Bài tập sức bền vật liệu- chương 6 Uốn phẳng thanh thẳng

 Điều kiện bền thanh chịu uốn ngang phẳng: khi một thanh chịu uốn ngang phẳng trên mặt cắt ngang tồn tại cả ứng suất pháp và ứng suất tiếp, các ứng suất này không những phụ thuộc vào nộ

Chương 06

UỐN PHẲNG THANH THẲNG

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1.1 Thanh chịu uốn thuần túy

 Tồn tại duy nhất một thành phần nội lực trên mặt cắt ngang, mô men uốn M x

 Qui ước dấu của mômen uốn: mômen uốn được gọi là dương khi làm căng phần bên dưới

 Trong thanh chịu uốn tồn tại một lớp vật liệu không chịu kéo và không chịu nén được gọi là lớp trung hòa Giao tuyến của lớp trung hòa với mặt cắt ngang được gọi là đường trung hòa

 Đường trung hòa chia mặt cắt làm hai phần, phần chịu kéo, phần chịu nén Những điểm nằm trên đường trung hòa không chịu kéo và không chịu nén nên có ứng suất pháp bằng không

 Định luật Hooke:  z E. z

 Độ cong của đường đàn hồi: 1 x

x

M EJ

  (  là bán kính cong của đường trung hòa)

Phía vật liệu bị co lại

Phía vật liệu bị giãn ra Lớp trung hòa

Phía vật liệu bị giãn ra

Phía vật liệu bị co lại

Lớp trung hòa Đường trung hòa

Hình 6.2

z x

 Vị trí trục trung hòa:

trùng với trục trung tâm của mặt cắt ngang

 Phương trình đường đàn hồi: '' x

x

M y

M y J

 

 M x: mômen uốn tại mặt cắt có điểm tính ứng suất

 J x: mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang có điểm tính ứng suất

 y: khoảng cách từ điểm tính ứng suất đến đường trung hòa

 Ưùng suất pháp phân bố đều theo bề rộng mặt cắt ngang và phân bố tuyến tính theo chiều cao tiết diện: ứng suất bằng không ở những điểm nằm trên đường trung hòa và lớn nhất tại những điểm nằm xa nhất so với trục trung hòa

 Ưùng suất kéo lớn nhất trên mặt cắt ngang: max x maxk

x

M y J

 Ưùng suất nén lớn nhất trên mặt cắt ngang: min x maxn

x

M y J

W

 Nếu mặt cắt không đối xứng: max  min

 Ưùng suất trên phân tố thuộc dầm chịu uốn thuần túy

C

Hình 6.5

 Thế năng biến dạng đàn hồi:

2

2

x x L

M

E J



 Điều kiện bền:

 Tồn tại hai thành phần nội lực khác không trên mặt cắt ngang, lực cắt Q y và mômen uốn M x

 Ưùng suất pháp dọc trục do M x sinh ra: x

z x

M y J

  (như thanh chịu uốn thuần tuý)

 Ưùng suất tiếp trên mặt cắt ngang do Q y sinh ra: .

S : mômen tĩnh của diện tích bị cắt đối với trục trung hòa

 J x: mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang

 c

b : bề rộng mặt cắt tại điểm tính ứng suất

 Ưùng suất tiếp lớn nhất tại những điểm nằm trên đường trung hòa và được tính:

/ 2 / 2 max

;

F

x c x

 Các phân tố thuộc biên dưới và biên trên của dầm (phân tố ,A E) chỉ tồn tại ứng suất pháp,  , kéo hoặc nén nên phương ứng suất pháp cực đại song song với z

trục dầm

 Các phân tố nằm trên đường trung hòa (phân tốC) chỉ tồn tại ứng suất tiếp  zy

(ứng suất pháp bằng không) nên phương ứng suất pháp cực đại tạo với trục dầm một góc 450

 Các phân tố còn lại (phân tố ,B D) tồn tại cả ứng suất pháp,  , (kéo hoặc nén) z

và ứng suất tiếp  zy

Tại những góc ứng suất pháp đạt cực trị

max min

ta thấy ứng suất tiếp bằng không

Ưùng suất tiếp đạt cực trị: 0 cos 2 2 sin 2 0 2

 Điều kiện bền thanh chịu uốn ngang phẳng: khi một thanh chịu uốn ngang phẳng trên mặt cắt ngang tồn tại cả ứng suất pháp và ứng suất tiếp, các ứng suất này không những phụ thuộc vào nội lực của mặt cắt mà còn phụ thuộc vào vị trí của điểm khảo sát trên mặt cắt Do đó, khi kiểm tra bền người ta thường kiểm tra tại những mặt cắt và các điểm thuộc mặt cắt có ứng suất pháp lớn nhất, ứng suất tiếp lớn nhất và kiểm tra tại những mặt cắt có mônmen uốn và lực cắt cùng lớn, trên các mặt cắt ấy phải kiểm tra những điểm có ứng suất tiếp và ứng suất pháp cùng lớn Do tính phức tạp của bài toán uốn ngang phẳng, nên trong thực tế tính toán ta thường kiểm tra như bài toán uốn thuần túy (bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt), sau đó tiến hành kiểm tra bền theo các thuyết bền

 Thế năng biến dạng đàn hồi trong thanh chịu uốn ngang phẳng:

2 2

2 2

;

C x y

x

S Q

a) Xác định phản lực liên kết tại các gối ,A C theo q và a

b) Vẽ biểu đồ lực cắt, mômen uốn phát sinh trong dầm theo q và a

c) Bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt, xác định kích thước mặt cắt ngang (b) của dầm theo điều kiện bền

a) Phản lực liên kết tại các gối ,A C: giải phóng liên kết và đặt các phản lực liên kết như hình V.6.1b

b) Biểu đồ lực cắt Q y, mômen uốn M x phát sinh trong dầm như hình V.6.1b

c) Xác định kích thước mặt cắt ngang:

HìnhV.6.1b

Pqa

2 2

M qa q

4b

4b 7b

qa

2

qa

2 121

4b

4b 7b

Theo điều kiện bền: max  

max max

x x

M

y J

 3  3

max max

 Ví dụ 2: Dầm AC đồng chất, mặt cắt ngang không đổi , liên kết, chịu lực và kích thước

như hìnhV.6.2a Dầm làm cùng một loại vật liệu có ứng suất cho phép  

Biết: b8cm;   2

18kN cm/

a) Xác định phản lực liên kết tại các gối ,A C theo q và a

b) Vẽ biểu đồ lực cắt, mômen uốn

phát sinh trong dầm theo q và a

c) Bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt,

xác định tải trọng cho phép (P) theo

điều kiện bền

a) Xác định phản lực: xét cân bằng dầm AC như hình V.6.2b

b) Biểu đồ lực cắt Q y, mômen uốn M x phát sinh trong dầm như hình V.6.2b

c) Xác định tải trọng cho phép:

max

J

x m

2b 3b

b

P Pa Pa

2b 3b

b

Hình V.6.2a

Chọn P113kN

 Ví dụ 3: Dầm AC đồng chất, mặt cắt ngang không đổi , liên kết, chịu lực và kích thước

như hình V.6.3a Dầm làm cùng một loại vật liệu có ứng suất cho phép  

780 / ; 1,8 ; 18 /

a) Xác định phản lực liên kết tại các gối ,A C theo q và a

b) Vẽ biểu đồ lực cắt, mômen uốn phát sinh trong dầm theo q và a

c) Bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt, xác định kích thước mặt cắt ngang (b) của dầm theo điều kiện bền

a) Phản lực liên kết tại các gối ,A B: giải phóng liên kết và đặt các phản lực liên kết và xét cân bằng dầm AC như hình V.6.3b

b) Biểu đồ lực cắt Q y, mômen uốn M x phát sinh trong dầm như hình V.6.3c,d

c) Xác định kích thước mặt cắt ngang:

Đặt hệ trục tọa độ x y1 vào mặt cắt như hình V.6.3e

Trọng tâm của mặt cắt:

2

1 2

i i

x x

M

y J

2 max

  Bỏ qua trọng lượng bản

b) Kiểm tra độ bền của dầm theo điều kiện bền ứng suất pháp

c) Kiểm tra độ bền của dầm theo điều kiện bền ứng suất tiếp

d) Kiểm tra bền cho điểm K (cách trục x một đoạn h/ 4) trên mặt cắt ngang nguy hiểm nhất theo thuyết bền thứ tư

a) Vẽ biểu đồ lực cắt, mômen uốn: giải phóng liên kết và đặt các phản lực liên kết và xét cân bằng dầm AC như hình V.6.4b

Hình V.6.4

P q

40kN 50kN

y

x x

K

P q

Biểu đồ lực cắt Q y, mômen uốn M x phát sinh trong dầm như hình V.6.3c,d

b) Kiểm tra độ bền của dầm theo điều kiện bền ứng suất pháp:

Mặt cắt nguy hiểm tại B:

Ưùng suất pháp tại điểm K của mặt cắt tạiB:

Mô hình tải trọng tác dụng lên cột như hình V.6.5b Tải trọng lớn nhất tác dụng tại chân cột:

max

3

1616

x z

x

h s M

3

9,81.2 0,8

0,19878.10

w N m Dầm đở sàn có mặt cắt ngang hình chữ nhật kích thước

54mm204mm với nhịp dầm l4000mm, khoảng cách của các dầm (tính từ trục dầm) bằng

406

s mm Bỏ qua trọng lượng dầm, xác định ứng suất pháp lớn nhất pháp sinh trong dầm

Sơ đồ tính của dầm như hình V.6.6b

Tải trọng do sàn tác dụng lên dầm: qw s

Mômen uốn lớn nhất tại mặt cắt giữa dầm có trị số:

b B

b

A B

1

3h

h

Ưùng suất pháp lớn nhất phát sinh trong dầm: max 2

2 max

7795, 2

0, 022 /51.204

6

x z

x

M

kN mm W

400 100 36 .100.100

1,0125.10 / 1, 0125 /100.400

b A

Hình V.6.7

Các thành phần ứng

suất của phân tố tại A Ứng suất pháp cực trị và phương của nó

III BÀI TẬP

6.1 Một dầm gỗ mặt cắt ngang hình chữ nhật kích thước b  h được cắt ra từ thanh tròn đường kính d như hình B.6.1 Xác định kích thước b, h để dầm có độ bền chịu uốn lớn nhất

6.2 Dầm AD có mặt cắt ngang không đổi , liên kết, chịu lực và kích thước như hình B.6.2

Dầm làm bằng vật liệu có ứng suất cho phép   8kN cm/ 2

a) Xác định phản lực liên kết tại các gối ,A D

b) Vẽ biểu đồ lực cắt, mômen uốn phát sinh trong dầm

c) Bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt, xác định kích thước mặt cắt ngang (b) theo điều kiện bền

6.3 Dầm AD có mặt cắt ngang không đổi , liên kết, chịu lực và kích thước như hình B.6.3

Dầm làm bằng vật liệu có ứng suất cho phép   2

/5,



a) Xác định phản lực liên kết tại các gối B, D

b) Vẽ biểu đồ lực cắt, mômen uốn phát sinh trong dầm

c) Kiểm tra bền dầm theo điều kiện bền ứng suất pháp

6.4 Dầm thép AC có mặt cắt ngang chữ I , liên kết, chịu lực và kích thước như hình B.6.4

Ứng suất cho phép của thép   20kN/cm2 Cho a2m

a) Xác định phản lực liên kết tại ngàm A

b) Vẽ biểu đồ lực cắt, mômen uốn phát sinh trong dầm

c) Xác định tải trọng cho phép  P theo điều kiện bền ứng suất pháp

b

6.5 Dầm thép AC có mặt cắt ngang chữ I , liên kết, chịu lực và kích thước như hình B.6.5

Ứng suất cho phép của thép   2

/

21kN cm



a) Xác định phản lực liên kết tại A, C

b) Vẽ biểu đồ lực cắt, mômen uốn phát sinh trong dầm

c) Xác định mômen chống uốn của mặt cắt  W x theo điều kiện bền ứng suất pháp

6.6 Dầm AC có mặt cắt ngang hình chữ T , liên kết, chịu lực và kích thước như hình B.6.6

Dầm làm bằng vật liệu có ứng suất cho phép của thép   2

8kN cm/

32 / ; 1, 2

a) Xác định phản lực liên kết tại ,A B

b) Vẽ biểu đồ lực cắt, mômen uốn phát sinh trong dầm

c) Xác định kích thước của mặt cắt ngang  b của dầm theo điều kiện bền ứng suất pháp

6.7 Dầm AD có mặt cắt ngang không đổi, liên kết, chịu lực và kích thước như hình B.6.7

Dầm làm bằng vật liệu có ứng suất cho phép của thép   2

7, 2kN cm/

a) Xác định phản lực liên kết tại ,A C

b) Vẽ biểu đồ lực cắt, mômen uốn phát sinh trong dầm

c) Xác định tải trọng cho phép  q theo điều kiện bền ứng suất pháp

3

450

160

914

)

(mm

6.8 Dầm thép AD được tổ hợp từ hai thép gĩc số hiệu I18 và hai tấm thép thép cĩ kích thước

400 12 mm Dầm có liên kết, chịu lực và kích thước như hình B.6.8 Ứng suất cho phép

a) Xác định phản lực liên kết tại A, C

b) Vẽ biểu đồ lực cắt, mômen uốn phát sinh trong dầm

c) Xác định tải trọng cho phép  q theo điều kiện bền ứng suất pháp

6.9 Dầm thép AD được tổ hợp từ hai thép gĩc số hiệu I18 và thép gĩc số hiệu I22 Dầm có

liên kết, chịu lực và kích thước như hình B.6.9 Ứng suất cho phép của thép

a) Xác định phản lực liên kết tại A

b) Vẽ biểu đồ lực cắt, mômen uốn phát sinh trong dầm

c) Kiểm tra bền dầm theo điều kiện bền ứng suất pháp

6.10 Dầm thép AD có mặt cắt ngang là thép gĩc số hiệu I160 Dầm có liên kết, chịu lực và

kích thước như hình B.6.10 Ứng suất cho phép của thép   2

19kN cm/

a) Xác định phản lực liên kết tại ,A D

b) Vẽ biểu đồ lực cắt, mômen uốn phát sinh trong dầm

c) Kiểm tra bền dầm theo điều kiện bền ứng suất pháp

2

9b 8b

6b

Hình B.6.9

m kN

d) Để tăng mômen chống uốn của mặt cắt ngang người ta hàn thêm hai tấm thép kích thước 30mm3mm ở hai mặt trên và mặt dưới của dầm Kiểm tra bền dầm theo điều kiện bền ứng suất pháp

6.11 Cho một đập ngăn nước được làm bằng các tấm gỗ A chồng lên nhau theo phương đứng Để đỡ các tấm gỗ này người ta sử dụng các trụ gỗ thẳng đứng B, các trụ này

được chôn xuống đất và làm việc như các dầm côngxôn như hình B6.11 Các trụ thẳng

đứng Bcó mặt cắt ngang hình chữ nhật kích thước b2b và có khoảng cách giữa các cột là s1, 2m Mực nước trong đập có chiều cao h1,8m Xác định kích thước mặt cắt ngang cột B nếu ứng suất uốn cho phép của gỗ bằng   8MPa Với trọng lượng

/81,

h

Nước

s

h

ngang do đất tác dụng lên tường có giá trị 2

  Xác định kích thước s lớn nhất

giữa các cột tròn để cột đảm bảo bền

6.13 Cho một dầm thép chữ I có chiều dài nhịp l7,5m chịu tác dụng của hai lực như nhau

14

P kN từ hai bánh xe với khoảng cách giữa hai bánh bằng d như hình B.6.13 Biết

rằng xe có thể ở bất kì vị trí nào trên dầm, xác định ứng suất uốn lớn nhất phát sinh trong dầm do tải trọng của hai bánh xe tác dụng Biết rằng dầm chữ I có mômen

Cho: b304mm; h254mm L; 1500mm a; 496mm

a) Vẽ biểu đồ nội lực phát sinh trong thanh rây

b) Tính ứng suất uốn lớn nhất phát sinh trong thanh rây

6.15 Cho một hệ sàn như hình B.6.15 mang tải thiết kế bao gồm cả trọng lượng bản thân sàn

2

w kN m Dầm đỡ sàn có mặt cắt ngang hình chữ nhật kích thước 50mm250mm

với nhịp dầm l4500mm , khoảng cách của các dầm (tính từ trục dầm) bằng s Bỏ qua

trọng lượng dầm, biết rằng dầm làm bằng vật liệu có ứng suất cho phép   2

4kN cm/

Xác định khoảng cách giữa các dầm ( s ) để dầm đảo bảo bền (Khi tính xem dầm đặt

trên hai gối, chịu tải phân bố đều trên suốt chiều dài dầm)

q2 2,5 /

m kN

q1 0,5 /

d

6.16 Các dầm dùng để đở sàn có mặt cắt ngang hình chữ nhật kích thước 45mm200mm với nhịp dầm l4,5m , khoảng cách của các dầm (tính từ trục dầm) bằng s như hình B.6.16 Tải trọng do sàn tác dụng lên dầm có giá trị 2

  Xác định khoảng cách giữa các dầm ( s ) để dầm đảo bảo bền (Khi

tính xem dầm đặt trên hai gối, chịu tải phân bố đều trên suốt chiều dài dầm)

6.17 Dầm thép AC mặt cắt ngang hình chữ I liên kết, chịu lực và có kích thước như hình B.6.17 Biết rằng thép có ứng suất cho phép   2   2

21kN cm/ ; 11kN cm/

a) Xác định phản lực liên kết tại các gối ,A B

b) Vẽ biểu đồ lực cắt Q y, mômen uốn M x phát sinh trong dầm

c) Tính ứng suất pháp lớn nhất phát sinh trong dầm

d) Tính ứng suất tiếp lớn nhất phát sinh trong dầm

e) Kiểm tra bền dầm theo điều kiện bền ứng suất pháp

f) Kiểm tra bền dầm theo điều kiện bền ứng suất tiếp

q

l

50250

s

s

s

Hình B.6.16

g) Kiểm tra bền cho điểm K (là điểm tiếp giáp giữa bụng dầm và cánh dầm) trên mặt cắt ngang nguy hiểm nhất theo lý thuyết bền thứ tư

6.18 Dầm thép AB mặt cắt ngang hình chữ I50 liên kết, chịu lực và có kích thước như hình B.6.18 Trong đó tải trọng q là trọng lượng bản thân dầm Biết rằng thép có ứng suất

a) Vẽ biểu đồ lực cắt Q y, mômen uốn M x phát sinh trong dầm

b) Tính ứng suất pháp lớn nhất phát sinh trong dầm

c) Tính ứng suất tiếp lớn nhất phát sinh trong dầm

d) Kiểm tra bền cho dầm

6.19 Dầm thép AB mặt cắt ngang hình chữ I45 liên kết, chịu lực và có kích thước như hình B.6.19

a) Xác định ứng suất pháp, ứng suất tiếp của các phân tố tại , ,A B C và vẽ các thành phần ứng suất nầy trên các phân tố

b) Xác định trị số và phương của các ứng suất pháp cực trị, ứng suất tiếp cực trị của các phân tố tại , ,A B C và vẽ các thành phần ứng suất nầy trên các phân tố

450

K

30

6.20 Cho một đập ngăn nước như hình B6.20 Để đỡ các tấm gỗ này người ta sử dụng các trụ

gỗ thẳng đứng, các trụ này được chôn xuống đất và làm việc như các dầm côngxôn Các trụ thẳng đứng có mặt cắt ngang hình vuông cạnh b và có khoảng cách giữa các cột là 2,5

s m Mực nước trong đập có chiều cao h1,5m Xác định kích thước mặt cắt ngang cột nếu ứng suất uốn cho phép của vật liệu làm cột bằng   8MPa Với trọng lượng riêng của nước 3

t mm như hình B6.21a Xem dầm làm việc như dầm đơn giản đặt trên hai gối và

khi tính ta xét một đoạn dầm có bề rộng s1m như hình B6.21b Với trọng lượng riêng

9,8 /

a) Xác định phản lực liên kết tại hai gối A và B

b) Viết biểu thức của lực cắt và mômen uốn trong dầm

c) Vẽ biểu đồ lực cắt, mômen uốn phát sinh trong dầm

d) Xác định ứng suất uốn lớn nhất phát sinh trong dầm

Hình B.6.20

Nước

m

5,2

m

5,1