Bài tập sức bền vật liệu- chương 6 Uốn phẳng thanh thẳng

Uốn phẳng thanh thẳng Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu trang 1 05/2013 Chương 06 UỐN PHẲNG THANH THẲNG I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.1 Thanh chòu uốn thuần túy  Tồn tại duy nhất một thành phần nội lực trên mặt cắt ngang, mô men uốn x M .  Qui ước dấu của mômen uốn: mômen uốn được gọi là dương khi làm căng phần bên dưới.  Trong thanh chòu uốn tồn tại một lớp vật liệu không chòu kéo và không chòu nén được gọi là lớp trung hòa. Giao tuyến của lớp trung hòa với mặt cắt ngang được gọi là đường trung hòa.  Đường trung hòa chia mặt cắt làm hai phần, phần chòu kéo, phần chòu nén. Những điểm nằm trên đường trung hòa không chòu kéo và không chòu nén nên có ứng suất pháp bằng không.  Đònh luật Hooke: . z z E     Độ cong của đường đàn hồi: 1 x x M EJ   (  là bán kính cong của đường trung hòa) M M M M Phía vật liệu bò co lại Phía vật liệu bò giãn ra Lớp trung hòa Phía vật liệu bò giãn ra Phía vật liệu bò co lại Lớp trung hòa Đường trung hòa Hình 6.2 z x y x M 1 P 2 P N P Z  A Hình 6.1 Uốn phẳng thanh thẳng Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu trang 2 05/2013  Vò trí trục trung hòa: . . . . . 0 0 z z z x x F F F F y E E N dF E dF E dF y dF S S                   Đường trung hòa trùng với trục trung tâm của mặt cắt ngang.  Phương trình đường đàn hồi: '' x x M y EJ    Quan hệ giữa mômen uốn và ứng suất pháp: 2 . . . . . x z z x F F F F y E E M ydF E ydF E ydF y dF J                ng suất pháp dọc trục do mômen uốn x M sinh ra: x z x M y J    x M : mômen uốn tại mặt cắt có điểm tính ứng suất.  x J : mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang có điểm tính ứng suất.  y : khoảng cách từ điểm tính ứng suất đến đường trung hòa.  ng suất pháp phân bố đều theo bề rộng mặt cắt ngang và phân bố tuyến tính theo chiều cao tiết diện: ứng suất bằng không ở những điểm nằm trên đường trung hòa và lớn nhất tại những điểm nằm xa nhất so với trục trung hòa. y P A B ' B Hình 6.4 O  y 1 O 2 O 1 A 2 A 1 I 2 I d    1 2 1 2 1 2 z y d d A A OO y O O d               Hình 6.3 Uốn phẳng thanh thẳng Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu trang 3 05/2013  ng suất kéo lớn nhất trên mặt cắt ngang: max max k x x M y J    ng suất nén lớn nhất trên mặt cắt ngang: min max n x x M y J     Nếu mặt cắt đối xứng: max min max ; x x x x M J W W y       Nếu mặt cắt không đối xứng: max min     ng suất trên phân tố thuộc dầm chòu uốn thuần túy z z  z  z  z  M M Hình 6.6 max  min  max k y max n y max  min  max k y max n y x x y y C Hình 6.5 Uốn phẳng thanh thẳng Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu trang 4 05/2013  Thế năng biến dạng đàn hồi: 2 2 . x x L M U dz E J    Điều kiện bền: o Vật liệu dẻo:     max max max max max max ; max( , ) x k n z x M y y y y J      ;   ch n    o Vật liệu dòn:         max max max max min max ; ; k x k b k k x n x n b n n x M y J n M y J n                      1.2 Thanh chòu uốn ngang phẳng u  uv  0 90  0 90 0 45 0 45   x  0,5 x  0,5 x   0 u  uv  x  x  2 x  2 x  2 x  2 x  2 x  2 x  0 45 x  x  2 x  2 x  2 x  2 x  2 x  2 x  0 45 Uốn phẳng thanh thẳng Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu trang 5 05/2013  Tồn tại hai thành phần nội lực khác không trên mặt cắt ngang, lực cắt y Q và mômen uốn x M .  ng suất pháp dọc trục do x M sinh ra: x z x M y J   (như thanh chòu uốn thuần tuý)  ng suất tiếp trên mặt cắt ngang do y Q sinh ra: . . c y x zy c x Q S J b    y Q : lực cắt tại mặt cắt có điểm tính ứng suất.  c x S : mômen tónh của diện tích bò cắt đối với trục trung hòa.  x J : mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang.  c b : bề rộng mặt cắt tại điểm tính ứng suất.  ng suất tiếp lớn nhất tại những điểm nằm trên đường trung hòa và được tính: / 2 / 2 max . ; . F y x F x c x Q S S J b   : mômen tónh của một nữa diện tích mặt cắt ngang so với trục trung hòa.  ng suất trên phân tố thuộc dầm chòu uốn ngang phẳng max  min  max k y max n y x y max  Hình 6.8 z x y x M 1 P 2 P N P Z  A y Q zy  Hình 6.7 Uốn phẳng thanh thẳng Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu trang 6 05/2013  Các phân tố thuộc biên dưới và biên trên của dầm (phân tố , A E ) chỉ tồn tại ứng suất pháp, z  , kéo hoặc nén nên phương ứng suất pháp cực đại song song với trục dầm.  Các phân tố nằm trên đường trung hòa (phân tố C ) chỉ tồn tại ứng suất tiếp zy  (ứng suất pháp bằng không) nên phương ứng suất pháp cực đại tạo với trục dầm một góc 0 45 .  Các phân tố còn lại (phân tố , B D ) tồn tại cả ứng suất pháp, z  , (kéo hoặc nén) và ứng suất tiếp zy  cos 2 sin 2 2 2 sin 2 cos 2 2 z z u yz z uv yz                        ng suất pháp cực trị: 2 0 sin 2 2 cos 2 0 2 yz u z yz z d tg d                  Tương ứng với các ứng suất pháp cực trò: 2 2 max min 2 2 z z yz              zy  u  uv  v 1  u 1  u yz  zy  yz  z  z  yz  zy  z  B B z z  zy  z  z  x M y Q z  z  z  zy  z  z  zy  A B C D E 3 max N    E 0 max 90   1  D 3  0 max 45   1 max    C 0 max 45   3 max     3  1  0 max 45   B 3 max k    A 0 max 0   Hình 6.9 Uốn phẳng thanh thẳng Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu trang 7 05/2013 Tại những góc ứng suất pháp đạt cực trò max min         ta thấy ứng suất tiếp bằng không. ng suất tiếp đạt cực trò: 0 cos 2 2 sin 2 0 2 2 uv z z yz yz d tg d                Tương tự với phân tố tại D : ta thay z z     u  uv  max  max  u  uv   min   max     min  max   max   max    Hình 6.11 Uốn phẳng thanh thẳng Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu trang 8 05/2013  Điều kiện bền thanh chòu uốn ngang phẳng: khi một thanh chòu uốn ngang phẳng trên mặt cắt ngang tồn tại cả ứng suất pháp và ứng suất tiếp, các ứng suất này không những phụ thuộc vào nội lực của mặt cắt mà còn phụ thuộc vào vò trí của điểm khảo sát trên mặt cắt. Do đó, khi kiểm tra bền người ta thường kiểm tra tại những mặt cắt và các điểm thuộc mặt cắt có ứng suất pháp lớn nhất, ứng suất tiếp lớn nhất và kiểm tra tại những mặt cắt có mônmen uốn và lực cắt cùng lớn, trên các mặt cắt ấy phải kiểm tra những điểm có ứng suất tiếp và ứng suất pháp cùng lớn. Do tính phức tạp của bài toán uốn ngang phẳng, nên trong thực tế tính toán ta thường kiểm tra như bài toán uốn thuần túy (bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt), sau đó tiến hành kiểm tra bền theo các thuyết bền thứ ba và thuyết bền thứ tư:     2 2 3 2 2 4 4 3 td z yz td z yz                    q Hình 6.13 u  uv  max  max  u  uv   min   max     min  max   max   max    H ình 6.12 Uốn phẳng thanh thẳng Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu trang 9 05/2013  Thế năng biến dạng đàn hồi trong thanh chòu uốn ngang phẳng:   2 2 2 2 2 ; 2 . 2 . . C x y x x x L L F S Q M U dz k dz k F dz E J G F J b       II. VÍ DỤ  Ví dụ 1: Dầm AC có mặt cắt ngang không đổi , liên kết, chòu lực và kích thước như hình V.6.1a. Dầm làm cùng một loại vật liệu có ứng suất cho phép    . Biết   2 450 / ; 1,5 ; 21 / q kN m a m kN cm     a) Xác đònh phản lực liên kết tại các gối , A C theo q và a . b) Vẽ biểu đồ lực cắt, mômen uốn phát sinh trong dầm theo q và a . c) Bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt, xác đònh kích thước mặt cắt ngang ( b ) của dầm theo điều kiện bền. a) Phản lực liên kết tại các gối , A C : giải phóng liên kết và đặt các phản lực liên kết như hình V.6.1b. 2 2 3 13 0 .3 . 2 .3 .4 0 2 6 3 11 0 .3 .3 . 2 . 0 2 6 A B B B A A a m q a qa Y a qa a Y qa a m Y a q a qa qa a Y qa                            b) Biểu đồ lực cắt y Q , mômen uốn x M phát sinh trong dầm như hình V.6.1b. c) Xác đònh kích thước mặt cắt ngang: HìnhV.6.1b P qa  2 2 M qa  q 3 a a 2 b 4 b 4 b 7 b A B C A Y B Y x 11 6 qa qa 7 6 qa 2 qa 2 qa 2 121 72 qa   y Q   x M y                Hình B.6.1a P qa  2 2 M qa  q 3 a a 2 b 4 b 4 b 7 b A B C Uốn phẳng thanh thẳng Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu trang 10 05/2013 Theo điều kiện bền:   max max max x x M y J         3 3 2 4 max max 4 7 2 4 121 ; 103,67 ; 3,5 72 12 x x b b b b M qa J b y b          2 2 2 2 3 3 4 121 121 .3,5 121.450.1,5 .3, 5.10 72 .3,5 6,49 103, 67 72.103,67 72.103,67.21 qa qa b b cm b         Chọn 6,5 b cm   Ví dụ 2: Dầm AC đồng chất, mặt cắt ngang không đổi , liên kết, chòu lực và kích thước như hìnhV.6.2a. Dầm làm cùng một loại vật liệu có ứng suất cho phép    . Biết: 8 b cm  ;   2 18 / kN cm   ; 1, 2 a m  . a) Xác đònh phản lực liên kết tại các gối , A C theo q và a . b) Vẽ biểu đồ lực cắt, mômen uốn phát sinh trong dầm theo q và a . c) Bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt, xác đònh tải trọng cho phép ( P ) theo điều kiện bền. a) Xác đònh phản lực: xét cân bằng dầm AC như hình V.6.2b .2 3 .3 0 0 .2 3 . 0 A C C B A A m Pa Y a Pa P a Pa Y m Y a Pa Pa P a Pa Y P                       b) Biểu đồ lực cắt y Q , mômen uốn x M phát sinh trong dầm như hình V.6.2b. c) Xác đònh tải trọng cho phép: Theo điều kiện bền:   max max ax . J x m x M y     Trong đó:   3 4 4 max 2 . 3 3 2 ; ; 0,05 4, 45 2 12 x x b b b M Pa y J b b          3 3 4 4,45. . 2 3 4,45.8 .18 113, 92 4,45 2 3 3.120 b Pa b P kN b a         a M Pa  3 M 2 a P M A B C 2 b 3 b b P Pa Pa Pa 2 Pa y Q x M A Y C Y x y Hình V.6.2b a M Pa  3 M 2 a P M A B C 2 b 3 b b Hình V.6.2a [...]... ứng suất của phân tố tại A Bài tập sức bền vật liệu  max Ứng suất pháp cực trò và phương của nó trang 16 u  max u Hình V .6. 7b 05/2013 Uốn phẳng thanh thẳng Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng III BÀI TẬP 6. 1 Một dầm gỗ mặt cắt ngang hình chữ nhật kích thước b  h được cắt ra từ thanh tròn đường kính d như hình B .6. 1 Xác đònh kích thước b, h để dầm có độ bền chòu uốn lớn nhất 6. 2 Dầm AD có mặt cắt ngang... 2 9, 6. 4 06. 42 M xmax     7795, 2kN mm 8 8 8 Bài tập sức bền vật liệu trang 14 05/2013 Uốn phẳng thanh thẳng Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng ng suất pháp lớn nhất phát sinh trong dầm:  z max  M xmax Wx  7795, 2  0, 022kN / mm 2 2 51.204 6 w  960 0 N / m2 a ) Sàn b ) q 51mm  204mm 4000 4 06 s 4 06 s Dầm Hình V .6. 6 51mm  204mm  Ví dụ 7: Dầm liên kết, chòu lực và có kích thước như hình V .6. 5õ... thiết) 6. 26 Một cây thước mỏng bằng thép (môđun đàn hồi E  2,1.104 kN / cm 2 ) có chiều dày t  0,8mm và có chiều dài L  254mm Thanh thước chòu uốn bởi ngẫu lực M tạo thành cung tròn có góc ở cung bằng 60 0 Xác đònh ứng suất uốn lớn nhất phát sinh trong cây thước Bài tập sức bền vật liệu trang 26 05/2013 Uốn phẳng thanh thẳng Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng L  254mm r t t  0,8mm M 60 0 M Hình B .6. 27... tra bền dầm theo điều kiện bền ứng suất pháp Kiểm tra bền dầm theo điều kiện bền ứng suất tiếp Bài tập sức bền vật liệu trang 22 05/2013 Uốn phẳng thanh thẳng Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng g) Kiểm tra bền cho điểm K (là điểm tiếp giáp giữa bụng dầm và cánh dầm ) trên mặt cắt ngang nguy hiểm nhất theo lý thuyết bền thứ tư 450 P  890 N 30 K q  350 N / m 30 A 2m 1800 C B 1m 450 Hình B .6. 17 30 6. 18... mômen uốn M x phát sinh trong dầm như hình V .6. 3c,d c) Xác đònh kích thước mặt cắt ngang: Đặt hệ trục tọa độ x1 y vào mặt cắt như hình V .6. 3e 2 y ci Trọng tâm của mặt cắt: yc  Fi i 1 2  F 6b.8b.12b  6, 5b.6b.11b  4,9b 8b.12b  6b.11b i i 1 Mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang: Bài tập sức bền vật liệu trang 11 05/2013 Uốn phẳng thanh thẳng Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng 3  6b 11b... góc vuông) Dầm làm bằng vật liệu có ứng suất cho phép khi kéo  k  15kN / cm 2 , ứng suất cho phép khi nén  k  8kN / cm 2 a) Vẽ biểu đồ nội lực phát sinh trong dầm b) Kiểm tra bền dầm theo điều kiện bền ứng suất pháp Bài tập sức bền vật liệu trang 25 05/2013 Uốn phẳng thanh thẳng Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng P  30kN q  350 N / m 350 14 100 A 16 C B 6m Hình B .6. 23 2m 6. 24 Dầm AB đồng chất,... lực cắt và mômen uốn trong dầm Vẽ biểu đồ lực cắt, mômen uốn phát sinh trong dầm Xác đònh ứng suất uốn lớn nhất phát sinh trong dầm Bài tập sức bền vật liệu trang 24 05/2013 Uốn phẳng thanh thẳng Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng a) b) A A t t h B B q0  hs t Hình B .6. 21 1m 6. 22 Cho dầm thép góc số hiệu I 36 đặt trên hai gối, một bức tường gạch hình tam giác được xây trên dầm như hình B .6. 22 Biết rằng... vẽ các thành phần ứng suất nầy trên các phân tố Bài tập sức bền vật liệu trang 27 05/2013 Uốn phẳng thanh thẳng Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng P  54kN 50mm 35mm 35mm 35mm C B A 140mm B A 3m Hình B .6. 29 4m 8m 6. 30 Dầm composite có mặt cắt ngang được làm từ hai vật liệu khác nhau và chòu mômen uốn M như hình B .6. 30 Vật liệu một có môđun đàn hồi E1 , vật liệu hai có môđun đàn hồi E2 a) Thiết lập biểu... thành phần nội lực trong đoạn BC c) Vẽ biểu đồ nội lực Qy , M x phát sinh trong dầm Bài tập sức bền vật liệu trang 31 05/2013 Uốn phẳng thanh thẳng Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng d) Bỏ qua ảnh hưởng lực cắt, tải trọng cho phép, q , theo điều kiện bền 3 M  qa 2 2 q A D C B 2a P  qa a a d 2d Hình B .6. 42 Bài tập sức bền vật liệu trang 32 05/2013 ... mômen uốn phát sinh trong dầm c) Xác đònh tải trọng cho phép  q  theo điều kiện bền ứng suất pháp Bài tập sức bền vật liệu trang 18 05/2013 Uốn phẳng thanh thẳng Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng P  qa M  qa2 A 8b q B D C 2a 9b 6b a 4a b Hình B .6. 7 6. 8 Dầm thép AD được tổ hợp từ hai thép góc số hiệu I18 và hai tấm thép thép có kích thước 400  12 mm Dầm có liên kết, chòu lực và kích thước như hình B .6. 8 . Uốn phẳng thanh thẳng Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu trang 1 05/2013 Chương 06 UỐN PHẲNG THANH THẲNG I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.1 Thanh chòu uốn thuần. u  uv  max  max  u  uv   min   max     min  max   max   max    Hình 6. 11 Uốn phẳng thanh thẳng Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu trang 8 05/2013  Điều kiện bền thanh chòu uốn ngang phẳng: khi một thanh chòu uốn ngang phẳng. u  uv  max  max  u  uv   min   max     min  max   max   max    H ình 6. 12 Uốn phẳng thanh thẳng Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu trang 9 05/2013  Thế năng biến dạng đàn hồi trong thanh chòu uốn ngang phẳng:   2 2 2 2