ổn định của các thanh thẳng

Các phương trình tổng quát của đường đàn hồi trong thanh chịu uốn Ta nghiên cứu thanh chịu lực nén P ở trạng thái cân bằng biến dạng với các chuyển vị nhỏ. Giả sử ở trạng thái biến dạng, đ

2-1

Chương 2

ỔN ĐỊNH CỦA CÁC THANH THẲNG

2.1 Các phương trình tổng quát của đường đàn hồi trong thanh chịu uốn

Ta nghiên cứu thanh chịu lực nén P ở trạng thái cân bằng biến dạng với các chuyển vị nhỏ Giả sử ở trạng thái biến dạng, đầu trái của thanh có chuyển vị thẳng theo phương trục y là y(o) và chuyển vị góc là y’(o), đồng thời tại đầu trái của thanh cũng xuất hiện

mô men uốn M(o) và lực cắt Q(o) vuông góc với vị trí ban đầu của thanh (hình 2-1)

Mô men uốn tại tiết diện bất kỳ của thanh ở trạng thái biến dạng: M(z) = M(o) + Q(o)z + P[y - y(o)]

Từ phương trình vi phân của đường đàn hồi :

EJMy,, =−ta có:

y(o)] -P[y Q(o)zM(o)

Hay:

Py(o)- Q(o)zM(o)

y,, + 2 =− +

(2-1)

Trong đó:

Nghiệm của phương trình vi phân trên có dạng:

Py(o)- M(o)B

Q(o)αA

y, = − 2 ; M(0)

P MQ

Hình 2-1 Sơ đồ biến dạng uốn dọc của thanh.

2-2

suy ra:

EJ Q(o)(o)

EJaMB= 2 0

Thay các giá trị vừa tìm được của A và B vào (2-3) ta được phương trình của đường đàn hồi:

Q(o)cosα

M(o)sinα

Từ điều kiện cân bằng lực như trên hình (2-1) ta xác định được lực cắt Q(z) theo sơ đồ thanh không biến dạng:

Các phương trình (2-5) ÷ (2-8) thiết lập cho trường hợp chuyển vị và nội lực trong thanh là liên tục Nếu dọc theo chiều dài của thanh, chuyển vị và nội lực có bước nhảy (gián đoạn) thì ta cần phải thiết lập các phương trình nội lực và chuyển vị cho từng đoạn thanh trong đó các đại lượng này là liên tục Đối với đoạn thứ nhất ta có thể dùng các phương trình (2-5) ÷ (2-8), đối với đoạn bất kỳ thứ m + 1 ta có thể viết các phương trình chuyển vị và nội lực theo các phương trình của đoạn thứ m như sau:

[ i i ]

,am

2-3

2.2 Ổn định của các thanh thẳng có liên kết cứng ở hai đầu

Trong thực tế, các thanh thẳng chịu nén có thể có các liên kết ở hai đầu dưới các hình thức khác nhau như sau:

1 Thanh có hai đầu là khớp

2 Thanh có một đầu tự do và một đầu ngàm,

3 Thanh có một đầu ngàm, một đầu ngàm trượt theo phương vuông góc với trục thanh

4 Thanh có một đầu ngàm, một đầu ngàm trượt theo trục của thanh, 5 Thanh có một đầu khớp một đầu ngàm

Để xác định lực tới hạn cho những thanh nói trên, ta có thể áp dụng phương pháp tĩnh học hoặc các phương pháp khác như phương pháp năng lượng đã trình bày trong chương 1 Ở đây ta áp dụng phương pháp tĩnh học, đồng thời sử dụng các phương trình tổng quát đã lập ở mục 1, để giải quyết chính xác bài toán

Xét trường hợp thứ nhất là: thanh có khớp ở hai đầu Đối với trường hợp này, các

thồng số ban đầu có giá trị như sau: y(o) = 0 , y’(o) = ? M(o) = 0, Q(o) = ?

Do đó, từ phương trình tổng quát (2-5) ta có:

( )

αα)sin z(oy'z

Theo điều kiện biên khi z = l, y(l) = 0 ta được:

l y'(o siny

Điều kiện này được thoả mãn với hai khả năng: y’(o) = 0, hoặc sinαl = 0 Nếu y’(o) = 0, thì y(z) = 0, lúc này thanh vẫn thẳng chưa mất ổn định Muốn cho lực P đạt đến giá trị tới hạn tương ứng với trạng thái mất ổn định thì trong hệ phải tồn tại trạng thái cân bằng mới khác trạng thái cân bằng ban đầu Do đó y’(o) phải khác không Vậy, sinαl = 0

Từ đó rút ra αl = kπ và từ (2-2) ta xác định được: 2

= với k = 1, 2, , ∞

( )22th

2.3 Ổn định của các thanh thẳng có liên kết đàn hồi

2.3.1 Thanh có một đầu tự do và một đầu ngàm đàn hồi

Trong trường hợp này, các thông số ban đầu có giá trị như sau (hình 2-2a) y(o) = ? , y’(o) = ?

M(o) = 0, Q(o) = 0 P

l

2-5

Các phương trình (2-5) và (2-6) có dạng:

(z)y, = ,

Điều kiện biên: khi z = l; y(l) = 0 và y’(l) = ϕ

Nếu gọi ϕ là hệ số đàn hồi của liên kết tức là góc xoay của ngàm đàn hồi do mô men bằng đơn vị gây ra thì trong trường hợp này, vì mô men tại ngàm đàn hồi bằng -P.y(o), nên: ϕ=−Py(o).ϕ

Theo các điều kiện biên ta lập được hai phương trình thuần nhất như sau để xác

αα =′

+y(o)sin ly(o)

Sau khi khai triển định thức trên ta có: cos l−sin Pϕ =0ααα

EJ.lltg α

Nếu đặt αl=vvà

θ=ϕ tg

thì phương trình ổn định có dạng: cotgv=vtgθ

Để giải phương trình siêu việt trên ta nên dùng phương pháp đồ thị: Lần lượt vẽ các đường biểu diễn của các hàm số β = cotgv và β = v.tgθ theo biến số v như trên (hình 2-2b) để tìm giao điểm của chúng Hoành độ của những giao điểm này xác định các nghiệm cần tìm Nghiệm có ý nghĩa thực tế là nghiệm cho lực tới hạn nhỏ nhất Sau khi tìm được vth ta sẽ xác định được

α = và từ đó suy ra lực tới hạn tương ứng

Từ hình vẽ ta thấy vth nhỏ nhất có giá trị luôn luôn nhỏ hơn π/2 do đó lực tới hạn luôn luôn nhỏ hơn giá trị π2EJ/4l2 là lực tới hạn tương ứng với thanh có một đầu tự do và một đầu ngàm cứng

Trường hợp giới hạn khi ϕ=0 thì vth = π/2 do đó Pth = π2EJ/4l2

2.3.2 Thanh có một đầu ngàm cứng còn một đầu có liên kết thanh đàn hồi (hình 2-3a)

2-6 P

R = y(0)yy

Hình 2-3 Sơ đồ tính và biểu đồ xác định vth

Các thông số ban đầu: y(o) = ?, y’(o) = ? , M(o) = 0,

y(o)sin

Theo các điều kiện biên khi z = l, y = 0 và y’ = 0, ta có:

(αsinα ) 0.α

EJ y(o)sin

(1 cosα ) 0EJ

yα y(o)(o)cosα

Từ đó rút ra phương trình ổn định:

Sau khi khai triển định thức ta được:

tgα =α − α hay:

Để giải phương trình này ta cũng dùng phương pháp đồ thị (hình 2-3b) Từ (hình 2-3b) ta thấy giá trị của vth nằm trong khoảng giữa π/2 và 3π/2

2.3.3 Thanh cú một đầu ngàm đàn hồi cũn một đầu là liờn kết thanh tuyệt đối cứng (hỡnh 2-4)

Cỏc thụng số ban đầu: y(o) = 0, y’(o) = ?

Rsinαα

Cỏc điều kiện biờn:

Khi z = l; y(l) = 0 và y'(l)=ϕ.Rl Do đú ta cú:

α αsinαRαsinα(o)

R

Sau khi khai triển định thức trờn ta được:

( )

Tương tự như trờn ta dễ dàng tỡm được lực tới hạn vth tương ứng với 2 trường hợp sau:

Hình 2-4 Thanh 1 đầu khớp 1 đầu ngàm đàn hồi

2.4 Ổn định của các thanh thẳng có tiết diện thay đổi

Trong các công trình, để phù hợp với tình hình chịu lực, người ta thường dùng những thanh có tiết diện thay đổi Khi đó ta nên dùng các phương pháp gần đúng đã trình bày trong chương 1 Trong mục này chỉ giới thiệu cách tính chính xác cho một số trường hợp thanh có tiết diện thay đổi theo những quy luật tương đối phổ biến trong thực tế

2.4.1 Thanh có độ cứng thay đổi theo hình dạng bậc thang

Xét thanh gồm hai đoạn có độ cứng thay đổi như trên (hình 2-5) Gọi EJ1 là độ cứng của đoạn trên và EJ2 là độ cứng của đoạn dưới

Phương trình vi phân viết cho từng đoạn như sau: Pδ

EJ ,, 11

EJ2 ,,2 + 2 =

Nghiệm của hai phương trình vi phân trên có dạng: δ

y1= 1 1 + 1 1 + ; y2=A2sinα2z+B2cosα2z+δ Trong đó:

y′′= ′′ = ′′αα

Ta có: A2 =0

α Bcossin

A1 1 1l2 − 1 1 1l2 + 2 2 2l2 =0cosαBcosαBsinα

A1 1l2 + 1 1l2− 2 2l2 =

Thiết lập điều kiện tồn tại các hằng số tích phân ta sẽ được phương trình ổn định:

(2-17) J

2l

2-9

Sau khi khai triển và rút gọn ta được:

α ltgl =

tg (2-18)

Phương trình (2-18) chỉ có thể giải được khi đã biết tỷ số EJ1/EJ2 và l2/l1

Trường hợp thanh chịu hai tải trọng tập trung: lực P1 đặt ở đỉnh và lực P2 đặt ở chỗ tiếp giáp giữa hai đoạn, thì cũng thiết lập tương tự như trên ta được phương trình ổn định:

tg (2-19) Trong đó:

EJPα= ;

0,01 0,10 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

0,153 1,467 2,796 5,089 6,978 8,550

-

0,270 2,401 4,222 6,680 8,187 9,177

-

0,598 4,498 6,694 8,512 9,240 9,632

-

0,257 8,590 9,330 9,675 9,780 9,840

-

- - - π

Thanh có 2 đầu ngàm

0,01 0,10 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

0,614 5,866 11,132 20,238 27,713 34,022

-

1,082 9,484 16,261 24,888 30,616 35,314

-

2,390 15,467 20,460 26,306 31,086 35,442

-

8,484 17,130 21,058 27,470 32,458 36,374

-

- - - πl2/l

J1/J2