Bài giảng Sức bền vật liệu – Chương 4 (Lê Đức Thanh)

Bài giảng Sức bền vật liệu – Chương 4: Trạng thái ứng suấtthông tin đến các bạn những kiến thức về những khái niệm về trạng thái ứng suất; trạng thái ứng suất bài toán phẳng, phương pháp giải tích; trạng thái ứng suất trong bài toán phẳng, phương pháp đồ thị; ứng suất trên mặt cắt nghiêng...

GV: Lê Đức Thanh Chương TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT 4.1 NHỮNG KHÁI NIỆM VỀ TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT 4.1.1 TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT (TTƯS)TẠI MỘT ĐIỂM Xét điểm K vật thể cân mặt cắt qua K, mặt cắt có ứng suất pháp σ ứng suất tiếp τ y P1 Các ứng suất thay đổi tùy vị trí K • mặt cắt (H.4.1) Định nghóa TTỨS: TTƯS điểm tập hợp tất cảû ứng suất mặt qua điểm ấý P2 τ σ P3 P4 x z H.4.1 Ứng suất điểm TTƯS điểm đặc trưng cho mức độ chịu lực vật thể điểm Nghiên cứu TTƯS tìm đặc điểm liên hệ ứng suất σ , τ, xác định ứng suất lớn nhất, nhỏ để tính toán độ bền hay giải thích, đoán biết dạng phá hỏng vật thể chịu lực 4.1.2 Biểu diễn TTƯS điểm y Tưởng tượng tách phân tố hình σ τ τ hộp vô bé bao quanh điểm K Các τ τ mặt phân tố song song với trục toạ σ độ (H 4.2) τ σ τ Trên mặt phân tố có chín z thành phần ứng suất: H.4.2 +Ba ứng suất pháp: σx , σy , σz Các thành phần ứng suất +Sáu ứng suất tiếp τxy , τyx , τxz , τzx , τyz , τzy , Ứng suất pháp σ có số phương pháp tuyến mặt có σ y yx yz xy zy z zx xz x Ứng suất tiếp τ có hai số: Chỉ số thứ phương pháp tuyến mặt cắt có τ, số thứ hai phương τ Chương 4: Trạng thái ứng suất http://www.ebook.edu.vn x GV: Lê Đức Thanh 4.1.3 Định luật đối ứng ứng suất tiếp Trên hai mặt vuông góc, mặt nầy có ứng suất tiếp hướng vào cạnh ( hướng khỏi cạnh ) mặt có ứng suất tiếp hướng vào cạnh ( hướng khỏi cạnh ), trị số hai ứng suất ( H.4.3) (4.1) ⎮τxy ⎮ = ⎮τyx ⎮; ⎮τxz⎮=⎮τzx⎮ ; ⎮τyz ⎮ =⎮τzy ⎮ TTỨS điểm thành phần ứng suất τ τ 4.1.4 Mặt chính, phương ứng suất Phân loại TTƯS Lý thuyết đàn hồi chứng minh điểm vật thể chịu lực tìm phân tố hình hộp vuông góc mà mặt phân tố có ứng suất pháp, mà ứng suất tiếp (H4.4a) Những mặt gọi mặt Pháp tuyến mặt gọi phương Ứng suất pháp mặt gọi ứng suất ký hiệu là: σ1 , σ2 σ3 Quy ước: σ1 > σ2 > σ3 Thí dụ : σ1 = 200 N/cm2; σ2 = −400 N/cm2; σ3 = −500 N/cm2 Phân loại TTƯS : - TTƯS khối : Ba ứng suất khác không (H.4.4a) a) b) c) H 4.4 Các loại trạng thái ứng suất - TTƯS phẳng: Hai ứng suất khác không (H.4.4b) - TTƯS đơn: Một ứng suất khác không (H.4.4c) Chương 4: Trạng thái ứng suất http://www.ebook.edu.vn GV: Lê Đức Thanh TTƯS khối TTƯS phẳng gọi TTƯS phức tạp 4.2 TTỨS TRONG BÀI TOÁN PHẲNG- PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH 4.2.1 Cách biểu diễn – Quy ưóc dấu Cách biểu diển: y σyy τyx σx σy σy τxy σx σx K τxy z a) z σy τyx τyx σx x σx τyx α στxy σu x σ x σ a)y u τuv b) b) τxy v H 4.5 TTỨS toán phẳng Xét phân tố (H.4.5a) Ứng suất mặt vuông góc với trục z không mặt mặt có ứng suất tiếp không Để dễ hình dung, ta biểu diễn phân tố xét hình chiếu toàn phân tố lên mặt phẳng Kxy (H.4.5b) Quy ước dấu: + σ > gây kéo ( hướng mặt cắt) + τ > làm cho phân tố quay thuận kim đồng hồ Hình 4.5b biểu diển ứng suất > (qui ước nầy phù hợp với toán thanh) 4.2.2 Ứng suất mặt cắt nghiêng Vấn đề: Xác định ứng suất mặt cắt nghiêng song song với trục z có pháp tuyến u tạo với trục x góc α (α > quay ngược chiều kim đồng hồ kể từ trục x ) (H.4.6a) Giả thiết biết ứng suất σx, σy τxy ♦ Tính σu τuv : Tưởng tượng cắt phân tố mặt cắt nghiêng nêu, mặt cắt chia phân tố làm hai phần, xét cân phần phân tố (H.4.6b) Chương 4: Trạng thái ứng suất http://www.ebook.edu.vn GV: Lê Đức Thanh y u σu y ds σu α σx α τxy dy dz α σx τxy v x τuv v τyx dx z x τ uv τyx u σy σy b) a) H.4.6 Ứng suất mặt nghiêng Trên mặt nghiêng có ứng suất σu τuv , chúng xác định từ phương trình cân tónh học * ∑U=0 ⇒ σ u dsdz − σ x dzdy cosα + τ xy dzdy sin α − σ y dzdx sin α + τ xy dzdx cosα = * ∑V=0 ⇒ τ uv dsdz − σ x dzdy sin α − τ xy dzdy cosα + σ y dzdx cosα + τ xy dzdx sin α = Kể đến: ⎮τxy ⎮ = ⎮τyx ⎮; dx = ds sinα ; dy = ds cosα, 1 (1 + cos 2α ); sin 2α = (1 − cos 2α ) 2 sin α cosα = sin 2α cos α = σu = ⇒ σx +σy τ uv = + + σx −σ y σx −σ y cos 2α − τ xy sin 2α (4.2a) sin 2α + τ xy cos 2α (4.2b) ♦ Tính σv : Xét mặt nghiêng có pháp tuyến v, vuông góc mặt có pháp tuyến u (H.4.7) Thay α (α + 90°) vào (4.2a) , ⇒ v o α + 90 σv τvu u τuv σu α ứng suất pháp tác dụng mặt có pháp x tuyeán v: σv = σx +σy − σx −σ y cos 2α + τ xy sin 2α (4.3) Ứng suất H 4.7 mặt vuông góc Tổng (4.2a) (4.3), ⇒ Chương 4: Trạng thái ứng suất http://www.ebook.edu.vn GV: Lê Đức Thanh σu +σv = σ x +σ y (4.4) Biểu thức cho thấy, tổng ứng suất pháp tác dụng hai mặt vuông góc phân tố ứng suất phẳng điểm số không phụ thuộc vào góc α Đó Bất Biến Thứ Nhất ứng suất pháp Thí dụ 4.1 Thanh có diện tích cm2, chịu kéo với lực P = 40 kN Xác định ứng suất mặt cắt nghiêng góc 30o với mặt cắt ngang (H.4.8) Giải Ứng suất pháp mặt cắt ngang (Chương 3) σx = P 40 = = kN/cm F 30o Tách phân tố hình hộp bao điểm K nằm mặt cắt ngang Ta cóù: σ x = + kN/cm , σ y = τ uv = + + σx σx cos 2α = ( P = 40 kN v u σu hợp với trục với trục x (trục thanh) góc( +30o ) Từ (4.2) ⇒ σx τuv K P Mặt cắt nghiêng có pháp tuyến σn = u σu 30 σx τuv H.4.8 v ) + cos 2.30o = kN/cm 2 sin 2α = + sin 2.30o = + 3,46 kN/cm 2 4.2.3 Ứng suất - Phương - Ứng suất pháp cực trị 1- Ứng suất - phương ( 2) Ngoài mặt mặt biết vuông góc σ2 σ1 (1) αo với trục z, hai mặt lại mặt song song với trục z (vì phải vuông góc với mặt có) Mặt mặt có ứng suất tiếp = ⇒ Tìm hai mặt lại cách cho τ uv =0 o (1) αo =αo +90 x σ1 σ2 H 4.9Ứng suất Chương 4: Trạng thái ứng suất http://www.ebook.edu.vn GV: Lê Đức Thanh Nếu gọi α o góc trục x hợp với phương điều kiện để tìm phương là: τ uv =0 ⇔ + β ±k π ⇒ sin 2α + τ xy cos 2α = tan 2α o = − ⇒ Phương trình xác định α0 : αo = σx −σ y α 01 = β 2τ xy σ x −σy α 02 = vaø = tan β β ± (4.5) π (4.5) cho thấy có hai giá trị α0 sai biệt 90° Vì vậy, có hai mặt vuông góc với song song với trục z Trên mặt có ứng suất tác dụng Hai ứng suất ứng suất pháp cực trị (ký hiệu σmax hay σmin ) 2τ xy dσ u = ⇔ tan 2α = − dz σ x −σ y giống với (4.5) Giáù trị ứng suất hay ứng suất pháp cực trị tính cách ngược trị số α (4.5) vào (4.2a) Để ý rằng: sin 2α o = ± ⇒ σ max = σ 1,3 = σx +σy tan 2α o ; cos2α o = ± + tan 2α o 1 + tan 2α o ⎛σx −σ y ⎞ ⎟⎟ + τ xy2 ± ⎜⎜ ⎝ ⎠ (4.6) Ta lại thấy σ max + σ = σ + σ = σ x + σ y Thí dụ 4.2 Tìm ứng suất phương TTƯS (H.4.10a) Đơn vị ứng suất kN/cm2 y σ2 y Giải Theo quy ước dấu, ta có: 67o30’ σ1 x a) H 4.10 22o30’ b) σ x = kN/cm ; σ y = kN/cm τ xy = +1 kN/cm Phương xác định từ (4.5): tan 2α o = − ⇒ 2τ xy σx −σ y = −2 = − ⇒ 2α o = − 45o + k180 o 4−2 α o(1) = − 22 o 30' ; α o( ) = 67 o 30' (i) Chương 4: Trạng thái ứng suất http://www.ebook.edu.vn x GV: Lê Đức Thanh Có phương ( mặt chính) vuông góc Các ứng suất xác định từ (4.6): σ max ⎧⎪4,41 kN/cm 4+2 ⎛4− 2⎞ = ± ⎜ ⎟ +1 = ± = ⎨ ⎪⎩1,58 kN/cm ⎝ ⎠ (ii) Để xác định mặt từ (i) có ứng suất (ii) tác dụng, ta dùng (4.2b), chẳng hạn với α o(1) = − 22 o 30' , ta coù: σu = 4+2 4−2 + cos − 22 o 30' − 1sin − 22o 30' = 4,41 kN/cm2 2 ( ) ( ) Vậy : σ1 = 4,41 kN/cm2 ứng với góc nghieâng α o(1) = − 22 o 30' , σ2 = 1,58 kN/cm2 tác dụng mặt có α o( 2) = − 67 o 30' Các mặt ứng suất biểu diễn phân tố H.4.10b 2- Ứng suất tiếp cực trị Tìm ứng suất tiếp cực trị mặt nghiêng có ứng suất tiếp cực trị cách cho dτ uv = dα (2) (2) o α1 =αo +45 dτ uv = (σ x − σ y ) cos 2α − 2τ xy sin 2α = dα σ x −σ y (4.7) = tan 2α = 2τ xy ⇔ So saùnh (4.7) với (4.5) ⇒ tan 2α = − (4.7) τmax σ ng suất tiếp cực trị H Ứ 4.11 tan 2α o (4.8) α = α o ± k45o ⇒ ⇒ 2α = 2α o ± k90o hay Maët có ứng suất tiếp cực trị hợp với mặt góc 45° Thế (4.8) vào (4.2b), ta : ⎛σx −σ y ⎞ ⎟⎟ + τ xy2 = ± ⎜⎜ ⎝ ⎠ τ max 4.2.4 Các trường hợp đặc biệt σ (4.9) τ TTUSphẳng đặc biệt 1- TTƯS phẳng đặc biệt Phân tố H.4.12 coù: σ x =σ ; σ y = 0; τ xy =τ Từ H.4.12 (4.6) ⇒ τ H 4.13 TTUS Trượt tuý http://www.ebook.edu.vn Chương 4: Trạng thái ứng suất GV: Lê Đức Thanh σ max = σ 1, = σ ± σ + 4τ 2 (4.10) Phân tố có ứng suất ( gặp trường hợp chịu uốn ) 2- TTƯS trượt túy (H.4.13) Ở đây, σ x = σ y = ; τ xy = τ ⇒ σ max = σ 1, = ± τ hay ;Thay vaøo (4.6) σ3 (4.11) σ = − σ =τ Hai phương xác định theo (4.5): π π αo = + k tan 2α o = ∞ ⇔ (4.12) σ1 Những phương xiên góc 45o với trục x y H 4.14 3- Trường hợp phân tố (H.4.14) Phân tố coù σ , σ ,τ = 0; Thay vào (4.9), ta được: τ max,min = ± σ1 −σ (4.13) 4.3 TTỨS TRONG BÀI TOÁN PHẲNG- PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ 1- Vòng tròn Mohr ứng suất Công thức xác định ứng suất mặt cắt nghiêng (4.2) biểu diễn dạng hình học vòng tròn Mohr Để vẽ vòng tròn Mohr, ta xếp lại (4.2) sau: σu − τ uv = σx +σ y σx −σ y = σx −σ y (4.14) cos 2α − τ xy sin 2α (4.14)’ sin 2α + τ xy cos 2α Bình phương hai vế hai đẳng thức cộng lại, ta được: σ +σy ⎛ ⎜⎜ σ u − x ⎝ Đặt: c= σx +σy ⎞ ⎛σ −σ y ⎟⎟ + τ uv2 = ⎜⎜ x ⎠ ⎝ ⎛σ x −σ y ; R = ⎜⎜ ⎝ (4.15) thaønh: ⎞ ⎟⎟ + τ xy2 ⎠ (σ u − c )2 + τ uv2 = R 2 ⎞ ⎟⎟ + τ xy2 ⎠ (4.15) τ (4.16) C R σ O (4.17) Trong hệ trục tọa độ, với trục hoành σ trục tung τ, (4.17) phương trình đường tròn có tâm nằm trục hoành với C H 4.15 Vòng tròn ứng suất hoành độ c có bán kính R Như vậy, giá trị ứng suất pháp ứng suất tiếp tất mặt song song với Chương 4: Trạng thái ứng suất http://www.ebook.edu.vn GV: Lê Đức Thanh trục z phân tố biểu thị tọa độ điểm vòng tròn Ta gọi vòng tròn biểu thị TTƯS phân tố vòng tròn ứng suất hay vòng tròn Mohr ứng suất phân tố Cách vẽ vòng tròn: (H.4.16) - Định hệ trục tọa độ σOτ : trục hoành σ // trục x, trục tung τ // trục y phân tố hướng lên P τ τ σ -Trên trục σ định điểm O E F C E(σx, 0) điểm F(σy, 0) σy Tâm C trung điểm σx EF xy Cách vẽ vòng tròn ứng suất H.4.16 - Định điểm cực P (σy, τxy ) x - Vòng tròn tâm C, qua P vòng tròn Mohr cần vẽ Chứng minh: + C trung điểm EF ⇒ OC = Trong tam giác vuông CPF: FC = OE + OF σ x + σ y = =c 2 OE − OF σ x − σ y = ; FP = τ xy 2 ⎛σ −σ y ⎞ ⎟⎟ + τ xy2 = R Do ⇒ CP = FC + FP = ⎜⎜ x ⎝ ⎠ 2 2- Ứng suất mặt cắt nghiêng Chương 4: Trạng thái ứng suất http://www.ebook.edu.vn GV: Lê Đức Thanh u max max uv M P xy y yx α u B xy uv 2α u uv D u F C G E A x max y minx x u max H 4.17 Định ứn g suất mặt nghiên g Dùng vòng tròn Mohr để tìm ứng suất mặt cắt nghiêng phân tố có pháp tuyến u hợp với trục x góc α Cách tìm σu ; τuv Vẽ vòng tròn Mohr H.4.17 Từ cực P vẽ tia Pu // với phương u cắt vòng tròn điểm M Hoành độ M = σu ; Tung độ M = τuv Chứng minh: Ký hiệu 2α1 góc (CA,CD), 2α góc (CD,CM) Hình 4.17 cho: OG = OC + CG = = nhưng: nên: σx +σy σx +σy + R cos(2α1 + 2α ) + R cos 2α1 cos 2α − R sin 2α1 sin 2α R cos 2α1 = CE = σx −σ y OG = ; Rsin 2α = ED = τ xy σx +σy + σx −σ y cos 2α − τ xy sin 2α = σ u Tương tự, ta có: GM = R sin (2α1 + 2α ) = R cos 2α1 sin 2α + R sin 2α1 cos 2α ⎛σ −σ y ⎞ ⎟⎟ sin 2α + τ xy cos 2α = τ uv = ⎜⎜ x ⎝ ⎠ Ta nhận lại phương trình (4.2) 3- Định ứng suất chính- phương chính- Ứng suất pháp cực trị Chương 4: Trạng thái ứng suất http://www.ebook.edu.vn 10 GV: Lê Đức Thanh Trên vòng tròn ứng suất ( H.4.17) Điểm A có hoành độ lớn nhất, tung độ = 0⇒ σmax = OA ; τ =0 Tia PA bieåu diễn phương Điểm B có hoành độ nhỏ nhất, tung độ = 0⇒ σmin = OB ; τ =0 Tia PB biểu diễn phương thứ hai 4- Định ứng suất tiếp cực trị Trên vòng tròn (H.4.17): hai điểm I J điểm có tung độ τ lớn nhỏ Do đó, tia PI PJ xác định pháp tuyến mặt có ứng suất tiếp cực đại cực tiểu Những mặt tạo với mặt góc 45o Ứng suất tiếp cực trị có trị số bán kính đường tròn Ứùng suất pháp mặt có ứng suất tiếp cực trị có giá trị hoành độ điểm C, tức giá trị trung bình ứng suất pháp: σ tb = σx +σy τ P 5- Các trường hợp đặc biệt - TTƯS phẳng đặc biệt Phân tố có hai ứng suất σ σ (H.4.18) - TTƯS trượt túy Phân tố có ứng suất chính: σ1 = − σ = | τ | Các phương xiên góc 45 với trục x y (H.4.19) o σ τ O a) Thí dụ 4.3 Phân tố TTƯS phẳng (H.4.21),các ứng suất tính theo σ E σmax σ b) H 4.18 TTỨS phẳng đặc biệt voøng Morh τ τ P τ A σ C B τ σmin = - σmax = τ H 4.19TTỨS trượt túy vòng Morh τ - TTƯS ( H.4.20) σ1 − σ C τ σ τ max, = ± A B σ τmax σ1 τmax B P A σ C σ2 σ1 τmin H 4.20 TTỨS CHÍNH- Vòng Morh Chương 4: Trạng thái ứng suất http://www.ebook.edu.vn 11 τ GV: Lê Đức Thanh kN/cm2 Dùng vòng tròn Mohr, xác định: a) Ứng suất mặt cắt nghiêng α = 45o b) Ứng suất phương c) Ứng suất tiếp cực trị σu u x 45 P o αo(3)= 26 36’ τuv 71 36 o D 45 y o I o o 161 36' τ τmax B -7 σ3 -5 -2 C M σu H 4.21 σ A F (1) O1 o αo = - 67 24’ J τuv D’ σ1 τmin Giải Theo quy ước ta có: σ x = − kN/cm ; σ y = kN/cm ; τ xy = + kN/cm ♦Taâm vòng tròn C ⎛⎜ − + ,0 ⎞⎟ ⎝ ⎠ ♦ Cực P(1, + 4) Từ P vẽ tia song song với trục u cắt vòng tròn Mohr M Tọa độ điểm M biểu thị ứng suất mặt cắt nghiêng với α = 45o : σ u = − kN/cm ; τ uv = − kN/cm ♦Hoành độ A B biểu thị ứng suất có giá trị baèng: σ = σ A = kN/cm ; σ = σ B = − kN/cm Hai phương xác định góc αo: α o(1) = − 67 o 42' ; α o(3) = 26 o 36' ♦Tung độ I J có giá trị ứng suất tiếp cực trị: τ max = kN/cm ; τ = − kN/cm Các ứng suất tác dụng lên mặt, tương ứng với góc nghiêng: α1(1) = 71o36' ; α1( 2) = 161o36' Chương 4: Trạng thái ứng suất http://www.ebook.edu.vn 12 GV: Lê Đức Thanh 4.3 BIỂU DIỄN HÌNH HỌC TTƯS KHỐI II y σ2 σ1 x z σ2 σ2 σ3 τ I σ3 σ σ σ1 τ σ2 σ1 σ1 σ3 σ III σ1 τ σ2 H 4.23TTỨS khối mặt // trục H.4.22 TTƯS khối với mặt cắt nghiêng ♦ Tổng quát, TTƯS điểm TTƯS khối (H.4.22) ♦ Xét mặt // phương ( thí dụ phương III) , ứng suất σ3 không ảnh hưởng đến σ, τ mặt (H.4.23) ⇒ nghiên cứu ứng suất mặt tương tự TTƯS phẳng Vẽ vòng tròn ứng suất biểu τ τmax, diển ứng suất mặt nghiêng τmax, (vòng tròn số H.4.24) τmax,3 Từ vòng tròn này, ta thấy σ mặt song song với phương σ2 Ο σ1 σ3O σ1 III có mặt có ứng suất tiếp cực đại (ký hiệu τmax,3) , τ max,3 = σ1 − σ 2 τ H.4.24 Ba vòng tròn Mohr ứng suất ♦ Tương tự, mặt song song với phương thứ I thứ II, ta vẽ vòng tròn ứng suất (Vòng tròn số vòng tròn số 2) (H.4.24) ♦ Lý thuyết đàn hồi chứng minh giá trị σ τ mặt phân tố TTƯS khối biểu thị tọa độ điểm nằm miền gạch chéo ( H.4.24 ) ♦ Qua hình vẽ, ứng suất tiếp lớn phân tố biểu thị bán kính vòng tròn lớn nhất, (H.4.24) τ max, = σ σ1 −σ (18) Chương 4: Trạng thái ứng suất http://www.ebook.edu.vn 13 GV: Lê Đức Thanh y 4.4 LIÊN HỆ ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG II σ2 x 4.4.1 Định luật Hooke tổng quát 1- Liên hệ ứng suất pháp biến dạng z σ1 dài ♦TTƯS đơn: chương 3, có: σ3 III Định luật Hooke liên hệ ứng suất pháp biến dạng dài : ε= σ H.4.25 TTƯS khối (4.19) E I ε - biến dạng dài tương đối theo phương σ Theo phương vuông góc với σ có biến dạng dài tương đối ε’ ngược dấu với ε: ε ' = − με = − μ σ E (4.20) ♦ TTƯS khối: với ứng suất σ 1, σ2 , σ3 theo ba phương I, II, III (H.4.25) Tìm biến dạng dài tương đối ε1 theo phương I Biến dạng dài theo phương I σ gây ra: ε1 (σ1 ) = σ1 E Biến dạng dài theo phương I σ gây ra: ε1 (σ ) = − μ σ2 Biến dạng dài theo phương I σ gây ra: ε1 (σ ) = − μ σ3 E E Bieán dạng dài tương đối theo phương I ba ứng suất σ 1, σ2 , σ3 sinh tổng ba biến dạng trên: ε1 = ε1 (σ ) + ε1 (σ ) + ε1 (σ ) = [σ − μ (σ + σ )] E (4.21) Tương tự, biến dạng dài tương đối theo hai phương II , III lại: [σ − μ (σ − σ )] E ε = [σ − μ (σ + σ )] E ε2 = (4.22) (4.23) ♦ TTƯS tổng quát: Lý thuyết đàn hồi chứng minh vật liệu đàn hồi đẳng hướng, σ sinh biến dạng dài mà không sinh biến dạng góc , τ sinh biến dạng góc mà không sinh biến dạng dài ⇒ Trong trường hợp phân tố TTƯS tổng quát, có Chương 4: Trạng thái ứng suất http://www.ebook.edu.vn 14 GV: Lê Đức Thanh [ ] [ ] [ ] σ x − μ (σ y + σ z ) (4.24) E ε y = σ y − μ (σ z + σ x ) E ε z = σ z − μ (σ x + σ y ) E εx = 2-Liên hệ ứng suất tiếp biến dạng góc γ ( Định luật Hooke trượt) τ Phân tố TTƯS trượt tuý (H.4.26) Biến dạng góc (góc trượt) γ biểu thị độ thay đổi H 4.26 TTỨ S trượ t tuýgóc vuông Biến ng góc Định luật Hooke trượt: γ= τ G (4.25) đó: G - môđun đàn hồi trượt Thứ nguyên G [lực/(chiều dài)2] đơn vị thường dùng N/m2 hay MN/m2 Liên hệ E, ν G sau: G= E 2(1 + μ ) y (4.26) 4.4.2 Định luật Hooke khối Tính độ biến đổi thể tích phân tố hình hộp có cạnh da1, da2 da3 Thể tích phân tố trước biến dạng là: II x z σ2 σ1 σ3 Vo = da1 da2 da3 III Sau biến dạng, phân tố tích là: H.4.27 TTƯS khối V1 = (da1 + Δda1 )(da + Δda2 )(da + Δda3 ) Gọi biến dạng thể tích tương đối θ, ta có: V −V θ = o = ε1 + ε + ε Vo (4.27) Chương 4: Trạng thái ứng suất http://www.ebook.edu.vn 15 I GV: Lê Đức Thanh Thế (4.21)(4.22),(4.23) vào (4.27) ⇒ − 2μ (σ + σ + σ ) θ = ε1 + ε + ε = E đặt tổng ứng suất pháp là: (4.28) thaønh: θ = (4.28) Σ = σ1 + σ + σ − 2μ ∑ E (4.29) coâng thức (4.29) gọi định luật Hooke khối biểu thị quan hệ tuyến tính biến dạng thể tích tương đối tổng ứng suất pháp Nhận xét : ♦Từ (4.29), vật liệu có hệ số Poisson μ = 0,5 ( cao su), θ luôn không tức thể tích không đổi tác dụng ngoại lực ♦ Công thức cho thấy θ phụ thuộc vào tổng ứng suất pháp không phụ thuộc vào riêng ứng suất pháp Như vậy, với phân tố ta thay ứng suất ứng suất trung bình σtb có giá trị trung bình cộng ba ứng suất nói trên: σ tb = Σ σ1 + σ + σ = 3 biến dạng thể tích tương đối phân tố không thay đổi Thật vậy, với ứng suất σtb , biến dạng thể tích bằng: θ1 = − 2μ (σ tb + σ tb + σ tb ) = − 2μ Σ E E Kết có ý nghóa sau: với phân tố ban đầu hình lập phương, hai trường hợp ta thấy thể tích phân tố biến đổi - Tuy nhiên, trường hợp đầu ứng suất khác nhau, phân tố vừa biến đổi thể tích vừa biến đổi hình dáng tức trở thành phân tố hình hộp chữ nhật sau biến dạng - Còn trường hợp thứ hai, thay ứng suất ứng suất trung bình, phân tố biến đổi thể tích mà không biến đổi hình dáng, nghóa sau biến dạng phân tố giữ hình lập phương - Về mặt lý luận, phân phân tố TTUS khối chịu ứng suất σ1 , σ2 , σ3 thành phân tố (H 4.28) Phân tố b) biến đổi thể tích, phân tố c) biến đổi hình dáng Chương 4: Trạng thái ứng suất http://www.ebook.edu.vn 16 GV: Lê Đức Thanh σ2 σtb σ2 - σtb σ1 = σ3 σ1 - σtb σtb + σtb σ3 - σtb a) c) b) H.4.28 Phân tích TTUS khối thành TTUS 4.5 THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI ♦ Ở chương 3, phân tố TTƯS đơn (thanh bị kéo nén): u = σε (4.30) Thế biến dạng đàn hồi riêng ♦ Trong TTƯS khối, sử dụng nguyên lý độc lập tác dụng, ta biến dạng đàn hồi riêng bằng: u= σ 1ε + σ 2ε 2 + σ 3ε (4.31) thay ε1, ε2, ε3 theo định luật Hooke (4.21) - (4.23) vaøo , ⇒ {σ 1[σ − μ (σ + σ )] + σ [σ − μ (σ + σ )] + σ [σ − μ (σ + σ )]} 2E (4.32) u= σ + σ 22 + σ 32 − μ (σ 1σ + σ 2σ + σ 3σ ) 2E u= hay [ ] Ta phân tích biến dạng đàn hồi u thành hai thành phần: -Thành phần làm đổi thể tích gọi biến đổi thể tích utt -Thành phần làm đổi hình dáng gọi biến đổi hình dáng uhd Ta có: u = utt + uhd Để tính biến đổi hình dáng, ta thay ứng suất σ1, σ2 σ3 ứng suất (σ1 -σtb ), (σ2 -σtb ), (σ3 -σtb ), tác dụng lên mặt phân tố σ2 σtb σ2 - σtb σ1 = σ3 σ1 - σtb σtb + σtb σ3 - σtb H.4.29 Phâ n tích TTỨS nh hai TTỨS Thế vào (4.32) ta biến đổi hình dáng baèng: uhd = − 2μ (σ + σ + σ )2 σ + σ 22 + σ 32 − 2ν (σ 1σ + σ 2σ + σ 3σ ) − 2E 6E [ ] Chương 4: Trạng thái ứng suất http://www.ebook.edu.vn 17 GV: Lê Đức Thanh uhd = hay : 1+ μ σ + σ 22 + σ 32 − σ 1σ − σ 2σ − σ 1σ 3E ( ) (4.33) ♦ TTƯS đơn , thay σ1 = σ; σ2 = 0; σ3 = vaøo (4.32) (4.33), ta riêng biến đổi hình dáng sau: u= σ2 2E ; uhd = 1+ μ σ 3E (4.34 Thí dụ 4.4: Cho phân tố hình vẽ: trạng thái ứng suất phẳng Tính ε x , ε y , ε u (phương utạo vứi trục x góc 30 Cho E=104kN/cm2 , μ =0,34 , Ta coù σ x = 6kN / cm α =300 αu y 6kN/cm σ y = 8kN / cm x τ = −2kN / cm α = 60 2kN/cm 8kN/cm 1 [ σ x − μσ y ] = [6 − (0,34)8] = 3,28 × 10 − E 10 1 ε y = [σ y − μσ yõy ] = [8 − (0,34)6] = 5,96 × 10 −4 E 10 σ +σ y σ x −σ y σ u = xõ + cos 2α − τ xy sin 2α = 9,232kN / cm 2 1 ε u = [σ u − μσ v ] = σ u − μ (σ x + σ y − σ u = 7,611kN / cm E E εx = [ ] Chương 4: Trạng thái ứng suất http://www.ebook.edu.vn 18 GV: Lê Đức Thanh Thí dụ 4.5: Một khối lập phương bê tông đặt vừa khít vào rãnh vật thể A (tuyệt đối cứng) chịu áp suất phân bố mặt P= 1kN/cm2 (H.4.11) Xác định áp lực nén vào vách rãnh, liên hệ ứng suất biến dạng dài tương đối theo phương Độ biến dạng thể tích tuyệt đối Cho cạnh a = cm; E = 8.102 kN/cm2; μ= 0,36 Chọn hệ trục hình vẽ.Ta có: khối bê tông TTỨSphẳng σ x ≠ 0; σ y = − p kN/cm2 ; σz = y ε z ≠ 0; ε y ≠ ; a P εx = x Định luật Hooke cho biến dạng dài: z A εx = H.4.11 ⇒ εy = [ ] σ x − μ (σ y + σ z ) = E σ x = − μp = -(0,36 × 1) = −0,36 kN/cm −p σ y − μ (σ x + σ z ) = (1 -η ) E E [ ] εz = 1 μp σ z − μ (σ x + σ y ) = [0 - μ (-μp - p)] = (1 + μ ) E E E [ ] Biến dạng thể tích tuyệt ñoái: − 2μ σx +σy +σz) V E - (2 × 0,36) [− 0,36 − 1](5 × × 5) = - 0,0559cm3 = 800 Δ v = θV = [ ] Chương 4: Trạng thái ứng suất http://www.ebook.edu.vn 19 GV: Lê Đức Thanh Thídụ4.6 Một mỏng có kích thước H.4.5 chịu tác dụng ứng suất kéo σ = 30 kN/cm2 theo phương chiều dài m ứng suất tiếp τ = 15 kN/cm2 a) Xác định ứng suất pháp theo phương đường chéo mn phương vuông góc với đường chéo b) Tính biến dạng dài tuyệt đối đường chéo mn τ n σ 15 mm 25 mm H45 Cho E = 2.104 kN/cm2, μ= 0,3 Goïi εu = σu = εu σ u = σ mm , εu = Δlmm ⇒ Δlmm = lmm × ε u lmm [σ u − ησ v ] E 30 + 30 − + cos 600 − (−15) sin 600 = 35,5kN / cm 2 [σ u − η (σ u − σ u ) ] = 1,8575 10 − = ε mm = E Δlu = Δlmm = 1,8575.10 −3 × 50 = 0,093mm Chương 4: Trạng thái ứng suất http://www.ebook.edu.vn 20 GV: Lê Đức Thanh BÀI TẬP CHƯƠNG 4.1 Tìm giá trị ứng suất pháp ứng suất tiếp mặt cắt AB phân tố H.4.1 phương pháp giải tích đồ thị Đơn vị ứng suất tính kN/cm2 c) b) B A A 50o 30o A B b) a) B c) B 60o B B 60o α A A 30o A e) d) H 4.1 f) 4.2 Trên hai mặt tạo với góc α = 60o qua điểm TTƯS phẳng có ứng suất H.4.2 Hãy tính ứng suất điểm đó, ứng suất pháp σu biến dạng tương đối εu theo phương u Cho: E = 2.10 kN/cm ; μ= 0,3 σu kN/cm2 60 o kN/cm2 kN/cm2 H.4.2 4.3 Trên mặt cắt m - n qua điểm vật thể τ m TTƯS phẳng có ứng suất toàn phần p = 3000 N/cm2, p 60 ứng suất có phương tạo thành góc 60o với mặt 45 cắt Trên mặt vuông góc với mặt cắt có ứng n suất tiếp (H.4.3) H 4.3 Tính ứng suất pháp ứng suất tiếp mặt cắt hợp với mặt cắt m - n góc 45o Tính ứng suất pháp lớn điểm o o Chương 4: Trạng thái ứng suất http://www.ebook.edu.vn 21 GV: Lê Đức Thanh 4.4 Tại điểm bề mặt vật thể, ứng suất tác dụng lên phân tố nghiêng góc 30o với trục x có trị số hướng H.4.30 a) Xác định ứng suất phương b) Xác định ứng suất tiếp cực trị ứng suất pháp bề mặt có ứng suất tiếp cực trị Biểu diễn ứng suất H.4.4 y kN/cm2 kN/cm2 α = 30o x H 4.4 4.5 Một mỏng có kích thước τ H.4.5 chịu tác dụng ứng suất kéo σ = 30 kN/cm2 theo phương chiều dài ứng suất tiếp τ = 15 kN/cm2 m 25 mm a) Xác định ứng suất pháp theo phương đường chéo mn phương vuông góc H45 với đường chéo b) Tính biến dạng dài tuyệt đối đường chéo mn n σ 15 mm Cho E = 2.104 kN/cm2, μ= 0,3 4.6 Một thép mỏng hình chữ nhật chịu ứng suất pháp phân bố σx σy H.4.6 Các điện trở A B gắn lên theo hai phương x y cho số đo sau: εx = 4,8.10–4 εy = 1,3.10–4 Tính σx σy, bieát E = 2.104 kN/cm2; μ= 0,3 n o 45 B u A x C B O H 4.6 45o A m H 4.7 4.7 Tại điểm mặt vật thể chịu lực, người ta gắn điện trở A, B, C để đo biến dạng tỷ đối theo phương Om, On Ou (H.4.7) Các số đo thu được: ε m = −2,81.10−4 ; ε n = −2,81.10−4 ; ε u = 1,625.10−4 Xác định ứng suất chính, phương điểm Cho : E = 2.104 kN/cm2 ; μ= 0,3 Chương 4: Trạng thái ứng suất http://www.ebook.edu.vn 22 GV: Lê Đức Thanh 4.8 Tại điểm A dầm cầu có gắn hai tenxômét để đo biến dạng theo phương nằm ngang phương thẳng đứng (H.4.8) x Khi xe chạy qua cầu, người ta đo được: εx A y x y = 0,0004; εy = –0,00012.Tính ứng suất pháp theo phương dọc phương thẳng H.4.8 đứng dầm Cho biết E = 2.104 kN/cm2; μ= 0,3 4.9 Có phân tố hình hộp có cạnh: a = 2cm; P1 b = cm; c = cm, chịu tác dụng lực P1, P2 bốn mặt phân tố (xem H.4.9) Cho : P1 = 60 kN; P2 = 120 kN; E = 2.104 kN/cm2; μ= 0,3 a) Xác định biến dạng dài Δa, Δb, Δc cạnh a, b, c biến đổi thể tích phân tố hình hộp b) Muốn biến đổi thể tích ΔV = phải đặt thêm lực pháp tuyến P3 vào hai mặt lại? Tính τmax trường hợp P2 b P2 P1 c a H.4.9 4.10 Một khối hình hộp làm thép có kích thước cho H.4.10, đặt hai cứng tuyệt đối, chịu lực nén P = 250 kN Tính lực tác dụng tương hỗ mặt tiếp xúc hình hộp với cứng Cho μ= 0,3 P y m c m c b) a) P H 4.10 x 5cm Chương 4: Trạng thái ứng suất http://www.ebook.edu.vn 23 GV: Lê Đức Thanh 4.11 Một khối lập phương bê tông đặt vừa khít rãnh vật thể A chịu áp suất phân bố mặt P = kN/cm2 (H.4.11) Xác định áp lực nén vào vách rãnh độ biến dạng thể tích tuyệt đối Cho cạnh a = cm; E = 8.102 kN/cm2; μ= 0,36 Vật thể A coi cứng tuyệt đối 4.12 Một thép kích thước a × b × c đặt hai tuyệt đối cứng, hai liên kết với bốn H.4.12 Khi thép chịu áp lực p phân bố hai mặt bên ứng suất kéo bao nhiêu? Tính ứng suất thép Cho Etấm = Ethanh diện tích F cuûa p x x a b p z y H.4.12 c Chương 4: Trạng thái ứng suất http://www.ebook.edu.vn 24 ... hai phương x y cho số đo sau: εx = 4, 8.1 0? ?4 εy = 1,3.1 0? ?4 Tính σx σy, bieát E = 2.1 04 kN/cm2; μ= 0,3 n o 45 B u A x C B O H 4. 6 45 o A m H 4. 7 4. 7 Tại điểm mặt vật thể chịu lực, người ta gắn điện... không (H .4. 4a) a) b) c) H 4. 4 Các loại trạng thái ứng suất - TTƯS phẳng: Hai ứng suất khác không (H .4. 4b) - TTƯS đơn: Một ứng suất khác không (H .4. 4c) Chương 4: Trạng... phương xác định theo (4. 5): π π αo = + k tan 2α o = ∞ ⇔ (4. 12) σ1 Những phương xiên góc 45 o với trục x y H 4. 14 3- Trường hợp phân tố (H .4. 14) Phân tố coù σ , σ ,τ = 0; Thay vào (4. 9), ta được: τ