Bài giảng Sức bền vật liệu – Chương 9: Xoắn thuần túy cung cấp đến các bạn những kiến thức khái niệm xoắn thuần túy; xoắn thuần túy thanh thẳng tiết diện tròn; xoắn thanh thẳng tiết diện chữ nhật; tính lò xo hình trụ bước ngắn chịu lực dọc trục; một số bài tập vận dụng.
GV: Lê đức Thanh Chương XOẮN THUẦN TÚY y Ι KHÁI NIỆM Mz 1- Định nghóa: Thanh chịu xoắn túy mặt cắt ngang có thành z O phần nội lực mômen xoắn Mz (H.9.1) x Dấu Mz : Mz > từ mặt cắt nhìn vào thấy Mz quay thuận kim đồng hồ H 9.1 Ngoại lực: Gồm ngẫu lực, mômen xoắn Mz, nằm mặt phẳng vuông góc trục Thực tế: trục truyền động, chịu lực không gian, dầm đỡ ôvăng 2- Biểu đồ nội lực mômen xoắn Mz Biểu đồ mômen xoắn vẽ cách xác định nội lực theo phương pháp mặt cắt điều kiện cân tónh học: ∑M/OZ = Thí dụ 1: Vẽ biểu đồ Mz cho trục truyền động chịu tác dụng ba ngẫu lực xoắn ( mômen xoắn) (H.9.2.a) M1=10kNm a) M2=7kNm B A Mz C b) 10 kNm + d) M1=10kNm M3=3kNm - H.9.2 kNm Mz A M1=10kNm M2=7kNm Mz c) A B Giải: Thực mặt cắt ngang đoạn AB, xét cân phần trái (H.9.2.b), dễ thấy để cân ngoại lực ngẫu lực xoắn M1 , tiết diện xét phải có nội lực mômen xoắn Mz : ΣM /z = ⇒ Mz – 10 = ⇒ Mz = 10kNm Tương tự, cắt qua đoạn BC, xét phần trái (H.9.2.c): ΣM /z = ⇒ Mz + – 10 = ⇒ Mz = Mômen tiết diện hai đoạn đầu không, biểu đồ nội lực vẽ H.9.2.d Chương 9: XOẮN THUẦN TÚY http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh Thí dụ 2: Vẽ biểu đồ mômen xoắn Mz (H.9.3.a) Giải: Phân tích thành tổng hai trường hợp tác dụng riêng lẻ ( H.9.3b H.9.3c ) Trong trường hợp, ngoại lực ngẫu lực gây xoắn, nội lực mômen xoắn Biểu đồ nội lực vẽ H.9.3.b,c M = kNm M = kNm a) c) Mz = + b) Mz = – Mz = + d) Biểu đồ Mz tổng đại số hai biểu đồ (H.9.3.d) – Mz = M z (kNm) H.9.3 Nhận xét: Dấu nội lực dương từ nhìn vào đầu thấy ngoại lực quay thuận chiều kim đồng hồ ngược lại 3- Công thức chuyển đổi công suất động ngẫu lực xoắn (mômen xoắn ngoại lực) trục Khi tính toán trục truyền động, thường ta biết công suất truyền môtơ tính mã lực hay kilôóat tốc độ trục quay vòng/phút, cần chuyển đổi công suất truyền ngẫu lực xoắn tác dụng lên trục Giả sử có ngẫu lực xoắn Mo (đơn vị N.m) tác dụng làm trục quay góc α (radian) thời gian t, công sinh là: A = Mo.α (i) M oα A α = = Mo = M oω W = t t t công suất là: (ii) đó: ω - vận tốc góc (rad/s), đơn vị công suất N.m/s Gọi n số vòng quay trục phút (vòng/phút), ta có: ω= 2πn πn = 60 30 (iii) từ (ii) (iii) ⇒ a) Nếu W tính mã lực (CV, HP) ;1mã lực = 750N.m/s = 0,736 kW: Mo = b) 30W 30.750.W W = = 7162 ( Nm) n πn πn (9.1) Nếu W tính kilôwat (KW), KW ≈ 1020 N.m/s: Mo = 30W 30.1020.W W = = 9740 (Nm) π n πn n Chương 9: XOẮN THUẦN TÚY (9.2) http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh ΙΙ XOẮN THUẦN TUÝ THANH THẲNG TIẾT DIỆN TRÒN Mz Mz b) a) H 9.4 dz 1- Thí nghiệm - Nhận xét Lấy thẳng tiết diện tròn, mặt có vạch đường song song đường tròn thẳng góc với trục, tạo thành lưới ô vuông (H.9.4.a) Tác dụng lên hai đầu hai ngẫu lực xoắn Mz ngược chiều, ta thấy trục thẳng, chiều dài không đổi, đường tròn thẳng góc với trục tròn thẳng góc với trục, đường song song với trục thành đường xoắn ốc, lưới ô vuông thành lưới bình hành (H.9.4.b) 2- Các giả thiết a) Mặt cắt ngang phẳng, thẳng góc với trục khoảng cách không đổi trình biến dạng, b) Các bán kính thẳng không đổi trình biến dạng, c) thớ dọc không ép đẩy lẩn trình biến dạng 3- Công thức ứng suất tiếp Ta tính ứng suất điểm mặt cắt ngang có bán kính ρ (H.9.1) Có thể nhận thấy, theo thí nghiệm trên, biến dạng chịu xoắn túy xoay tương đối mặt cắt ngang quanh trục ρz Mz z O H 9.1 Để xét biến dạng xoắn phân tố điểm bán kính thanh, ta tách phân tố ba cặp mặt cắt sau: Chương 9: XOẮN THUẦN TÚY http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh z O τρ dα Mz Mz τρ z ρ dα A’ F dϕ ρ B’ ’’ B A E G dρ D ’’’ C’ γ C D H 9.6 Phaân tố trượt túy dρ H dz dz b) a) H 9.5 Biến dạng phân tố chịu xoắn - Hai mặt cắt (1-1) (2-2) thẳng góc với trục cách đoạn dz (H.9.5.a) - Hai mặt cắt chứa trục hợp với góc dα bé(H.9.5.b) - Hai mặt cắt hình trụ đồng trục z (trục thanh) bán kính ρ ρ + dρ (H.9.5.a) Theo giả thiết, trình biến dạng, so với điểm E, F, G, H thuộc mặt cắt (1-1), điểm A, B, C, D phân tố mặt cắt (2-2) di chuyển đến A’, B’, C’, D’ phải nằm cung tròn bán kính ρ ρ + dρ, đồng thời OA’B’ OC’D’ phải thẳng hàng Gọi dϕ góc hai đường thẳng OAB OA’B’, góc xoay mặt cắt (2-2) so với mặt cắt (1-1) quanh trục z, dϕ góc xoắn tương đối hai tiết diện lân cận cách dz Đối với phân tố xét, góc A’EA biểu diễn thay đổi góc vuông mặt bên phân tố gọi biến dạng trượt (góc trượt) γ phân tố Từ (H.9.5.b), ta có: tanγ ≈ γ = Chương 9: XOẮN THUẦN TÚY AA ′ dϕ = ρ EA dz (a) http://www.ebook.edu.vn GV: Leâ đức Thanh Theo giả thiết a) biến dạng dài theo phương dọc trục, theo giả thiết c) thớ dọc không tác dụng với nên ứng suất pháp tác dụng lên mặt phân tố Theo giả thiết a) góc vuông mặt CDHG mặt BAEF không thay đổi nên ứng suất tiếp hướng tâm mặt A, B, C, D Do giả thiết b), bán kính thẳng nên ứng suất tiếp hướng tâm mặt A, B, E, F Như vậy, mặt cắt ngang chịu xoắn túy tồn ứng suất phương vuông góc bán kính, gọi τρ phân tố xét trạng thái trượt túy (H.9.6) Áp dụng định luật Hooke trượt cho phân tố này, ta có: τρ = G γ b) (a) vaøo (b) ⇒ τ p = Gρ dϕ dz (c) Gọi dF diện tích vô bé bao quanh điểm xét, τρ.dF lực tiếp tuyến tác dụng diện tích τρ.dF.ρ mômen lực τρ dF tâm O Tổng mômen phải Mz, nên ta viết: (d) M z = ∫ τ p dFρ F (c) vaøo (d) ⇒ M z = ∫ Gρ F dϕ dFρ dz (e) Vì G.dϕ/dz số điểm thuộc mặt cắt F, nên ta đưa dấu tích phân, tích phân ∫ ρ dF mômen quán F tính cực Jp mặt cắt ngang tâm O, ta được: Mz = G dϕ dϕ ρ dF = G Jp ∫ dz dz F (f) dϕ Mz = dz GJ ρ từ (f) ta có: (g) Có thể thấy rằng, dϕ/dz góc xoắn đơn vị chiều dài ( gọi góc xoắn tỉ đối ) (rad/m) Đặt θ= Mz GJ ρ θ= dϕ dz , ta coù: (9-3) thay (g) vào (c) ta công thức tính ứng suất tiếp: Chương 9: XOẮN THUẦN TÚY http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh Mz ρ Jρ τρ = (9.4) Ứng suất tiếp thay đổi theo quy luật bậc nhất, không tâm O cực đại điểm chu vi Biểu đồ phân bố ứng suất tiếp điểm mặt cắt ngang thể H.9.7.a Trên H.9.7.b, thể ứng suất tiếp đối ứng mặt cắt chứa trục Mz Mz ρ τρ O O τmax a) b) τmax H.9.7 Phân bố ứng suất tiếp mặt cắt Và ứng suất tiếp đối ứng Ứùng suất tiếp cực đại điểm chu vi (ρ = bán kính R) τ max = đặt: ⇒ Wρ = τ max = Jρ R Mz R Jρ ; Wp gọi mômen chống xoắn mặt cắt ngang (9.5) Mz Wρ * Với tiết diện tròn đặc D đường kính tiết diện: Wρ = Jρ R = πR = πD 16 (9.6) ≈ 0,2 D * Với tiết diện tròn rỗng: Wρ = Jρ R = πD (1 − η ) 32 R = πD 16 (1 − η ) ≈ 0,2 D (1 − η ) (9.7) đó: η tỷ số đường kính đường kính (η = d/D) Chương 9: XOẮN THUẦN TÚY http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh 4- Công thức tính biến dạng xoắn Góc xoắn tương đối hai mặt cắt cách dz laø dϕ = Mz dz GJ ρ (g) ⇒ Góc xoắn tương đối hai mặt cắt cách đoạn dài L là: L L Mz dz o GJ ρ (9.8) ϕ = ∫ dϕ = ∫ o * Khi đoạn có Mz/GJp số ⇒ ϕ = * Khi gồm nhiều đoạn, đoạn có Mz/GJp số: ϕ = ∑( i M zL GJ p MzL )i GJ ρ (9.9) (9.10) Goùc xoắn ϕ quy ước dương theo chiều dương Mz 5- Tính toán tròn chịu xoắn thuẩn tuý: Điều kiện bền: + τ max ≤ [τ ] = τo (9.11) n với: τo - ứng suất tiếp nguy hiểm vật liệu, xác định từ thí nghiệm n - hệ số an toàn + Theo thuyết bền ứng suất tiếp ( chương ): τ max ≤ [σ ] (9.12) + Theo thuyết bền biến đổi hình dạng ( chương ): τ max ≤ [σ ] (9.13) Điều kiện cứng: θ max ≤ [θ ] (9.14) [θ ] : Goùc xoắn tỷ đối cho phép, cho từ sổ tay kỹ thuật, đơn vị [θ ] (radian/ đơn vị chiều dài ) Ba toán bản: - Kiểm tra bền, cứng (bài toán kiểm tra) - Xác định tải trọng cho phép - Xác định đường kính (bài toán thiết kế) Chương 9: XOẮN THUẦN TÚY http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh 6- Thế biến dạng đàn hồi Thế riêng tích lũy đơn vị thể tích là: u= [σ 12 + σ 22 + σ 32 − 2μ (σ 1σ + σ 2σ + σ 3σ )] 2E Thanh chịu xoắn tuý, TTƯS trượt tuý với ứng suất tiếp τ , nên σ1 = ⎢τ ⎢; σ2 = vaø σ3 = – ⎢τ ⎢, ta được: u= 1+ μ τρ E (a) với: E = G/(1 + μ), thay vào (a), ta được: τρ G u= (b) Thế tích lũy đoạn dz là: (c) dU = ∫ udV = ∫ udFdz V F thay (b) vaøo (c), ta được: dU = 1τp M z2 dF dz M z2 = ρ = dz ρ dF ∫F G ∫F J p2 G 2G J p2 ∫F dU = M z2 dz GJ p hay: (d) Vậy đoạn có chiều dài L là: L U = M z2 dz ∫o GJ p (9.15) + Khi đoạn có Mz/GJp số ⇒ U = M z2 L GJ p (9.16) + Khi gồm nhiều đoạn, đoạn có Mz/GJp soá U = M z2 L ( )i ∑ i GJ p Chương 9: XOẮN THUẦN TÚY (9.17) http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh 7- Dạng phá hỏng vật liệu σ3 τ τ σ1 τ τmax σ1 a) σ1 σ3 σ3 σ3 σ1 σ τ P b) H 9.8 Trạng thái ứng suất tạ i mộ t điểm trê n mặ t ngoà i chịu xoắn Nghiên cứu trạng thái ứng suất trục tròn chịu xoắn, ta thấy điểm mặt ngoài, phân tố trạng thái trượt túy chịu ứng suất tiếp cực đại τmax (H.9.a), trạng thái này, theo hai phương nghiêng 45o so với trục có ứng suất kéo ứng suất nén σ1 = –σ3 =⎪τ⎪ (H.9.8.b) Mặt khác, qua thí nghiệm, ta biết H 9.9 Dạng nứ t gãy vậ t liệu dẻ o vật liệu dẻo (như thép) chịu kéo, chịu nén tốt nhau, chịu cắt hơn, đó, trục thép bị xoắn bị gãy theo mặt cắt ngang, ứng suất tiếp τmax mặt cắt ngang (H.9.9) Với vật liệu dòn H 9.10 Dạng nứt gãy vật liệu dòn gang, chịu nén chịu cắt tốt, chịu kéo nên xoắn bị gãy theo mặt nghiêng 45o so với trục ứng suất kéo σ1 (H.9.10) Với vật liệu có cấu tạo thớ gỗ, chịu cắt dọc thớ nên xoắn bị nứt dọc theo đường sinh ứng suất ứng suất tiếp đối ứng với ứng suất tiếp mặt cắt ngang (H.9.11) Mz Mz H 9.11 Dạng nứt gãy gỗ chịu xoắn Chương 9: XOẮN THUẦN TÚY http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh Thí dụ 9.3 Một động công suất 10kW, truyền mômen xoắn lên trục tròn đường kính D tiết diện A, vận tốc trục n = 1400 vg/phút Giả sử hiệu suất truyền 100% Khi tiết diện B, C nhận công suất truyền 3kW 7kW (H.9.12.a) Định đường kính D, sau tính góc xoắn ϕAC Biết: [σ] = 16 kN/cm2 ; [θ ] = 0,250/m; a = 50cm; G = 8.103 kN/cm2 Giải ♦ Gọi ngẫu lực xoắn tác dụng A, B, C M1, M2, M3 Áp dụng công thức chuyển đổi, ta được: M1 = 9740 x 10 / 1400 = 69,57 N.m = 6957 Ncm M2 = 9740 x / 1400 = 20,87 N.m = 2087 Ncm M3 = 9740 x 7/ 1400 = 48,70 N.m = 4870 Ncm Sơ đồ tính trục (H.9.12.b), biểu đồ mômen vẽ (H.9.12.c) ♦ Định đường kính D: + Theo điều kiện bền τ max ≤ [τ ] = với: [τ] = [σ] = [σ ] ⇒ M z kN/cm2 ; Mz = 4870 Ncm ⇒ D ≥ 14,49 cm (a) + Theo điều kiện cứng: θ max ≤ [θ ] ⇒ ⇒D≥4 Wp Mz Mz = ≤ [θ ] GJ p G.0,1D = Mz Mz ≤ [τ ] ⇒ D ≥ 3 0,2 D 0,2.[τ ] 10 KW KW B a) KW A a a 20,87 Nm B b) D C 69,57 Nm 48,70 Nm ⇒D≥4 A C Mz G.0,1.[θ ] Mz G.0,1.[θ ] với: [θ ] = 0,250/m 0,25 × π = rad / cm ; 180 × 10 − c) + 20,87 Mz = 4870 Ncm; G = 8.103 kN/cm2 ⇒ D ≥ 11,17cm H 9.12 48,70 Mz (N.m) (b) Để thỏa hai yêu cầu (a), (b), ta chọn D = 15 cm ♦ Tính góc xoắn ϕ AC: Áp dụng công thức (9.6), ta được: ϕ AC = ⎛ M zL ⎞ 4870 × 50 ⎟ = = 0,006 rad ⎟ × 103 × 0,1× 154 p ⎠i ⎝ ∑ ⎜⎜ GJ i Chương 9: XOẮN THUẦN TÚY http://www.ebook.edu.vn 10 GV: Lê đức Thanh Thí dụ 9.4 Một tiết diện tròn đường kính D hai đầu ngàm chịu lực (H.9.13) Vẽ biểu đồ Mz MA Mo B A định giá trị Mo theo điều kiện bền C a a/2 ME Mo 2Mo a D E D a/2 H 9.13 Giải: Ngoại lực mômen xoắn mặt phẳng thẳng góc với trục phản lực phát sinh liên kết ngàm A E phải mômen xoắn MA, ME mặt phẳng thẳng góc với trục Giả sử MA, ME có chiều H.9.13 Để xác định mômen phản lực, viết phương M 2M M M Mo Mo o C B a/2 /2 a a E D E a/2 a/2 a a) trình cân ΣM/z = 0, ta có: MA - Mo +2Mo + Mo - ME =0 (a) Phương trình (a) không đủ để định phản ME A Mo A b) 2M 2Mo A A lực MA, ME : Bàøi toán siêu tónh Cần bổ sung (hay nhiều) phương trình thiết lập từ điều kiện biến dạng toán (phương trình điều kiện biến dạng) Thường cách giải sau: Mo (4/3)M (4/3)M0 c) Mz (5/3)M (5/3)M0 (2/3)M (2/3) M0 +Tưởng tượng bỏ ngàm E, thay phản lực tương ứng ME (H.9.15.a) +Viết phương trình điều kiện biến dạng: ϕE = Hình 9.15 H 9.15 (Tại E liên kết ngàm ⇒ góc xoay ϕE = ) +Tính ϕE : Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng, biểu đồ mômen xoắn trường hợp tải gây vẽ H.9.15.b Tính ϕE theo (9.10) sau: ϕ E = ϕ EA = ∑ ( i M zL M 3a M o 5a M o 3a M o a + + − ) =− E GJ p G.J p GJ p GJ p GJ p + Cho ϕE = 0, ta : ME = Mo Kết dương, ME chiều chọn + Xác định ME , ta vẽ biểu đồ mômen xoắn Mz H.9.15.c Từ biểu đồ nội lực Mz, ta thấy: Mz,max= (5/3)Mo Từ điều kiện bền, ta coù: ⇒ τ max ≤ [τ] ⇒ M z max ≤ [τ] 0,2.D 5M o 3.0,2.D3 ≤ [τ] ⇒ M o ≤ [τ] 3.0,2.D Chương 9: XOẮN THUẦN TÚY http://www.ebook.edu.vn 11 GV: Lê đức Thanh ΙΙΙ XOẮN THANH THẲNG TIẾT DIỆN CHỮ NHẬT Thí nghiệm xoắn tiết diện chữ nhật, biến dạng (H.9.16) Lý thuyết đàn hồi cho kết sau: ♦Ứng suất: Trên mặt cắt ngang có ứng suất tiếp + Tại tâm góc, ứng suất tiếp không + Tại điểm cạnh dài, ứng suất tiếp đạt giá trị lớn : τ max = Mz αhb (9.18) a ) Sự vênh tiết H 9.16 diện chữ nhật xoắn τ1 τ1 + Tại điểm cạnh ngắn, ứng suất τ1 bé hơn: τ = γτ max (9.19) Mz +Phân bố ứng suất tiếp điểm trục đối xứng, cạnh tiết diện đường chéo biểu diễn H.9.17 ♦ Góc xoắn tương đối: θ = Mz βhb3 b) τ max z τ max h τ1 b H 9.17 Phân bố ứng suất tiếp tiết diện chữ nhật (9.20) đó: α, γ, β hệ số phụ thuộc tỷ số (cạnh dài h /cạnh ngắn b) cho bảng Bảng 9.1 Giá trị α, γ, β h b 1,5 1,75 2,5 10 ∞ α 0,203 0,231 0,239 0,246 0,258 0,267 0,282 0,299 0,307 0,313 0,333 β 0,141 0,196 0,214 0,229 0,249 0,263 0,281 0,299 0,307 0,313 0,333 γ 1,000 0,859 0,820 0,795 0,766 0,753 0,745 0,743 0,742 0,742 0,742 Chương 9: XOẮN THUẦN TÚY http://www.ebook.edu.vn 12 GV: Lê đức Thanh ΙV TÍNH LÒ XO HÌNH TRỤ BƯỚC NGẮN CHỊU LỰC DỌC TRỤC Lò xo phận dùng rộng rãi kỹ thuật, lắp đặt chỗ cần giảm chấn tải trọng động đế móng thang máy, hệ thống nhún ôtô, đế mô tơ công suất lớn Lò xo hình trụ cấu tạo cách quấn sợi dây thép tiết diện vuông, chữ nhật tròn quanh lõi hình trụ, ta tính lò xo chịu lực theo phương trục hình trụ này; trục hình trụ trục lò xo, xét lò xo có vòng gần gọi lò xo hình trụ bước ngắn (H.9.18.a) 1- Các đặc trưng lò xo: + d: Đường kính dây lò xo + D: Đường kính trung bình lò xo + n: Số vòng làm việc lò xo + G: Mô đun đàn hồi trượt vật liệu làm lò xo 2- Ứng suất dây lò xo: Dùng mặt cắt chứa trục lõi hình trụ cắt qua sợi dây lò xo, tách lò xo làm hai phần, xét điều kiện cân phần lò xo H.9.18.b, ta được: P D P = Qy h Mz d P D a) b) H 9.18 a) Các đặc trưng củ a lò xo b) Nội lực tiết diệ n dây lò xo Qy = P τΘ ΣY = ⇒ Q y = P ΣM / o = ⇒ M z = P lực cắt Qy mômen xoắn Mz, chúng gây ứng suất tiếp: τ = τM + τQ Tại điểm mặt cắt ngang, thành phần ứng suất biểu diễn (H.9.19) Bỏ qua độ nghiêng dây lò xo, coi tiết diện xét tròn, thấy Chương 9: XOẮN THUẦN TÚY τΘ D Trên mặt cắt xét ( xem mặt cắt ngang dây lò xo) coù P dF A o a) τμαξ b) P D/2 A o Mz τM τM d/2 H 9.19 Nội lực ứng suất mặt cắt dây lò xo http://www.ebook.edu.vn 13 GV: Lê đức Thanh rằng, mép mặt cắt dây lò xo, điểm A H.9.19, ứng suất tiếp đạt giá trị cực đại, dù lực P tác dụng kéo hay nén lò xo Một cách gần đúng, ứng suất tiếp điểm nguy hiểm tính sau: τ max τ max D M P = τQ + τ M = + z = + F W p πd πd 16 PD ⎛ d ⎞ 8PD = ⎜ + 1⎟ ≈ πd ⎝ D ⎠ πd P Qy (9.21) Thực chất τQ không phân bố đều, công thức tính τM không xác tiết diện không tròn độ nghiêng dây lò xo sợi dây lò xo không thẳng, tính toán thực hành, kể đến kết thực nghiệm, ta lấy: τ max D 8PD = k 23 = k π d π d 16 P với D + 0,25 k = d D −1 d (9.22) 2- Biến dạng lò xo: Tính độ co, dãn λ lò xo chịu lực dọc trục Dùng nguyên lý bảo toàn lượng, bỏ qua mát lượng, công ngoại lực T hoàn toàn biến thành biến dạng đàn hồi U Ta có: + Công ngoại lực P độ co, dãn λ lò xo là: T = Pλ (a) + Thế biến dạng đàn hồi tích lũy lò xo (bỏ qua Qy): U = M z2 L ∑ GJ p U = P D πDn 8P D 3n = Gπd / 32 Gd giá trị, T = U, ⇒ với: ñoù: C = λ= 8PD n P = Gd C Gd D3n (b) (9.24) (9.25) C - độ cứng lò xo Chương 9: XOẮN THUẦN TÚY http://www.ebook.edu.vn 14 GV: Lê đức Thanh Thí dụ 9.5 Hai lò xo có độ cứng C1 = kN/cm C2 = kN/cm chiều cao H, ghép đồng trục , chịu lực P = 50 kN (H.9.20.a) Tính lực tác dụng lò xo, tính chuyển vị điểm đặt lực P P C1 C2 1 1 R1 a) H 9.20 b) R2 a) Hai lò xo ghép đồ ng trục b) Nộ i lự c lò xo Giải Cắt lò xo mặt cắt (1-1), xét cân phần trên, gọi nội lực lò xo R1 , R2, (H.9.20.b), ∑Y = ⇒ R1 + R2 = P (a) Một phương trình chứa hai ẩn số, ta gặp toán siêu tónh Điều kiện biến dạng: độ co ngắn lò xo phải lò xo 2: λ1 = λ2 C R1 R = ⇒ R1 = R2 C2 C2 C1 (b) (c) (c) vaø (a) ⇒ R2 = R1 = P C2 P = C1 C C + 1+ C2 (d) C1 P C1 + C2 thay giá trị P, C1, C2 vaøo (d): R1 = 30,77 kN; R2 = 19,23 kN Chuyển vị điểm đặt lực độ co lò xo lò xo λ1 = λ2 = λ = R1 / C1 =30,77/8 = 3,85cm Chương 9: XOẮN THUẦN TÚY http://www.ebook.edu.vn 15 GV: Lê đức Thanh Thí dụ 9.6 Một có EJ lớn xem ∞, đặt ba lò xo có độ cứng C1 = kN/cm, C3 = C2 = 10 kN/cm chòu tác dụng lực P = 50 kN H.9.21.a Tìm lực tác dụng lò xo, tính góc nghiêng ABC Cho a = 50cm P C1 C2 a a A C2 C R3 R2 R1 a a a a P B b) a) H 9.21 a) Thanh ABC tuyệ t đố i ng đặ t trê n ba lò xo b) Ngoại lự c cá c phản lực cá c lò xo Giải Gọi phản lực lò xo R1, R2, R3 (H.9.21.b) Điều kiện cân bằng: ∑Y=0 ⇒ R1 + R2 + R3 = P (a) ∑ M/A = ⇒ -R2.a- R3.3a + P.2a = R2 + 3R3 = 2P hay: (b) Điều kiện biến dạng: giả sử, tác dụng ngoại lực, ABC có vị trí (H.9.22): λ2 λ1 λ3 α H 9.22 Sơ đồ chuyển vị ABC biến dạng lò xo Ta có: λ2 = λ1 + λ3 ⇒ R2 R1 R3 = + C2 C1 C3 (c) Giải hệ (a), (b), (c), ta phản lực lò xo, lực tác dụng lên lò xo: R1 = P ; R2 = P; R3 = P Từ đó, ta tính biến dạng loø xo: λ1 = 1,11cm; λ2 = 1,67cm; λ3 = 2,78cm Góc nghiêng ABC là: tanα ≈ α = (λ3 – λ1)/3a = 0,0111 rad Chương 9: XOẮN THUẦN TÚY http://www.ebook.edu.vn 16 GV: Lê đức Thanh BÀI TẬP CHƯƠNG 4M0 9.1 Vẽ biểu đồ mômen xoắn, tính ứng suất tiếp lớn góc xoắn đầu tự tiết diện tròn có khoan lỗ dọc trục H.9.1 Cho: Mo = 360 Nm; a=50 cm; G = 8.106 N/cm2, d = cm 9.2 Vẽ biểu đồ nội lực, kiểm tra độ bền độ cứng trục tròn(H.9.2).Biết: a =40 cm [τ]=3000N/cm2; [θ] = 0,5o/m; G=8.106 N/cm2; Mo = kNm; Tính góc xoắn B C 2M0 M0 d d a a a/2 H 9.1 4M0 9.3Vẽ biểu đồ mômen xoắn tính ứng suất tiếp lớn mặt cắt ngang nguy hiểm trục tròn H.9.3 Cho: G = số m c m c A M0 2M0 a B a C a a H 9.2 3M A M d d 9.3 Một trục chịu xoắn H.9.4 Xác định ứng suất tiếp τmax trục AB, góc xoắn ϕAB , nội lực hai CD CE.Cho: E=2.107N/cm2, G = 8.106 N/cm2; M = 2kNm; a =2cm; F=4 m2; d=6 cm Xem puli C tuyệt đối cứng 9.5 Một trục truyền động tiết diện tròn, đường kính d Tại puli A, trục nhận công suất truyền 15 kW Giả sử hiệu suất truyền 1, puli B, Cø, H trục truyền công suất 4kW, 8kW 3kW (H.9.5) Tính d theo điều kiện bền điều kiện cứng B a a a a H 9.3 D a F 4a a C d A B = D F a C E H 9.4 B A C H H 9.5 Cho:[τ]=2kN/cm2;[θ]=0,40/m; G=8.103kN/cm2; tốc độ môtơ n = 150 vg/ph Chương 9: XOẮN THUẦN TÚY http://www.ebook.edu.vn 17 GV: Lê đức Thanh 9.6 Trên mặt trục tròn chịu xoắn túy, người ta dùng điện trở đo biến dạng dài tương đối theo phương 45o so với trục ε = 30.10-5 (H 9.6) Tính mômen xoắn tác dụng lên trục Cho: E = 2.104 kN/cm2; μ = 0,3 45o H 9.6 Vò trí bu lông 9.7 Người ta nối hai trục đường kính D = cm mặt bích bốn bu lông φ 20 bố trí đối xứng đường tròn đường kính 20cm (H.9.7) Tính mômen xoắn lớn tác dụng lên trục theo điều kiện bền trục bu lông Cho: [τ]tr = kN/cm2; [τ]bl = kN/cm2 9.8 Hai trục tròn thép đura nối với mặt bích bu lông chịu mômen xoắn M (H.9.8) Tính mômen xoắn nội lực tác dụng lên hai trục Cho: Gth = 2Gñura; Dñura = 1,5Dth H 9.7 thép đura M Ddu Dth 2a a H 9.8 9.9 Hệ chịu lực H.9.9.a,b Tính ứng suất lò xo 2.Tính chuyển vị đứng C, xem ABC tuyệt đối cứng Biết : D1 =6cm; d1=1cm;n1=10; D2=5cm; d2=0,8cm; n2= P=1kN ; G1=G2 =8.103kN/cm2 P P B A 2a A C a a) B a 2a b) H 9.9 P 9.10 Một tuyệt đối cứng AB đặt ba lò xo có số vòng chịu lực P đặt đầu B H.9.10 Tính lực tác dụng lên lò xo Tính chuyển vị đứng taïi B Cho: C3 = 2C2 = 2C1 = 2kN/cm; P = kN; a = 1m Chương 9: XOẮN THUẦN TUÙY C A B C1 a C2 a C3 a H 9.10 http://www.ebook.edu.vn 18 ... ngang (H .9. 9) Với vật liệu dòn H 9. 10 Dạng nứt gãy vật liệu dòn gang, chịu nén chịu cắt tốt, chịu kéo nên xoắn bị gãy theo mặt nghiêng 45o so với trục ứng suất kéo σ1 (H .9. 10) Với vật liệu có... 9. 1 Giá trò α, γ, β h b 1,5 1,75 2,5 10 ∞ α 0,203 0,231 0,2 39 0,246 0,258 0,267 0,282 0, 299 0,307 0,313 0,333 β 0,141 0, 196 0,214 0,2 29 0,2 49 0,263 0,281 0, 299 0,307 0,313 0,333 γ 1,000 0,8 59. .. (H .9. a), trạng thái này, theo hai phương nghiêng 45o so với trục có ứng suất kéo ứng suất nén σ1 = –? ?3 =⎪τ⎪ (H .9. 8.b) Mặt khác, qua thí nghiệm, ta biết H 9. 9 Dạng nứ t gãy vậ t liệu dẻ o vật liệu