Chương 04 ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG 1 Diện tích hình phẳng: F 2 Mô men tĩnh của hình phẳng đối với trục Ox và Oy :... F J dF 4.7 J J J 8 Mômen quán tính ly tâm của hìn
Trang 1Chương 04
ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG
1) Diện tích hình phẳng:
F
2) Mô men tĩnh của hình phẳng đối với trục Ox và Oy :
x F
y F
S y dF
S x dF
(4.2)
3) Mômen tĩnh của hình phẳng đối với một trục nào đó bằng không, trục đó được gọi là trục trong tâm, giao điểm của hai trục trung tâm là trọng tâm hình phẳng
Gọi C là trọng tâm mặt cắt, từ C kẻ hệ trục tọa độ x Cy o o song song với hệ trục xOy từ
đó ta có: 0
0
C
C
,
Thay vào (4.2) ta có x C 0 C x0 C x0 0
F
S y y dF y F S y F S
Vậy ta có: .
, nếu hình phẳng là nhiều hình ghép lại: 1
i
n
i n
(4.3)
x
Hình 4.1
y
x
o
y
o
x C
C
x
C
y
o
x
o
y
O
Trang 24) Trọng tâm hình phẳng:
1
1
1
1
i
i
i i n
i i
x F S
x F
F
y F S
y F
F
(4.4)
5) Các mômen quán tính của hình phẳng đối với trục Ox và Oy :
2
2
x F
y F
(4.5)
6) Mômen quán tính ly tâm của hình phẳng đối với hệ trục Ox và Oy : xy
F
J x y dF 7) Mômen quán tính cực của hình phẳng đối với tâm O: 2
F
J dF (4.7)
J J J
8) Mômen quán tính ly tâm của hình phẳng đối với hệ trục trong đó có một trục đối xứng bằng không, hệ trục đó được gọi là hệ trục quán tính chính, nếu hệ trục quán tính chính đi qua trọng tâm hình phẳng được gọi là hệ trục quán tính chính trung tâm
9) Bán kính quán tính của hình phẳng đối với trục Ox và Oy :
x x
y y
J i F J i F
(4.8)
10) Mô men quán tính của một số hình thường gặp:
Hình 4.2
x
y
C
b h
y
x
d
C
x b
Trang 3 Hình chữ nhật:
3
3
12 12
x
y
bh J hb J
Hình tròn đặc:
4
4
4
4
0, 05 64
32
x
d
d
Hình tam giác:
3
36
x
bh
J
11) Công thức chuyển trục song song:
Mômen quán tính của hình phẳng đối với trục Ox: 2
x F
J y dF , trong đó yy0y1
2
0 0 2
0 0
2 2
(4.8)
Nếu OC (O là trọng tâm mặt cắt), ta có
S S
1
1
2 0 2 0
(4.9)
II) VÍ DỤ
x
Hình 4.2
y
x
1
y
1
x O
O
x
O
y
1
x
1
y
O
Trang 4Mômen quán tính của hình chữ nhật đối với các trục trung tâm:
;
Sử dụng công thức chuyển trục song song ta có:
1
1
3
3
1
1
Ví dụ 2: Tính các mômen quán tính hình tam giác đối với trục x như hình V.4.2
Mômen quán tính của tam giác đối với trục trung tâm:
1
3
36
x
bh
J
Sử dụng công thức chuyển trục song song ta có:
1
J J bh bh
Ví dụ 3: Tính các mômen quán tính chính trung tâm của hình phẳng như hình V.4.3a
Hệ trục đối xứng xy là hệ trục quán tính chính trung tâm của hình phẳng
Chia hình phẳng thành 3 hình như hình V.4.3b, ta có 1 2 3
J J J J
Hình V.4.2
x b
h
1
x
b
h
C
x
/ 3
h
Hình V.4.1
1
x
1
C
b
h C
b h
x
Trang 53
4 2
3
30.900
12
76626 450.30 900 30
.450.30
x
x
J
4
900.30 30.450
Chia hình phẳng thành 3 hình như hình V.4.3c, ta có 1 2 3
J J J J (hình (1) là hình đặc, hình (2), hình (3) là hai hình chữ nhật rỗng)
3 3
4
450 30
.900
x
4
900.30 30.450
Ví dụ 4: Xác định trọng tâm, tính các mômen quán tính chính trung tâm của hình phẳng như hình V.4.4a
Chọn hệ trục tọa độ x y như hình V.4.4b (y là trục đối xứng của mặt cắt ngang), chia hình
b
15b
b
b
7b
15b
1
x y
Hình V.4.4
)
x C
c
y
Hình V.4.3
900 40
30 450
)
900 30
30 450
x
y
900 30
30 450
x
y
)
c
Trang 6Trọng tâm hình phẳng:
2
1 2 1
3,5 15 7 3 13 6 89
i
C i i C
i i
y F
F
Hệ trục xy là hệ trục quán tính chính trung tâm của hình phẳng
7 15 6 13
870, 25
Ví dụ 5: Xác định trọng tâm, tính các mômen quán tính chính trung tâm của hình phẳng như hình V.4.5a
Chọn hệ trục tọa độ x y1 như hình V.4.5b (y là trục đối xứng của mặt cắt ngang), chia hình phẳng thành hai hình gồm hình
Trọng tâm hình phẳng:
2
1
1
0
4 8 8,5 7
6,1
i
C
C i i C
i i
x
y F
F
Hệ trục xy là hệ trục quán tính chính trung tâm của hình phẳng
29, 25
b
b
8b
7b
b
b
8b
7b
1
x
1
y
x
(1) (2)
Hình V.4.5
)
c
y
Trang 7Hệ trục đối xứng xy là hệ trục quán tính chính trung tâm của hình phẳng
Chia hình phẳng thành 2 tam giác như hình V.4.6b
3 4
2
2 2 2
b b
b
Ví dụ 6: Tính các mômen quán tính chính trung tâm của hình phẳng như hình V.4.6a
Hệ trục đối xứng xy là hệ trục quán tính chính trung tâm của hình phẳng như hình V.4.6b Chia hình phẳng thành 3 hình gồm hình chữ nhật đặc (1) và hai tam giác rỗng (2)
4
2
4
75.70 12,5.20
4 2110416, 667
70.75 40.12,5 100 1
x
y
50cm
75cm
40cm 70cm
50cm
75cm
40cm 70cm
x
y
)
Hình V.4.7
b b
x
y
(1)
(2)
)
Hình V.4.6
Trang 8hình B.4.2 Khi tính bỏ qua các góc lượn (xem tại vị trí các góc lượng là góc vuông) So
sánh kết quả tính được với tra bảng thép L70 70 6
4.3 Xác định trọng tâm, tính các mômen quán tính chính trung tâm của các mặt cắt ngang
như hình B.4.3
4.4 Tính các mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang như hình B.4.4 Mặt cắt
ngang gồm hai thép chữ L70 70 6 ghép lại
70 6
6
14
16 76
70
30
120
Hình B.4.3
30
70
70
6
Hình B.4.2
6 530
360
9
Hình B.4.1
Trang 94.5 Xác định trọng tâm, tính các mômen quán tính chính trung tâm của các mặt cắt ngang
như hình B.4.5
41 98
183
60
100
50cm 75cm
40cm
70cm
25cm
5
48
18
3
6 5
3 48
5b 5b
2b
2b
Hình B.4.5
6
6 30
22
5b 5b
2b
6
10 5
48
18
3 6 5
Trang 104.7 Mặt cắt ngang của một dầm thép được tổ hợp từ bốn thép góc đều cạnh số hiệu L40 40 5
và tấm thép có kích thước 174 6 như hình B.4.7 Tính các mômen quán tính chính trung
tâm của mặt cắt
4.8 Mặt cắt ngang của một dầm thép được tổ hợp từ hai thép góc số hiệu I18 và thép góc số hiệu I22 như hình B.4.8 Tính các mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt
4.9 Mặt cắt ngang của một dầm thép được tổ hợp từ hai thép góc số hiệu I18 và hai tấm thép thép có kích thước 400 12 như hình B.4.9 Tính các mômen quán tính chính trung tâm của
mặt cắt
Hình B.4.9
18
12
400
Hình B.4.8
18
I
18
I
22
I
160
Hình B.4.7
6
40 40 5
L
174 70
Hình B.4.6
7
40 40 5
L