sự hình thành và phát triển năng lực

Khi nghiên cứu về năng lực học tập, Xavier Rogiers đã quan niệm năng

năng lực, có thể rút ra một số điểm chung sau:

- Năng lực không phải là một thuộc tính tâm lí xuất sắc mà là tổ hợp các thuộc tính độc đáo của nhân cách, phù hợp với những yêu cầu của một

hoạt động nhất định, đảm bảo cho hoạt động đó có kết quả

- Nói đến năng lực là đề cập tới xu thế có thể đạt được một kết quả nào

đó của một công việc nào đó do một con người cụ thể thực hiện (năng lực học tập, năng lực lao động, năng lực quan sát…) Không tồn tại năng lực một cách chung chung và trừu tượng

- Nói đến năng lực là nói đến sự tác động (quan hệ) của một cá nhân cụ thể tới một đối tượng cụ thể (kiến thức, quan hệ xã hội, đối tượng lao động…)

để có một sản phẩm nhất định Do đó, chúng ta có thể căn cứ vào đó để phân biệt người này với người khác

- Năng lực là yếu tố tổng thành trong một hoạt động cụ thể chứ không chỉ là sự tương ứng hay sự phù hợp giữa một bên là yêu cầu của hoạt động và một bên là tổ hợp những thuộc tính tâm lí cá nhân Điều này muốn nhấn mạnh

tính cơ động của năng lực: Năng lực chỉ tồn tại trong quá trình vận động, phát triển của một hoạt động cụ thể Vì vậy, muốn hình thành năng lực ở cá

nhân, nhất thiết phải đưa cá nhân tham gia vào hoạt động

- Năng lực không thể bị quy về kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo (mà thiếu

chúng thì cũng không thể có được hiệu quả hoạt động) mà nó giải thích sự dễ

10

dàng và nhanh chóng trong việc lĩnh hội các kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo Trong

Tâm lí học, một số tác giả đã dùng thuật ngữ “Tính sẵn sàng” để làm dấu hiệu phân biệt khái niệm kĩ năng, kĩ xảo với khái niệm năng lực Theo đó, kĩ năng, kĩ xảo là kết quả lĩnh hội các phương thức hoạt động học tập - nhận thức, kết

quả này được biểu hiện ở sự sẵn sàng thực hiện hành động ở cá nhân

- Không phải các năng lực riêng lẻ xác định kết quả thực hiện hoạt

động, mà là sự kết hợp riêng của chúng, đặc thù đối với một cá nhân cụ thể

Qua đó, tồn tại những khả năng bù trừ lớn cho một năng lực bằng những năng lực khác phát triển cao hơn

- Năng lực có nhiều mức độ khác nhau Sẽ là không đúng nếu cho rằng chỉ có những người đạt được những thành tích đặc biệt trong lĩnh vực hoạt động của mình mới là những người có năng lực Trên thực tế, một năng lực có thể được biểu hiện ở nhiều mức độ Nói cách khác, những thành tích (mà dựa vào đó để nói rằng một người có năng lực) có thể có nhiều mức độ khác nhau Nhìn chung, có thể nói về một người nào đó rằng anh ta có năng lực nếu anh

ta có những đặc điểm cá nhân giúp anh ta thực hiện có kết quả tốt một hoạt động nào đó trong những điều kiện xác định Như vậy, bất cứ một cá nhân bình thường nào cũng có một năng lực nhất định

Từ những phân tích trên, có thể phát biểu như sau về định nghĩa năng

lực: Năng lực là tổ hợp các đặc điểm tâm lí của cá nhân, phù hợp với những yêu cầu của một hoạt động xác định, đảm bảo cho hoạt động đó có kết quả tốt

b) Năng lực toán học

Có nhiều công trình nghiên cứu về năng lực Toán học từ những phương diện khác nhau Dưới đây chúng tôi xin dẫn ra một số ví dụ:

Theo B.V.Gơnheđencô [33], các yêu cầu đối với tư duy Toán học của

HS là: 1) Năng lực nhìn thấy sự không rõ ràng của quá trình suy luận, thấy được sự thiếu sót của những điều cần thiết trong chứng minh; 2) Sự cô đọng;

chẽ); 5) Tính có căn cứ đầy đủ của lập luận ([34])

Tác giả A.N Kôlmôgôrôv đã xem xét năng lực Toán học trên cơ sở 3 thành tố có liên quan đến khả năng biến đổi biểu thức chữ, tưởng tượng và suy luận lôgic đó là: 1) Năng lực biến đổi thành thạo các biểu thức chữ phức tạp, năng lực tìm kiếm các phương pháp xa lạ với các qui tắc thông thường để giải phương trình; 2) Trí tưởng tượng hình học hay “trực giác hình học”; 3)

Nghệ thuật suy luận lôgíc được phân nhỏ hợp lí, tuần tự [34]

V A Cruchetxki [5] nhìn nhận dưới góc độ thu nhận và xử lí thông tin

đã phân chia năng lực Toán học bao gồm 4 thành tố cơ bản là:

1) Thu nhận thông tin toán học: Năng lực tri giác hình thức hóa tài liệu Toán học, năng lực nắm cấu trúc hình thức của bài toán;

2) Chế biến thông tin Toán học: Năng lực tư duy lôgic trong lĩnh vực các quan hệ số lượng và hình dạng không gian, hệ thống kí hiệu số và dấu Năng lực tư duy bằng các kí hiệu Toán học

a) Năng lực khái quát hóa nhanh chóng và rộng các đối tượng, quan hệ Toán học và phép toán

b) Năng lực rút gọn quá trình suy luận Toán học và hệ thống các phép toán tương ứng Năng lực tư duy bằng cấu trúc rút gọn

c) Tính linh hoạt trong quá trình tư duy trong hoạt động Toán học d) Năng lực nhanh chóng và dễ dàng sửa sai lại phương hướng của tiến trình tư duy thuận sang tiến trình tư duy đảo (trong suy luận Toán học)

12

3) Lưu trữ thông tin toán học: Trí nhớ Toán học (trí nhớ khái quát về

hệ thống Toán học; đặc điểm về loại; sơ đồ suy luận và chứng minh; phương pháp giải Toán; nguyên tắc đường lối giải Toán)

Từ khía cạnh rèn luyện năng lực tư duy trong năng lực Toán học, Nguyễn Thái Hoè đưa ra các yêu cầu rèn luyện tư duy qua giải bài tập Toán ([15]); Nguyễn Văn Thuận tìm hiểu các đặc trưng của tư duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ Toán học cho HS ở đầu cấp THPT ([34]) Nghiên cứu rèn luyện năng lực giải Toán, Lê Thống Nhất đã đi theo hướng tìm hiểu, phân loại các sai lầm và biện pháp sửa chữa cho HS THPT ([33]) Còn

Nguyễn Thị Hương Trang thì tiếp cận năng lực này từ quan điểm “phát hiện

và GQVĐ một cách sáng tạo” ([37])

Trên cơ sở nghiên cứu những lí luận và thực tiễn, có thể thấy:

- Năng lực Toán học là những đặc điểm tâm lí về hoạt động trí tuệ của

HS, giúp họ nắm vững và vận dụng tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc, những kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong môn Toán

- Năng lực Toán học được hình thành, phát triển, thể hiện thông qua (gắn liền với) các hoạt động của HS nhằm giải quyết những nhiệm vụ học tập trong môn Toán: xây dựng và vận dụng khái niệm, chứng minh và vận dụng định lí, giải bài toán

1.2.2 Năng lực phát hiện và GQVĐ trong Toán học

a) Vai trò của hoạt động phát hiện và GQVĐ trong học Toán

Mỗi nội dung kiến thức trong Toán học dạy cho HS đều liên hệ mật thiết với những hoạt động nhất định Đó là những hoạt động được tiến hành trong quá trình hình thành và vận dụng kiến thức đó Theo Nguyễn Bá Kim [20], việc phát hiện được những hoạt hoạt động tiềm tàng trong một nội dung

đã vạch được một con đường để người học chiếm lĩnh nội dung đó, đồng thời

Quá trình nhận thức theo hướng phát hiện và QGVĐ (cũng giống như quá trình giải quyết bài toán, nhiệm vụ) có thể chia thành các bước: Tìm hiểu vấn đề (dự đoán vấn đề liên quan, làm rõ và giới hạn vấn đề); thực hiện việc GQVĐ; tự kiểm tra các kết quả và quá trình Trong đó, ở bước đầu và cuối, hoạt động nhận thức của HS diễn ra thường được bắt đầu bởi tư duy trực giác, trong tình hình đòi hỏi cách tư duy phê phán, cách tiếp cận sáng tạo để đạt kết quả tìm tòi, xác minh vấn đề, mặt khác ở bước phát hiện và GQVĐ thì hoạt động nhận thức lại diễn ra trong tình hình mà ở đó vấn đề đòi hỏi cách tư duy lôgic, chặt chẽ Như vậy, hoạt động phát hiện và GQVĐ vừa cần tư duy lôgic lại vừa cần tư duy sáng tạo và càng không thể thiếu tư duy trực giác.

b) Nội dung của hoạt động phát hiện và GQVĐ trong dạy học Toán

Giải quyết các vấn đề được nhận định theo nghĩa thông thường là thiết lập những phương pháp thích ứng để giải quyết các khó khăn, trở ngại Với những vấn đề có độ khó cao hơn, các phương pháp giải quyết cần phải tiến bộ hơn khi giải pháp thông thường không thể đáp ứng với hoàn cảnh khó khăn

Từ cách hiểu vấn đề và GQVĐ ở trên, trong học toán, chúng tôi quan niệm hoạt động phát hiện và GQVĐ liên quan đến: Các hoạt động của HS nhằm nhận ra trong tình huống - bài toán những yếu tố toán học cùng các mối quan hệ giữa chúng; Tìm thấy hướng giải quyết bài toán - vấn đề là kiến thức

và kĩ năng đã có để tiến hành thực hiện các hoạt động toán học (tính toán, biến đổi, suy luận ) để đi đến lời giải bài toán, thực hiện được yêu cầu của vấn đề Như vậy, hoạt động phát hiện và GQVĐ trong dạy học toán bao gồm:

- Phát hiện, huy động kiến thức và phương pháp đã biết liên quan tới nội dung những vấn đề cụ thể trong học toán;

- Phát hiện hướng giải quyết và tiến hành giải quyết những vấn đề toán học một cách có kết quả;

- Vận dụng trong những tình huống học toán tương tự, đặc biệt và khái quát

Dưới góc nhìn để thấy rõ hơn các thành phần hoạt động học toán thì có thể xem hoạt động phát hiện và GQVĐ trong toán học gồm hai hoạt động chính:

- Phát hiện vấn đề trong toán học:

+ Phát hiện các vấn đề trong tình huống học toán (xây dựng khái niệm, quy tắc, công thức, xác định tính chất; chứng minh định lí; giải bài toán);

+ Phát hiện cấu trúc của bài toán, vấn đề: Điều gì đã có, được sử dụng; điều gì cần phải tìm, phải xác định;

15

+ Phát hiện đường lối của bài toán, vấn đề;

+ Phát hiện sai lầm nhược điểm trong lời giải;

- GQVĐ trong học toán:

+ Định nghĩa khái niệm; phát biểu định lí;

+ Tiến hành các phép tính toán, suy luận chứng minh;

+ Trình bày lời giải bài toán;

+ Sửa chữa sai lầm, chính xác hoá cách giải quyết

Đồng thời, có thể thấy rằng, ranh giới giữa hoạt động phát hiện và GQVĐ trong hoạt động nhận thức chỉ là tương đối: Trong phát hiện lại có GQVĐ, để GQVĐ lại cần phát hiện, cứ tiếp tục phát triển như vậy và nâng cao hơn nữa hoạt động nhận thức Song ở mỗi bước thì bao giờ cũng phát hiện trước rồi mới giải quyết sau và hoạt động toán học của HS là sự tổng hoà giữa hoạt động phát hiện và hoạt động giải quyết, chúng luôn đan xen và tác động tương hỗ lẫn nhau trong quá trình tìm tòi và xác minh kiến thức, hình thành kĩ năng và phương pháp toán học

c) Năng lực phát hiện và GQVĐ trong học Toán và mối quan hệ với các năng lực khác

Ở góc độ coi phát hiện và GQVĐ như một phương thức dạy học, đã có nhiều công trình nghiên cứu về vấn đề này (Nguyễn Hữu Châu [1], Nguyễn

Bá Kim - Vũ Dương Thụy [33] ) Tuy nhiên, GQVĐ không chỉ được xem như một cách tiếp cận dạy học mà còn được coi như một mục tiêu, một năng lực cần đạt đến trong dạy học: Trần Kiều [19], Vũ Văn Tảo và Trần Văn Hà [31], [32]

Ở bình diện vận dụng cụ thể trong dạy học toán, đã có một số tác giả xem xét phát hiện và GQVĐ từ các khía cạnh khác nhau: Nguyễn Lan Phương nghiên cứu về kĩ thuật thực hiện phát hiện và GQVĐ trong dạy học toán (thể hiện qua dạy học quan hệ vuông góc trong không gian ở hình học

16

lớp 11) [26], Nguyễn Thị Hương Trang tiếp cận phát hiện và GQVĐ theo góc

độ một xu hướng sáng tạo khi rèn luyện năng lực giải toán cho HS (thể hiện qua dạy học giải phương trình, bất phương trình ở THPT) [37]

Tập trung xem xét phát hiện và GQVĐ dưới góc độ một năng lực cần phát triển cho HS để làm căn cứ cho việc nghiên cứu bản chất và thành phần của năng lực phát hiện và GQVĐ của HS trong quá trình dạy học toán THPT, chúng tôi trình bày ở phần sau của luận văn

Từ những nghiên cứu về năng lực và hoạt động GQVĐ, vận dụng vào thực tiễn dạy học toán ở trường THPT, chúng tôi quan niệm: Năng lực phát hiện và GQVĐ của HS trong học toán là một hệ thống các thuộc tính của cá nhân con người thể hiện ở các khả năng (tư duy và hành động) trong hoạt động học tập nhằm phát hiện và giải quyết có hiệu quả các vấn đề, các nhiệm

- Theo các qui luật phát triển của Triết học, “mâu thuẫn là động lực của sự phát triển”, có thể thấy: mâu thuẫn giữa kiến thức, kĩ năng toán học đã có ở

HS với yêu cầu xây dựng và sử dụng kiến thức mới đã tạo ra nhu cầu, động lực để HS tiến hành hoạt động phát hiện và GQVĐ trong dạy học toán Do đó, nếu HS thường xuyên được tập luyện hoạt động phát hiện và GQVĐ (mặt số lượng hoạt động) sẽ tạo ra sự phát triển năng lực phát hiện và GQVĐ (mặt chất lượng hoạt động)

- Từ quan điểm trong hoạt động giáo dục, chúng tôi thấy rằng: Năng lực và kĩ năng thường gắn với một loại hoạt động cụ thể Năng lực chỉ được

17

hình thành, phát triển, thể hiện thông qua hoạt động đó Do đó, chỉ có thể đo được sự phát triển của năng lực thông qua việc xác định mức độ thành thạo của các thao tác, kĩ năng tiến hành những hoạt động thành phần

A V Pêtrôpxki đã chỉ rõ: “Trong quá trình tư duy giải quyết các vấn đề, tính chất của các thao tác hoạt động phụ thuộc và mục đích mà các thao tác nói trên hướng tới và vào nội dung của vấn đề cần giải quyết” [24] Để thuận lợi cho việc “thao tác hoá” năng lực trong hoạt động học tập, chúng ta

có thể tham khảo cách tiếp cận của Xavier Rogiers: Năng lực học tập được cụ thể hoá thành những “hoạt động của HS trên nội dung tri thức trong một loạt tình huống sư phạm có ý nghĩa với các em” [30]

Do đó, để kiểm tra đánh giá năng lực của HS trong học tập toán, chúng

ta có thể tạo ra cho HS một tình huống toán học cùng loại (không giống y như tình huống đã học mà chỉ tương tự về bản chất, còn khác nhau về hình thức)

- Từ góc độ Tâm lí học, để năng lực phát hiện và GQVĐ được phát triển thuận lợi, cần chú ý đảm bảo những điều kiện sau trong dạy học toán nói chung và Hình học nói riêng:

+ HS có động cơ, thái độ học tập tốt: GV gây hứng thú và kích thích

HS tích cực tham gia hoạt động tìm tòi sáng tạo trong học toán

+ HS được chuẩn bị tốt về kiến thức và kĩ năng Đặc biệt là cần cho HS nắm những phương thức cơ bản để phát hiện và giải quyết những vấn đề trong

học toán một cách sáng tạo X L Rubinstein cho rằng: Năng lực có quan hệ qua lại với kiên thức, kĩ năng và kĩ xảo Năng lực là điều kiện để nắm chắc các kiến thức, kĩ năng và kĩ xảo; mặt khác chính trong quá trình nắm vững chúng thì năng lực cũng được hình thành Con người muốn hình thành năng lực phải dựa trên một hệ thống kiến thức nhất định làm cơ sở cho khái quát, lĩnh hội và hình thành các kĩ năng (đồng thời cũng hình thành những năng lực nhất định) [25]

18

+ GV tổ chức cho HS được tham gia nhiều vào hoạt động phát hiện tình huống và xây dựng các nội dung học tập, giải quyết các vấn đề thực tiễn Tạo điều kiện cho HS thể hiện khả năng hoạt động tích cực và độc lập trong việc phát hiện và giải quyết các niệm vụ trong quá trình học toán

- Từ đặc điểm về tâm lí lứa tuổi: HS THPT ở lứa tuổi 16 - 18 đang ở giai đoạn phát triển cả về thể chất và tâm hồn, có khả năng tự điều chỉnh trong hoạt động học tập; tri giác có chủ định chiếm ưu thế, năng lực ghi nhớ tăng lên rõ rệt, sự tập trung chú ý cao hơn và có khả năng di chuyển: Hoạt động học tập dần dần hướng vào thỏa mãn nhu cầu nhận thức Mặt khác, do tiếp xúc với nhiều môn học, nhiều GV, nhiều PPDH nên đòi hỏi HS phải có những biến chuyển lớn về năng lực quan sát, ghi nhớ, tư duy lôgic, tính độc lập, kiên trì ([27]) Những đặc điểm này tạo điều kiện thuận lợi cho việc hình thành và phát triển năng lực phát hiện và GQVĐ ở HS

Nhiều công trình nghiên cứu đã chỉ ra rằng: Giảng dạy Toán học ở phổ thông không nên xa rời với thực tiễn “Loại bỏ ứng dụng ra khỏi toán học cũng có nghĩa là đi tìm một thực thể sống chỉ còn bộ xương, không có tí thịt, dây thần kinh hoặc mạch máu nào” [23] Tác giả Ngô Hữu Dũng đã cho rằng: ứng dụng toán học vào thực tế là một trong những năng lực toán học cơ bản, cần phải rèn luyện cho HS [7]

Nói về những yêu cầu đối với toán học nhà trường phổ thông nhằm phát triển văn hóa toán học, tác giả Trần Kiều cho rằng: “Học toán trong nhà trường phổ thông không phải chỉ tiếp nhận hàng loạt các công thức, định lí, phương pháp thuần túy mang tính lí thuyết… cái đầu tiên và cái cuối cùng của quá trình học Toán phải đạt tới là hiểu được nguồn gốc thực tiễn của Toán học và nâng cao khả năng ứng dụng, hình thành thói quen vận dụng toán học vào cuộc sống” [19]

V.V Firsôv khẳng định: “Việc giảng dạy Toán ở trường phổ thông không thể không chú ý đến sự cần thiết phải phản ánh khía cạnh ứng dụng

Bước 2: Giải bài toán trong khuôn khổ của lí thuyết toán học;

Bước 3: Chuyển kết quả lời giải toán học về ngôn ngữ của lĩnh vực thực tế [14]

Trong ba bước trên, bước 1 thường là bước quan trọng nhất Để tiến

hành bước này, điều quan trọng là tập luyện cho HS biết xác định những đại lượng trong mối liên quan về đại lượng với nhau, phát hiện ra những mối liên quan về lượng của chúng để trên cơ sở đó có thể biểu thị được đại lượng này thông qua đại lượng khác và cũng trên cơ sở đó mà lập phương trình, hệ phương trình Mặt khác, cũng cần tập luyện cho HS biểu thị những tình huống thực tế bằng những biểu thức có chứa những biến đại diện cho những đại lượng chưa biết

1.4 Các năng lực thành tố của năng lực phát hiện và GQVĐ của HS trong dạy học Toán ở THPT

Trên cơ sở phân tích các kết quả của nhà khoa học, chúng tôi thấy rằng, mỗi năng lực đều có cấu trúc riêng gồm nhiều thuộc tính, trong đó các thuộc tính không chỉ tồn tại bên cạnh nhau một cách đơn giản, mà chúng liên hệ với nhau một cách hữu cơ, chúng tác động lẫn nhau trong một hệ thống nhất định Đặc biệt, điều có ý nghĩa quyết định đối với mỗi năng lực không phải bản thân từng thuộc tính riêng lẻ mà sự kết hợp chúng theo một cấu trúc nhất định

và chúng tôi đưa ra, phân tích một số năng lực thành tố (NLTT) của năng lực phát hiện và GQVĐ của HS trong học Toán như sau:

J Bruner [33] đã viết rằng: “Cũng có thể là, ví dụ kì lạ nhất về phương diện này là sự trình bày khởi đầu và hình học Ơclit cho HS cấp 2 dưới dạng tiên đề và định lí không dựa vào một thực nghiệm, xem xét một hình thái hình học đơn giản nào Nếu như đứa trẻ đã nắm được khái niệm và phương pháp tính toán dễ hiểu dưới dạng hình học trực giác thì nó cũng có thể nắm được ý nghĩa sâu sắc của các định lí và các tiên đề xuất hiện sau này”

Ba nhà khoa học Albert Einstien, Charles Darwin và Sigmund Freud,

họ đã dùng hình ảnh trực quan như là một công cụ để làm ra những công trình lớn trong suốt cả cuộc đời Những ghi chép của Darwin phản ánh niềm đam

mê không biết mệt mỏi của ông với những hình ảnh cây cối Biểu tượng này

có vẻ rất quan trọng trong việc giúp ông hình tượng hóa thuyết tiến hóa, Ông

viết: “Sự hiện diện có tổ chức của các sinh vật được sắp xếp giống như một cái cây, chia cành nhánh bất thường, giống như cây khô, đâm chồi rồi chết đi trong khi chồi non sinh ra” Tương tự vậy, ở độ tuổi 16, Albert Einstien đã

nhận được một trong những cảm hứng chủ yếu cho thuyết tương đối của ông, khi ông tưởng tượng ra một thứ có vẻ như là đường đi của những tia sáng Còn Sigmund Freud đã chứng minh những học thuyết của bản thân ông một

21

phần là nhờ vào hình ảnh của một hòn đảo nhô lên từ mặt biển - như một phép

ẩn dụ của mối quan hệ giữa cái tôi và cái tiềm thức [33]

Mô tả cho NLTT này trong dạy học Toán, chúng ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 1.1 Để HS hiểu định nghĩa và tính chất giá trị lượng giác của một

HS dễ dàng trả lời câu hỏi này bằng việc xét

các tỉ số lượng giác của góc nhọn  trong

tam giác vuông MOx0

Hình 1.2

- Từ đó, GV mở rộng khái niệm tỉ số lượng

giác đối với góc nhọn cho những góc  bất

kỳ với 00  1800

Hình 1.3

- Hãy cho biết quan hệ giữa các giá trị

lượng giác của góc  và 1800  ?

Gọi M’ đối xứng với M qua trục Oy , khi đó

dễ dàng nhận thấy trên hình:

22

0 0 0 0

Thực hiện giảng dạy ví dụ trên với sự hỗ trợ của Geometer’s Scatchpad như sau:

HĐ 1 Giải bài toán theo cách giải thông thườn g: Gọi đường thẳng cần tìm có phương trình là ( ) :d yaxb

(d) tiếp xúc với (Pm) thì phương trình sau phải có nghiệm kép m:

Từ điều kiện   0 m, ta tìm được: ( ) :d y  x 1

HĐ 2 GV dùng phần mềm vẽ đồ thị hàm số và cho m thay đổi , HS dễ dàng nhận ra khi m thay đổi , (d) luôn tiếp xúc với 1 đường thẳng đi qua hai điểm (1; 0) và (0; -1) và đó chính là đường thẳng y  x 1

HĐ 3 Sử dùng phần mềm Geometer’s Scatchpad để mở rộng kết quả bài toán Nếu ta thay đổi giả thiết của bài toán (cho hệ số a thay đổi ):

23

HS: Khi thay đổi thì họ đồ thị (Pm) luôn tiếp xúc với một parabol nào

đó

GV: Tương tự phần trên, hãy tìm parabol đó?

HS: Gọi parabol cần tìm là 2

m a

Hình 1.5

Hình 1.7

Vì vậy một trong những kĩ năng cần thiết để HS phát hiện và GQVĐ

nói chung và trong Toán học nói riêng chính là khả năng nhận ra đƣợc những

biểu tƣợng trực quan của vấn đề

1.4.2 NLTT 2: Phát hiện mâu thuẫn trong tình huống, thấy đƣợc nhu

cầu cần GQVĐ trong tình huống, từ đó huy động, tái hiện những kiến

thức, kĩ năng đã học có liên quan để khai thác tình huống, tiếp cận, nhận

biết tình huống có vấn đề

Theo Hoàng Chúng [4], Phạm Gia Đức và Phạm Văn Hoàn [11], hoạt

động nhận thức một vấn đề Toán học nói chung bao gồm hai giai đoạn chính:

hình thành, xây dựng và củng cố, vận dụng Mặt tâm lí của năng lực phát hiện

và GQVĐ trong hoạt động này là hứng thú tìm tòi, lòng ham hiểu biết nên

nếu sự hứng thú không đƣợc hình thành thì bản thân sự lĩnh hội kiến thức sẽ

diễn ra thấp hơn nhiều so với tiềm năng sẵn có của HS

Mâu thuẫn giữa nhiệm vụ nhận thức vấn đề bởi sự phát triển trí tuệ của

HS đã là hạt nhân của tình huống có vấn đề và là động lực của hoạt động tìm

tòi trong học tập [33]

25

Động cơ đúng đắn và phù hợp phải gắn liền với nội dung toán học, động cơ này lại được cụ thể hoá thành từng nhiệm vụ học tập - là từng đơn vị (tế bào) của hoạt động phát hiện và GQVĐ Để giải quyết nhiệm vụ đó, nhất thiết HS phải tiến hành một loạt các hành động như huy động và tổ chức kiến thức có liên quan đến tình huống chứa vấn đề; tách biệt và kết hợp các kiến thức; dự đoán và kiểm tra điều dự đoán… với các thao tác tương ứng như: nhận biết, nhớ lại (ở đây đóng vai trò năng lực huy động, tái hiện kiến thức),

bổ sung, phân nhóm

Như vậy, HS cần phải hoà nhập vào tình huống có vấn đề, tức là nhận thấy có sự mâu thuẫn giữa tình huống mới với vốn tri thức kĩ năng của bản thân Từ đó, nảy sinh nhu cầu tìm hiểu xem có điều gì mới chứa đựng bên trong tình huống Đồng thời từ việc nắm vững các dữ kiện qui gọn, tránh được tình trạng lan man không định hướng

Để hình thành, xây dựng nhu cầu phát hiện và GQVĐ từ tình huống đã

có, HS cần huy động các kiến thức, kĩ năng có liên quan đến các dữ kiện trong tình huống đó Trên cơ sở xác định mối liên hệ giữa các kiến thức, kĩ năng đã có với vấn đề đang cần giải quyết, từ đó HS sẽ hình thành, xây dựng được nhu cầu phát hiện và GQVĐ trong tình huống nêu ra

Ví dụ 1.3 Khi học về tích vô hướng của hai vectơ a

, b trong mặt phẳng thì HS được biết đến hai công thức khác nhau:

Công thức thứ nhất: a b   a b c  os( , )a b 

Công thức thứ hai: Nếu a( ; ),x y b( '; ')x y thì a b   xx' yy'

Liệu có sự liên hệ nào giữa hai kết quả này hay không, nếu có thì chúng liên hệ với nhau như thế nào?

Từ đó, HS tìm hiểu sự thống nhất: Trong mặt phẳng tọa độ Decard vuông góc (O; i

,j

), cho hai vectơ a ( ; ),x y b( '; ')x y ta có:

1.4.3 NLTT 3: Năng lực phát hiện những thuộc tính chung, bản chất tạo

nên nội hàm của vấn đề thông qua các hoạt động trí tuệ như so sánh, tương tự, khái quát hoá đặc biệt hoá, trừu tượng hoá, cụ thể hoá

Để phát hiện và GQVĐ, không chỉ dừng lại ở mức độ nhận biết những thuộc tính bên ngoài của nó, bởi nó chỉ là giai đoạn nhận thức cảm tính, cần phải chuyển qua một giai đoạn nhận thức lí tính, tức là cần phải tìm hiểu bản chất của vấn đề

Từ những ví dụ cụ thể riêng lẻ, GV cần hướng dẫn HS sử dụng các thao tác tư duy thông dụng trong toán học để thiết lập và biểu diễn mối liên hệ giữa các tình huống đã cho và những kết quả mới Từ đó, khái quát hoá rút ra những điểm chung, cốt lõi của vấn đề

Đồng thời với việc rút ra những cái chung từ những cái riêng, cần phải cho HS thấy, bên cạnh cái chung cho những lớp đối tượng cùng loại, đối với những đối tượng cụ thể, còn có thể có những hướng giải quyết khác biệt nữa,

mà nếu thay đổi đi một dữ kiện nào đó thì hướng giải khác biệt đó không thực hiện được

27

Trong quá trình học tập môn Toán ở trường phổ thông, HS có rất nhiều

cơ hội để thể hiện năng lực xem xét các sự vật, hiện tượng một cách đầy đủ, trong tất cả các mặt, các mối quan hệ (bên trong và bên ngoài, trực tiếp và gián tiếp) trong tổng thể những mối quan hệ phong phú, phức tạp và muôn vẻ của nó với các sự vật khác, đồng thời cũng tránh được những sai lầm của cách xem xét chủ quan, phiến diện Qua đó, thể hiện suy nghĩ một cách sáng tạo trong học Toán, tìm được nhiều hướng hay để giải quyết một vấn đề, tìm được cách chứng minh tối ưu cho một định lí hay mệnh đề Toán học, hay phát triển kết quả lên một nấc thang mới, điều mà xã hội luôn mong muốn

Ví dụ 1.4 Ở lớp 10, phần Vectơ, HS đã được học bài toán về tính chất

của trọng tâm của tam giác ABC, vấn đề ở chỗ nếu từ bài toán này, nếu từ những cái riêng, nếu nhìn theo những góc độ khác nhau sẽ dẫn đến các kết quả đẹp khác, mà ở đó tạo điều kiện cho sự phát triển trí tuệ và năng lực phát hiện và GQVĐ của HS Đồng thời tạo nên những cộng hưởng tích cực cho

HS, tạo thói quen cho họ trong học tập cũng như trong cuộc sống, không thoả mãn khi nhiệm vụ trước mắt được hoàn thành; mà vẫn thường trực những câu

hỏi để mở rộng vấn đề, bài toán Định lí về trọng tâm tam giác: “G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi GA GB GC 0    ”

Dưới đây là quá trình chứng minh và mở rộng bài toán của HS có sự định hướng, gợi mở hợp lí của GV (đã được tỉnh lược)

Trước khi HS học về định lí này thì các em đã biết về một tính chất của trung điểm là: "M là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi

MA MB 0 

  

"

Để đưa ra định lí về trọng tâm G của tam giác ABC ở trên thì ta có thể đi

từ cái đã biết bằng cách xem đoạn thẳng là một tam giác đặc biệt có ba đỉnh thẳng hàng chẳng hạn với C là trung điểm của AB khi đó điểm M sẽ là trọng

Dựng hình bình hành GBDC ta có

M là trung điểm của GD Suy ra G là trung

điểm của AD và ta có GA GD (1) Vậy

G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ

khi GA GD (1), mà theo quy tắc hình

Theo tư duy biện chứng thì cái chung tồn tại trong cái riêng, thông qua cái riêng để biểu thị sự tồn tại của mình, nên có thể tìm cái chung trong cái riêng Vì vậy, nếu xem định lí trên chỉ là một trường hợp riêng của một trường hợp tổng quát, có thể tìm xem cái chung, tổng quát hơn được không? (đây có thể là những bình luận của GV khi nói với HS, nhưng một điều chắc chắn rằng trình độ của người thầy cần phải đạt được như vậy)

Hướng phát triển thứ nhất: Nếu xem trọng tâm G là một điểm đặc biệt

nằm trong tam giác thỏa mãn: SGBC SGAC SGAB 1SABC

Ta để ý rằng tổng các hệ số của biểu thức vế trái của (4) bằng SABC Từ

đó ta xem xét một kết quả tổng quát hơn như sau: "O là điểm bất kì nằm trong tam giác ABC Đặt S 1 = S OBC , S 2 = S OCA , S 3 = S OAB Ta có

S OA S OB S OC 0  "

Như vậy, từ trường hợp riêng ta đã mở rộng định lí ra cho trường hợp

O là điểm bất kì nằm trong tam giác và ta đã có tính chất tổng quát hơn?

Nếu ta xem SOBC, SOCA, SOAB chỉ là một trường hợp riêng của một bộ

hệ số có tính chất chung đó là tổng của các hệ số đó bằng SABC? Và điểm O

S OA S OB S OC 0  ", với S 1 = S OBC , S 2 = S OCA , S 3 = S OAB

Để cũng cố các định lí vừa được chứng minh, chúng ta cho HS thực hiện các hoạt động nhận dạng và thể hiện định lí bằng cách xem xét các trường hợp riêng đặc biệt của định lí; chẳng hạn:

Ta sẽ có kết quả như thế nào nếu ta xem điểm O là trực tâm tam giác? Tâm đường tròn nội tiếp tam giác? Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác? Tâm đường tròn bàng tiếp góc C?

HS có thể tự tìm ra kết quả là:

+ Nếu O là trực tâm tam giác ABC thì ta có

tanA.OA tanB.OB tanC.OC 0   + Nếu O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC thì ta có

aOA bOB cOC 0   + Nếu O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác thì ta có

sin2A.OA sin2B.OB sin2C.OC 0   + Nếu O là tâm đường tròn bàng tiếp góc C thì ta có

aOA bOB cOC 0  

Hướng suy nghĩ thứ hai là: Nhìn theo phương diện khác:

G là trọng tâm ABC  GA GB   GC

Tương tự, ta có: GC GB GA, GA GC   GB

31

Các vectơ GA GB GC  , ,

đôi một khác phương và tổng hai vectơ bất kỳ trong ba vectơ trên cộng tuyến với vectơ còn lại Do đó GA GB GC    0

Khi đó, chúng ta có bài toán tổng quát sau: “Cho n vectơ đôi một khác

phương và tổng của n - 1 vectơ bất kỳ trong n vectơ trên cộng tuyến với vectơ còn lại Chứng minh: Tổng n vectơ cho ở trên bằng vectơ - không”

Phần này, chúng tôi sẽ tiếp tục trình bày ở mục 2.2.2 của luận văn

1.4.4 NLTT 4: Năng lực hình thành và diễn đạt các các sự kiện, vấn đề toán học theo các hướng khác nhau, thông qua hoạt động sử dụng ngôn ngữ kí hiệu và các qui tắc toán học, đặc biệt là biết cách hướng tới cách diễn đạt có lợi cho vấn đề đang cần giải quyết, hoặc cách diễn đạt mà nhờ

đó sẽ cho phép nhận thức vấn đề một cách chính xác hơn, nhằm tránh những sai lầm, thiếu sót trong suy luận và tính toán

Khả năng sử dụng ngôn ngữ, kí hiệu toán học chính xác được Nguyễn Văn Thuận cho là một năng lực cần thiết đối với HS trong luận án Tiến sĩ năm 2004 Để mô tả về năng lực này, có thể xem xét ví dụ sau:

Ví dụ 1.5 Tìm hai số thực a, b sao cho biểu thức 2

y x





 có giá trị

nhỏ nhất (GTNN) là -1 và giá trị lớn nhất (GTLN) là 2?

Một phương pháp “mạnh” để giải bài toán này là dùng đạo hàm Tuy nhiên, việc áp dụng phương pháp đó vào bài này không dễ, bởi vì còn phải biện luận về phương trình y’ = 0 (đây là phương trình có hai tham số), hơn nữa còn bị hạn chế là chỉ có HS lớp 11 mới có thể nghĩ tới Nhưng nếu biết

cách diễn đạt bài toán đã cho dưới dạng

Ví dụ 1.6 Khái niệm “I là trung điểm của đoạn thẳng AB” có thể được

diễn tả bằng ngôn ngữ vectơ "I là điểm thỏa mãn IA  IB0 ” ; Hai đường thẳng AB và CD vuông góc với nhau thì có thể nói  AB CD 0…

GV cần làm cho HS biết cách phân tích một vectơ thành tổng của 2 hay nhiều vectơ tùy thuộc vào mục đích của việc phân tích đó

Ví dụ 1.7 AO OB   AB với O là một điểm tùy ý

với I, H, K là các điểm tùy ý

Để HS biết vận dụng tính chất giao hoán và tính chất kết hợp của phép cộng vectơ trong khi tính toán hoặc biến đổi một hệ thức về vectơ về dạng cần chứng minh, trước hết GV cần cho HS làm quen với việc biến đổi một vectơ thành hiệu của hai vectơ và sau đó thực hiện phép biến đổi ngược lại

Ví dụ 1.8 Chứng minh rằng với 4 điểm A, B, C, D bất kỳ ta luôn có hệ thức:    AB CD  AD CB

Lấy một điểm O tùy ý rồi biến đổi đưa về các vectơ có điểm đầu là O Ta có:  ABCD(OB OA)(OD OC  )(OD OA  )(OB OC) ADCB

Cách khác: Ta có thể biến đổi như sau: Đối với 4 điểm A, B, C, D ta luôn

có hệ thức    ABBCCDDA0 do đó AB CD     AD CB

Ở các ví dụ trên, chúng tôi đã dùng các thuật ngữ, kí hiệu của lôgic toán

để diễn đạt bài toán được xúc tích hơn Cần nói thêm rằng, vấn đề sử dụng thuật ngữ, kí hiệu của lôgic toán để diễn đạt nội dung toán học nói chung và mệnh đề toán học nói riêng của HS hiện nay không đạt kết quả mong muốn.Phần này chúng tôi sẽ trình bày đầy đủ hơn ở 2.2.6 của luận văn

33

1.4.5 NLTT 5: Năng lực toán học hoá các tình huống thực tế, vận dụng

tư duy toán học trong cuộc sống

Kĩ năng toán học hóa các tình huống thực tiễn được cho trong bài toán hoặc nảy sinh từ đời sống thực tế nhằm tạo điều kiện cho HS biết vận dụng những kiến thức Toán học trong nhà trường vào cuộc sống, góp phần gây hứng thú học tập, giúp HS nắm được thực chất vấn đề và tránh hiểu các

sự kiện toán học một cách hình thức

HS nếu có năng lực toán học hóa các tình huống thực tiễn thì thường chú ý tới các bài toán có nội dung thực tế của khoa học, kỹ thuật, của các môn học khác và nhất là thực tế đời sống hàng ngày quen thuộc với họ Đồng thời, nhiều khi còn phát biểu một số bài toán không phải thuần túy dưới dạng toán học mà dưới dạng một vấn đề thực tế cần phải giải quyết

Ví dụ 1.9 Bài toán: "Cho đường thẳng d và hai điểm A, B cùng nằm trên

một mặt phẳng có bờ là d Hãy tìm trên đường thẳng d một điểm M sao cho tổng khoảng cách MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất", có thể được hiểu dưới dạng "Hàng ngày bạn Bình phải đi từ nhà đến bờ sông xách nước để tưới cây cho ruộng rau ở cùng một phía với bờ sông Hỏi bạn Bình phải chọn vị trí nơi lấy nước tại bờ sông ở chỗ nào để quãng đường đi từ nhà đến ruộng rau là ngắn nhất?"

Các bài toán qui hoạch tuyến tính, trong Đại số 10, các bài toán hình học trong Hình học 11 cần tận dụng những khả năng có thể để rèn luyện cho HS năng lực toán học hóa thực tiễn Một cơ hội rất tốt đó là khi dạy các bài toán về bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (TBC-TBN) Trong SGK Đại số 10, sau khi đã phát biểu bất đẳng thức TBC-TBN cho hai số không âm, đã nhấn mạnh đến ý nghĩa hình học có liên quan đến chu vi và diện tích của hình vuông và hình chữ nhật Mặt khác, SGK Đại số 10 cũng phát biểu bất đẳng thức cho 3 số không âm Tận dụng cơ hội này, có thể ra cho HS bài toán:

34

Ví dụ 1.10 Ta có một miếng tôn phẳng hình vuông với kích thước

a(cm), ta muốn cắt đi ở 4 góc 4 hình vuông để uốn thành một hình hộp chữ nhật không có nắp Phải cắt như thế nào để hình hộp có thể tích lớn nhất?

Như vậy, việc lồng ghép, thay thế bài toán có nội dung thực tiễn vào chủ đề Bất đẳng thức góp phần giúp HS lĩnh hội kiến thức cũng như ứng dụng kiến thức Toán học để giải các bài toán có nội dung thực tiễn

Trong hoàn cảnh chưa học đạo hàm, HS vẫn có thể suy nghĩ, liên hệ, về

việc tìm GTLN của biểu thức a2x a 2x x trên khoảng 0;

1.4.6 NLTT 6: Năng lực phát hiện và sửa chữa sai lầm trong lời giải

Giải toán có thể xem là hình thức chủ yếu của hoạt đông toán học của

HS Các bài toán là phương tiện hiệu quả trong việc làm cho họ nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo Việc GV tổ chức dạy học

a - 2x

Hình 1.9

để góp phần tăng tính hiệu quả của giờ học

Tư duy sai lầm trong hoạt động nhận thức, trong cuộc sống nói chung, trong giải toán nói riêng đem đến những tác hại lớn Vì vậy, trong dạy học, việc phát hiện sớm những sai lầm của HS trong tư duy nói chung, tư duy giải toán nói riêng để giúp các HS kịp thời sửa chữa có một ý nghĩa rất quan trọng

HS nếu có được khả năng này thì việc học tập môn toán trở nên hiệu quả hơn

Mô tả cho khả năng này, chúng tôi minh hoạ bằng một số ví dụ sau:

Ví dụ 1.11 “Giải bất phương trình 2x2 6x 4 2x2 (1)” HS giải

nghiệm của bất phương trình (1) là những giá trị của x thỏa mãn (*)”

Hãy bình luận về hai lời giải trên, chỉ ra chỗ chưa đúng trong mỗi cách giải? Trình bày lại bài giải hoàn chỉnh

HS có khả năng giải toán sẽ thấy rằng, ở lời giải 1, HS đó đã không nắm

rõ về bất phương trình tương đương, các phép biến đổi tương đương và việc

HS đó làm được như vậy gần như là bản năng tự nhiên Do đó lời giải 1 sai