3. ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THANH THẲNG

3 ổn định hệ thẳng 3.1 Các giả thiết Khi nghiên cứu ổn định hệ ta chấp nhận giả thiết dới nhằm đơn giản hóa việc xác định tải trọng tới hạn: Vật liệu hệ làm việc giới hạn đàn hồi Các nút tuyệt đối cứng Do chuyển vị đầu quy tụ nút đợc xem nh Các xem nh không co dãn Trớc sau biến dạng khoảng cách theo phơng ban đầu nút không thay đổi Khi xác định chuyển vị hệ xét đến ảnh hởng biến dạng uốn mômen lực dọc phát sinh trớc hệ ổn định Bỏ qua ảnh hởng gia số lực dọc phát sinh sau ổn định Tải trọng tác dụng hệ đặt nút Những tải trọng gây kéo nén mà không gây uốn ngang hệ cha ổn định Trong thực tế, tải trọng thờng không đặt nút mà đặt nút nên gây tợng uốn với nén kéo Hình 3.1 Để đáp ứng giả thiết 5, trớc giải toán ổn định ta cần xác định lực dọc hệ chịu tải trọng cho (hình 3.1a) theo phơng pháp Cơ học kết cấu, tiếp xác định tải trọng tới hạn hay thông số tới hạn cho hệ chịu tải trọng đặt nút với giá trị lực dọc vừa tìm đợc khâu (hinh 3.1b) theo phơng pháp trình bày chơng Trớc nghiên cứu phơng pháp tính ta cần đặt vấn đề: áp dụng đợc nguyên lý cộng tác dụng toán ổn định hệ thẳng hay không? Để giải đáp, ta tìm hiểu liên hệ chuyển vị tải trọng tác dụng chịu uốn với nén Trong toán ổn định, ảnh hởng biến dạng uốn ngang tải trọng ngang, thiết phải kể đến ảnh hởng biến dạng uốn dọc lực dọc gây tính chuyển vị Khi biến dạng nhỏ, chuyển vị tải trọng ngang có liên hệ tuyến tính chuyển vị lực dọc P có liên hệ phi tuyến Nếu toán ổn định đợc nghiên cứu theo giả thiết bắt đầu ổn định, hệ trạng thái biến dạng gần với trạng thái ban đầu, lực ngang phát sinh sau hệ bị ổn định với giá trị nhỏ Ngoài ra, không coi lực dọc P tải trọng mà quy ớc xem chúng nh tính chất đặc trng P hệ phát biểu chuyển vị tải trọng 62 ngang có liên hệ tuyến tính Trên sở ta kết luận: toán ổn định hệ thẳng áp dụng đợc nguyên lý cộng tác dụng tải trọng ngang, tải trọng ngang xảy kèm theo yếu tố dặc trng P hệ 3.2 Cách tính ổn định khung theo phơng pháp chuyển vị a Phản lực nội lực thẳng chịu nén kéo liên kết chuyển vị cỡng Tơng tự nh toán kiểm tra điều kiện bền, để chuẩn bị cho việc nghiên cứu phơng pháp chuyển vị ta cần lập sẵn kết phản lực nội lực phần tử mẫu thẳng, tiết diện không đổi có liên kết khác hai đầu liên kết chuyển vị cỡng Trong toán ổn định, phần tử mẫu chịu lực nén kéo P, thiết phải kể đến ảnh hởng P Trớc vào phần tử mẫu cụ thể, ta nghiên cứu trờng hợp tổng quát: ab, tiết diện không đổi, có liên kết hai đầu, chịu lực nén P nh hình 3.2 Giả thiết cho biết: Hình 3.2 a b góc xoay đầu a đầu b với quy ớc chiều dơng chiều quay thuận chiều kim đồng hồ; chuyển vị thẳng tơng đối hai đầu a, b theo phơng vuông góc với trục thanh, chiều dơng quy định nh hình 3.2 Dới tác dụng lực nén P chuyển vị biết, bị biến dạng nh hình 3.2 yêu cầu: tìm đại lợng Ma , Mb , Qa Qb đầu sở xác định nội lực Từ điều kiện cân y = Mb = ta tìm đợc: [ ] [ ] Qa = Qb = Ma + Mb + P = M a + M b + EI , l l (3.1) với: = P / ei Vận dụng phơng trình (2.4), (2.5) (2.6) với thông số ban đầu y(0) = 0; y'(0) = a ; M(0) = Ma Q(0) = Qa xác định theo (3.1), ta có: [ ] (z sinz ) M y(z) = a sin z - a (1- cos z) + Ma + Mb + EI ; EI [ EI.l ] ( cos z ) y'(z) = a cos z - Ma sin z + Ma + M b + EI ; EI M(z) = eia sin z + Ma cos z - [ EI.l sin z M a + M b + EI l ] Trong phơng trình trên, Ma Mb đại lợng cha biết, đợc xác định theo điều kiện biên đầu b: z = l ta có y(l) = y'(l) = b y(l) = a sinl Ma EI [ (1- cosl) + M a + M b + EI 63 l ) ] (l sin =; EI.l [ ] (1 cos l ) y'(l) = a cosl - Ma sinl + Ma + Mb + EI = b EI EI.l Giải hệ hai phơng trình ta xác định đợc Ma Mb theo chuyển vị a , b ; tiếp tìm đợc Qa = Qb theo (3.1) Kết quả: Ma = 2i a + b ( + ) ; l Mb = 2i a + b ( + ) ; l Qa = Qb = 2i ( + )( a + b ) , l l EI đó: i= ; v=l=l P ; l EI v tgv v v v sin v à1 = ì à2 = ì ; v 2tgv 2tg v sin v 2tg v v ; 2 v v 2tg v3 = ì ; à1 + = ì 2tg v v 2tg v v 2 (3.2) (3.3) (3.4) Trên sở biểu thức (3.2), (3.3), (3.4) ta dễ dàng tìm đợc phản lực hai đầu cho phần tử mẫu thờng gặp tính ổn định hệ theo phơng pháp chuyển vị Kết cụ thể tơng ứng với trờng hợp đợc ghi bảng 3.1 64 65 Chẳng hạn, với phần tử mẫu bảng 3.1 phần tử có đầu ngàm, đầu khớp, đầu ngàm xoay góc đơn vị ta thực nh sau: Các điều kiện biết đầu thanh: a = 1; = ; Mb = Từ biểu thức (3.3) điều kiện biết ta tìm đợc: b = -à2 /à1 Thay kết tìm đợc vào biểu thức (3.2) (3.4), ta đợc: Ma = 3i 1(v) ; Qa = Qb = - 3i 1(v) l với 1(v) = v 2tgv 3(tgv v ) Cũng thực tơng tự nh trờng hợp khác bảng 3.1 Ngoài dạng quen thuộc toán kiểm tra điều kiện bền (các trờng hợp ữ bảng 3.1), kiểm tra ổn định ta gặp dạng phần tử mẫu nh trờng hợp bảng 3.1 Để có đợc số liệu cho trờng hợp ta thực nh sau: Thanh chịu nén có đầu ngàm, đầu tự do, đầu ngàm chuyển vị xoay cỡng đơn vị (trờng hợp 6, bảng 3.1): Các điều kiện biết đầu thanh: a = 1; Mb = 0; Qa = Qb = 66 Từ (3.1) phơng trình y(z) ta lập điều kiện Qa = Qb = y(l) = tìm đợc: =l tgv /v Xác định Ma theo : M a =- P =- v EI l ì l tgv = i v tgv v Thanh chịu nén có khớp tựa hai đầu, hai đầu chuyển vị thẳng cỡng đơn vị vuông góc với trục (trờng hợp 7, bảng 3.1): Các điều kiện biết đầu thanh: : =1 ; Ma = Mb = Các lực Qa = Qb đợc xác định theo điều kiện cân Mb = Kết quả: Qa = Qb = - i v2 / l2 B Nội dung phơng pháp chuyển vị Khi vận dụng phơng pháp chuyển vị để giải toán ổn định ta thực tơng tự nh kiểm tra điều kiện bền biết Hệ Trong toán ổn định, ta lập hệ phơng pháp chuyển vị tơng tự nh kiểm tra điều kiện bền Ví dụ với hệ hình 3.3a, lập hệ nh hình 3.3b: Hình 3.3 Hệ phơng trình tắc Trong toán ổn định, tải trọng đặt nút hệ cha ổn định phát sinh lực nén kéo mà không phát sinh mômen uốn Nh vậy, biểu đồ ( M Po ) tải trọng gây hệ không tồn số hạng tự RkP hệ phơng trình tắc không Lúc này, hệ phơng trình tắc trở thành hệ phơng trình nhất: r11 Z1 + r12 Z2 + + r1n Zn = 0; r21 Z1 + r22 Z2 + + r2n Zn = 0; (3.5) rn1 Z1 + rn2 Z2 + + rnn Zn = Cách xác định hệ số hệ phơng trình tắc Về ý nghĩa vật lý, hệ số rkm phản lực đơn vị liên kết k đặt thêm vào hệ chuyển vị cỡng liên kết m đặt thêm vào hệ lực nén kéo gây hệ Do đó, để xác định rkm ta cần vẽ biểu đồ ( M m ) chuyển vị cỡng Zm = liên kết m lực nén kéo gây hệ bản; tiếp áp dụng phơng pháp tách nút mặt cắt để tìm phản lực liên kết k Ngoài ra, cần lu ý định lý tơng hỗ phản lực đơn vị: rkm = rmk đợc nghiệm toán ổn định Phơng trình ổn định 67 Hệ phơng trình (3.16) đợc thỏa mãn với hai khả năng: Tất ẩn Zi không Lúc này, nút hệ không chuyển vị; hệ trạng thái cân ban đầu Nh vậy, hệ ổn định, tải trọng cha đạt đến giá trị tới hạn Tất số ẩn Zi khác không Lúc này, nút hệ có phát sinh chuyển vị; hệ có dạng biến dạng khác với dạng ban đầu tức hệ bị ổn định Điều kiện tồn nghiệm Zi định thức hệ số hệ phơng trình tắc (3.5) phải không: r11 r D = 21 rn1 r12 r22 rn r1n r2n = rnn (3.6) Các hệ số rkm phụ thuộc lực nén kéo P từ điều kiện (3.6) ta tìm đợc giá trị lực P, lực tới hạn cần tìm Điều kiện (3.6) đợc gọi phơng trình ổn định theo phơng pháp chuyển vị Với cách giải toán nh ta cha tìm đợc giá trị ẩn Zi ẩn vô định Để tìm đợc dạng biến dạng hệ cách định tính ta quy ớc gán cho ẩn giá trị bất kỳ, chẳng hạn đơn vị, xác định ẩn khác theo hệ phơng trình tắc (3.5) Ví dụ 3.1 Xác định lực tới hạn cho hệ khung hình 3.4a Hệ có hai ẩn, hệ nh hình 3.4b Trên hình ghi độ cứng đơn vị theo io = ei / l Thông số v chịu nén: Thanh đứng bên phải: v1 = l P1 EI = l P EI =v o Thanh đứng bên trái: v2 = l P2 EI = l 0,8 P EI = 0,8 vo = vo Phơng trình ổn định: D= r11 r12 = r11r22 r12 = r21 r22 Các biểu đồ mômen uốn đơn vị nh hình 3.4c, d áp dụng phơng pháp tách nút mặt cắt, ta xác định đợc: r11 = 4io ( vo) + 3io +8io = io [42( vo) + 11] ; r12 = r21 = 4io ; r22 = 4io (vo) + 8io = 4io [2 (vo) + 2] Hình 3.4 Phơng trình ổn định trờng hợp là: 68 4io2 [42 ( vo) + 11] [2 (vo) + 2] 16io2= Hay: (vo).2 ( vo) + 22 ( vo) + 2,752 (vo) + 4,5 = (a) Có thể giải phơng trình siêu việt cách thử dần Để giảm nhẹ việc tìm nghiệm, trớc tiên ta xác định phạm vi xảy nghiệm vo phơng trình Vì vo tỷ lệ thuận với tải trọng tới hạn xuất phát từ ý nghĩa vật lý toán giá trị tải trọng tới hạn cần tìm phải nằm khoảng hai trờng hợp: hai lực P1 = P2 P hai lực P1 = P2 0,8P Do đó, ta tìm cận dới v' cận v'' nghiệm vo từ phơng trình (a) nh sau: Khi P1 = P2 = P tức v1 = v2 = v' ; phơng trình (a) có dạng: 22 (v') + 4,752 (v') + 4,5 = (b) Nghiệm nhỏ (b): (v') = 1,307; suy ra: v' = 5,46 Khi P1 = P2 = 0,8P tức v1 = v2 = v'' với = trình (a) có dạng: 22 ( v'') + 4,752 ( v'') + 4,5 = 0,8 = 0,89443; phơng (c ) Nghiệm nhỏ (c): ( v'')= 1,307; suy ra: v''= 5,46 v'' = 6,10 Nh vậy, nghiệm vo cần tìm nằm khoảng: 5,46 < vo < 6,10 Nếu gọi: = (vo).2 ( vo) + 22 ( vo) + 2,752 (vo) + 4,5 (d) thì: vo = 5,46 ta có: > 0; vo = 6,10 ta có: < Trong lần thử thứ nhất, chọn vo = 5,8 Sử dụng công thức 2(v) cuối bảng 3.1 bảng phụ lục tài liệu [1] ta tìm đợc giá trị biểu thức (d): = (5,8).2 (0,89443.5,8)+22 (0,89443.5,8)+2,752 (5,8)+4,5= 2,54 Do đó, phạm vi xảy nghiệm vo phơng trình (a) đợc thu hẹp nh sau: 5,46 < vo < 5,8 Tiếp tục thu hẹp dần phạm vi qua lần thử tơng tự, cuối ta đợc: vo = 5,56; suy ra: Pth = vo2 ei / l2 = 30,9 ei / l2 Ví dụ 3.2 Xác định lực tới hạn cho hệ khung hình 3.5a Hệ có hai ẩn, hệ nh hình 3.11b Trên hình ghi độ cứng đơn vị theo io = ei /l Thông số v chịu nén: v= l P EI Phơng trình ổn định: D = r11 r12 = r21 r22 = r11r22 r12 Hình 3.5 Các biểu đồ mômen uốn đơn vị nh hình 3.11c, d áp dụng phơng pháp tách nút, ta tìm đợc: 69 r11 = 7,5i ; r12 = r21 = 1,5i / l Để xác định r22 ta vận dụng phơng pháp mặt cắt tìm lực cắt chịu nén theo số liệu hàng thứ bảng 3.1 Kết quả: r22 = i l2 (1,5 v2) Phơng trình ổn định trờng hợp là: i2 l Hay: [7,5(1,5 v2) 1,52] = Suy ra: v2 = 1,2; 7,5 v2 = Pth = v2 EI / l2 = 1,2 EI / l2 Ví dụ 3.3 Cho hệ khung nh hình 3.6, xác định giá trị tới hạn P Hình 3.6 Hình 3.7 Hệ có ẩn gồm chuyển vị xoay chuyển vị thẳng nút 1, 2, Tuy nhiên, trờng hợp ta lập hệ với ẩn chuyển vị xoay nút 1, 2, nh hình 3.7a Thật vậy, điều quan trọng định số ẩn lập hệ tơng ứng hệ tồn phần tử đợc nghiên cứu trớc để dễ dàng vẽ đợc biểu đồ mômen uốn hệ Với hệ hình 3.7a, nút có chuyển vị xoay cỡng bức: ngang làm việc nh phần tử có đầu ngàm, đầu khớp (đã quen thuộc); đứng làm việc nh phần tử có đầu ngàm, đầu ngàm trợt tự theo phơng ngang tơng ứng với số liệu bảng 3.1 Nh ta dễ dàng vẽ đợc biểu đồ mômen uốn hệ hình 3.7a nút chuyển vị xoay cỡng Xác định lực nén thông số v chịu nén: Thanh 0-1: P1 = 2,4P; v1 = h P1 EI = h 2, P EI = v ; Thanh 1-2: P2 = 1,4P; v2 = h P2 EI = h 1, P EI = 0,763 v = v Thanh 2-3: P3 = 0,4P; v3 = h P3 EI = h 0, P EI = 0,408 v = v Các biểu đồ mômen uốn đơn vị nh hình 3.7b, c, d Từ biểu đồ ta xác định đợc: v v r11 = i + + 14,85 ; tgv tgv v r33 =i + 14,85 ; tgv r13 = r31 = 0; v v r22 =i + + 14,85 ; tgv tgv r12 = r21 = i v ; sin v v r23 = r32 = i ; sin v 70 r11 r12 2 r12 r23 +r D = r21 r22 r23 = = r11 22 r33 r32 r33 Phơng trình ổn định: Thay giá trị phản lực đơn vị vào phơng trình trên, ta đợc: 2 v v sin v v v sin v = + + + 14,85 v tgv tgv v v + + 14,85 + 14,85 tgv tgv tgv Sau giải phơng trình theo phơng pháp thử dần kết hợp với bảng phụ lục tài liệu [1] ta tìm đợc giá trị tới hạn thông số v = 2,85 Suy ra: Pth = v2 EI 2, 4h EI = 3,38 h2 3.4 ổn định dầm liên tục đặt gối cứng Xét dầm liên tục có tiết diện không đổi đoạn nhịp chịu lực dọc trục đặt gối tựa nh hình 3.13 Lực dọc trục nhịp thứ i đợc biểu thị theo thông số cần tìm P qua hệ số ki biết nh sau Ni = kiPi Ni = ki P l1 i-1 EIi li-1 i li n+1 i+1 li+1 ln ln+1 Hình 3.13 Khi tính hệ theo phơng pháp chuyển vị ta lập hệ nh hình 3.14a Trong trờng hợp này, phơng trình tắc thứ i biểu thị điều kiện phản lực mômen liên kết đặt thêm vào thứ i không bao gồm ba số hạng: ri(i-1) Zi-1 + rii Zi + ri(i+1) Zi+1 = 0; với i = 1, 2, , n (3.9) Phơng trình (3.9) đợc gọi phơng trình ba góc xoay Về ý nghĩa vật lý, hệ số rim phản lực đơn vị dới dạng mômen liên kết i đặt thêm vào hệ chuyển vị xoay cỡng liên kết m đặt thêm vào hệ lực nén kéo gây hệ Do đó, để xác định rkm ta cần vẽ biểu đồ ( M m ) chuyển vị xoay cỡng Zm = liên kết m lực nén kéo gây hệ bản; tiếp áp dụng phơng pháp tách nút để tìm phản lực liên kết i Hình 3.14 Trên hình 3.15 biểu đồ mômen uốn đơn vị cần thiết để xác định phản lực mômen ri(i-1) , rii , ri(i+1) 71 Nếu đặt: ta tìm đợc: ii = EIi li , vi =li ki P EIi rii = 4ii (vi) + 4ii+12 (vi+1) ; (3.10) (3.11) ri(i-1) = 2ii (vi) ; ri(i+1) = 2ii+13 (vi+1) ; (3.12) Công thức (3.11) nghiệm với i > i < n Khi i = i = n, công thức hệ số rii phụ thuộc điều kiện liên kết đầu dầm: Nếu gối biên ngàm (hình 3.14b), r11 rnn đợc xác định theo (3.11) Nếu gối biên khớp (hình 3.14a), r11 rnn đợc xác định nh sau: r11 = 3i11(v1) + 4i2 2(v2) ; rnn= 4in2 (vn) + 3ii+11 (vn+1) (3.13) Hình 3.15 Từ hệ phơng trình (3.9) ta lập đợc phơng trình ổn định cho dầm liên tục theo phơng pháp chuyển vị cách cho định thức hệ số hệ phơng trình tắc (3.9) không: D = (3.14) Sau khai triển định thức D giải phơng trình ổn định ta tìm thông số vi , từ suy giá trị tới hạn lực P Chú ý: Giá trị tới hạn lực P tìm đợc theo cách trình bày tơng ứng với dầm bị ổn định chuyển vị xoay tiết diện gối tựa trung gian khác không Trong toán dầm liên tục, nghiệm nêu ta phải tìm nghiệm tơng ứng với dầm bị ổn định với chuyển vị xoay tiết diện gối tựa trung gian không ý nghĩa vật lý xảy trờng hợp Chẳng hạn, dầm liên tục hai nhịp chịu lực nh hình 3.16 phơng trình tắc có dạng: [3i (v) + 3i (v)] Z1 = Hình 3.16 Phơng trình đợc thỏa mãn với hai khả năng: Z1 tơng ứng với dạng ổn định phản xứng, ta có: (v) = Suy v = Do đó: P1,th = EI / l2 Z1 = tơng ứng với dạng ổn định đối xứng, nhịp dầm làm việc nh có đầu ngàm (tại 1) đầu khớp (tại 2) Theo kết biết từ chơng 2, ta có: P2,th = EI / (0,7l)2 Lực tới hạn nhỏ tơng ứng với Z1 Do đó: Pth = EI / l2 Ví dụ 3.6 Xác định lực tới hạn cho dầm liên tục đối xứng chịu tải trọng tác dụng đối xứng nh hình 3.17a Theo (3.10), độ cứng đơn vị ii thông số vi nh sau: 72 i1= i4= EI ; i2= i3= 1, EI = i1 ; v1= v4= 2P ; v2= v3= 9 EI 3P =1,5 v1 1, EI Hình 3.17 Giả thiết hệ bị ổn định theo dạng biến dạng phản xứng: sơ đồ tính với nửa hệ tơng đơng nh hình 3.17b Hệ biểu đồ mômen uốn đơn vị tơng ứng nh hình 3.17d Phơng trình tắc: r11 Z1 = Trong trờng hợp này, lực tới hạn nhỏ xảy dầm bị ổn định với Z1 Do đó, phơng trình ổn định có dạng: r11 = 3i1 (v1) + 3i2 (v2) = (a) Hay: (v1) + (1,5v1) = (b) Để giải phơng trình (b) ta vận dụng cách thử dần: Khi v1 = 2,34 ta có: 1,5 v1 = 3,51 ; (2,34) = 0,5589 ; (3,51) = 0,5075 Thay vào (b), ta đợc: 0,5589 0,5075 = 0,0514 > Khi v1 = 2,36 ta có: 1,5 v1 = 3,54 ; (2,34) = 0,5496 ; (3,54) = 0,5638 Thay vào (b), ta đợc: 0,5496 0,5638 = 0,0142 < Nh vậy, giá trị v1 khoảng: 2,34 < v1 < 2,36 Khi v1 = 2,36 phơng trình (b) cho kết gần không v1 = 2,34 nên ta chọn v1 = 2,355 Do đó: P1,th = v12 ì EI = 0,077 ei Giả thiết hệ bị ổn định theo dạng biến dạng đối xứng: sơ đồ tính với nửa hệ tơng đơng nh hình 3.17c Hệ biểu đồ mômen uốn đơn vị tơng ứng nh hình 3.17e Phơng trình tắc: r22 Z2 = Trong trờng hợp này, lực tới hạn nhỏ xảy dầm bị ổn định với Z1 Do đó, phơng trình ổn định có dạng: r11 = 3i1 (v1) + 4i2 (v2) = (c) Hay: 31 (v1) + 42 (1,5v1) = (d) Để giải phơng trình (d) ta vận dụng cách thử dần: Khi v1=3,05 ta có: 1,5v1 = 4,575 ; (3,05) = 0,0906 ; (4,575) = 0,0611 Thay vào (d), ta đợc: 3.0,0906 4.0,0611 = 0,0272 > 73 Khi v1 = 3,06 ta có: 1,5 v1 = 4,59 ; (3,06) = 0,0812 ; (4,59) = 0,0611 Thay vào (d), ta đợc: 3.0,0812 4.0,0611 = 0,048 < Nh vậy, giá trị v1 khoảng: 3,05 < v1 < 3,06 Khi v1 = 3,05 phơng trình (d) cho kết gần không v1 = 3,06 nên ta chọn v1 = 3,054 Do đó: P2,th = v12 62 ì EI = 0,1295 ei Kết luận: dầm bị ổn định theo dạng phản xứng với Pth = 0,077 ei 3.6 ổn định chịu nén dàn Trong giảng đề cập đến toán ổn định cục dàn chịu nén dọc trục Dới tác dụng tải trọng, dàn chịu nén bị ổn định làm cho toàn dàn bị phá hỏng Các chịu nén dàn thờng thẳng, tiết diện không đổi là: Các đứng, biên xiên không cắt qua khác, ví dụ nh aB, aC CD hình 3.18 Hình 3.18 Để kiểm tra ổn định, ta xem làm việc theo sơ đồ có liên kết khớp hai đầu tùy theo thanh đơn hay ghép để sử dụng công thức nghiên cứu 2.2 2.7 chơng Giả thiết có liên kết khớp hai đầu gần thiên mặt an toàn, thực liên kết hai đầu liên kết đàn hồi song xét đến yếu tố toán phức tạp Các đứng xiên cắt qua một, hai nhiều đứng hay xiên khác Trên hình 3.19 trình bày số ví thuộc loại Các xiên chịu nén aCB hình 3.19a b cắt qua xiên khác nhịp Các xiên chịu nén aCDB hình 3.19c d cắt qua hai đứng hai xiên khác dàn Hình 3.19 dụ Khi ổn định, làm việc giống nh có hai gối khớp hai đầu có một, hai nhiều gối đàn hồi bên nhịp (hình 3.20) Thật vậy, tăng lực nén đến giá trị tới hạn, bị cong mặt phẳng dàn, bị cắt ngăn cản lại cho phép chuyển vị tỷ lệ với độ cứng đàn hồi chúng, xem bị cắt nh gối đàn hồi Nh vậy, toán kiểm tra ổn định 74 loại đợc đa toán ổn định liên tục có gối tựa trung gian gối đàn hồi Trong mục 3.7 ta nghiên cứu cách giải toán Hình 3.20 Hệ biên cầu dàn hở Cầu dàn hở cầu có đờng xe chạy dới giằng gió phía biên Hệ biên cầu chịu lực nén thay đổi dọc theo chiều dài hệ Khi ổn định, hệ biên bị cong mặt phẳng dàn, khung ngang cầu (bao gồm dầm ngang hệ thống mặt cầu đứng) ngăn cản không cho phép hệ biên chuyển vị tự làm việc giống nh liên kết đàn hồi Kinh nghiệm cho biết, số đốt dàn lớn bốn thay gối đàn hồi đàn hồi Nh vậy, toán đợc đa trờng hợp làm việc môi trờng đàn hồi chịu lực nén thay đổi dọc theo chiều dài Cách giải xác toán phức tạp, [1, 2], giới thiệu cách giải gần F S iaxinski đề xuất 3.7 ổn định liên tục có gối trung gian đàn hồi Trong mục trình bày cách tính ổn định liên tục có hai gối trung gian đàn hồi trờng hợp thờng gặp thực tế Trờng hợp có nhiều gối trung gian đàn hồi cách thực tơng tự Để giải toán thực theo nhiều phơng pháp, mục đề cập đến phơng pháp chuyển vị nghiên cứu 3.3 a ổn định liên tục hai nhịp có gối trung gian đàn hồi Xét liên tục hai nhịp có gối trung gian đàn hồi chịu lực nén P nh hình 3.21 Gọi c độ cứng liên kết đàn hồi Về ý nghĩa, c lực cần thiết tác dụng gối đàn hồi cho gối chuyển vị đơn vị theo phơng vuông góc với trục Hình 3.21 Hệ nh hình 3.22 Vì hệ đối xứng chịu tải trọng tác dụng đối xứng nên phân tích thành hai trờng hợp: bị ổn định theo dạng đối xứng (đờng i hình 3.21) ; bị ổn định theo dạng phản xứng (đờng ii hình 3.21) Giả thiết bị ổn định theo dạng biến dạng đối xứng: Trong trờng hợp ta có: Z1 0; Z2 = Phơng trình tắc: r11 Z1 = Phơng trình ổn định: r11 = Từ biểu đồ mômen uốn đơn vị hình 3.22b bảng 3.1, ta xác định đợc: r11 =2 Suy ra: 3i l12 1(v) + c = 0, 1(v) = đó: cl 48 EI (3.15) Nh vậy, cho biết độ cứng c liên kết đàn hồi kích thớc hình học sử dụng công thức 1(v) 75 v =l P l P = EI EI cuối bảng 3.1 bảng phần Phụ lục tài liệu [1, 2] để xác định v từ suy lực tới hạn Giả thiết bị ổn định theo dạng biến dạng phản xứng: Trong trờng hợp ta có: Z1 = 0; Z2 Phơng trình tắc: r22 Z2 = Hình 3.22 Phơng trình ổn định: r22 = Từ biểu đồ mômen uốn đơn vị hình 3.22c bảng 3.1, ta xác định đợc: r22 = 2.3i 1(v) = 0, Hay 1(v) = Suy ra: v = Do đó, ta có: Pth = EI l12 =4 EI l2 = Pe ; (3.16) với Pe =2 ei / l2 lực tới hạn gối đàn hồi trung gian Sau xác định lực tới hạn tơng ứng với hai trờng hợp trên, ta chọn giá trị nhỏ giá trị tới hạn toán Trên hình 3.23 (theo [12]) đồ thị biến thiên tỷ số Pth/Pe theo tơng quan độ cứng gối đàn hồi với độ cứng cl3/2ei Hình 3.23 Ta thấy: c < 162ei / l3, bị ổn định theo dạng đối xứng; c > 162ei / l3, bị ổn định theo dạng phản xứng, lực tới hạn đợc xác định theo (3.16) không phụ thuộc độ cứng c Để áp dụng kết nghiên cứu kiểm tra ổn định chịu nén aCB dàn hình 3.19a b ta cần xác định độ cứng c gối đàn hồi Gọi: ei độ cứng chịu nén aCB cần kiểm tra ổn định; ei1 độ cứng bị cắt eCF Trong trờng hợp này, độ cứng c gối đàn hồi lực cần thiết tác dụng theo phơng vuông góc với mặt phẳng dàn nhịp đơn giản eCF cho điểm C chuyển vị đơn vị theo phơng vuông góc với mặt phẳng dàn 48 EI1 cl Từ công thức tính chuyển vị: C = = suy c = 48 EI1 l3 (3.17) Thay (3.17) vào (3.15) ta đợc phơng trình ổn định tơng ứng với dạng biến dạng đối xứng: 1(v) = I1 I (3.18) Nếu cho biết tỷ số i1 / i sau giải phơng trình (3.18) ta tìm đợc thông số v từ suy lực tới hạn Có thể biểu thị lực tới hạn theo công thức quen thuộc nh sau: Pth = EI ( l) Hệ số phụ thuộc tỷ số i1 / i có giá trị tìm đợc nh bảng 3.2 76 (3.19) Bảng 3.2 I1 / I 0,1 0,2 0,4 0,5 0,6 0,8 1,0 2,0 3,0 0,950 0,912 0,845 0,818 0,793 0,750 0,714 0,586 0,516 2/3 0,500 Lực tới hạn tơng ứng với dạng phản xứng đợc xác định theo công thức (3.16) Khi ta có = 0,5 tơng ứng với tỷ số (i1/ i) (2/3) = 3,2896 Nh vậy: (i1/ i) < (2/3), bị ổn định theo dạng đối xứng; (i1/ i) (2/3), bị ổn định theo dạng phản xứng, hệ số không đổi 0,5 Điều có nghĩa i1 vợt qua giá trị 3,2898 i có tăng độ cứng bị cắt eCF lên nữa, lực tới hạn không thay đổi Hình 3.24 Trên hình 3.24 đồ thị biến thiên theo tỷ số i1 / i B ổn định liên tục ba nhịp có gối trung gian đàn hồi Xét liên tục ba nhịp có hai gối trung gian đàn hồi chịu lực nén P nh hình 3.25 Giả sử hai gối trung gian đàn hồi có độ cứng nh c Hình 3.25 Hệ có tính chất đối xứng chịu tải trọng tác dụng đối xứng Ta phân tích thành hai trờng hợp: bị ổn định theo dạng đối xứng (đờng i hình 3.25) ; bị ổn định theo dạng phản xứng (đờng ii hình 3.25) Giả thiết bị ổn định theo dạng đối xứng: Sơ đồ tính với nửa hệ tơng đơng nh hình 3.26a Hệ biểu đồ mômen uốn đơn vị tơng ứng nh hình 3.26b, c, d Phơng trình ổn định: D = r11 r12 = r21 r22 Từ biểu đồ mômen uốn đơn vị ta xác định đợc: Hình 3.26 r11 = EI lo3 1(v) + c = EI 2EI EI ( v ) + f ; lo ( v 2) EI r12 = r21 = ( v 2) ì = (v) + ì r22 = l 1(v) + , lo tg ( v 2) lo tg ( v 2) o 77 EI lo2 1(v) ; P l P ; = EI EI v = lo đó: (3.20) 3 f = 5clo = ì cl EI 162 (3.21) EI Sau thay phản lực đơn vị vào phơng trình ổn định khai triển, ta đợc: v 12 (v ) ( v ) ( v ) + 3tg ( v 2) f=5ì v (v) + 3tg ( v 2) (3.22) Nếu cho biết kích thớc độ cứng c gối đàn hồi, tức biết giá trị f theo (3.21) sau giải phơng trình (3.22) ta tìm đợc thông số v từ suy lực tới hạn Từ (3.20) ta biểu thị lực tới hạn theo công thức: 2 Pth = 9v EI = EI 2 với ( l) l à= 3v (3.23) Giả thiết bị ổn định theo dạng biến dạng phản xứng: Sơ đồ tính với nửa hệ tơng đơng nh hình 3.27a Hệ biểu đồ mômen uốn đơn vị tơng ứng nh hình 3.27b, c, d Phơng trình ổn định: D= r11 r12 = r21 r22 Từ biểu đồ mômen uốn đơn vị ta xác định đợc phản lực đơn vị nh sau: r12 =r21= EI lo2 [ 1(v) 1(v 2)] ; Hình 3.27 r11 = EI lo3 r22 = 1(v) + [ 24 EI lo3 ( v 2) + c = ] EI ( v ) + 81 ( v 2) + f ; lo3 EI ( v ) + (v 2) lo Thay phản lực đơn vị vào phơng trình ổn định khai triển, ta đợc: f= ì [ (v) 1(v 2)] [1 (v) + 81 (v 2)][ 1(v) + 1(v 2)] , ( v) + ( v 2) (3.24) v f đợc xác định theo (3.20) (3.21) Nếu cho biết kích thớc độ cứng c gối đàn hồi, tức biết giá trị f theo (3.21) sau giải phơng trình (3.24) ta tìm đợc thông số v từ suy lực tới hạn theo (3.23) Để dựng đồ thị liên hệ hệ số công thức (3.23) với đại lợng f biểu 78 thị kích thớc độ cứng gối đàn hồi, ta lần lợt cho v nhiều giá trị khác nhau, ứng với giá trị v xác định giá trị f theo (3.22) (3.24) xác định đợc giá trị theo công thức (3.23) Trên hình 3.28 đồ thị liên hệ hệ số với đại lợng f Đờng cong i tìm đợc theo (3.22) tơng ứng với bị ổn định theo dạng đối xứng Đờng cong ii tìm đợc theo (3.24) tơng ứng với bị ổn định theo dạng phản xứng Tất nhiên ta sử dụng phần đờng cong cho kết lớn tức cho lực tới hạn nhỏ Đó đoạn cong vẽ liền nét hình 3.28 Đồ thị 3.28 giúp ta dễ dàng tìm đợc lực tới hạn cho chịu nén có ba nhịp có hai gối đàn hồi trung gian Hình 3.28 Để áp dụng kết nghiên cứu kiểm tra ổn định chịu nén aCDB dàn hình 3.19c, d ta cần xác định độ cứng c gối đàn hồi Gọi: ei l độ cứng chiều dài chịu nén aCDB; ei1 l1 độ cứng chiều dài bị cắt Độ cứng c gối đàn hồi đợc xác định theo điều kiện biến dạng đối xứng bị cắt, lực cần tác dụng theo phơng vuông góc với mặt phẳng dàn giao điểm chịu nén với bị cắt cho giao điểm chuyển vị đơn vị theo phơng vuông góc với mặt phẳng dàn Nói khác đi, c giá trị nghịch đảo chuyển vị giao điểm nói bị cắt chịu lực P = Ví dụ, với dạng biến dạng đối xứng, vận dụng tính chất đối xứng chuyển vị bị cắt khái niệm chuyển vị khái quát, ta xác định chuyển vị khái quát * = cách nhân biểu đồ mômen uốn đơn vị hình 3.29b với Hình 3.29 Kết quả: Hay: 3 l 1l ei1* = ei1.2 = ( M1 ) ( M1 ) = + = l13 3 81 = 5l13 162EI1 suy c= Theo (3.21), trờng hợp ta có: 162EI1 5l13 cl I l ì = f= 162 EI I l13 Sau biết giá trị f , sử dụng đồ thị hình 3.28 ta tìm đợc hệ số từ suy lực tới hạn 79 Trờng hợp đặc biệt i1 = i l1 = l, ta có f = 1, từ đồ thị hình 3.28 ta tìm đợc hệ số = 0,7 suy lực tới hạn: Pth =2 EI / (0,7l)2 Bài tập III.1 Tìm lực tới hạn cho hệ hình III.1 III.2 Tìm lực tới hạn cho hệ hình III.2 Cho biết: EI = const III.3 Tìm lực tới hạn cho hệ hình III.3 Cho biết: EI = const III.4 Cho hệ chịu lực P nh Hình III.1 hình III.4 Tìm giá trị tới hạn P tơng ứng với hai trờng hợp: a) b) Hình III.2 k = 1; k = III.5 Cho hệ chịu lực P nh hình III.5 Tìm giá trị tới hạn lực P Hình III.3 Hình III.4 Hình III.5 III.6 Cho hệ chịu lực nh hình III.6, tìm giá trị tới hạn lực P Cho biết: EI = const III.7 Cho hệ chịu lực nh hình III.7, tìm giá trị tới hạn lực P 80 Hình III.6 Hình III.7 III.8 Cho hệ chịu lực nh hình III.8, tìm giá trị tới hạn lực P Cho biết ngang có độ cứng EA = III.9 Cho hệ chịu lực nh hình III.9, tìm giá trị tới hạn lực P Cho biết xiên AB CD có độ cứng E1A1 = 40 ì EI h2 Hình III.8 III.10 Cho hệ chịu lực tác dụng đối xứng nh hình III.10 Lập phơng trình ổn định tìm giá trị tới hạn P k = ; l = 2h Hình III.9 Hình III.10 III.11 Cho dầm liên tục chịu lực nh hình III.11a, b, c, d Tìm giá trị tới hạn P Cho biết nhịp dầm có chiều dài nh l ; EI = const Hình III.11 III.12 Tìm lực tới hạn cho hệ chịu lực P nh hình III.12 Cho biết: EI = const ; ngang CD có độ cứng EA = Hình III.12 Hình III.13 81 [...]... bộ của các thanh dàn chịu nén dọc trục Dới tác dụng của tải trọng, các thanh dàn chịu nén có thể bị mất ổn định và làm cho toàn dàn bị phá hỏng Các thanh chịu nén trong dàn thờng là các thanh thẳng, tiết diện không đổi và có thể là: Các thanh đứng, thanh biên hoặc thanh xiên không cắt qua các thanh khác, ví dụ nh các thanh aB, aC và CD trên hình 3.1 8 Hình 3.1 8 Để kiểm tra ổn định, ta xem thanh làm... nhiều thanh đứng hay thanh xiên khác Trên hình 3.1 9 trình bày một số ví về những thanh thuộc loại này Các thanh xiên chịu nén aCB trên hình 3.1 9a và b là thanh cắt qua một thanh xiên khác ở giữa nhịp Các thanh xiên chịu nén aCDB trên hình 3.1 9c và d là thanh cắt qua hai thanh đứng hoặc hai thanh xiên khác của dàn Hình 3.1 9 dụ Khi mất ổn định, những thanh này làm việc giống nh thanh có hai gối khớp... Trong mục 3.7 ta sẽ nghiên cứu cách giải bài toán này Hình 3.2 0 Hệ thanh biên trên của cầu dàn hở Cầu dàn hở là cầu có đờng xe chạy dới và không có giằng gió ở phía biên trên Hệ thanh biên trên của cầu chịu lực nén thay đổi dọc theo chiều dài của hệ thanh Khi mất ổn định, hệ thanh biên trên bị cong ra ngoài mặt phẳng dàn, các khung ngang trong cầu (bao gồm dầm ngang của hệ thống mặt cầu và thanh đứng)... hình 3.2 3 (theo [12]) là đồ thị biến thiên của tỷ số Pth/Pe theo tơng quan độ cứng của gối đàn hồi với độ cứng của thanh cl3/2ei Hình 3.2 3 Ta thấy: khi c < 162ei / l3, thanh bị mất ổn định theo dạng đối xứng; khi c > 162ei / l3, thanh bị mất ổn định theo dạng phản xứng, lực tới hạn đợc xác định theo (3.1 6) và không phụ thuộc độ cứng c Để áp dụng kết quả nghiên cứu ở trên khi kiểm tra ổn định của thanh. .. hợp: thanh bị mất ổn định theo dạng đối xứng (đờng i trên hình 3.2 5) ; thanh bị mất ổn định theo dạng phản xứng (đờng ii trên hình 3.2 5) Giả thiết thanh bị mất ổn định theo dạng đối xứng: Sơ đồ tính với nửa hệ tơng đơng nh trên hình 3.2 6a Hệ cơ bản và các biểu đồ mômen uốn đơn vị tơng ứng nh trên hình 3.2 6b, c, d Phơng trình ổn định: D = r11 r12 = 0 r21 r22 Từ các biểu đồ mômen uốn đơn vị ta xác định. .. giữa hệ số à trong công thức (3.2 3) với đại lợng f biểu 78 thị kích thớc của thanh và độ cứng của gối đàn hồi, ta lần lợt cho v nhiều giá trị khác nhau, ứng với mỗi giá trị của v xác định một giá trị của f theo (3.2 2) hoặc (3.2 4) và xác định đợc một giá trị của à theo công thức (3.2 3) Trên hình 3.2 8 là đồ thị liên hệ giữa hệ số à với đại lợng f Đờng cong i tìm đợc theo (3.2 2) tơng ứng với khi thanh. .. (vn) + 3ii+11 (vn+1) (3.1 3) Hình 3.1 5 Từ hệ phơng trình thuần nhất (3.9 ) ta lập đợc phơng trình ổn định cho dầm liên tục theo phơng pháp chuyển vị bằng cách cho định thức các hệ số của hệ phơng trình chính tắc (3.9 ) bằng không: D = 0 (3.1 4) Sau khi khai triển định thức D và giải phơng trình ổn định ta tìm thông số vi , từ đó suy ra giá trị tới hạn của lực P Chú ý: Giá trị tới hạn của lực P tìm đợc theo... kiểm tra ổn định của thanh chịu nén aCDB trong dàn trên hình 3.1 9c, d ta cần xác định độ cứng c của gối đàn hồi Gọi: ei và l độ cứng và chiều dài của thanh chịu nén aCDB; ei1 và l1 độ cứng và chiều dài của thanh bị cắt Độ cứng c của gối đàn hồi đợc xác định theo điều kiện biến dạng đối xứng của thanh bị cắt, đó là lực cần tác dụng theo phơng vuông góc với mặt phẳng dàn tại giao điểm của thanh chịu... thành hai trờng hợp: thanh bị mất ổn định theo dạng đối xứng (đờng i trên hình 3.2 1) ; thanh bị mất ổn định theo dạng phản xứng (đờng ii trên hình 3.2 1) Giả thiết thanh bị mất ổn định theo dạng biến dạng đối xứng: Trong trờng hợp này ta có: Z1 0; Z2 = 0 Phơng trình chính tắc: r11 Z1 = 0 Phơng trình ổn định: r11 = 0 Từ biểu đồ mômen uốn đơn vị trên hình 3.2 2b và bảng 3.1 , ta xác định đợc: r11 =2 Suy... 2) (3.2 2) Nếu cho biết kích thớc của thanh và độ cứng c của gối đàn hồi, tức là biết giá trị của f theo (3.2 1) thì sau khi giải phơng trình (3.2 2) ta tìm đợc thông số v và từ đó suy ra lực tới hạn Từ (3.2 0) ta có thể biểu thị lực tới hạn của thanh theo công thức: 2 2 Pth = 9v EI = EI 2 2 với ( à l) l à= 3v (3.2 3) Giả thiết thanh bị mất ổn định theo dạng biến dạng phản xứng: Sơ đồ tính với nửa hệ