Bài giảng Sức bền vật liệu - Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp với các kiến thức khái niệm thanh chịu lực phức tạp; thanh chịu uốn xiên; ứng suất pháp trên mặt cắt ngang; đường trung hòa và biểu đồ ứng suất; ứng suất pháp cực trị và điều kiện bền; thanh chịu cộng kéo...
GV: Lê đức Thanh Chương 10 THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP 10.1 KHÁI NIỆM ♦ Định nghóa Thanh chịu lực phức tạp mặt cắt ngang có tác dụng đồng thời nhiều thành phần nội lực lực dọc Nz, mômen uốn Mx, My, mômen xoắn Mz (H.10.1) Khi chịu lực phức tạp, ảnh hưởng lực cắt đến chịu lực nhỏ so với thành phần nội lực khác nên Mz Mx O x Nz My z y H.10.1 tính toán không xét đến lực cắt 2- Cách tính toán chịu lực phức tạp p dụng Nguyên lý cộng tác dụng Nguyên lý cộng tác dụng: Một đại lượng nhiều nguyên nhân đồng thời gây tổng đại lượng tác động nguyên nhân riêng lẽ ( Chương 1) 10.2 THANH CHỊU UỐN XIÊN 1- Định nghóa – Nội lực Thanh chịu uốn xiên mặt cắt ngang có hai thành phần nội lực mômen uốn Mx mômen uốn My tác dụng mặt phẳng yoz xoz (H.10.2) Dấu Mx , My : Mx > căng thớ y > My > căng thớ x > Theo Cơ học lý thuyết, ta biểu diễn mômen Mx My véc tơ mômen Mx My (H.10.3); Hợp hai mômen mômen tổng Mu Mu nằm mặt phẳng voz, mặt phẳng thẳng góc với trục u (chứa véc tơ mômen Mu) chứa trục (H.10.3) Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp Mx O z My x y H.10.2 v u My Mu Mx x O Mu z y mặt phẳng tải trọng H.10.3 Mômen tổng mặt phẳng tải trọng http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh Mặt phẳng tải trọng mặt phẳng chứa Mu Giao tuyến mặt phẳng tải trọng với mặt cắt ngang Đường tải trọng (trục v ) Ký hiệu α : Góc hợp trục x đường tải trọng; Ta có (10.1) Mu = M x2 + M y2 tan α = Mx My (10.2) Định nghóa khác uốn xiên: Thanh chịu uốn xiên mặt cắt ngang có mômen uốn Mu tác dụng mặt phẳng chứa trục mà không trùng với mặt phẳng quán tính trung tâm yOz hay xOz Đặc biệt, tiết diện tròn, đường kính trục trung tâm ( trục đối xứng ), nên mặt phẳng chứa trục mặt phẳng quán tính trung tâm Do đó, mặt cắt ngang tròn luôn chịu uốn phẳng 2- Ứng suất pháp mặt cắt ngang Theo nguyên lý cộng tác dụng, điểm A (x,y) tiết diện, ứng suất hai mômen Mx , My gây tính theo công thức sau : My M σz = x y + x (10.3) Jx Jy Trong (10.3), số hạng thứ ứng suất pháp Mx gây ra, số hạng thứ hai ứng suất pháp My gây Công thức (10.3) công thức đại số, mômen uốn Mx, My tọa độ điểm A(x,y) có dấu chúng Trong tính toán thực hành, thường dùng công σz = ± Mx Jx y ± Mx B thức kỹ thuật sau: + o My Jy x (10.4) x My + + z + y Trong (10.4), lấy dấu cộng (+) hay (–) tuỳ theo H.10.4 Biểu diển miền kéo, nén mặt điểm tính ứng suất nằm miền chịu kéo hay nén cắt M , M gây x y nội lực gây H.10.4 biểu diển miền kéo, nén mặt cắt mômen uốn Mx , My gây : + , - Mx + , _ My Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh Thí dụ Tiết diện chữ nhật bxh= 20×40 cm2 chịu b uốn xiên (H.10.5), cho Mx = kNm My = kNm Chiều hệ trục chọn h.10.5a z o Ứng suất pháp B (xB =+10 cm; yB =- 20 cm) h + Tính theo (10.3) nhö sau: σB = Mx B My x 800 500 (−20) + (10) kN/cm 20(40) 40(20) 12 12 y H.10.5a) + Tính theo (10.4) sau: Mx gây kéo điểm nằm Ox gây nén điểm Ox; My gây kéo phía trái Oy gây nén phía phải Oy Biểu diễn vùng kéo dấu (+) vùng nén dấu (–) tiết diện (H.10.4a) ta thấy, điểm B; Mx gây nén; My gây kéo ⇒ σB = − 800 20 ( 40 ) 12 ( 20 ) + 500 40 ( 20 ) 12 (10 ) kN/cm 3- Đường trung hòa biểu đồ ứng suất Công thức (10.3) hàm hai biến, có đồ thị mặt phẳng hệ trục Oxyz Nếu biểu diễn giá trị ứng suất pháp σz cho (10.3) đoạn thẳng đại số theo trục z định hướng dương mặt cắt (H.10.6a), ta mặt phẳng chứa đầu mút véctơ ứng suất pháp điểm tiết diện, gọi mặt ứng suất (H.10.6.a) y σmin _ _ x x σmin O O _ + + z σmax K z y y a) b) σmax + Hình 10.6 a) Mặt ứng suất; b) Biểu đồ ứng suất phẳng Gọi giao tuyến mặt ứng suất mặt cắt ngang đường trung hòa, ta thấy, đường trung hòa đường thẳng quỹ tích điểm mặt cắt ngang có trị số ứng suất pháp không Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh Cho biểu thức σz = 0, ta phương trình đường trung hòa: My M y Jx Mx x y + x = 0⇒ y = − Jx Jy Mx Jy (10.5) Phương trình (10.5) có dạng y = ax, đường trung hòa đường thẳng qua gốc tọa độ, có hệ số góc tính theo công thức: tg β = − M y Jx Mx Jy (10.5) Ta thaáy: - Đường trung hòa chia tiết diện làm hai miền: miền chịu kéo miền chịu nén - Những điểm nằm đường thẳng song song với đường trung hòa có giá trị ứng suất - Càng xa đường trung hòa, trị số ứng suất điểm đường thẳng vuông góc đường trung hòa tăng theo luật bậc Dựa tính chất này, biểu diễn phân bố biểu đồ ứng suất phẳng sau Kéo dài đường trung hòa, vẽ đường chuẩn vuông góc với đường trung hoà K, ứng suất điểm đường trung hòa (σz = 0) biểu diễn điểm K đường chuẩn Sử dụng phép chiếu thẳng góc, điểm có chân hình chiếu xa K điểm chịu ứng suất pháp lớn - Điểm xa thuộc miền kéo chịu ứng suất kéo lớn nhất, gọi σmax - Điểm xa thuộc miền nén chịu ứng suất nén lớn nhất, gọi σmin Tính σmax, σmin biểu diễn hai đoạn thẳng hai phía đường chuẩn nối lại đường thẳng, biểu đồ ứng suất phẳng, trị số ứng suất điểm tiết diện đường thẳng song song với đường trung hoà tung độ biểu đồ ứng suất xác định (H.10.6.b) 4- Ứng suất pháp cực trị điều kiện bền ° Ứng suất pháp cực trị: Gọi A(xA, yA) B(xB, yB) hai điểm xa đường trung hoà phía chịu kéo chịu nén, công thức (10.4) cho: σ A = σ max = σ B = σ My Mx yA + xA Jx Jy My Mx yB − xB = − Jx Jy Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp (10.6) http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh Đối với có tiết diện chữ nhật (b x h), điểm xa đường trung hoà luôn điểm góc tiết diện, đó: h ; ⎮xA ⎮=⎪ xB⎮ = σ max = với: Wx = Mx Wx + My Wy ; ⎪ yA⎮ =⎮ yB⎮ = σ = − Mx − Wx h My (10.7) Wy Jy Jx bh2 hb2 = ; Wy = = 6 h/ b/ ° Đối với có tiết diện tròn, tiết diện chịu tác dụng hai mômen uốn Mx, My hai mặt phẳng vuông góc yOz, xOz, mômen tổng Mu tác dụng mặt phẳng vOz mặt phẳng quán tính trung tâm , nghóa chịu uốn phẳng, đó: σ max, = ± Mu Wu ; Mu = M x2 + M y2 ; Wu = π.D3 ≈ 0,1 D3 32 (10.8) ° Điều kiện bền: mặt cắt ngang chịu uốn xiên có ứng suất pháp, ứng suất tiếp, trạng thái ứng suất đơn, hai điểm nguy hiểm hai điểm chịu σmax, σmin, tiết diện bền hai điểm nguy hiểm thỏa điều kiện bền: σ max ≤ [σ]k ; (10.9) σ ≤ [σ]n Đối với vật liệu dẻo: [σ ]k = [σ ]n = [σ ], điều kiện bền thoûa khi: (10.8) max σ max , σ ≤ [σ] Thí dụï Một dầm tiết diện chữ T chịu lực H.10.7.a Vẽ biểu đồ nội lực, xác định đường trung hoà tiết diện ngàm, tính öùng suaát σmax, σmin Cho: q = kN/m; P = qL; L = m; a = cm Các đặc trưng tiết diện chữ T cho nhö sau: yo = 7a/4, Jx = 109a4/6 ; Jy = 34a4/6 Giải Phân tích lực P thành thành phần hai trục x y, ta được: Px = P.cos300 = P /2 Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp = qL /2; Py = P.sin300 http://www.ebook.edu.vn = P/2 GV: Lê đức Thanh y P q o 30 z a a yo x L 2a 2a y q Py = P/2 O z x 4a a y qL2 qL Mx Mx b) z My x y d) Px = P / x = My c) Hình 10.7 a) Sơ đồ tải trọng dụng lên b) Xét mặt phẳng vẽ biểu đồ Mx c) Xét mặt phẳng vẽ biểu đồ My d) Biểu đồ nội lực không Xét chịu lực mặt phẳng riêng lẻ Trong mặt phẳng (yOz), hệ chịu lực phân bố lực tập trung Py, biểu đồ mômen vẽ H.10.7.b, theo quy ước, biểu đồ Mx Tương tự, mặt phẳng (xOz), hệ chịu lực phân bố lực tập trung Py, biểu đồ mômen vẽ H.10.7.c, My Phương trình đường trung hòa: M y Jx x Mx Jy y = − Tại tiết diện ngàm: Mx = qL2; My = qL (a) /2 Chiều Mx My biểu diễn H.10.5.d, chọn chiều dương trục x y H.10.8.a (a), mômen uốn dều có dấu + Ta có: y = − 3qL2 / 109a / x = − 2,77.x qL2 34 a / (b) Biểu diễn tiết diện hình phẳng theo tỷ lệ, từ (b) vẽ xác đường trung hòa, áp dụng cách vẽ biểu đồ ứng suất, ta vẽ biểu đồ ứng suất phẳng (H.10.8.b) Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh y A x C Mx My o z B σmax σmin b) a) Hình 10.8 a) Chọn chiều dương trục x, y b) Đường trung hòa biểu đồ ứng suất phẳng Dựa biểu đồ ứng suất ta tìm thấy điểm chịu kéo nhiều điểm A(⎮xA⎮ = 2a,⎪yA⎮ = 7a/4), điểm chịu nén nhiều điểm C(⎮xB⎮ = 2a,⎮yB⎮ = 3a/4); điểm B(⎪xB⎮ = a/2,⎮yB⎮ = 13a/4) có chân hình chiếu gần C, cần tính ứng suất Áp dụng công thức (10.4), ta có: σ A = σ max = + qL2 7a 3qL2 / kN ( ) + (2a) = 5,145 Ix Iy cm σC = σ = + qL2 3a 3qL2 / kN ( ) − (2a) = −3,384 Ix Iy cm Thí dụï Một tiết diện tròn rỗng chịu tác dụng ngoại lực (H.10.9) Tính ứng suất pháp σmax, σmin, xác định đường trung hoà tiết diện ngàm o 60 P 30o 2P 30o 2P 60o x z 2a x a y y Hình 10.9 Thanh tiết diện tròn rỗng chịu tải hai mặt phẳng khác Giải Phân tích lực 2P lực P lên hai trục vuông góc x, y Lần lượt xét làm việc mặt phẳng yOz, xOz, ta vẽ biểu đồ mômen Mx, My tương ứng (H.10.10b) Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh 3P P/2 P z a) a 2a 2a y Mx (3 3 b) z a My (3 – Pa x Hình 10.10 Biểu đồ mômen biểu diễn hai mặt phẳng vuông góc Với tiết diện tròn, có hai mômen uốn Mx, My tác dụng hai mặt phẳng vuông góc yOz, xOz, ta đưa mômen uốn phẳng Mu tác dụng mặt phẳng quán tính trung tâm vOz, với: Mu mômen tổng Mx My Tại tiết diện ngàm, Mx, My có giá trị lớn nhất, ta có: ⎮Mu ⎪ = = 9,475 Pa M x2 + M y2 Theo công thức uốn phẳng, ta được: σ max, = ± Mu Wu = ± 9,745Pa 9,745Pa kN = ± = ± 8,41 πD π.103 d4 84 cm (1 − ) (1 − ) 32 32 D 10 Phương trình đường trung hòa: M y Jx ⋅ ⋅x Mx Jy y = − Tại tiết diện ngàm: (a) M x = (3 + 1) Pa = 6,196 Pa chiều Mx My biểu diễn H.10.11.a, chọn chiều dương trục x y phía gây kéo My Mx (H.10.11.a) (a), giá trị mômen uốn lấy trị tuyệt đối (b) Ta coù: y = 1.268Pa (1).x = − 0,204 x 6,196 Pa Mx A x My x z Đường trung hòa B y y a) b) Hình 10.11 a) Định hướng hệ trục x,y; b) Vẽ đường trung hoà hình phẳng Đường trung hòa vẽ hình phẳng (H.10.11b), vẽ đường thẳng qua tâm O, thẳng góc với đường trung hòa, giao điểm đường với chu vi hai điểm chịu ứng suất kéo nén lớn Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh 10.3 THANH CHỊU UỐN CỘNG KÉO ( HAY NÉN ) 1- Định nghóa y Thanh chịu uốn cộng kéo (hay x thời mặt cắt ngang Nz O nội lực mômen uốn Mu lực Mu mômen uốn tác dụng z Mx My chứa trục z, luôn mômen uốn Mx My mặt Hình 10.11 Các thành phần nội lực mặt cắt ngang yOz xOz (H.10.11) nén) đồng có thành phần dọc Nz mặt phẳng phân thành phẳng đối hai xứng 2- Công thức ứùng suất pháp Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng, ta thấy toán xét tổ hợp chịu uốn xiên kéo (hay nén) tâm Do đó, điểm mặt cắt ngang có tọa độ (x,y) chịu tác dụng ứng suất pháp tính theo công thức sau: σz = My Nz Mx + y+ x A Ix Iy (10.9) Ứng suất pháp gây kéo quy ước dương Các số hạng công thức (10.9) số đại số, ứng suất Nz lấy (+) lực dọc kéo ngược lại lực nén lấy dấu trừ; ứng suất Mx, My lấy dấu công thức (10.1) uốn xiên, định hướng trục y,x dương phía gây kéo Mx, My lấy theo dấu y x y x y x + A Nz O My + A + O z My Mx Nz + + Mx + h h b b a) Hình 10.12 b) a) Định hướng hệ trục x,y dùng công thức (9.9) b) Định dấu cộng trừ dùng công thức (9.10) Khi tính toán thực hành, ta có công thức kỹ thuật: σZ = ± Nz A ± Mx Ix y ± My Iy x (10.10) Trong công thức (10.10), ứng với số hạng, ta lấy dấu (+) đại Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh lượng gây kéo ngược lại Ví dụï, tiết diện H.10.12.a, cho Mx = 10 kNm; My = kNm; Nz = 10 kN; h = 2b = 40 cm, tính ứng suất A Sử dụng công thức (10.9), chọn chiều dương trục x,y nhö H.10.12.a, xA = 10, yA = –20, ta được: σA = 10 1000 500 + (−20) + (10) 20.40 20.403 : 12 40.203 : 12 σ A = 0,0125 − 0,1875 + 0,1875 = 0,0125 kN/cm2 Để áp dụng công thức (10.10), biểu diễn tác dụng gây kéo, nén thành phần nội lực ôû (H.10.12.b), vôùi ⎪ xA ⎪ =10, ⎪ yA ⎪ = 20, ta được: 10 1000 500 (20) + (10) − 20.40 20.403 : 12 40.203 : 12 = 0,0125 − 0,1875 + 0,1875 = 0,0125 kN/cm2 σA = σA 3- Đường trung hòa biểu đồ ứng suất pháp Tương tự uốn xiên, thấy phương trình (10.9) hàm hai biến σz = f(x,y), biểu diễn hệ trục Oxyz, với O tâm mặt cắt ngang σz định hướng dương mặt cắt, hàm (10.9) biểu diễn mặt phẳng, gọi mặt ứng suất, giao tuyến với mặt cắt ngang đường trung hòa Dễ thấy rằng, đường trung hoà đường thẳng chứa tất điểm mặt cắt ngang có ứng suất pháp không Từ đó, cho σz = 0, ta có phương trình đường trung hòa: y = − M y Ix N I x− z x Mx Iy A Mx (10.11) Phương trình (10.11) có dạng y = ax + b, đường thẳng không qua gốc tọa độ, cắt trục y tung độ b=− N z I x A.M x Để sử dụng (10.11) thuận lợi, ta nên định hướng trục x,y sử dụng công thức (10.9), Nz lấy dấu theo quy ước lực dọc Mặt khác, tính chất mặt phẳng ứng suất, điểm nằm đường song song đường trung hòa có giá trị ứng suất, điểm xa đường trung hòa có giá trị ứng suất lớn nhất, ứng suất đường vuông góc với đường trung hòa thay đổi theo quy luật bậc Rõ ràng đường trung hòa chia tiết diện thành hai miền, miền chịu ứng suất kéo miền chịu ứng suất nén Nhờ tính chất này, biểu diễn Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 10 http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh tiết diện đường tròn đồng tâm đường kính D/8 Ví dụï 10.3 Một tiết diện chữ nhật (b.h), chịu tác dụng ngoại lực H.10.17.a Vẽ biểu đồ nôïi lực, tính σmax, σmin xác định đường trung hòa ngàm Cho: q = kN/m, P1 = 100 kN, P2 = kN, H = m, h = 2b = 40 cm z z x P1 z z P1 x y y y P2 P1 q P2 H b h qH /2 Nz a) P2H My Mx b) Hình 10.17 a) Thanh chịu nén cộng uốn; b) Biểu đồ nội lực Giải: Biểu đồ nội lực nguyên nhân gây vẽ H.10.17.b Tại ngàm, nội lực có giá trị lớn nhất: Nz = –P1 (nén); Mx = qH2/2; My = P2.H Áp dụng công thức (10.12): σ max, = − P1 q.H / P2 H ± ± A Wx Wy Thay số, ta được: 100 5.62.100 6.6 100 ± ± 20.40 20.402 40.202 6 2,912kN/cm = − 0.125 ± 1,687 ± 1,350 = ± 3,162 kN/cm σ max, = − Phương trình đường trung hoøa: y = − M y Ix N I x − z x Mx Iy A Mx (a) Choïn hệ trục y,x dương phía gây kéo Mx My, thay số vào (a) ta được: Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 15 http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh y = − − 100 20.403 / 12 6.6 20.403 / 12 = − 1,6 x + 1,48 x − 20.40 40.20 / 12 62 5 .100 2 Đường trung hoà biểu đồ ứng suất vẽ H.10.18 σ max z Mx x P1 y O My Đường trung hòa σ Hình 10.18 Đường trung hoa chịu nén uốn Ví dụï 10.4 Một cột chịu nén lệch tâm lực đẩy gió H.10.19.a xem chân cột bị ngàm Tính σmax, σmin Nếu khối móng có kích thước 1m×3m×0,5m đặt H.10.19.a, tính áp lực lớn đất P1 = 50 kN; q = kN/m; H = m; h = 2b = 40 cm; γ = 25 Cho: kN/m3 e = 20 cm P1 Mx Nz 0,5 m 1m q h b b) H 3m 141,3 cm 8,7 cm 0,5 m σmin 1m 3m c) a) 26 cm Hình 10.19 a) Cột chịu nén lệch tâm b) Nội lực tiết diện chân cột; c) Biểu đồ áp lực lên đất Nội lực lớn tiết diện ngàm: Nz = – P1 = – 50 kN (neùn) Mx = P1.e + qH2/2 = 50.20 + 4.62.100/2 = 8200 kN.cm Áp dụng công thức (10.12), ứng suất pháp lớn nhất: σ max, = − P1 q.H / + P1 e ± = A Wx σ max, = − 1,47 kN 50 8200 ± = − 0,0625 ± 1,537 = ± 1,60 cm 20.40 20.402 / Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 16 http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh Dời lực đáy móng, kể thêm trọng lượng thân móng mômen lực cắt qH, ta được: Nz = – 50 – 25.0,5.2.1 = – 75 kN (nén) Mx = 10600 kNcm Tại đáy móng, vật liệu liên tục, ta có phương trình đường trung hòa: y = − N z Ix − 75 100.3003 = − = 53,07 cm 100.300 12.10600 A Mx Theo (10.12), ta có ứng suất pháp lớn nhất: σ max, = − 0,0045 kN 75 10600 ± = ± 0,0095 cm 100.300 100.3002 / Thực tế, đáy móng, vật liệu đất chịu nén, chịu ứng suất kéo, đó, để đảm bảo điều kiện cân bằng, hợp lực phản lực phải cân với ngoại lực tác dụng Ngoại lực mặt đáy móng gồm lực nén 75 kN mômen Mx = 10600 kNcm tương đương lực nén 75 kN lệch tâm đặt trục y với độ lệch tâm e = 10600/75 =141,3 cm, đặt cách mép chịu nén lớn 150 –141,3 = 8,7 cm Để cân với lực này, hợp lực phản lực phải đối đẳng với lực nén 75 kN, giả sử phản lực phân bố theo quy luật bậc nhất, phản lực phải phân bố diện tích mặt móng 100 × (3 × 8,7) = 100 × 26 cm2 tính từ mép chịu nén lớn (H10.19.c) Điều kiện cân cho: σmin.100.26/2 = 75 => σmin = 0,0577 kN/cm2 = 5,77 kG/cm2 Kết cho thấy, mặt đế móng không thiết kế sử dụng toàn diện tích mặt móng nên ứng suất nén truyền lên tăng lên, móng thiết kế không hợp lý 10.4 UỐN CỘNG XOẮN 1- Định nghóa Thanh chịu uốn cộng xoắn mặt cắt ngang có tác dụng đồng thời mômen uốn Mu mặt phẳng chứa trục mômen xoắn Mz Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 17 http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh 2- Thanh tiết diện chữ nhật Uốn xoắn tiết diện chữ nhật thường gặp công trình dân dụng lanh tô đỡ ô văng, dầm chịu lực mặt phẳng đối xứng, chịu uốn hệ không gian Xét tiết diện chữ nhật chịu uốn xoắn (H.10.20) mômen uốn Mu phân tích thành hai mômen uốn Mx, My mặt phẳng quán tính trung tâm yOz, xOz σmin(Mx,M y) B y D σmin(Mx) x Mz z σmax(M y) My C A τ1 A σmax(M x,M y) σmin(My) F σmin(My) σmax(M x) σmax(M x) σmax(M x,M y) τmax τ1 σmax(M y) E Mx σmin(Mx,M y) σmin(Mx) τmax F E D B C b) a) Hình 10.20 a) Các thành phần nội lực chịu uốn cộng xoắn b) Trạng thái ứng suất phân tố Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng lý thuyết uốn, xoắn, ta kết sau (H.10.20.b): Tại góc tiết diện (A,B), có ứng suất pháp lớn Mx,My, phân tố trạng thái ứng suất đơn: σ max, = ± Điều kiện bền: Mx Wx ± My (10.19) Wy σ max ≤ [σ]k ; σ ≤ [σ]n Tại điểm cạnh ngắn (C,D), chịu ứng suất pháp lớn Mx ứng suất tiếp τ1 Mz, phân tố trạng thái ứng suất phẳng: σ max, = ± Mx Wx ; τ1 = γτ max (10.20) Điều kiện bền: Theo thuyết bền thứ 3: σ + 4τ2 ≤ [σ] Theo thuyết bền thứ 4: σ + 3τ ≤ [σ] Tại điểm cạnh dài (E,F), chịu ứng suất pháp lớn My ứng suất tiếp τ1max Mz, phân tố trạng thái ứng suất phẳng: Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 18 http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh My σ max, = Wy ; τ max = Mz α.h.b2 (10.21) Điều kiện bền: Theo thuyết bền thứ 3: σ + 4τ ≤ [σ] Theo thuyết bền thứ 4: σ + 3τ ≤ [σ] 3- Tiết diện tròn Thanh tiết diện tròn chịu uốn xoắn đồng thời thường gặp tính trục truyền động trình truyền tác dụng xoắn qua puli kèm theo tác dụng uốn lực căng dây đai, trọng lượng thân trục, puli Xét tiết diện tròn chịu tác dụng mômen uốn Mu mômen xoắn Mz (H.10.21.a) Nếu có nhiều ngoại lực gây uốn tác dụng mặt phẳng khác nhau, ta luôn phân tích chúng thành thành phần tác dụng hai mặt phẳng vuông góc yOz, xOz, từ xác định Mx, My, sau xác định mômen tổng Mu = v σmin(Mu) u Mz B z O τmax(Mz) σmax(Mu) σmax(Mu) Mu A a) τmax(Mz) σmin(Mu) B M x2 + M y2 b) A Hình 10.21 a) Thanh tiết diện tròn chịu uốn xoắn b) Trạng thái ứng suất phân tố Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng lý thuyết uốn, xoắn, ta kết sau (H.10.21.b): Dưới tác dụng mômen uốn Mu, hai điểm A,B chịu ứng suất pháp lớn σmax, σmin, ra, tác dụng mômen xoắn Mz, hai điểm A, B chịu ứng suất tiếp τmax, hai điểm nguy hiểm tiết diện Ta có: σ max, = ± τ max = Mu Wu ; Mu = M x2 + M 2y (10.22) Mz Wp Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 19 http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh Phân tố xét vừa chịu ứng suất pháp vừa chịu ứng suất tiếp, phân tố trạng thái ứng suất phẳng Điều kiện bền: Theo thuyết bền thứ 3: σ + τ ≤ [σ ] Theo thuyết bền thứ 4: σ + 3τ2 ≤ [σ] P q P q a/2 a) C a/2 a A 1728 kN.cm 648 kN.cm a 3qa2 B 9qa2/8 Muốn 30cm 9qa2/8 20cm + c) Mxoắn b) Hình 10.22 a) Khung chịu uốn với tải trọng thẳng góc mặt phẳng khung b) Sơ đồ tính khung biểu đồ nội lực không gian vẽ theo nguyên lý cộng tác dụng c) Các điểm nguy hiểm tiết diện Ví dụï 10.5 Một gẫy khúc ABC tiết diện chữ nhật (20cm × 30cm) chịu tác dụng tải trọng H.10.22.a Vẽ biểu đồ nội lực, kiểm tra điều kiện bền tiết diện ngàm Cho: q = kN/m; P = 2qa; a = 1,2 m; [σ] = kN/cm2 Giải Biểu đồ nội lực vẽ H.10.22.b, tiết diện ngàm chịu nội lực lớn (H.10.22.c): Mx = 3qa2 = 3.4.(1,2)2.100 = 1728 kN.cm Mz = 9qa /8 = 9.4.(1,2) 100/8 = 648 kN.cm Tại trung điểm cạnh ngắn, phân tố trạng thái ứng suất phẳng: Mx 1728 = = 0,576 kN/cm Wx 20.302 / Mz 648 τ1 = γ.τ max = γ = 0,859 = 0,2 kN/cm 2 α.h.b 0,231.30.202 σ max = Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 20 http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh Điều kiện bền: 0,5762 + 4.0,22 = 0,7 kN/cm < [σ] σ + 4τ2 = = kN/cm Tại trung điểm cạnh dài, phân tố trạng thái trượt túy: τ max = Mz 648 = = 0,233 kN/cm α.hb2 0,231.30.202 Điều kiện bền: τ max = 0,233 kN / cm < [σ] / = 0,5 kN / cm Ví dụï 10.6 Một trục tròn đường kính d, mang pu li chủ động đường kính D1 pu li bị động đường kính D2 Mô tơ truyền lực kéo T1 lên nhánh dây đai pu li D1 làm quay trục, kéo theo pu li D2 Coi hiệu suất truyền 1, lực kéo nhánh dây đai D2 T2 = T1.D1/D2 Ngoài ra, giả sử lực căng ban đầu dây đai nửa lực kéo tác dụng lên dây đai Tính đường kính trục d (H.10.23.a) Cho: trọng lượng pu li G1 = G2 = kN; D1 = 50 cm; D2 = 30 cm; T1 = kN; [σ] = 12 kN/cm2 Bỏ qua trọng lượng thân trục Giải Lực căng ban đầu dây đai pu li D1 là: T1/2 = 5/2 = 2,5 kN Lực kéo truyền lên dây đai D2 laø: T2 = T1.D1/D2 = 5.50/30 = 8,33 kN Lực căng ban đầu dây đai D2 là: T2/2 = 8,33/2 = 4,17 kN Dời lực dây đai tâm trục, ta đưa sơ đồ tính trục H.10.23.b Biểu đồ mômen uốn Mx, My mômen xoắn Mz vẽ H.10.23.c Tại tiết diện đặt pu li D2 chịu nội lực lớn nhất: Mx = 20 kN.cm, My = 150 kN.cm; Mz = 125 kN.cm Mômen uốn tổng Mu = M x2 + M 2y = 151,32 kN.cm gây ứng suất pháp lớn là: Mu 151,32 1542,1 = = Wu D3 π.D / 32 σz = Mômen xoắn Mz = 125 kNcm gây ứng suất tiếp lớn là: τ max = Mz 125 636,9 = = Wp D3 π.D / 16 Điều kiện bền theo thuyết bền thứ ba: Ta có: σ + 4.τ ≤ [σ] 1542,12 636,9 2000 + ≤ [σ] ⇒ ≤ [σ] ⇒ D ≥ 5,5 cm ( D3 )2 ( D3 )2 D3 Có thể chọn đường kính trục 55 mm Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 21 http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh 20cm T2.D2 /2 40cm 20cm 40cm T1/2 20cm D1 T2/2 D2 20cm T2 2T2 G1 T2/2 T1/2 G2 T1.D1/2 b) T1 MZ 2T1 d Mx 125kN.cm a) 20 c) Hình 10.23 a) Trục tiết diện tròn chịu uốn cộng xoắn b) Sơ đồ tính trục c) Biểu đồ nội lực c kN m My 150 kN.cm 116,6 kN.cm 10.5 THANH CHÒU LỰC TỔNG QUÁT Định nghóa Thanh chịu lực tổng quát mặt cắt ngang có tác dụng lực dọc Nz, mômen uốn Mu mômen xoắn Mz Thanh chịu lực tổng quát thường gặp tính chịu lực theo sơ đồ không gian 1- Thanh có tiết diện chữ nhật Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng lý thuyết kéo (nén), uốn, xoắn, ta kết sau (H.10.24.a,b): B y D σmin (Mx,My,Nz) x Mz F Nz E σmin (Mx,Nz) z τmax Mx My σmax (My,Nz) E τ1 σmax (My,Nz) τ1 τmax σmin (My,Nz) F σmin (My,Nz) σmax (Mx,Nz) C σmax (Mx,My,Nz) a) σmin (Mx,My,Nz) σmin (Mx,Nz) σmax (Mx,Nz) C A D B σmax (Mx,My,Nz) b) A Hình 10.24 a) Các thành phần nội lực mặt cắt ngang b) Trạng thái ứng suất phân tố Tại góc tiết diện, có ứng suất pháp Nz, Mx, My, phân tố trạng thái ứng suất đơn: σ max, = ± Nz A ± Mx Wx ± My Wy (10.23) Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 22 http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh Điều kiện bền: σ max ≤ [σ]k ; σ ≤ [σ]n Tại điểm cạnh dài, phân tố vừà chịu ứng suất pháp lớn My lực dọc Nz, vừa chịu ứng suất tiếp lớn Mz, phân tố trạng thái ứng suất phẳng: σ max, = ± Nz A ± My Wy ; τ max = Mz αhb2 (10.24) Điều kiện bền: Theo thuyết bền thứ 3: σ + 4τ2 ≤ [σ] Theo thuyết bền thứ 4: σ + 3τ ≤ [σ] (10.25) Tại điểm cạnh ngắn, phân tố vừa chịu ứng suất pháp lớn Mx lực dọc Nz, vừa chịu ứng suất tiếp Mz, phân tố trạng thái ứng suất phaúng: σ max, = ± Nz A ± Mx Wx ; τ1 = γτ max (10.26) Điều kiện bền: Theo thuyết bền thứ 3: σ + 4τ ≤ [σ] Theo thuyết bền thứ 4: σ + 3τ ≤ [σ] 2- Thanh có tiết diện tròn (H.10.25.a,b) Điểm nguy hiểm nằm chu vi, hai điểm A,B hai điểm vừa chịu ứng suất pháp lớn mômen Mu lực dọc Nz, vừa chịu ứng suất tiếp lớn Mz, phân tố trạng thái ứng suất phẳng σ max, = ± τ max = Nz A ± Mu Wu ; Mu = Mz Wp M x2 + M 2y (10.27) (10.28) Điều kiện bền: Theo thuyết bền thứ 3: σ + 4τ ≤ [σ] Theo thuyết bền thứ 4: σ + 3τ ≤ [σ] Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 23 http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh v τmax(Mz) σmin(Mu, Nz) B σmin(Mu, Nz) u B Mz z O τmax(Mz) σmax(Mu, Nz) Mu σmax(Mu, Nz) A A b) a) Hình 10.25 a) Các thành phần nội lực b) Trạng thái ứng suất phân tố Ví dụï 10.7 Có tiết diện tròn đường kính D chịu hệ lực không gian H.10.26.a Vẽ biểu đồ nội lực xác định đường kính D Cho: q = kN/m; P = qa; a = m; [σ] = 16 kN/cm2 Giải Biểu đồ nội lực vẽ H.10.26.b Tại ngàm tiết diện chịu nội lực lớn nhất: Nz = qa = 4.4= 16 kN (neùn); Mx = qa2 = 4.42.100 = 6400 kN.cm My = qa2/2 = 4.42.100/2 = 3200 kN.cm; Mz = qa2/8 = 4.42.100/8 = 800 kN.cm P = qa q = kN/m a/2 qa2/8 qa2/2 qa2/8 qa a qa2/2 qa2 a) Muoán P Muoán q b) Nz Mz Hình 10.26 a) Sơ đồ tính chịu lực phức tạp b) Biểu đồ nội lực vẽ theo nguyên lý cộng tác dụng Ứng suất pháp lớn nhaát: σ max = Nz A M x2 Mu = σ max = + Mu Wu + M y2 = 64002 + 32002 = 7155,41 kN.cm 16 7155,4 + π.D / π.D3 / 32 Ứng suất tiếp lớn nhaát: τ max = Mz 800 = Wp π.D / 16 Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 24 http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh Điều kiện bền: Theo thuyết bền thứ 3: ⇒ ( σ + 4τ2 ≤ [σ] 800 16 7155,4 + ) ≤ [σ] ) + 4.( π.D / π.D3 / 32 π.D / 16 Trong tính toán thực hành, để thuận lợi cho việc giải bất phương trình trên, ban đầu chọn D theo uốn xoắn, bỏ qua ứng suất lực dọc, sau kiểm tra lại, ta có: ⇒ ( 7155,4 800 ) + 4.( ) ≤ [σ] ⇒ D ≥ 16,6 cm π.D3 / 32 π.D3 / 16 Ban đầu, chọn: D = 168 mm Kiểm tra điều kiện bền: Theo thuyết bền thứ 3: ⇒ ( 16 + σ + 4τ2 ≤ [σ] 7155,4 π 16,8 / π 16,83 / 32 ) + 4.( 800 π 16,83 / 16 )2 (0,072 + 15,38) + 4.(0,86) = 15,54 kN/cm < [σ ] = 16 kN/cm Vậy chọn: D = 168 mm BÀI TẬP CHƯƠNG 10 10.1 Một cong xon tiết diện chữ nhật chịu tác dụng tải trọng H.10.27 Vẽ biểu đồ nội lực, tính ứng suất pháp lớn nhất, xác định vị trí đường trung hoà mặt cắt ngàm P = qL q o P = qL E = 103 kN/cm2 30 20 cm q = kN/m 12 cm L=2m Hình 10.27 10.2 Xác định giá trị tuyệt đối lớn ứng suất pháp, vị trí đường trung hoà mặt cắt nguy hiểm dầm (H.10.28), a = m P = kN cm x 20 cm 12 2a P z a y Hình 10.28 Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 25 http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh 10.3 Xác định σmax , σmin vị trí đường trung hoà mặt cắt nguy hiểm cột H.10.29 P = 80 kN z y 40cm x q = kN/m m 20 cm Hình 10.29 10.4 Một cột chịu tải trọng H.10.30 Xác định ứng suất nén lớn nhỏ mặt cắt chân cột Cho trọng lượng riêng vật liệu cột là: γ = 20 kN/m3 1m P = 1000 kN 0,8 m k 3m m m A B C Hình 10.30 10.5 a Một trụ đỡ có tiết diện gồm hai thép hình số hiệu [ 24 chịu tải trọng H.10.31 Xác định ứng suất kéo nén lớn mặt cắt chân cột có xét trọng lượng cột b Một cột chịu tải trọng H.10.32 Tính ứng suất ứng suất kéo nén lớn Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 26 http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh 4m P1 = 20 kN 2m P2 = kN q = kN/m P2 = 0,5 kN m P1 = kN e = 60 cm m G 40 cm m Hình 10.31 m c Hình 10.32 10.6 Một cột tròn rỗng chịu tác dụng tải trọng H.10.33.a Tính ứng suất pháp σmax, σmin tiết diện chân cột, xác định vị trí biểu diễn đường trung hoà tiết diện Giả sử móng cột có kích thước m × 1,2 m × h, trọng lượng riêng γ = 25 kN/m3 (H.10.33.b) trục cột bố trí qua tâm móng Hãy cách bố trí mặt móng tính kích thước h cho đáy móng không phát sinh ứng suất kéo z P1 = 100 kN x P2 =10 kN y H=4m P2 = kN 1,2 m 2d = 40 cm d 2m h b) a) Hình 10.33 10.7 Một khung tiết diện chữ nhật đều, có căng AB, chịu tác dụng tải trọng H.10.34 Vẽ biểu đồ nội lực khung nội lực kéo AB xác định ứng suất σmax, σmin vị trí đường trung hoà mặt cắt ngang K Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 27 http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh q = kN/m q = 4kN/m 2m K P = kN h = 2b m = H 4m b= 20 cm A I24 B L=2m L/2 = m L/2 = m Hình 10.35 Hình 10.34 10.8 Một khung tiết diện chữ I24, chịu tác dụng tải trọng H.10.35 xác định nội lực tiết diện chân cột Kiểm tra bền Cho [σ]=16 kN/cm2 10.9 Một gẫy khúc tiết diện tròn đường kính d chịu lực H.10.36 Vẽ biểu đồ nội lực, xác định đường kính d theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn Cho [σ] = 2,8 kN/cm2 30 cm d 40 cm d P1 = 0,8 kN d 10 cm P2=0,5 kN Hình 10.36 10.10 Một trục truyền động tiết diện tròn đường kính d có sơ đồ tính H.10.37 Vẽ biểu đồ nội lực, xác định đường kính d theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn Cho [σ] = 10 kN/cm2 Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 28 http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh M2 = kNm M3 = kNm M1 =10 kNm M4 = kNm P P P P=1 kN a a a a a a Hình 10.37 Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 29 http://www.ebook.edu.vn ... mômen Mx, My tương ứng (H .10. 10b) Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh 3P P/2 P z a) a 2a 2a y Mx (3 3 b) z a My (3 – Pa x Hình 10. 10 Biểu đồ mômen biểu diễn... kNm; My = kNm; Nz = 10 kN; h = 2b = 40 cm, tính ứng suất A Sử dụng công thức (10. 9), chọn chiều dương trục x,y H .10. 12.a, xA = 10, yA = –2 0, ta được: σA = 10 1000 500 + (−20) + (10) 20.40 20.403... x2 + M 2y (10. 27) (10. 28) Điều kiện bền: Theo thuyết bền thứ 3: σ + 4τ ≤ [σ] Theo thuyết bền thứ 4: σ + 3τ ≤ [σ] Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 23 http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh