Một số biện pháp sƣ phạm nhằm góp phần phát triển năng lực phát

hiện và GQVĐ cho HS trong học Toán

2.2.1. Biện pháp 1: Ứng dụng công nghệ thông tin một cách hợp lý nhằm giúp HS phát hiện và GQVĐ

Ứng dụng CNTT vào dạy học đã đƣợc các nhà nghiên cứu giáo dục và các GV phổ thông triển khai và đã thu đƣợc một số kết quả đáng kể. Tuy nhiên, tùy theo điều kiện dạy học, nội dung từng bài học, đối tƣợng nghiên cứu cụ thể mà chúng ta có cách thức ứng dụng CNTT với các mức độ và hình thức khác nhau sao cho việc dạy - học đáp ứng đƣợc yêu cầu khoa học và hiệu quả mong đợi. Ở đây, chúng ta sử dụng thuật ngữ CNTT với nghĩa rộng, bao gồm thiết bị kĩ thuật, chƣơng trình phần mềm...

49

Trƣớc đây, ở trƣờng phổ thông ngƣời thầy giảng giải rất nhiều, chủ yếu là dạy học đọc - chép, truyền thụ một chiều; ngƣời học thụ động, chủ yếu là học thuộc lòng hoặc tuân thủ theo lệnh của thầy là chính. Với sự hỗ trợ của CNTT trong dạy học, ngƣời thầy chỉ làm nhiệm vụ hƣớng dẫn, ngƣời học tự đi tìm và lĩnh hội tri thức. Lối dạy học mà giảng giải nhiều, trong khi quĩ thời gian có hạn cần phải giải quyết tốt để đảm bảo quá trình dạy học tích cực. Nếu xem quãng đƣờng từ điểm khởi phát tới đầu ra của quá trình học tập nhƣ là tích của vận tốc học và thời gian thì tất yếu ngƣời dạy và ngƣời học phải sử dụng một số phƣơng tiện khác để hỗ trợ, nhằm tăng vận tốc học, mà một trong số đó là ứng dụng CNTT để hỗ trợ vào quá trình dạy và học. Thông qua ứng dụng CNTT chúng ta có thể tăng tốc độ học rút ngắn thời gian dạy, có nhiều thời gian hơn cho việc làm rõ cơ sở toán, ý nghĩa thực tiễn, rèn luyện kĩ năng... Nhờ đó mà có thể đảm bảo đƣợc mục tiêu dạy học môn Toán ở trƣờng phổ thông.

Theo lí luận về giáo dục, quá trình dạy học gồm 3 yếu tố cơ bản, đó là:

tài liệu dạy học, hoạt động dạy học, đánh giá kết quả dạy học. Nhƣ vậy, việc ứng dụng CNTT vào quá trình dạy học chủ yếu là ứng dụng vào trong 3 yếu tố nói trên, tức là ứng dụng vào khâu biên soạn tài liệu, khâu tổ chức tiến trình bài học (trình bày bài giảng và tiếp nhận bài giảng), đánh giá kết quả dạy học (thi và kiểm tra). Do đó, đòi hỏi GV cần có các khả năng nhƣ:

- Am hiểu về CNTT: Nhập dữ liệu; lƣu trữ và cài đặt các phần mềm tiện ích, các phần mềm Toán, các phần mềm ứng dụng cho giảng Toán THPT có sẵn...

- Ứng dụng CNTT vào thiết kế, biên soạn và thực hiện tiến trình bài học góp phần đổi mới PPDH.

Ta sẽ xem xét quá trình dạy học một số bài toán có sƣ̣ hỗ trợ của CNTT. [14]

50

Ví dụ 2.1. Cho đƣờng tròn có tâm F 1, bán kính r . Điểm F2 nằm trong đƣờng tròn. Một đƣờng tròn tâm C đi qua điểm F2 tiếp xúc với đƣờng tròn F1

tại M. Tìm quỹ tích tâm C?

Để giải quyết bài toán trên , GV có thể thiết kế các hoạt động sau có sự hỗ trợ của phần mềm Geometer’s Scatchpad:

HĐ 1. Tìm hiểu bài toán:

GV: Xác định các yếu tố cố định , yếu tố di động trong bài toán?

HS: Yếu tố cố định : điểm F1, F2, bán kính r. Yếu tố di động: vị trí điểm C

HĐ 2. Xây dựng chƣơng trình giải:

GV: Tìm m ối liên hệ giữa điểm C với F1, F2, bán kính r ? Từ đó dự đoán quỹ tích điểm C.

HS: CF1 + CF2 = CF1 + CM = r > F1F2

Suy ra, quỹ tích tâm C là đƣờng Elip có tiêu điểm là F1, F2.

HĐ 3. Sau khi tìm đƣợc quỹ tích, ta có thể minh họa cho HS thấy đƣợc quỹ tích bằng chức năng “tạo vết” trong phần mềm.

Hình 2.2

HĐ 4. Nhờ lợi thế của CNTT , ta có thể mở rộng và thay đổi bài toán theo các hƣớng sau:

Hình 2.1 C F1 F2 M C F1 F2 M C F1 F2 M C F1 F2 M

51

- Theo phƣơng pháp truyền thống , ta thay đổi giả thiết : Tìm quỹ tích tâm C trong trường hợp điểm F2 nằm ngoài đường tròn?

GV có thể minh họa bằng việc “kéo” điểm F2 ra phía ngoài đƣờng tròn và dùng chức năng “Hoạt náo cho điểm” để thay đổi vị trí điểm M và “tạo vết” cho điểm C. Kết quả, quỹ tích điểm C là một Hyphebol

Hình 2.3

- Theo hƣớng tiếp cận kết quả đầu ra : Khi nào quỹ tích tâm C là đường tròn? là Hyphebol?

GV minh họa bằng phần mềm : Dùng phép dựng hình quỹ tích bằng cách lần l ƣợt nhấp chọn 2 điểm M và C (thƣ́ tƣ̣ lƣ̣a chọn rất quan trọng ), ta đƣợc quỹ tích điểm C là một Elip

+ Khi cho F2 gần sát F1, HS quan sát và dễ dàng nhận ra rằng , Khi F1 càng gần F2 thì Elip càng gần với đƣờng tròn.

+ Khi F1 trùng với F2 thì Elip là đƣờng tròn tâm F1, bán kính bằng r / 2

Hình 2.4

Và khi cho F2 di chuyển ra ngoài đƣờng tròn , ta có kết quả C nằm trên

C J F2 F1 M M di chuyển C J F2 F1 M C F1 F2 M C F1 F2 M C F1 F2 M

52 một Hyphebol:

Hình 2.5

Ví dụ 2.2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm M(x; y) di động có toạ độ luôn thoả mãn 5.

4. ost sint x c y    

 , trong đó t là tham số. Hãy cho biết điểm M

di động trên đƣờng nào?

GV có thể tổ chức cho HS tham gia các hoạt động với phần mềm Cabri Geometry nhƣ sau.

- Hoạt động 1. GV sử dụng phần mềm Cabri Geometry, cho hiện hệ trục toạ độ và dựng điểm M(5cost; 4sint) lên hệ trục toạ độ (Hình 2.6).

+ Chọn Point on Object: Lấy điểm X (t; 0) bất kỳ trên trục Ox. + Chọn Equation and Coordinates: Chỉ vào điểm X để hiện toạ độ của điểm X ra màn hình.

+ Chọn Calculate: Nhập biểu thức tính giá trị 5*cost và 4*sint, trong đó t là hoành độ điểm X.

+ Chọn Measurement Transfer: Lần lƣợt bấm chọn giá trị vừa tính đƣợc sau đó chỉ

vào trục Ox và Oy. Ta xác định đƣợc điểm A thuộc Ox và điểm B thuộc Oy.

C F1 F2 M C F1 F2 M 1 1 (2.03, 0.00) Result: -2.20 Result: 3.59 M Hình 2.6

53

+ Chọn Perpendicular Line: Lần lƣợt dựng các đƣờng vuông góc với trục Ox tại điểm A, vuông góc với Oy

tại điểm B.

+ Chọn Intersection Points: Xác giao điểm M của hai đƣờng thẳng vuông góc vừa dựng. M sẽ là điểm có toạ độ (5cost; 4sint).

- Hoạt động 2. Dự đoán quỹ tích của điểm M. GV sử dụng chức năng của phần

mềm để lại dấu vết cho điểm M và cho điểm X thay đổi để HS quan sát: + Chọn Trace On/Off: Gán thuộc tính để lại vết cho điểm M.

+ Cho điểm X thay đổi khi đó vết để lại của điểm M sẽ cho ta hình ảnh của điểm M.

Khi đó, HS sẽ thấy đƣợc hình ảnh của quỹ tích là Elip (Hình 2.7). - Hoạt động 3. Chứng minh bài

toán. Dựa vào hoạt động 2 và sử dụng suy luận lôgíc, HS dễ dạng chứng minh đƣợc

2 2

1 25 16

x  y  (*) hay M di động trên elíp (E) có phƣơng trình (*).

- Hoạt động 4. Minh hoa kết quả bài toán. GV sử dụng chức năng của phần mềm để xác định quỹ tích của

điểm M cũng nhƣ phƣơng trình của đƣờng quỹ tích để HS quan sát: + Chọn Locus: Vẽ quỹ tích của điểm M khi điểm X thay đổi.

+ Chọn Equation and Coordinates: Xác định phƣơng trình của đƣờng quỹ tích. 1 1 (1.47, 0.00) Result: 0.48 Result: 3.98 16 x2 + 25 y2 - 400 = 0 Hình 2.8 Hình 2.7

54

Khi đó, HS sẽ thấy đƣợc hình ảnh của quỹ tích của điểm M là Elíp (Hình 2.8) và phƣơng trình của Elíp chính là phƣơng trình (*).

Ví dụ 2.3. Sử dụng phần mềm dạy học để minh hoạ ý nghĩa hình học định lý Cosin.

Để HS phát hiện hoặc để minh hoạ ý nghĩa hình học của định lý Pitago, ta có thể vẽ tam giác vuông ABC (vuông tại C) và sau đó lần lƣợt dựng 3 hình vuông với cạnh là các cạnh của tam giác ABC (Hình 2.9).

Dùng chuột cho điểm C di chuyển, ta nhận đƣợc hình ảnh một cách trực quan là tổng diện tích hai hình vuông tƣơng ứng với 2 cạnh góc vuông

chính bằng diện tích hình vuông tƣơng ứng với cạnh huyền hay c2 = a2 + b2. Vấn đề đặt ra là với tam giác thƣờng ABC thì mối quan hệ giữa bình phƣơng một cạch với tổng bình phƣơng hai cạnh còn lại nhƣ thế nào?

Để tìm hiểu, khám phá và đi tìm câu trả lời, ta cũng dựng 3 hình vuông tƣơng ứng với ba cạnh của tam giác ABC. Cho

điểm C thay đổi vị trí (không thuộc đƣờng tròn đƣờng kính AB nữa). Dựng thêm hai hình bình hành bằng nhau với hai cạnh liền kế chính là cạnh của hai hình vuông dựng trên hai cạnh góc vuông (hình 2.10).

Chúng ta hãy thử tìm hiểu mối quan hệ giữa ba hình vuông, hai hình bình hành này!

Cho thay đổi vị trí điểm C đến các vị trí đặc biệt, trực quan cho thấy tổng diện tích hai hình vuông ứng với 2 cạnh AC, BC với tổng diện tích 2 hình bình hành chính bằng diện tích hình vuông tƣơng ứng với cạnh AB (hình 2.11).

Hình 2.9

55 Hình ảnh trực quan cho thấy c2

= a2 + b2 + 2 lần diện tích hình bình hành, hay c2 a2b22 .b h (hình 2.11)

hay 2 2 2   

2 180o

c a b  b acos C . Vậy ta có c2 a2b22ba cos C. .

Nhƣ vậy, học đƣợc tiếp cận với hình ảnh trực quan minh hoạ ý nghĩa hình học của định lý cosin và thấy đƣợc định lý Pitago chỉ là một trƣờng hợp đặc

biệt của định lý cosin khi tổng diện tích hai hình bình hành bằng không hay góc C vuông.

Qua một số ví dụ trên , ta có thể thấy rằng , khi ƣ́ng dụng CNTT trong dạy học:

- Nên khai thác nhƣ̃ng điểm mạnh của CNTT . Chẳng hạn nhƣ: tính trực quan, khả năng dễ dàng thay đổi (giá trị của tham số, vị trí các điểm...) nhƣng chủ yếu ta sử dụng phần mềm để tạo ra các mô hình toán học , cho HS tƣơng tác với mô hình bằng cách thay đổi một số yếu tố nào đó, tƣ̀ việc quan sát trƣ̣c quan, khuyến khích HS đƣa ra các dự đoán . Sau đó dùng suy luận toán học để chƣ́ng minh hay bác bỏ.

- Khai thác khả năng tính toán nhanh để giảm bớt thời gian HS tính toán thủ công, dành thời gian đó cho tìm hiểu bản chất toán học.

Việc khai thác sử dụng CNTT một cách thích hợp trong quá trình dạy học, GV sẽ góp phần bồi dƣỡng năng lƣ̣c 1.4.1 cho HS.

2.2.2. Biện pháp 2: Hƣớng dẫn cho HS biết cách tìm ra đặc điểm chung và riêng của vấn đề; biết nhìn nhận sƣ̣ ổn định, bền vƣ̃ng trong sƣ̣ vận động của đối tƣợng, từ đó giúp HS có định hƣớng trong việc học toán

Biện pháp này dựa trên cơ sở mối quan hệ của hai cặp phạm trù trong triết học: quan hệ giữa cái chung và cái riêng; giƣ̃a vận động và đứng yên.

56

Ta sẽ xem xét các cặp phạm trù này và cách vận dụng trong dạy học toán.

a) Cặp phạm trù “cái chung và cái riêng”

Cái riêng đƣợc dùng để chỉ một sự vật một hiện tƣợng một quá trình riêng lẻ nhất định, còn phạm trù cái chung đƣợc dùng để chỉ những mặt, những thuộc tính chung không những có ở một mặt kết cấu vật chất nhất định mà còn đƣợc lặp lại trong nhiều sự vật hiện tƣợng hoặc quá trình riêng lẻ khác nữa.

Theo quan điểm duy vật biện chứng, cái chung chỉ tồn tại trong cái riêng và thông qua cái riêng. Cái riêng chỉ tồn tại trong mối liên hệ đƣa tới cái chung. Về mặt phƣơng pháp luận, vì cái chung chỉ tồn tại trong cái riêng cho nên chỉ có thể tìm cái chung trong cái riêng chứ không thể ở ngoài cái riêng. Để phát hiện cái chung cần xuất phát từ những cái riêng, từ những sự vật hiện tƣợng và quá trình riêng lẻ chứ không phải từ những ý kiến chủ quan của con ngƣời. V. L. Lênin [33] đã viết “người nào bắt tay vào những vấn đề riêng trước khi giải quyết những vấn đề chung thì người đó trên mỗi bước đi không sao tránh khỏi vấp ngã những vấn đề chung đó một cách không tự giác”.

Theo Nguyễn Cảnh Toàn [36] “Toán học có lẽ là lĩnh vực đặc thù để xét mối quan hệ giữa cái chung và cái riêng”. Điều này thể hiện rất rõ trong sự phát triển của toán học. Các phát minh lý thuyết có tầm cỡ trong toán học luôn là sự mở rộng từ một “cái riêng” đã biết đến một hay nhiều “cái chung” chƣa ai biết, mà cái riêng đã biết chỉ là một trƣờng hợp đặc biệt. Cũng có những phát minh chỉ là phát hiện ra một trƣờng hợp riêng của một cái chung đã biết trƣớc đó. Việc mở rộng từ cái riêng ra cái chung hay ngƣợc lại đặc biệt hoá từ cái chung đến cái riêng thƣờng tuân theo qui luật “phủ định của phủ định”. Mối quan hệ giữa cái chung và cái riêng có thể xem xét theo hình thức: Một cái riêng có thể là trƣờng hợp đặc biệt của nhiều cái chung khác nhau. Sau đây là một số mở rộng từ một kết quả quen thuộc.

57 khi đó, ta có: 3 (1)

2

AM AG 

Bây giờ ta nhìn trung tuyến BN chỉ là trƣờng hợp đặc biệt của đƣờng thẳng d bất kỳ cắt cạnh AB ở B’, AC ở C’ và AM ở M’. Vấn đề đặt ra là các tỉ

số , ,

' ' '

AB AC AM

AB AC AM có quan hệ nhƣ thế nào?

Cho đƣờng thẳng d ở một vài vị trí đặc biệt ta dự đoán:

2 (2)

' ' '

AB AC AM

AB  AC  AM

Ta sẽ chứng minh điều dự đoán này là đúng. Thật vậy, đặt:

, , ; , ' ' ' AB AC AM m n x AB c AC b AB  AC  AM      Ta có: ' 1 , ' 1 , ' 1 1 ( ) 2 AB c AC b AM AM c b m n x              x

Do ba điểm A', B', M' thẳng hàng nên AM'AB' (1 )AC' hay:

1 1 ( ) 2x c b c b m n       Vì c và b

không cùng phƣơng nên ta phải có: 1 2 2 1 1 2 x x x m m n n             

Đó là điều phải chứng minh.

Nhƣ vậy, đẳng thức (1) chỉ là trƣờng hợp đặc biệt của đẳng thức (2) khi ' , '

B B C N. Vậy ta có bài toán sau:

Bài toán 1. Cho tam giác ABC, một đƣờng thẳng d bất kỳ cắt các cạnh

C' G N M A B C B' G' Hình 2.12

58

AB, AC và trung tuyến AM lần lƣợt tại A’, B’, M’. Chứng minh rằng: 2

' ' '

AB AC AM

AB  AC  AM

Chƣa dừng tại đó, ta tìm cách mở rộng bài toán 2 trong không gian cho đối tƣợng HS khá, giỏi. Có hai cách nhìn:

Cách 1: Coi tam giác nhƣ là một tứ diện trong không gian, khi đó đƣờng thẳng d bây giờ là mặt phẳng (P), trung điểm M của đoạn thẳng trở thành trọng tâm của tam giác. Khi đó, ta có bài toán sau:

Bài toán 2. Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm tam giác BCD. Mặt phẳng (P) bất kỳ cắt các cạnh AB, AC, AD, AG lần lƣợt tại B', C', D', G'. Chứng minh rằng: 3 (3) ' ' ' ' D D AB AC A AG AB  AC  A  AG Thật vậy, đặt:    ABb AC; c AD; d và ; ; ; ' ' ' ' D D AB AC A AG x y z m AB  AC  A  AG  Ta có AB' 1b AC; ' 1c A; D' 1d AG; ' 1 AG; x y z m            

Vì G là trọng tâm của tam giác BCD nên ta có

1 1 ( ) ' ( ) 3 3 AG b c d AG b c d m               