2. ỔN ĐỊNH CỦA THANH THẲNG

2 ổn định thẳng 2.1 Các phơng trình chuyển vị nội lực chịu uốn với nén kéo Xét chịu lực nén P trạng thái cân biến dạng hệ toạ độ nh hình 2.1a Giả sử trạng thái biến dạng, đầu trái có chuyển vị thẳng theo phơng trục y y(0) chuyển vị góc y'(0), đồng thời đầu trái xuất mômen uốn M(0) lực Q(0) vuông góc với vị trí ban đầu (hình 2.1a) Hình 2.1 Mômen uốn tiết diện có hoành độ z trạng thái biến dạng: M(z) = M(0) + Q(0) z + P[ y y(0)] y" = M / ei , ta có: Từ phơng trình vi phân đờng đàn hồi: { M(0) + Q(0) z + P[ y y(0)]} EI P y"+ y = [M(0) + Q(0) z Py(0)] , với = EI EI y" = Hay: (2.1) Nghiệm phơng trình vi phân (2.1) có dạng: y(z) = a sin z + B cos z EI [M(0) + Q(0) z Py(0)] (2.2) Các số tích phân a B đợc xác định theo điều kiện biên đầu trái z = Để thực hiện, ta lấy đạo hàm phơng trình (2.2) theo z: y'(z) = a cos z B sin z EI Q(0) (2.3) Từ (2.2) (2.3) ta viết điều kiện biên đầu trái z = nh sau: y(0) = B Suy ra: [M(0) Py(0)] ; EI Q( 0) y' ( 0) a= + ; EI y'(0) = a B= M ( 0) EI EI Q(0) Thay giá trị vừa tìm đợc a B vào (2.2) ý 2=P/ei ta đợc phơng trình đờng đàn hồi trạng thái biến dạng: y(z) = y(0) + M ( 0) Q( 0) y' ( 0) sin z (1cos z) ( z sin z) (2.4) EI EI Các đại lợng y(0), y'(0), M(0) Q(0) đợc gọi thông số ban đầu 33 Tùy theo điều kiện liên kết đầu thanh, thông số ban đầu biết cha biết Các thông số ban đầu cha biết đợc xác định theo điều kiện biên đầu phải Từ phơng trình (2.4), ta tìm đợc phơng trình góc xoay từ suy phơng trình mômen uốn thanh: Q( ) M( 0) sin z (1 cos z) ; EI EI Q( ) M(z) =ei y"(z) = eiy'(0) sin z + M(0)cos z + sin z y'(z) = y'(0) cos z (2.5) (2.6) Từ điều kiện cân lực nh hình 2.1b ta xác định đợc lực cắt theo sơ đồ không biến dạng: dM ( z ) dy( z ) P = Q(0) dz dz Q(z) = (2.7) Các phơng trình từ (2.4) đến (2.7) thiết lập cho trờng hợp chuyển vị nội lực liên tục Nếu dọc theo chiều dài thanh, chuyển vị nội lực có bớc nhảy (gián đoạn) cần lập phơng trình cho đoạn đại lợng liên tục nh biết từ giáo trình Sức bền vật liệu Trong trờng hợp này: đoạn thứ ta sử dụng phơng trình từ (2.4) đến (2.7); đoạn thứ m+1 ta viết phơng trình chuyển vị nội lực theo phơng trình đoạn thứ m nh sau: ym+1(z) = ym(z) + y(am) + y' ( am ) sin(zam) Q( a m ) EI M (a m ) EI [1cos(zam)] [(z am) sin(zam)] ; (2.8) y'm+1(z) = y'm(z) + y'(am) cos(zam) M (am ) sin(zam) EI Q( am ) EI [1-cos(z-am)] ; (2.9) Mm+1(z) = Mm(z) + eiy'(am) sin(zam) +M(am) cos(zam) + Q( am ) sin(z am) ; Qm+1(z) = Qm(z) + Q(am) (2.10) (2.11) Trong phơng trình trên: z am , với am hoành độ tiết diện phân giới đoạn thứ m đoạn thứ m+1, có gián đoạn chuyển vị nội lực y(am), y'(am), M(am) Q(am) lần lợt giá trị bớc nhảy độ võng, góc xoay, mômen uốn lực cắt hoành độ am Chú thích: Trờng hợp chịu uốn với lực kéo P, tất biểu thức ta cần thực phép thay nh sau: i với 2= P/e i ; đó: ; sinz i shz ; cosz chz ; 2.2 ổn định thẳng, tiết diện không đổi có 34 liên kết hai đầu Để lập phơng trình ổn định áp dụng chung cho thẳng, tiết diện không đổi có liên kết hai đầu ta xét chịu lực nén P với mô hình nh hình 2.2 Hình 2.2 Gọi: k hệ số đàn hồi liên kết đàn hồi chuyển vị thẳng (chuyển vị thẳng liên kết đàn hồi lực đơn vị gây ra); hệ số đàn hồi liên kết ngàm đàn hồi chuyển vị xoay (góc xoay liên kết ngàm đàn hồi mômen đơn vị gây ra) Tại đầu trái a, gọi yo o thông số cha biết ta xác định phản lực M R theo yo o Nh thông số đầu trái là: y(0) = yo = ?; y'(0) = o = ?; M(0) = o / o ; Q(0) = yo / k Tại đầu phải B, ta có điều kiện: y(l) = ; y'(l) = l Góc xoay cha biết l đợc xác định theo điều kiện cân bằng: MB = l l y + o + Pyo o l = suy ra: l = l P yo o k l o o k Nh vậy, toán có hai thông số cha biết yo o đợc xác định theo điều kiện đầu bên phải y(l) = ; y'(l) = l Từ (2.4) (2.5) với ý 2=P/ei ta đợc: y(z) = yo + o sin z y'(z) = o cos z + o o EI o o EI (1cos z) sin z yo k EI yo k EI ( z sin z) ; (1 cos z) Điều kiện biên đầu B: y(l) = yo + o sin l y'(l)=o cos l + Đặt: o o EI o o EI sin l (1cos l) yo k EI yo k EI ( l sin l) = ; l k (1 cos l) = l P yo v=l (2.12) Sau biến đổi ta đợc hệ hai phơng trình nhất: sin v cos v v sin v o = ; yo + + k EI o EI l o o l sin v l cos v o = ; cos v + + P y + o k k EI oEI o 35 Lập điều kiện tồn nghiệm yo o cách cho định thức hệ số không ta đợc phơng trình ổn định nh sau: v sin v k EI sin v l cos v cos v + + l l P k k EI oEI o sin v cos v + = o EI (2.13) Nếu cho biết đại lợng: l, k, o , l , ta giải phơng trình siêu việt (2.13) để tìm từ suy giá trị lực tới hạn: Pth = 2ei Khi giải toán cụ thể ta lập đợc phơng trình ổn định tơng ứng từ phơng trình (2.13) với ý sau: Trờng hợp liên kết cứng, hệ số đàn hồi nhận giá trị không Trờng hợp liên kết, hệ số đàn hồi nhận giá trị vô Khi áp dụng cụ thể, biểu thức (2.13) có dạng vô định cần khử vô định theo quy tắc biết toán học Bảng 2.1 cung cấp kết tìm phơng trình ổn định giá trị tới hạn cho toán cụ thể thờng gặp thực tế Khi sử dụng bảng cần ý: Hàng thứ ba nêu cách tìm kết sơ đồ từ đến theo sơ đồ từ đến Trờng hợp có liên kết cứng, lực tới hạn đợc xác định theo công thức: Pth = EI ( l) (2.14) Giá trị tìm theo hàng cuối bảng 2.1 Trên sơ đồ 9, ký hiệu hình vuông với nét gạch chéo theo hai chiều biểu thị ngàm trợt theo phơng vuông góc với trục 36 Ví dụ 2.1 Cho hệ nh hình 2.3a yêu cầu: 1) Tìm sơ đồ tính phơng trình ổn định để kiểm tra ổn định cho đứng chịu nén Trình bày cách tìm lực tới hạn 2) Tìm giá trị lực tới hạn a = 2l ei = const 37 Hình 2.3 1) Để giải toán ta xem aC nh có đầu tự đầu có ngàm đàn hồi Sơ đồ tính hệ nh hình 2.3b Hệ số đàn hồi ngàm đàn hồi a góc xoay a dầm aB mômen đơn vị đặt a gây Ta xác định đại lợng theo phơng pháp biết Sức bền vật liệu Cơ học kết cấu (Nhân biểu đồ mômen) Kết quả: = a / 3ei Từ kết cho bảng 2.1, với sơ đồ ta có phơng trình ổn định: v tgv = l EI hay ctgv = v tg với tg = EI l Để giải phơng trình siêu việt ta vận dụng cách thử dần vận dụng phơng pháp đồ thị Theo phơng pháp đồ thị, ta lần lợt vẽ đờng biểu thị hàm số = ctgv = v tg theo biến số v nh hình 2.3c để tìm giao điểm chúng Hoành độ giao điểm cho nghiệm cần tìm Nghiệm có ý nghĩa thực tế nghiệm cho giá trị nhỏ Sau tìm đợc vth ta xác định đợc th = vth / l từ suy lực tới hạn tơng ứng Từ hình 2.3b ta thấy vth nhỏ có giá trị nhỏ /2 lực tới hạn xét luôn nhỏ giá trị 2ei / 4l2 lực tới hạn tơng ứng với có sơ đồ bảng 2.1: đầu tự do, đầu ngàm cứng (khi = nên phơng trình ổn định có dạng ctg v = vth = /2) 2) Trờng hợp a = 2l: ta có = 2l 2l EI = nên tg = EI EI l Phơng trình ổn định có dạng ctgv = 2v / Vận dụng phơng pháp đồ thị ta tìm đợc vth = 1,01 Do đó: Pth =(1,01)2 ei / l2 = 1,02 ei / l2 Ví dụ 2.2 Cho hệ hình 2.4a Tìm sơ đồ tính phơng trình ổn định để kiểm tra ổn định cho đứng chịu nén Xác định giá trị lực tới hạn Để giải toán ta xem aB nh có đầu ngàm a đầu có liên kết đàn hồi theo phơng ngang B Sơ đồ tính hệ nh hình 2.4b, tơng ứng với sơ đồ bảng 2.1 Vì độ cứng BC vô nên hệ bị ổn định chuyển vị ngang B C nh Do đó, hệ số đàn hồi k liên kết đàn hồi B chuyển vị ngang đầu tự C CD lực đơn vị đặt C gây ra, ta có: k = l3/3ei Từ kết cho bảng 2.1, với sơ đồ ta có phơng trình ổn định: 38 tgv = v v kEI l3 Vận dụng phơng pháp đồ thị: lần lợt vẽ đờng biểu thị hàm = tg v hàm = v (kei / l3) v3 theo biến số v nh hình 2.4c để tìm giao điểm chúng Hoành độ giao điểm xác định nghiệm cần tìm Từ hình 2.4c ta thấy nghiệm có ý nghĩa thực tế tơng ứng với giá trị vth nằm khoảng từ /2 đến 3/2 Hình 2.4 Khi k = l3/3ei : Theo phơng pháp đồ thị ta xác định đợc vth = 0,69 = 2,16 Do đó: Pth =(2,16)2 ei / l2 = 4,67 ei / l2 Khi k = , tức liên kết đàn hồi, phơng trình ổn định trở thành: tg v = ; v = /2 Kết quả: Pth = 2ei/ 4l2 Ta đợc công thức tính lực tới hạn cho có đầu ngàm, đầu tự (sơ đồ bảng 2.1) Khi k = , tức đàn hồi trở thành tuyệt đối cứng, phơng trình ổn định trở thành: tg v = v ; v = 4,493 Kết quả: Pth = 2ei/ (0,7l)2 Ta đợc công thức tính lực tới hạn cho có đầu ngàm, đầu khớp (sơ đồ bảng 2.1) 2.3 ổn định thẳng tiết diện không đổi, chịu tác dụng trọng lợng thân Cách tính gần Giáo s N M Mitrôpônski phát triển cách tính gần a P Kôrôbôv để giải toán ổn định chịu tải trọng tác dụng dọc theo chiều dài (hình 2.10a) phân bố theo quy luật (hình 2.10b) Theo phơng pháp này, ta thay phân tố lực q(z)dz (hình 2.10b) đặt tiết diện có toạ độ z phân tố lực tập trung dQ đặt đầu Phân tố lực tập trung đợc xác định theo nguyên tắc chuyển lực tơng đơng a P Kôrôbôv: dQ = (z / l)2 q(z)dz Hình 2.10 Nh vậy, đầu có lực tập trung Q tơng đơng với toàn tải trọng tác dụng chiều dài (hình 2.10c): Q= l z q( z )dz l2 39 (2.28) Từ hình 2.10b ta thấy q(z)dz = dF, với F diện tích biểu đồ tải trọng phân bố Nh vậy, tích phân biểu thức (2.28) mômen quán tính io biểu đồ tải trọng phân bố lấy trục ngang qua tiết diện ngàm Do đó: Q= l2 Io (2.29) Khi bị ổn định, ta có: Qth = Suy ra: Io, th = l2 I o, th = EI 4l EI (2.30) Phơng trình (2.30) cho phép ta xác định đợc tải trọng tới hạn tác dụng dọc theo chiều dài với quy luật Các trờng hợp đặc biệt: Thanh có tiết diện không đổi chịu tác dụng trọng lợng thân Lúc tải trọng tác dụng phân bố nh hình 2.11b Ta có: I o, th = qth l 3 Do đó, theo (2.30): EI (ql)th = EI = 7,4 l2 l Hình 2.11 Thanh chịu tải trọng phân bố theo luật hình tam giác nh hình 2.11c Ta có: io,th = qth l3 / Do đó, theo (2.30): (ql)th = 9,87 ei / l2 Kết xác a N Đinnhích tìm đợc là: (ql)th = 10,24 ei / l2 Nh vậy, sai số tính gần trờng hợp 3% Thanh chịu tải trọng phân bố theo luật hình tam giác nh hình 2.11d Ta có: io,th = qth l3 / 12 Do đó, theo (2.30): (ql)th = 29,6 ei / l2 Kết xác a N Đinnhích tìm đợc là: (ql)th = 21,2 ei / l2 Nh vậy, sai số tính gần trờng hợp 8% Qua kết vừa tìm đợc ta thấy cách tính gần N M Mitrôpônski cho kết tơng đối tốt trờng hợp tải trọng phân bố giảm dần từ đầu tự đến đầu ngàm Đối với trờng hợp có dạng liên kết khác, cách giải toán tơng tự nguyên tắc Trong tất trờng hợp, ta viết công thức tải trọng tới hạn dới dạng tổng quát nh sau: (ql)th = K EI l2 (2.31) K hệ số phụ thuộc vào dạng liên kết đầu dạng phân bố tải trọng Trong trờng hợp tải trọng phân bố dọc theo chiều dài thanh, giá trị hệ số K tìm đợc nh bảng 2.2 40 Khi chịu tác dụng đồng thời tải trọng phân bố với cờng độ q tải trọng tập trung P đặt đầu nh hình 2.12, tải trọng tới hạn đợc xác định theo công thức sau: Pth = K1 EI l2 (2.32) Trong K1 hệ số phụ thuộc dạng liên kết đầu thanh, dạng phân bố tải trọng cờng độ tải trọng phân bố Trên bảng 2.3 (theo [12]) cho giá trị hệ số K1 theo trị số n = ql3 /2ei tơng ứng với trờng hợp có dạng liên kết nh hình 2.12, chịu tải trọng phân bố Hình 2.12 Bảng 2.3 0,25 0,50 0,75 1,20 2,00 3,00 n = ql 3/ 2ei 0,00 K Hình 2.12a Hình 2.12b / 8,63 7,36 6,08 4,77 0,66 4,94 2,28 2,08 1,91 1,72 0,96 0,15 2.5 ổn định thẳng có tiết diện thay đổi Trong mục giới thiệu cách tính xác cho số trờng hợp thờng gặp thực tế a Thanh có độ cứng thay đổi theo hình bậc thang Xét gồm hai đoạn có độ cứng thay đổi với hệ toạ độ chọn nh hình 2.13 Gọi ei1 độ cứng đoạn ei2 độ cứng đoạn dới Phơng trình vi phân viết cho đoạn nh sau: ei1 y1" + P y1 = P ; ei2 y2"+ P y2 = P Nghiệm hai phơng trình vi phân: y1 =a1sin1z + B1cos1z + ; y2 =a2 sin2z + B2 cos2 z + , với: = Các P EI điều ; 22 = kiện P EI biên: 41 Hình 2.13 Hình 2.14 z = 0: ta có: y'2 = ; z = l : ta có: y1 = ; z = l2 : ta có: y'1 = y'2 y''1 = EI EI y''2 = 12 22 y''2 Từ điều kiện biên ta lập đợc hệ bốn phơng trình, đủ để xác định số tích phân: a2 = ; a1 sin l + B1 cos l = ; a1 cos l2 B1 sin l2 + B2 sin l2 = ; a1 sin l2 + B1 cos l2 B2 cos l2 = Lập điều kiện tồn số tích phân ta đợc phơng trình ổn định: sin l cos l D() = cos l2 sin l2 sin l cos l 2 sin l = cos l Sau khai triển định thức chỉnh lý lại, ta đợc phơng trình ổn định: tg l1 tg l2 = (2 33) Khi biết tỷ số ei1 / ei2 l2 / l1, ta giải đợc phơng trình (2.33) từ suy lực tới hạn cần tìm Trong trờng hợp chịu hai lực tập trung: lực P1 đặt đỉnh lực P2 đặt chỗ tiếp giáp hai đoạn nh hình 2.14, thiết lập tơng tự nh ta đợc phơng trình ổn định: tg l1 tg l2 = : = P1 EI1 ; P + P2 ì , P1 (2 34) = ( P1 + P2 ) EI Ví dụ 2.5 Xác định lực tới hạn cho hình 2.14 Cho biết : l1 = l ; l2 = l ; P1= P; P2 = 5P ei2 = ei1 3 Trong trờng hợp này: = P EI1 = ; l1 = l = v ; = ( P + P ) EI = P 1, EI1 =2 3 l2 = l = l = v Phơng trình (2.34) có dạng: tg2 v = Hay tg v = 42 Suy ra: v = /3 Do ta có: v = 2 l = l P EI1 = 3 EI1 Pth = Suy : 4l Cũng áp dụng phơng trình (2.33) cho chịu lực nén hai đầu có dạng nh hình 2.15, sử dụng ký hiệu nh ghi hình Công thức xác định lực tới hạn nh sau: EI Pth = K2 l2 Hình 2.15 (2.35) K2 hệ số phụ thuộc dạng liên kết đầu tỷ số i1 / i2 ; l2 / l, tìm đợc theo bảng 2.4 [12] Bảng 2.4 I1 / I2 Thanh có khớp hai đầu Thanh có ngàm hai đầu l2 / l 0,01 0,10 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 0,01 0,10 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,153 1,467 2,796 5,089 6,978 8,550 0,614 5,866 11,132 20,238 27,713 34,022 - 0,207 2,401 4,222 6,680 8,187 9,177 1,082 9,484 16,261 24,888 30,616 35,314 - 0,598 4,498 6,694 8,512 9,240 9,632 2,390 15,467 20,460 36,306 31,086 35,442 - 0,257 8,590 9,330 9,675 9,780 9,840 8,484 17,130 21,058 27,470 32,458 36,374 - - B Thanh có độ cứng thay đổi theo luật lũy thừa - Thanh có độ cứng thay đổi theo luật lũy thừa thờng có giá trị sử dụng tơng đối cao thực tế Viện sĩ a N Đinnik ngời nghiên cứu ổn định loại Xét trờng hợp chịu nén có đầu ngàm đầu tự nh hình 2.16a Giả thiết mômen quán tính tiết diện thay đổi tỷ lệ với khoảng cách từ điểm (hình 2.16a) theo luật lũy thừa: z a n i(z) = i1 , (2.36) i1 mômen quán tính đầu thanh, số mũ n phụ thuộc hình dạng cụ thể Trờng hợp có tiết diện đặc (hình 2.16b) bề dày h không đổi chiều rộng b thay đổi bậc dọc theo chiều dài n = ổn định bị uốn cong quanh trục y Trờng hợp có tiết diện rỗng (hình 2.16c), cạnh thay đổi 43 bậc dọc theo chiều dài thanh, ta có n = Thật vậy, trờng hợp mômen quán tính tiết diện có toạ độ z đợc xác định nh sau: h( z ) i(z) = 4a z Nhng h(z) = h1 a với a diện tích tiết diện đầu h nên: i(z) = 4a 2 z =I z a a (2.37) Trờng hợp có tiết diện đặc thay đổi theo dạng hình chóp cụt hay hình nón cụt, lý luận tơng tự nh ta có n = Hình 2.16 Hình 2.17 Để giải toán ta chọn hệ trục toạ độ nh hình 2.17 Phơng trình vi phân đờng đàn hồi có dạng: n z d y = Py EI a dz (2.38) Phơng trình vi phân có hệ số thay đổi Ta tìm nghiệm dới dạng chuỗi vô hạn hay dới dạng hàm Bessel Trờng hợp n = n = 4, ta tìm nghiệm phơng trình vi phân dới dạng hàm sơ cấp b) Trờng hợp n = Lực tới hạn đợc biểu thị dới dạng chung nh sau: Pth = K3 EI l2 (2.46) K3 hệ số phụ thuộc tỷ số độ cứng hai tiết diện hai đầu Trong bảng 2.5 cung cấp giá trị hệ số K3 theo [12], tơng ứng với n = Bảng 2.5 I1 / I2 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 K3 1,202 1,505 1,710 1,870 2,002 2,116 2,217 2,308 2,391 2,467 c) Tròng hợp n = Lực tới hạn đợc biểu thị dới dạng chung nh sau: Pth = K4 EI l2 (2.52) K4 hệ số phụ thuộc tỷ số độ cứng hai tiết diện hai đầu Trong 44 bảng 2.6 cung cấp giá trị hệ số K4 theo [12], tơng ứng với n =2 Bảng 2.6 I1 / I2 K4 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0,250 1,350 1,593 1,763 1,904 2,023 2,128 2,223 2,311 2,392 2,467 Trên ta xem xét có đầu ngàm, đầu tự Đối với có khớp tựa hai đầu cách tính đợc thực tơng tự nh Hình 2.18 Trờng hợp có khớp tựa hai đầu có tiết diện thay đổi đối xứng tiết diện (hình 2.18a) ta sử dụng công thức (2.46) (2.52) thay l l / Đối với có tiết diện thay đổi đối xứng nh hình 2.18b ta xác định lực tới hạn theo công thức : Pth = K5 EI l2 , (2.53) K5 hệ số phụ thuộc tỷ số: i1 / i2 , a / l n Theo [12], a N Đinnik giải toán lập bảng hệ số K5 (bảng 2.7) tơng ứng với quy luật biến thiên tiết diện từ lũy thừa đến lũy thừa Bảng 2.7 I1 / I2 n 4 4 a/L 0,0 6,48 5,40 5,01 4,81 7,01 6,37 6,14 6,02 7,87 7,61 7,52 7,48 8,61 8,51 8,50 8,47 9,27 9,24 9,23 0,2 7,58 6,67 6,32 6,11 7,99 7,49 7,31 7,20 8,59 8,42 8,38 8,33 9,12 9,04 9,02 9,01 9,54 9,50 9,50 0,4 8,63 8,08 7,84 7,68 8,91 8,61 8,49 8,42 9,19 9,15 9,12 9,10 9,55 9,48 9,46 9,45 9,69 9,69 9,69 45 0,6 9,46 9,25 9,14 9,08 9,63 9,44 9,39 9,38 9,70 9,63 9,62 9,62 9,76 9,74 9,74 9,74 9,83 9,82 9,81 0,8 9,82 9,79 9,77 9,77 9,82 9,81 9,81 9,80 9,84 9,84 9,84 9,84 9,85 9,85 9,85 9,85 9,86 9,86 9,86 1,0 1,0 9,23 9,49 9,69 9,81 9,86 2 Ví dụ 2.6 Xác định tải trọng tới hạn cho chịu nén cần trục Thanh có dạng nh hình 2.18b với kích thớc a = 3,5 m; l = 17,5 m đợc cấu tạo thép góc 75 x 75 x mm Mỗi thép góc có: diện tích tiết diện 8,78 cm2; mômen quán tính trục trung tâm xo riêng thép góc 46,7 cm4 Tiết diện hai đầu đợc bố trí nh hình 2.19a,b Cho biết e = 2,1.107 N/cm2 ; n = Mômen quán tính i1 tiết diện hai đầu i2 tiết diện giữa: i1 = 4(46,7 + 8,78 6,942) = 1900 cm4 ; i2 = 4(46,7 + 8,78 17,922) = 11500 cm4 ; Theo công thức (2.53) ta có: Pth = K5 EI l2 Để tìm hệ số K5 ta cần xác định tỷ số sau: i1 / i2 = 1900 / 11500 = 0,165; a / l = 3,5 / 17,5 = 0,20 Hình 2.19 Theo bảng 2.7 áp dụng phép nội suy ta xác định đợc K5 = 7,20 Pth = 7,20 Do đó: 2,1.10 11500 1750 = 590 kN 2.6 ảnh hởng lực cắt đến giá trị lực tới hạn đặc Khi bị ổn định, mômen uốn lực dọc nén, có lực cắt Để nghiên cứu ảnh hởng lực cắt đến lực tới hạn, ta xét có hai đầu khớp chịu tải trọng P nh hình 2.20a Góc trợt phân tố có chiều dài dz lực cắt Q gây là: = Q , GA đó: hệ số phụ thuộc hình dạng tiết diện G môđun đàn hồi trợt Gọi y1 y2 lần lợt độ võng mômen uốn lực cắt gây ra, ta có (hình 2.20b): dy dz = Q dM = GA GA dz Do đó: d y2 dz = d 2M ì GA dz 46 (2.54) Nh vậy, xét đến ảnh hởng mômen uốn lực cắt phơng trình vi phân đờng đàn hồi có dạng: Hình 2.20 d 2y dz = d y1 dz + d y2 dz = M + M' ' EI GA Nhng M = +Py M"= +Py" nên sau thay vào phơng trình trên, ta đợc: ei P y' ' + Py = GA P Nghiệm phơng trình: y = Acos z + Bsin z, với: = EI P GA Từ điều kiện biên z = z = l : y = ta tìm đợc phơng trình ổn định: sin z = Phơng trình đợc thỏa mãn với nghiệm l = (2k+1) ; với k số nguyên Tải trọng nhỏ tơng ứng với l = , hay: P P = EI GA l=l Pth = Do : EI l 1+ EI = .Pe , GA l đó: = EI ; 1+ GA l Pe = EI l2 (2.55) (2.56) Pe đợc gọi lực tới hạn euler Ta thấy có giá trị nhỏ Do kể đến ảnh hởng lực cắt lực tới hạn nhỏ lực euler Khi bỏ qua ảnh hởng lực cắt = Để đánh giá mức độ ảnh hởng lực cắt tải trọng tới hạn, ta xét trờng hợp thép có tiết diện hình chữ nhật với = 1,20; G = 8.106 N/cm2, ứng suất tới hạn giới hạn chảy th = 2,0 104 N/cm2 = 1+ EI GA l = 1 = = + 0,003 + th + 1, 2.2.10 G 8.10 Ta thấy nên ảnh hởng lực cắt nhỏ Bởi tính ổn định đặc, ta bỏ qua ảnh hởng lực cắt 2.7 ổn định ghép Khi thiết kế chịu lực nén tơng đối lớn, ta thờng mở rộng tiết diện cách dùng nhiều nối lại với thành ghép Thờng có hai cách cấu tạo ghép nh hình 2.21 47 Cách thứ (hình 2.21a, b) cấu tạo hai bốn thờng loại thép hình nối với giằng ngang giằng xiên, mối nối đợc xem liên kết khớp Cách thứ hai (hình 2.21c) cấu tạo hai bốn nối với giằng, mối nối đợc xem liên kết hàn Dới tác dụng lực nén, ghép bị ổn định, tợng trợt xảy hầu hết giằng giằng Do đó, ghép, lực tới hạn phụ thuộc tiết diện mà phụ thuộc tiết diện khoảng cách liên kết giằng ảnh hởng tợng trợt tức lực cắt làm giảm giá trị tải trọng tới hạn tơng đối lớn, nên bỏ qua nh trờng hợp đặc Cách giải xác toán ổn định loại tơng đối phức tạp Do đó, thực tế khoảng cách giằng giằng tơng đối nhỏ so với chiều dài ta tính gần theo cách tính S P Timoshenko [12] đề xuất trình bày dới Nội dung cách tính gần xem ghép nh đặc nhng cần phải kể đến ảnh hởng lực cắt Nh ta sử dụng công thức (2.55) để tìm lực tới hạn, đại lợng / Ga cần đợc xác định cụ thể cho trờng hợp ghép giằng hay giằng Hình 2.21 Từ (2.54) ta có: = = , GA Q với góc trợt lực cắt đơn vị gây Hình 2.21 a Trờng hợp ghép đợc liên kết giằng Để tính góc trợt lực cắt đơn vị gây ra, ta tách khoang nh hình 2.22 Dới tác dụng lực cắt đơn vị, khoang xét bị biến dạng hình thành góc trợt Vì biến dạng nhỏ nên đợc tính gần nh sau: tg = 11 , d 11 chuyển vị tơng ứng với vị trí phơng lực Q lực Q = gây đợc xác định theo công thức sau: 11 = i Ni2li EAi , đó: Hình 2.22 48 Ni lực dọc thứ i lực Q = gây ra; li chiều dài diện tích tiết diện thứ i Lần lợt gọi ac , ax an diện tích bản, giằng xiên giằng ngang Từ hình 2.22, ta thấy nội lực ngang xiên lần lợt 1/cos Nếu kể đến biến dạng giằng, ta có: d 1 + E cos sin A tg An x 1 + = = 11 = E tg A cos sin A GA d n x 11 = Do đó: Thay vào công thức (2.55) ta đợc: EI = EI 1 + l EAx cos sin EAn tg PE ì P 1 = 1+ E + E A cos sin An tg x Pth = l 1+ (2.57) Trong (2.57), i mômen quán tính tiết diện ghép (chỉ kể bản, không xét giằng) Thờng ghép đợc cấu tạo theo kiểu hình hộp, hai bốn mặt có dạng nh hình 2.21a; lúc đại lợng ax an công thức (2.57) hai lần diện tích xiên ngang hai mặt phẳng đối diện Từ công thức ta thấy Pth tỷ lệ thuận với ax an đồng thời xiên có tác dụng đảm bảo ổn định tốt ngang Thật vậy, ta xét ví dụ đơn giản để chứng tỏ điều này: giả thiết ax = an = a góc = 450 ; theo công thức (2.57), ta có: Pth = PE ì P + E [ 2,83 + 1] EA Trong trờng hợp này, ta thấy xiên có tác dụng gần gấp ba lần ngang Nếu khoang có hai xiên (hình 2.21b) xiên chịu kéo, xiên chịu nén ngang không chịu lực, công thức (2.57) có dạng đơn giản nh sau: Pth = PE ì 1 + PE (2.58) EAx cos sin B Trờng hợp ghép đợc liên kết giằng Giả thiết ổn định, đờng biến dạng có điểm uốn khoang Nh ta tách đoạn nh hình 2.23a để tính góc trợt Biểu đồ mômen uốn đơn vị nh hình 2.23b 49 Hình 2.23 Ta có : 11 = ( M1 )( M1 ) = Do : = d3 24 EIc + bd 12EI b 11 d2 bd = + = d 24 EIc 12EI b GA Thay đại lợng vào công thức (2.55) ta đợc: Pth = PE bd d2 + PE + 12EI b 24 EIc (2.59) Khi cấu tạo ghép theo kiểu hình hộp ta cần hiểu ib mômen quán tính tiết diện hai giằng, ic mômen quán tính bên lấy trục quán tính trung tâm Từ công thức (2.59) ta thấy Pth tỷ lệ thuận với độ cứng giằng tỷ lệ nghịch với khoảng cách d giằng Lực Pth luôn nhỏ lực tới hạn euler Thờng ib lớn ic nhiều lần nên coi ib = Lúc ta có: Pth = PE ì 1+ 2 d 24l I (2.60) Ic Ví dụ 2.7 Thanh biên chịu nén cầu dàn Québec Canađa đợc cấu tạo theo dạng ghép có tiết diện kích thớc nh hình 2.24 (Khi thiết kế biên ngời ta bỏ qua ảnh hởng biến dạng trợt mà xem nh đặc với lực tới hạn lực euler Pe nên cầu bị phá hoại năm 1907 bị ổn định) Tìm lực tới hạn so với lực Pe xét đến ảnh hởng biến dạng trợt Cho biết: Các bao gồm thép góc 204 ì 162 ì 24 mm; thép góc 204 ì 89 ì 23,8 mm; thép có tổng diện tích tiết diện 4278 cm2 Thanh giằng ngang thép góc 89 ì 76 ì 9,5 mm Thanh giằng xiên thép góc 102 ì 76 ì 9,5 mm đặt nghiêng 45o 50 Hình 2.24 Diện tích tiết diện thép góc: Thép góc 204 ì 162 ì 24 mm: a1 = [20,4 + (16,22,4)] 2,4 = 72,1 cm2 Thép góc 204 ì 89 ì 23,8 mm: a2 = [20,4 + (8,92,38] 2,38 = 64,0 cm2 Thép góc 89 ì 76 ì 9,5 mm: a3 = [8,9 + (7,60,95)] 0,95 = 14,8 cm2 Thép góc 102 ì 76 ì 9,5 mm: a4 = [10,2 + (7,60,95)] 0,95 = 16,0 cm2 Diện tích tiết diện để tính khoang thanh: Thanh bản: ac = 4.72,1 + 8.64 + 4278 = 5078 cm2 Thanh giằng ngang: an = 2.14,8 = 29,6 cm2 Thanh giằng xiên: ax = 4.16 = 64 cm2 Vì = 45o nên sin = cos = 0,707; tg = Do đó, theo (2.57) ta có: Pth = PE ì P 1 1+ E + E 64.0,707 29,6.1 = PE ì P + E ì 0,0779 E o Nếu gọi: th = Pe / ac cho giới hạn tỷ lệ 24000 N/cm2 với giá trị e = 2,1.107 N/cm2, ta đợc: Pth = PE ì o + th E = PE ì Ac 0,0779 1+ 2, 4.10 2,1.10 5078.0,0779 = 0,688Pe Nh trờng hợp này, lực tới hạn kể đến biến dạng trợt giảm xuống 33 % so với xem thanh đặc Ví dụ 2.8 Thanh chống chịu nén công trình bể chứa khí (đã bị phá hoại chống bị ổn định), đợc cấu tạo theo dạng ghép có tiết diện kích thớc nh hình 2.25 Tìm lực tới hạn không xét xét đến ảnh hởng biến dạng trợt Cho biết (theo [8]): e = 2,03.107 N/cm2; Giới hạn tỷ lệ tl = 24000 N/cm2; Mômen quán tính trục yo tiết diện bản: ic = 83,4 cm4 Mômen quán tính toàn tiết diện đối 51 với trục quán tính chính: ix = 1869 cm4 ; iy = 670 cm4 Hình 2.25 Ta thấy: iy < ix nên bị ổn định quanh trục y cần kiểm tra ổn định theo toán ghép giằng Trờng hợp không xét đến ảnh hởng biến dạng trợt: Pth = Pe = EI l = 2,03.10 670 360 = 1036.103 N = 1036 kN Trờng hợp xét đến ảnh hởng biến dạng trợt: Mômen quán tính giằng: Ib = Theo (2.59) ta có: Pth = 0,7.14 = 320 cm4 12 1036.10 1+ 1036.10 6, 3.120 120 = 752.103 N = 752 kN + 2,03.107 12.320 24.83, Nh vậy, lực tới hạn kể đến biến dạng trợt giảm xuống 27% so với xem thanh đặc Kết tìm đợc tơng đối gần công thức (2.59) đợc thiết lập với giả thiết số lợng khoang tơng đối nhiều Trong trờng hợp có ba khoang nên cách cấu tạo cha bảo đảm đợc yêu cầu giả thiết Nếu sử dụng giằng tức có khoang với d = 60 cm lực tới hạn xác định theo (2.59) 944 kN Nh vậy, lực tới hạn kể đến biến dạng trợt giảm xuống % so với xem thanh đặc Bài tập II.1 Cho hệ chịu lực nén nh hình II.1 Tìm sơ đồ tính lập phơng trình ổn định II.2 Cho hệ chịu lực nén nh hình II.2 Tìm lực tới hạn Cho biết: l2 = 2l1/3; I2 = I1 Hình II.1 Hình II.2 Hình II.3 II.3 Cho hệ chịu lực nén P nh hình II.3 Tìm lực tới hạn II.4 - II.6 Cho hệ chịu lực nén P nh hình tơng ứng Vận dụng phơng trình phơng pháp thông số ban đầu, lập phơng trình ổn định Tìm giá trị lực tới hạn : a = l/ ; EI = const II.7 Vận dụng phơng pháp gần Kôrôbôv lập công thức tính ổn định cho có khớp tựa hai đầu chịu lực nén P đặt nhịp (hình 2.5 phần lý thuyết) 52 Tìm giá trị lực tới hạn : a = b = l/ Hình II.4 Hình II.5 Hình II.6 Hình II.8 II.8 Vận dụng phơng pháp gần đúng, tìm giá trị lực tới hạn cho chịu lực phân bố nh hình II.9a, b II.9 Cho có tiết diện thay đổi, chịu lực nén P nh hình II.9 Vận dụng phơng trình phơng pháp thông số ban đầu, lập phơng trình ổn định Tìm giá trị lực tới hạn : a) a = 0,2 l ; I2 = I ; I1 = 0,4 I b) a = l : ; I2 = I; I1 = 0,25 I II.10 Cho có tiết diện thay đổi, chịu lực nén nh hình II.10 Vận dụng phơng trình phơng pháp thông số ban đầu, lập phơng trình ổn định Tìm giá trị lực tới hạn khi: a = b = 0,5 l; I1 = I ; I2 = I Hình II.9 Hình II.10 Hình II.11 Hình II.12 Hình II.13 II.11 Cho có tiết diện thay đổi, chịu lực nén P nh hình II.11 Tìm giá trị lực tới hạn : h1 = h ; h2 = 2h ; h3 = 3h ; I1 = I ; I2 = 4I ; I3 = 9I II.12 Cho có tiết diện thay đổi, chịu lực nén P nh hình II.12 Tìm lực tới hạn Cho biết: I(z) = Io ì 4z(l -z) / l2, với Io - mômen quán tính tiết diện nhịp Chỉ dẫn: Sau lập phơng trình vi phân đờng đàn hồi đợc phơng trình vi phân có hệ số thay đổi Phơng trình đợc thỏa mãn đặt nghiệm nh sau: y(z) = f z(l -z) / l2, với f - chuyển vị tiết diện nhịp II.13 Cho có khớp tựa hai đầu, tiết diện thay đổi, chịu lực nh hình II.13 Tìm giá trị lực tới hạn : a) Mômen quán tính tiết diện thay đổi theo luật bậc bốn (n = 4) với I1 / I2 = 0,6 b) Mômen quán tính tiết diện thay đổi theo luật bậc hai (n = 2) với I1 / I2 = 0,6 II.14 Cho ghép có khớp tựa hai đầu, chịu lực nh hình II.14 Tìm giá trị lực tới hạn không kể có kể đến ảnh hởng lực cắt Cho biết: Thanh đợc cấu tạo từ hai thép hình u16a, có diện tích tiết diện 19,5 cm2; mômen quán tính trục yo qua trọng tâm 78,8 cm4; 53 khoảng cách trọng tâm hai 80 mm; e = 2.104 kN/cm2 Các giằng xiên thép góc 20ì20ì3 mm , diện tích tiết diện 1,13 cm2; nghiêng 45o so với trục thanh; E = 2.104 kN/cm2 Hình II.14 Hình II.15 II.15 Cho ghép có khớp tựa hai đầu, chịu lực nh hình II.15 Tìm giá trị lực tới hạn không kể có kể đến ảnh hởng lực cắt Cho biết: Thanh đợc cấu tạo từ hai thép hình u30, có diện tích tiết diện 40,5 cm2; mômen quán tính trục yo qua trọng tâm 327 cm4; khoảng cách trọng tâm hai 29,18 cm; E = 2,1.104 kN/cm2 Các giằng xiên giằng ngang thép góc 63ì63ì6 mm , diện tích tiết diện 7,28 cm2; giằng xiên nghiêng 30o so với bản; E = 2,1.104 kN/cm2 II.16 Cho ghép có khớp tựa hai đầu, chịu lực nh hình II.16 Tìm giá trị lực tới hạn không kể có kể đến ảnh hởng lực cắt Cho biết: Thanh đợc cấu tạo từ hai thép hình U16, có diện tích tiết diện 18,1 cm2; mômen quán tính trục yo qua trọng tâm 63,3 cm4; khoảng cách trọng tâm hai 6,2 cm; E = 2.104 kN/cm2 Các giằng ngang thép dầy 0,7 cm dài 14 cm; E = 2.104 kN/cm2 Hình II.16 14cm 16 P P 113,33 cm 113,33 cm 340 cm 54 113,33 cm yo y yo 14ì0,7 16 6,2 14cm [...]... 1 + 1, 2.2 .10 G 6 8.10 Ta thấy 1 nên ảnh hởng của lực cắt rất nhỏ Bởi vậy khi tính ổn định của các thanh đặc, ta có thể bỏ qua ảnh hởng của lực cắt 2.7 ổn định của thanh ghép Khi thiết kế thanh chịu lực nén tơng đối lớn, ta thờng mở rộng tiết diện bằng cách dùng nhiều thanh nối lại với nhau thành thanh ghép Thờng có hai cách cấu tạo các thanh ghép nh trên hình 2.2 1 47 Cách thứ nhất (hình 2.2 1a,... (hình 2.1 6a) theo luật lũy thừa: z a n i(z) = i1 , (2.3 6) trong đó i1 là mômen quán tính ở đầu trên của thanh, số mũ n phụ thuộc hình dạng cụ thể của thanh Trờng hợp thanh có tiết diện đặc (hình 2.1 6b) trong đó bề dày h không đổi còn chiều rộng b thay đổi bậc nhất dọc theo chiều dài thanh thì n = 1 nếu khi mất ổn định thanh bị uốn cong quanh trục y Trờng hợp thanh có tiết diện rỗng (hình 2.1 6c),... 590 kN 2.6 ảnh hởng của lực cắt đến giá trị lực tới hạn trong các thanh đặc Khi thanh bị mất ổn định, ngoài mômen uốn và lực dọc nén, trong thanh còn có lực cắt Để nghiên cứu ảnh hởng của lực cắt đến lực tới hạn, ta xét thanh có hai đầu khớp chịu tải trọng P nh trên hình 2.2 0a Góc trợt của phân tố thanh có chiều dài dz do lực cắt Q gây ra là: = Q , GA trong đó: hệ số phụ thuộc hình dạng của tiết... 2 Cũng có thể áp dụng phơng trình (2.3 3) cho thanh chịu lực nén ở hai đầu thanh có dạng nh trên hình 2.1 5, nếu sử dụng các ký hiệu nh đã ghi trên hình Công thức xác định lực tới hạn nh sau: EI 2 Pth = K2 l2 Hình 2.1 5 (2.3 5) K2 hệ số phụ thuộc dạng liên kết đầu thanh và các tỷ số i1 / i2 ; l2 / l, tìm đợc theo bảng 2.4 [12] Bảng 2.4 I1 / I2 Thanh có khớp ở hai đầu Thanh có ngàm ở hai đầu l2 / l 0,01... với vị trí và phơng của lực Q do chính lực Q = 1 gây ra và đợc xác định theo công thức sau: 11 = trong i Ni2li EAi , đó: Hình 2.2 2 48 Ni lực dọc trong thanh thứ i do lực Q = 1 gây ra; li và ai chiều dài và diện tích tiết diện của thanh thứ i Lần lợt gọi ac , ax và an là diện tích của các thanh cơ bản, thanh giằng xiên và thanh giằng ngang Từ hình 2.2 2, ta thấy nội lực trong các thanh ngang và xiên... I (2.6 0) Ic Ví dụ 2.7 Thanh biên chịu nén trong cầu dàn Québec ở Canađa đợc cấu tạo theo dạng thanh ghép có tiết diện và kích thớc nh trên hình 2.2 4 (Khi thiết kế thanh biên này ngời ta đã bỏ qua ảnh hởng của biến dạng trợt mà xem nh một thanh đặc với lực tới hạn bằng lực euler Pe nên cầu đã bị phá hoại năm 1907 do thanh này bị mất ổn định) Tìm lực tới hạn so với lực Pe khi xét đến ảnh hởng của biến... thanh là thanh đặc Ví dụ 2.8 Thanh chống chịu nén trong công trình bể chứa khí (đã bị phá hoại do thanh chống bị mất ổn định) , đợc cấu tạo theo dạng thanh ghép có tiết diện và kích thớc nh trên hình 2.2 5 Tìm lực tới hạn khi không xét và khi xét đến ảnh hởng của biến dạng trợt Cho biết (theo [8]): e = 2,03.107 N/cm2; Giới hạn tỷ lệ tl = 24000 N/cm2; Mômen quán tính đối với trục yo của tiết diện thanh. .. cơ bản, không xét các thanh giằng) Thờng thanh ghép đợc cấu tạo theo kiểu hình hộp, hai hoặc bốn mặt có dạng nh trên hình 2.2 1a; lúc này các đại lợng ax và an trong công thức (2.5 7) là hai lần diện tích của thanh xiên và thanh ngang trong hai mặt phẳng đối diện Từ công thức trên ta thấy Pth tỷ lệ thuận với ax và an đồng thời các thanh xiên có tác dụng đảm bảo ổn định tốt hơn thanh ngang Thật vậy, ta... theo công thức (2.5 7), ta có: Pth = PE ì 1 P 1 + E [ 2,83 + 1] EA Trong trờng hợp này, ta thấy thanh xiên có tác dụng gần gấp ba lần thanh ngang Nếu trong mỗi khoang có hai thanh xiên (hình 2.2 1b) thì một thanh xiên chịu kéo, một thanh xiên chịu nén còn thanh ngang không chịu lực, công thức (2.5 7) sẽ có dạng đơn giản hơn nh sau: Pth = PE ì 1 1 + PE 1 2 (2.5 8) EAx cos sin B Trờng hợp thanh ghép đợc... trọng tâm của hai thanh cơ bản là 80 mm; e = 2.1 04 kN/cm2 Các thanh giằng xiên là thép góc 20ì20ì3 mm , diện tích tiết diện là 1,13 cm2; nghiêng 45o so với trục thanh; E = 2.1 04 kN/cm2 Hình II.14 Hình II.15 II.15 Cho thanh ghép có khớp tựa ở hai đầu, chịu lực nh trên hình II.15 Tìm giá trị của lực tới hạn khi không kể và khi có kể đến ảnh hởng của lực cắt Cho biết: Thanh đợc cấu tạo từ hai thanh cơ