ổn định của các khung phẳng

Các giả thiết dưới đây nhằm đơn giản hoá việc xác định tải trọng tới hạn: 1. Vật liệu của khung làm việc trong giới hạn đàn hồi. 2. Các nút của khung xem như tuyệt đối cứng, do đó chuyển v

Chương 4

ỔN ĐỊNH CỦA CÁC KHUNG PHẲNG 4.1 Các giả thiết

Các giả thiết dưới đây nhằm đơn giản hoá việc xác định tải trọng tới hạn: 1 Vật liệu của khung làm việc trong giới hạn đàn hồi

2 Các nút của khung xem như tuyệt đối cứng, do đó chuyển vị của các đầu thanh quy tụ vào nút đều như nhau

3 Các thanh của khung xem như không co, dãn Khoảng cách giữa các nút của khung trước và sau biến dạng không thay đổi nghĩa là dây cung nối các đầu thanh bị uốn có chiều dài bằng chiều dài của thanh trước biến dạng

4 Khi xác định chuyển vị trong khung chỉ kể đến ảnh hưởng của biến dạng uốn do mômen uốn và do lực dọc xuất hiện trước biến dạng gây ra Ảnh hưởng của gia số lực dọc sau khi hệ mất ổn định bỏ qua

5 Tải trọng tác dụng trên khung chỉ đặt ở các nút Những tải trọng này chỉ gây ra hiện tượng kéo hoặc nén mà không gây ra hiện tượng uốn ngang trong các thanh của khung khi hệ chưa mất ổn định

Theo giả thiết này thì trước khi nghiên cứu sự ổn định cần áp dụng các phương pháp đã trình bày trong giáo trình Cơ học kết cấu để xác định lực dọc trong các thanh của khung chịu tải trọng đã cho ban đầu (hình 4-1a) Tiếp đó xác định tải trọng tới hạn hay thông số tới hạn của khung chịu tải trọng đặt ở nút có giá trị bằng lực dọc trong các thanh tương ứng (hình 4-1b) theo các phương pháp sẽ trình bày trong chương này

Trong bài toán ổn định khung, khi mất ổn định hệ ở trạng thái biến dạng rất gần với trạng thái ban đầu, các lực ngang chỉ xuất hiện sau khi mất ổn định với những giá trị rất

nhỏ Ngoài ra, nếu không coi các lực nén hoặc kéo P là tải trọng mà quy ước xem chúng như là một trong những tính chất cho biết của hệ, thì có thể phát biểu là giữa chuyển vị

và tải trọng có sự liên hệ tuyến tính

Trên cơ sở đó ta đi đến kết luận là trong bài toán ổn định của khung có thể áp dụng nguyên lý cộng tác dụng đối với các tải trọng ngang

Có thể áp dụng được các phương pháp tính xây dựng trên cơ sở nguyên lý cộng tác dụng như phương pháp lực, phương pháp chuyển vị để giải quyết bài toán ổn định của khung Ngoài ra, cũng có thể mở rộng phạm vi áp dụng các công thức xác định chuyển vị và các định lý cơ bản như các định lý về sự tương hỗ cho trường hợp hệ có những thanh chịu uốn cùng với chịu kéo hoặc nén

q3 N12N23

1P =

P P2=N34N=4

P 23 P3=N56N=5P 35

Hình 4-1 Sơ đồ tính ổn định của hệ khung

4.2 Cách xác định chuyển vị trong những thanh chịu uốn cùng với nén hoặc kéo

Trước khi đi vào nghiên cứu cách vận dụng phương pháp lực, ta cần xác định chuyển vị trong những thanh chịu uốn cùng với nén hoặc kéo

Xét thanh chịu uốn cùng với nén như trên (hình 4-2a) Gọi Mm là mô men uốn do tải trọng ngang và do lực P gây ra Để xác định chuyển vị ∆km tại điểm k ta tạo trạng thái "k" và đặt lực Pk = 1 theo phương cần tìm chuyển vị (hình 4-2b); ở trạng thái này không có lực nén P Gọi Mklà mô men uốn ở trạng thái "k" do lực Pk =1 gây ra Thiết lập biểu thức về sự cân bằng giữa công của ngoại lực và nội lực ở trạng thái "k" trên những chuyển vị và biến dạng ở trạng thái "m", ta có:

4.2.1 Thanh đặt tự do trên hai khớp tựa

P =1 "m""k"a,

Hình 4-2 Trạng thái “m”, “k”

Q =A d-cl

Hình 4-3 Thanh có hai đầu gối.

Xét thanh đặt tự do trên hai gối tựa chịu lực nén P và các tải trọng đặt ở đầu thanh (hình 4-3a) Yêu cầu xác định chuyển vị tại các đầu thanh Trong trường hợp tổng quát nhất, các tải trọng ngang tại đầu thanh có dạng như trên (hình 4-3a), trong đó ký hiệu MA

= c, MB = d Phản lực tại A có giá trị bằng (d−c)/l còn biểu đồ mô men Mm có dạng đường cong như trên (hình 4-3b) Có thể tìm phương trình Mm theo (2-7) trong chương 2:

trong đó y'(o) là thông số ban đầu chưa biết và được xác định theo điều kiện khi z = l; y(l) = 0 Từ điều kiện này và theo (2-5) ta tìm được:

trong đó:

v= l =l (4-2) Thay biểu thức của y'(o) vào phương trình Mm(z), ta được:

Để xác định các chuyển vị ở đầu thanh ta cần tạo trạng thái "k" và tìm phương trình của Mk Trong trường hợp tổng quát nhất, biểu đồ Mk có dạng như trên (hình 4-3c), còn phương trình Mk có dạng:

Thay (4-3) và (4-4) vào (4-1) ta được:

Sau khi lấy tích phân và biến đổi, ta có:

( ) β( )v6bc6advα3bd3ac

là các hàm số điều chỉnh kể đến ảnh hưởng của lực nén P Có thể tìm giá trị của những hàm số này theo các đối số v trong bảng 1 của phụ lục

4.2.2 Thanh có một đầu ngàm một đầu tự do

Trong trường hợp tổng quát nhất, các tải trọng ngang tác dụng ở đầu thanh có dạng như trên (hình 4-4a), trong đó ta ký hiệu MA = c; QA = e Biểu đồ Mm do tải trọng ngang và do lực nén P gây ra có dạng đường cong như trên (hình 4-4b) Mô men uốn tại đầu ngàm B:

Sau khi sử dụng các phương trình (2-7), (2-6) và điều kiện biên khi z = l; y'(l) = 0, cũng tương tự như trên ta thiết lập được phương trình của mô men uốn Mm:

Để xác định chuyển vị ở các đầu thanh ta tạo trạng thái k, trong trường hợp tổng quát nhất, biểu đồ Mk có dạng như trên (hình 4-4c), còn phương trình Mk(z)có dạng như (4-4)

Sau khi thay (4-4), (4-7) vào (4-1), lấy tích phân và biến đổi ta dễ dàng thiết lập được công thức xác định chuyển vị cho thanh có đầu ngàm đầu tự do như sau:

( )vbcad(v)ac(v)bd

trong đó: ( )( )

(4-9) P

Hình 4-4 Thanh đầu ngàm, đầu tự do

là các hàm số điều chỉnh kể đến ảnh hưởng của lực nén P Có thể tìm các giá trị của những hàm số này theo các đối số v trong bảng 1 của phần phụ lục

v 1;(v)

1;v3v(v)

v 1;v3v(v)

Những liên hệ này giúp ta biến đổi được dễ dàng các hàm số trong phương trình ổn định sẽ nghiên cứu dưới đây

2 Đối với những thanh chịu uốn cùng với kéo, trong tất cả các biểu thức thiết lập ở trên ta cần thực hiện những phép thay thế sau:

iβα = và

EJPβ=keo ; 2

α =− ; sinαz ishβ= z; cosαz chβ= z

4.3 Cách tính ổn định của các khung phẳng theo phương pháp lực

Khi vận dụng phương pháp lực để tính ổn định của các khung phẳng ta cũng tiến hành theo thứ tự tương tự như đã thực hiện trong giáo trình cơ học kết cấu

51

XP X1 X1

Về nguyên tắc, cách xác định bậc siêu tĩnh và cách chọn hệ cơ bản bất kỳ đã nêu trong giáo trình cơ học kết cấu đều dẫn đến cùng một kết quả như nhau Song khi tính ổn

định, để cho đơn giản, ta chỉ nên chọn hệ cơ bản bằng cách loại trừ các liên kết thừa để sao cho những thanh chịu nén trở thành những thanh có hai đầu khớp tựa (không chuyển vị theo phương ngang trục thanh) hoặc thanh có một đầu ngàm một đầu tự do Với cách

chọn hạn chế như vậy ta có thể dễ dàng xác định chuyển vị trong hệ cơ bản theo các công thức đã thiết lập sẵn trong mục 2 Nếu chọn hệ cơ bản khác với quy cách trên thì bài toán sẽ trở nên rất phức tạp

Đối với hệ siêu tĩnh vẽ trên (hình 4-5a), về nguyên tắc ta có thể chọn hệ cơ bản theo (hình 4-5b hoặc 4-5c) Hệ cơ bản (4-5b) hợp quy cách đã giới hạn ở trên Hệ (4-5c) không hợp quy cách vì ta chưa nghiên cứu cách xác định chuyển vị trong những thanh chịu nén có dạng như thanh 4-5

Khi xác định chuyển vị trong thanh chịu kéo hoặc nén ta cần quan niệm lực kéo hoặc nén chỉ là tải trọng đặt ở nút Thực ra, khi mất ổn định những lực này có thể khác đi, chẳng hạn như đối với hệ cơ bản trên (hình 4-5b), thanh 1-2 sẽ chịu lực nén với giá trị bằng P1 + X2 song các lực X này chỉ xuất hiện sau khi hệ mất ổn định và có giá trị rất nhỏ nên theo giả thiết 4 có thể bỏ qua

4.3.4 Phương trình ổn định

Hệ phương trình thuần nhất (4-10) được thoả mãn với hai khả năng:

1-Tất cả các ẩn số X đều bằng không Lúc này, trong hệ vẫn chỉ có biến dạng nén hoặc kéo mà chưa có biến dạng uốn; do đó hệ vẫn ở trạng thái cân bằng ban đầu Vậy, hệ ổn định, tải trọng chưa đạt đến giá trị tới hạn

2 Tất cả hoặc một số các ẩn số X khác không Lúc này, trong các thanh có xuất hiện biến dạng uốn và hệ bị mất ổn định Điều kiện để cho các ẩn số X khác không là định thức của hệ phương trình (4-10) phải bằng không:

Cuối cùng cần lưu ý là trong nhiều trường hợp áp dụng phương pháp lực để tính ổn định của khung thường không tiện lợi bằng áp dụng phương pháp chuyển vị sẽ nghiên cứu dưới đây

4.4 Cách xác định phản lực và nội lực trong những thanh chịu nén hoặc kéo khi các liên kết chuyển vị cưỡng bức

Cũng tương tự như trong giáo trình cơ học kết cấu, để chuẩn bị cho việc nghiên cứu phương pháp chuyển vị ta cần thiết lập sẵn những kết quả về phản lực và nội lực trong những phần tử đơn giản là những thanh đơn giản có liên kết ở hai đầu khác nhau chịu chuyển vị cưỡng bức của các liên kết tựa Song khác với trước, trong trường hợp này các phần tử mẫu còn chịu thêm lực nén hoặc kéo P và phải kể tới ảnh hưởng của nó

Ta xét trường hợp tổng quát:

Thanh ab có liên kết bất kỳ ở hai đầu chịu lực nén bởi một lực P (hình 4-6) Giả thiết cho ϕa và ϕb lần lượt là góc xoay tại đầu a và đầu b với quy ước chiều dương là chiều quay thuận theo kim đồng hồ; ∆ là chuyển vị thẳng tương đối giữa các đầu ab theo phương vuông góc với trục ban đầu của thanh Yêu cầu xác định các phản lực liên kết Ma, Qa, Mb, Qb, tại các đầu thanh và trên cơ sở đó xác định nội lực trong thanh

Dưới tác dụng của lực nén P và các chuyển vị ϕa, ϕb và ∆, thanh bị biến dạng như trên (hình 4-8) Chiều của các chuyển vị

Hình 4-6 Phần tử mẫu

(4-13)

Sau khi giải được hệ phương trình trên ta xác định được Ma, Mb theo các chuyển vị ϕa, ϕb và ∆; tiếp đó thay các kết quả tìm được vào (4-12) ta xác định được lực cắt Qa = Qb

Kết quả: () ⎥⎦⎤⎢⎣

Mµϕµϕµµ (4-16) () ⎥⎦⎤

trong đó:

EJi = ;

EJPv= αl=l

(4-19)

Để giúp cho việc tính toán được dễ dàng ta cần thiết lập lại những kết quả trên cho từng trường hợp cụ thể đồng thời ghi những kết quả đó vào (bảng 4-1)

Bảng 4-1 Bảng các giá trị phản lực gối tựa khi gối chuyển vị cưỡng bức

TT Dạng chuyển vị và biểu đồ mô menMaMbQa = Qb

1

ϕ tìm theo (4-20)

0

(v)η1 tìm theo (4-21)

3

ϕ tìm theo (4-22)

ϕ tìm theo (4-23)

−(v)η3 tìm theo (4-24)

4

ϕ tìm theo (4-25)

(v)η2 tìm theo (4-26)

5 tgv

1

TT Dạng chuyển vị và biểu đồ mô menMaMbQa = Qb

v = , các hàm số ϕ và η tra bảng 2, còn các hàm

;

; vtgv tra trong bảng 3 của phụ lục

β ; α2 =−β2; sinαz ishβ= z; cosαz chβ= z; i – là số ảo

4.5 Cách tính ổn định của các khung phẳng theo phương pháp chuyển vị

Khi vận dụng phương pháp chuyển vị để tính ổn định của khung, ta cũng tiến hành tương tự như đã thực hiện trong giáo trình cơ học kết cấu

4.5.1 Chọn hệ cơ bản

Chúng ta cũng chọn hệ cơ bản giống như hệ cơ bản dùng để tính độ bền đã trình bày trong giáo trình cơ học kết cấu Thí dụ, hệ trên hình 4-17b là hệ cơ bản của hệ vẽ trên (hình 4-17a); trong đó ta đặt thêm các liên kết mô men và liên kết lực để ngăn cản tất cả các chuyển vị của các nút của khung

4.5.2 Phương trình chính tắc

Cũng lý luận tương tự như trong giáo trình cơ học kết cấu, các ẩn số Zi phải thoả mãn hệ phương trình chính tắc của phương pháp chuyển vị Song khác với trước, trong trường hợp này tải trọng chỉ đặt ở nút nên khi hệ chưa mất ổn định thì trong các thanh của hệ chỉ xuất hiện những lực nén hoặc kéo tự cân bằng mà không xuất hiện mô men uốn Do đó, các số hạng tự do RkP tức là các phản lực trong các liên kết đặt thêm vào do tải trọng gây ra sẽ bằng không: R1P = R2P = = RkP = = RnP = 0

PP

Hệ phương trình chính tắc trở thành hệ phương trình thuần nhất:

(4-27)

4.5.3 Cách xác định các hệ số của hệ phương trình chính tắc

Khi tính độ bền, các hệ số rkm không phụ thuộc tải trọng Khi tính ổn định các hệ số

này lại phụ thuộc vào lực kéo hoặc nén trong các thanh Đó là điều kiện khác nhau giữa hai nội dung nghiên cứu

Về ý nghĩa vật lý, hệ số rkm là phản lực tại liên kết k do chuyển vị cưỡng bức Zm = 1 tại liên kết m và do các lực nén hoặc kéo gây ra trong hệ cơ bản Do đó, muốn xác định hệ số rkm ta cần vẽ biểu đồ mô men uốn Mm do chuyển vị cưỡng bức Zm = 1 tại liên kết m và do các lực nén hoặc kéo gây ra trong hệ cơ bản, rồi sử dụng phương pháp tách nút hoặc mặt cắt để tính phản lực trong liên kết k

Khi xác định các hệ số rkm ta cần chú ý là định lý về sự tương hỗ giữa các phản lực đơn vị rkm = rmk vẫn nghiệm đúng trong trường hợp này

4.5.4 Phương trình ổn định

Hệ phương trình thuần nhất(4-27) được thoả mãn với hai khả năng:

1-Tất cả các ẩn số Zi đều bằng không Đó là nghiệm tầm thường, vì trong trường hợp này các nút không chuyển vị nên hệ vẫn chưa bị mất dạng cân bằng ban đầu tức là chưa mất ổn định

2 Tất cả hoặc một số các ẩn số Zi khác không Trong trường hợp này các nút có chuyển vị do đó hệ có dạng biến dạng mới khác với dạng ban đầu tức là mất ổn định Muốn được nghiệm này thì định thức các hệ số của (4-27) phải bằng không (4-28):

Vì các hệ số rkm phụ thuộc giá trị của các lực nén hoặc kéo P nên ta có thể chọn giá trị của các lực P để sao cho điều kiện (4-28) được thoả mãn Như vậy, ta có thể xác định

tải trọng tới hạn hay thông số tới hạn từ điều kiện(4-28) và gọi điều kiện này là phương trình ổn định theo phương pháp chuyển vị

7Z1

4.6 Cách sử dụng tính chất đối xứng khi tính ổn định các khung phẳng

Khi tính ổn định ta chỉ có thể sử dụng tính chất đối xứng trong trường hợp hệ đối xứng chịu tải trọng đối xứng

Tính chất: Hệ đối xứng chịu tải trọng đối xứng có thể mất ổn định theo một trong hai dạng: dạng biến dạng đối xứng và dạng biến dạng phản đối xứng

Như vậy, hệ sẽ mất ổn định khi một trong hai điều kiện dưới đây xảy ra: