Bài giảng Bài giảng Sức bền vật liệu – Chương 2: Lý thuyết nội lực được biên soạn nhằm cung cấp đến người học những kiến thức khái niệm về nội lực, phương pháp khảo sát, ứng suất; các thành phần nội lực, cách xác định.
GV: Lê Đức Thanh Chương LÝ THUYẾT NỘI LỰC 2.1 KHÁI NIỆM VỀ NỘI LỰC - PHƯƠNG PHÁP KHẢO SÁT - ỨNG SUẤT 1- Khái niệm nội lực: Xét vật thể chịu tác dụng ngoại lực trạng thái cân (H.2.1) Trước tác dụng lực, phân tử vật thể có lực tương tác giữ cho vật thể có hình dáng định Dưới tác dụng ngoại lực, phân tử vật thể dịch lại gần tách xa Khi đó, lực tương tác phân tử vật thể phải thay đổi để chống lại dịch chuyển Sự thay đổi lực tương tác phân tử vật thể gọi nội lực Một vật thể không chịu tác động từ bên gọi vật thể trạng thái tự nhiên nội lực coi không 2-Phương pháp khảo sát nội lực: Phương pháp mặt cắt Xét lại vật thể cân điểm C vật thể (H.2.1), Tưởng tượng mặt phẳng Π cắt qua C chia vật thể thành hai phần A B; hai phần tác động lẫn hệ lực phân bố diện tích mặt tiếp xúc theo định luật lực phản lực Nếu tách riêng phần A hệ lực tác động từ phần B vào phải cân với ngoại lực ban ñaàu (H.2.2) P2 P1 P6 P1 A P3 B P5 P4 P2 A P3 H.2.1 Vật thể chịu lự c cân bằ ng Δp ΔF H.2.2 Nội lự c trê n mặ t cắ t Xét phân tố diện tích ΔF bao quanh điểm khảo sát C mặt cắt Π có phương pháp tuyến v Gọi Δp vector nội lực tác dụng ΔF Ta định nghóa ứng suất toàn phần điểm khảo sát là: Δp d p = ΔF → ΔF dF Thứ nguyên ứng suất [lực]/[chiều dài]2 (N/m2, N/cm2…) p = lim Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực http://www.ebook.edu.vn GV: Lê Đức Thanh τν Ứng suất toàn phần p phân hai thành phần: + Thành phần ứng suất pháp σv có phương Hình 2.3 Các thành pháp tuyến mặt phẳng Π phần + Thành phần ứng suất tiếp τv nằm mặt ứng suất phẳng Π ( H.2.3 ) Các đại lượng liên hệ với theo biểu thức: pv2 = σ v2 + τ v2 (2.1) p σν Ứng suất đại lượng học đặc trưng cho mức độ chịu đựng vật liệu điểm; ứng suất vượt giới hạn vật liệu bị phá hoại Do đó, việc xác định ứng suất sở để đánh giá độ bền vật liệu, nội dung quan trọng môn SBVL Thừa nhận: Ứng suất pháp σv gây biến dạng dài ng suất tiếp τv gây biến dạng góc Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực http://www.ebook.edu.vn GV: Lê Đức Thanh 2.2 CÁC THÀNH PHẦN NỘI LỰC - CÁCH XÁC ĐỊNH 1- Các thành phần nội lực: Như biết, đối tượng khảo sát SBVL chi tiết dạng thanh, đặc trưng mặt cắt ngang (hay gọi tiết diện) trục P2 P3 P1 P6 P1 A B P5 P4 P2 A P3 Qy P1 x Qx z Nz P2 Mz Mx A P3 My x z y y H.2.4 Các nh phần nội lự c Gọi hợp lực nội lực phân bố mặt cắt ngang R R có điểm đặt phương chiều chưa biết ⎧Lực R có phương ⎩Mômen M Dời R trọng tâm O mặt cắt ngang ⇒ ⎨ Đặt hệ trục tọa độ Descartes vuông góc trọng tâm mặt cắt ngang, Oxyz, với trục z trùng pháp tuyến mặt cắt, hai trục x, y nằm mặt cắt ngang Khi đó, phân tích R ba thành phần theo ba trục: + Nz, theo phương trục z ( ⊥ mặt cắt ngang) gọi lực dọc + Qx theo phương trục x (nằm mặt cắt ngang) gọi lực cắt + Qy theo phương trục y (nằm mặt cắt ngang) gọi lực cắt Mômen M phân ba thành phần : + Mômen Mx quay quanh trục x gọi mômen uốn + Mômen My quay quanh trục y gọi mômen uốn + Mômen Mz quay quanh trục z gọi mômen xoắn Sáu thành phần gọi thành phần nội lực mặt cắt ngang (H.2.4) Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực http://www.ebook.edu.vn GV: Lê Đức Thanh Cách xác định: Sáu thành phần nội lực mặt cắt ngang xác định từ sáu phương trình cân độc lập phần vật thể tách ra, có tác dụng ngoại lực ban đầu PI nội lực Các phương trình cân hình chiếu lực trục tọa độ: n ∑ Z = ⇔ N z + ∑ Piz = ⇒ N z i =1 n (2.2) ∑ Y = ⇔ Qy + ∑ Piy = ⇒ Qy i =1 n ∑ Z = ⇔ Qx + ∑ Pix = ⇒ Qx i =1 đó: Pix, Piy, Piz - hình chiếu lực Pi xuống trục x, y, z Các phương trình cân mômen trục tọa độ ta có: n ∑ M / Ox ⇔ M x + ∑ mx ( Pi ) = ⇒ M x i =1 n ∑ M / Oy ⇔ M y + ∑ m y ( Pi ) = ⇒ M y (2.3) i =1 n ∑ M / Oz ⇔ M z + ∑ mz ( Pi ) = ⇒ M z i =1 vớiù:mx(Pi), my(Pi), mz(Pi) - mômen lực Pi trục x,y, z 3-Liên hệ nội lực ứng suất: Các thành phần nội lực liên hệ với thành phần ứng suất sau: - Lực dọc tổng ứng suất pháp - Lực cắt tổng ứng suất tiếp phương với - Mômen uốn tổng mômen gây ứng suất trục x y - Mômen xoắn tổng mômen ứng suất tiếp trục z Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực http://www.ebook.edu.vn GV: Lê Đức Thanh 2-3 BÀI TÓAN PHẲNG: Trường hợp toán phẳng ( ngoại lực nằm mặt phẳng ( thí dụ mặt phẳng yz)), có ba thành phần nội lực nằm mặt phẳng yz : Nz, Qy, Mx ♦ Qui ước dấu (H.2.5) - Lực dọc Nz > gây kéo đoạn xét (có chiều hướng mặt cắt) P1 P2 A P3 - Lực cắt Qy > làm quay đoạn xét theo chiều kim đồng hồ - Mômen uốn Mx > thớ ( thớ y dương ) Mx > MX> O Nz > MX> Qy > Nz > Qy > O y y P4 P5 B P6 Hình 2.5: Chiều dương thành phần nội căng Mx > Mx < Mx < Moâmen M x > , Mômen M x < ♦ Cách xác định: Dùng phương trình cân tỉnh học xét cân phần A) hay phần B) Từ phương trình Σ Z = ⇒ Nz Từ phương trình Σ Y = ⇒ Qy (2.4) Từ phương trình Σ M/O = ⇒ Mx Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực http://www.ebook.edu.vn GV: Lê Đức Thanh Thí dụ 2.1 Xác định trị số nội lực mặt cắt 1-1 AB, với : q = 10 kN/m; a = 1m; Mo = 2qa2 ( H.2.6) P= q HA 1,5a VA a k 2qa2 a 2qa 1,5a B VB P= q A VA M= 2qa A M N Q H 2.6 Giải Tính phản lực: Giải phóng liên kết thay vào phản lực liên kết VA, HA, VB Viết phương trình cân tỉnh học xét cân AB Σ Z = ⇒ HA = Σ Y = ⇒ VA +VB - qa – P = ∑M A = a ⇒ qa × + P x a - M − VB x 2a = ⇒ HA = 0; VA = 11 qa = 27,5 kN ; VB = qa = 2,5 kN 4 Tính nội lực: Mặt cắt 1-1 chia làm hai phần Xét cân phần bên trái (H.2.6) : ∑Z = ⇒ N =0 = ⇒ VA − qa − P − Q = ⇒ Q = − qa = − 2,5 kN a 17 ∑ M O1 = ⇒ M = VA × 1,5a − qa × a − 2qa × = qa = 21,25 kNm ∑Y Nếu xét cân phần phải ta tìm kết Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực http://www.ebook.edu.vn GV: Lê Đức Thanh 2.4 BIỂU ĐỒ NỘI LỰC ( BÀI TOÁN PHẲNG ) Định nghóa: Thường nội lực mặt cắt ngang không giống Biểu đồ nội lực (BĐNL) đồ thị biểu diễn biến thiên nội lực theo vị trí mặt cắt ngang Hay gọi măït cắt biến thiên Nhờ vào BĐNL xác định vị trí mặt cắt có nội lực lớn trị số nội lực Cách vẽ BĐNL- Phương pháp giải tích: Để vẽ biểu đồ nội lực ta tính nội lực mặt cắt cắt ngang vị trí có hoành độ z so với gốc hoành độ mà ta chọn trước Mặt cắt ngang chia thành phần Xét cân phần (trái, hay phải) , viết biểu thức giải tích nội lực theo z Vẽ đường biểu diễn hệ trục toạ độ có trục hoành song song với trục (còn gọi đường chuẩn), tung độ biểu đồ nội lực diễn tả đoạn thẳng vuông góc đường chuẩn Thí dụ 2.2- Vẽ BĐNL dầm mút thừa (H.2.7) Giải Xét mặt cắt ngang 1-1 có hoành độ z so với gốc A, ta có ( ≤ z ≤ l ) A Q mômen uốn mặt cắt 1-1 phần phải thanh: B P l K N xác định từ việc xét cân M B p Q ∑Z = ⇒ N = ∑Y = ⇒ Q − P = ⇒ Q = P ∑ M O = ⇒M + P(l − z ) = ⇒ M y P K Biểu thức giải tích lực cắt 1 z M Pl y x z x = − P (l − z ) Cho z biến thiên từ đến l, ta biểu đồ nội lực H.2.7 M z Hình 2.7 Qui ước:+Biểu đồ lực cắt Qy tung độ dương vẽ phía trục hoành +Biểu đồ mômen uốn Mx tung độ dương vẽ phía trục hoành Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực http://www.ebook.edu.vn GV: Lê Đức Thanh (Tung độ biểu đồ mômen phía thớ căng thanh) Thí dụ 2.3 – Vẽ BĐNL dầm đơn giản chịu tải phân bố q (H.2.8a) Giải H= A K a z thay phản lực ( H.2.8a) ql l ) V M ∑Z = ⇒ HA =0 A b V Do đối xứng ⇒ V A = VB = ql z 1Q N ) Qy y Nội lực: Chọn trục hoành ql + 2 H.2.8b Xét mặt cắt ngang 1-1 K có c ql ) hoành độ z, ( ≤ z ≤ l ) Mặt cắt chia d Mx làm hai phần H.2.8 ) Xét cân phần bên trái AK (H.2.8b) Từ phương trình cân ta suy ra: Phản lực: Bỏ liên kết A B, q B A A A z y z ⎧ ⎪∑ Z = ⇒ N z = ⎪ ql l ⎪ − qz = q ( − z ) ⎨∑ Y = ⇒ Q y = 2 ⎪ ⎪ ql qz qz M O M z ∑ / = ⇒ = − = (l − z ) ⎪ x 2 ⎩ Qy hàm bậc theo z, Mx hàm bậc theo z Cho z biến thiên từ đến l ta vẽ biểu đồ nội lực (H2.8) Cụ thể: +Khi z=0 ⇒ Qy = ql/2 , Mx = +Khi z=l ⇒ Qy = -ql/2 , Mx = +Tìm Mx, cực trị cách cho đạo hàm dMx / dz =0, l ⎧ ql ⎪⎪ − qz =0 ⇒ z = dMx / dz =0 ⇔ ⎨ ql ⎪⇒ M = x,maxõ ⎪⎩ Qua BĐNL, ta nhận thấy: Lực cắt Qy có giá trị lớn mặt cắt sát gối tựa, Mômen uốn Mx có giá trị cực đại dầm Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực http://www.ebook.edu.vn V ql2 = B x ql GV: Leâ Đức Thanh Thí dụ 2.4 Vẽ BĐNL dầm đơn giản chịu lực tập trung P ( H.2.9a) Giải Phản lực: Các thành phần phản lực gối tựa là: H A = ; VA = Pb l ; VB = Pa l Nội lực : Vì tải trọng có phương vuông góc với trục nên lực dọc Nz mặt cắt ngang có trị số không Phân đoạn thanh: Vì tính liên tục hàm số giải tích biểu diển nội lực nên phải tính nội lực đoạn thanh; đoạn phải thay đổi đột ngột ngoại lực ♦ Đoạn AC- Xét mặt cắt 1-1 điểm K1 đoạn AC cách gốc A đoạn z, ( ≤ z ≤ a ) Khảo sát cân phần bên trái ta biểu thức giải tích nội lực: Pb P (l − a) ⎧ ⎪⎪Q y = VA = l = l ⎨ P (l − a) Pb ⎪ M = V z = z z= A ⎪⎩ x l l (a) P a ♦ Đoạn CB- Xét mặt cắt 2-2 điểm K2 Trong đoạn CB cách gốc A đoạn z , ( a ≤ z ≤ l ) Tính nội lực mặt cắt 2-2 cách xét phần bên phải (đoạn K2B) Ta được: Pa Q y = −VB = − l M x = VB (l − z) = a) (b) Từ (a) (b) dễ dàng vẽ biểu z b ) ) e) VA l Mx z1 Qy P bl + (b) VB Mx Qy Pa bl B z VA d Pa (l − z) l A b K2 K1 l-z c VB ) Qy Pa l - Mx H 2.9 đồ nội lực H.2.9d,e Trường hợp đặc biệt : Nếu a=b= L/2, mômen cực đại xảy dầm có giá trị: Mmax = PL/4 Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực http://www.ebook.edu.vn GV: Lê Đức Thanh Thí dụ 2.5 Vẽ BĐNL dầm đơn giản chịu tác dụng mômen tập trung Mo (H.2.10a.) Giải Phản lực: Xét cân toàn dầm ABC ⇒ phản lực liên kết H A = ; V A = VB = A vaø B laø: Mo l , chiều phản lực H.2.10a Nội lực: a Đoạn AC: Dùng mặt cắt 1-1 cách gốc A đoạn z1 ;(0 ≤ z1 ≤ a ).Xét cân đoạn AK1 bên trái mặt cắt K1 ⇒ nội lực sau Mo ⎧ ⎪⎪Q y = −V A = − l ⎨ ⎪M = −V z = − M o z A ⎪⎩ x l (c) A K1 A z1 Đoạn CB: Dùng mặt cắt 2-2 đoạn CB cách gốc A đoạn z2 với (a ≤ z2 ≤ l ) Xét cân phần bên phải K2B ⇒ biểu thức nội lực mặt cắt 2-2 là: z2 VA b) K2 C z1 VA Mo ⎧ ⎪⎪Qy = −VB = − l ⎨ ⎪M = V (l − z ) = M o (l − z ) B 2 ⎪⎩ x l a) Mo K1 M x2 M x1 l – z2 VB d) Qy c Q y1 Q y2 l – z2 VB) z - Mo / l Mo a l e) M x Mo (l - a) l H 2.10 (d) Mo Trường hợp đặc biệt: Mômen tập trung Mo đặt mặt cắt sát gối tựa A (H.2.11) Qy Mx xác định (d) ứng với B a) BĐNL vẽ từ biểu thức (c), (d) nội lực hai ñoaïn (H.2.10d-e) l Mo VA = l b Q - ) Mo/ l y c M ) x Mo H 2.11 a = BĐNL vẽ H.2.11 Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực B 10 http://www.ebook.edu.vn VB = Mo l GV: Lê Đức Thanh Các nhận xét : - Nơi có lực tập trung, biểu đồ lực cắt nơi có bước nhảy Trị số bước nhảy trị số lực tập trung Chiều bước nhảy theo chiều lực tập trung ta vẽ từ trái sang phải - Nơi có mômen tập trung, biểu đồ mômen uốn nơi có bước nhảy Trị số bước nhảy trị số mômen tập trung Chiều bước nhảy theo chiều mômen tập trung ta vẽ từ trái sang phải Kiểm chứng nhận xét : P0 P0 Q1 M0 a) M2 K M1 Δz z M0 Q2 H 2.12 Δz b) Khaûo sát đoạn Δz bao quanh điểm K có tác dụng lực tập trung P0 , mômen tập trung M0 ( H.2.12b) Viết phương trình cân ⇒ ∑Y = ⇒ Q1 + P0 – Q2 = ⇒ Q2 – Q1 = P0 (i) ∑M/K = ⇒ M1 +M0 - M2 + Q1 Δz - Q2 Δz =0 2 Bỏ qua vô bé bậc moät Q1 Δz , Q2 Δz , ⇒ M2 - M1 = M0 (ii) Biểu thức (i) kiểm chứng nhận xét bước nhảy biểu đồ lực cắt Biểu thức (ii) kiểm chứng nhận xét bước nhảy biểu đồ mômen Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 11 http://www.ebook.edu.vn GV: Lê Đức Thanh 2.4 LIÊN HỆ VI PHÂN GIỮA NỘI LỰC VÀ TẢI TRỌNG PHÂN BỐ TRONG THANH THẲNG Xét chịu tải trọng (H.2.13a) Tải trọng tác dụng lực phân bố theo chiều dài có cường độ q(z) có chiều dương hướng lên (H.2.13b) q(z) q(z) Mo Qy M+ x xdM Mx dz z Qyy+ dQ H 2.13 a) dz b) Khaûo sát đoạn vi phân dz, giới hạn hai mặt cắt 1-1 2-2 (H.2.13b) Nội lực mặt cắt 1-1 Qy Mx Nội lực mặt cắt 2-2 so với 1-1 thay đổi lượng vi phân trở thành Qy + dQy; Mx + dMx Vì dz bé nên xem tải trọng phân bố đoạn dz Viết phương trình cân bằng: 1-Tổng hình chiếu lực theo phương đứng ∑Y = ⇒ Qy + q(z)dz – (Qy + dQy) = ⇒ q( z) = dQ y (2.4) dz Đạo hàm lực cắt cường độ lực phân bố vuông góc với trục 2- Tổng mômen lực trọng tâm mặt cắt 2-2 ta được: ∑M/o2 = ⇒ Q y dz + q( z) ⋅ dz ⋅ Bỏ qua lượng vô bé bậc hai q( z) ⋅ dz + M x − (M x + dM x ) = dz 2 dM x = Qy dz ⇒ (2.5) Đạo hàm mômen uốn mặt cắt lực cắt mặt cắt Từ (2.4) (2.5) ⇒ d2 M x dz = q( z) (2.6) nghóa là: Đạo hàm bậc hai mômen uốn điểm cường độ tải trọng phân bố điểm Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 12 http://www.ebook.edu.vn GV: Lê Đức Thanh Thí dụ 2.6 Vẽ BĐNL cho dầm đơn giản AB chịu tác dụng tải phân bố bậc H.2.14 q(z) A a) Phản lực: Giải phóng liên kết, đặt phản lực tương ứng gối tựa, xét cân toàn thanh, b) ∑X =0 ⇒ HA = 0, Qy qol + l Mmaz 1 l B = ⇒ VAl = × qol × ⇒ VA = qo l ∑ Y = ⇒ VB = qol ∑M • VB = qo l Mx VAo= q l qol VB l z • B z VA Giải qo H.2.14 Nội lực: Cường độ lực phân bố mặt cắt 1-1 cách gốc A đoạn z cho bởi: q(z)= q0 z l Dùng mặt cắt 1-1 xét cân phần bên trái (H.2.14b) ∑Y = ⇒ Qy = VA − q( z) ∑M/o1 = ⇒ Mx = q l q z2 z = o − o 2l (e) ql q z3 qo l z z = o z− o z − q( z) × × 6 6l (g) Từ (e) (g) ta vẽ biểu đồ lực cắt mômen cho dầm cho Các biểu đồ có tính chất sau: Biểu đồ lực cắt Qy có dạng bậc Tại vị trí z = 0, q(z) = nên biểu đồ Qy đạt cực trị: (Qy)z = = Qmax = qo l Biểu đồ mômen uốn Mx có dạng bậc Tại vị trí z =l 3; Qy = Vậy Mx đạt cực trị: (M x ) z= l = M max = Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực qo l 13 http://www.ebook.edu.vn GV: Lê Đức Thanh Thí dụ 2.7 Vẽ BĐNL cho dầm chịu lực tổng quát (H.2.15) Giải Phản lực: Giải phóng liên kết, xét cân toàn thanh, suy phản lực liên kết A C là: q A HA = , VA = 2qa; VC = 2qa P = 2qa 1 VA = 2qa a • ⎧Q1 = 2qa − qz ⎪ ⎨ qz2 ⎪ M1 = 2qaz − ⎩ Q1 VA = Mo VA a z q a q a 2qa * Đoạn BC: Mặt cắt 2-2, gốc A (a ≤ z ≤ 2a) xét cân phần trái: ⎧Q2 = − qa ⎪ ⎨ ⎪⎩ M = − qaz + qa a Mx M1 z Qy q q + q a2 a+ q a2 2 H 2.15 M2 Q2 * Đoạn CD: Mặt cắt 3-3, gốc A, (2a ≤ z ≤ 3a)ø xét cân phần phải: ⎧Q3 = q(3a − z) ⎪ ⎨ (3a − z) ⎪M3 = − q ⎩ Q3 M3 q 3a – z (2a ≤ z ≤ 3a) Biểu đồ mômen lực cắt vẽ H.2.15 Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực q VC= 2qa a a Nội lực: * Đoạn AB: Mặt cắt 1-1, gốc A (0 ≤ z ≤ a), xét cân phần trái Mo= qa B C 14 http://www.ebook.edu.vn D GV: Lê Đức Thanh Thí dụ 2.8 Vẽ biểu đồ nội lực khung chịu tải trọng H.2.16 q qa B K2 z2 K1 C A K3 a qa VD Hình 2.15 Q + 2qa D a – q a) a q a HA VA N + q a z3 z1 – qa P = qa q a + q a b q a B q a q a M q parabol a e c ) H 16 5) q a q a d q a q a2 qa 2 C qa q a ) Giải Tính phản lực liên kết Xét cân toàn khung tác dụng tải trọng phản lực liên kết ta suy ra: ∑Ngang = ⇒ HA = ∑MD = ⇒ Va × a + qa × a + qa + qa × a = → VA = − qa 2 ∑Đứng = ⇒ VA + VD= ⇒ VD = + qa ( Đúng chiều chọn ) Vậy chiều thật VA ngược với chiều chọn Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 15 http://www.ebook.edu.vn GV: Lê Đức Thanh Vẽ biểu đồ nội lực Đoạn AB: dùng mặt cắt 1-1 xét cân đoạn AK1 ta được: ⎧ qa ⎪ N1 = ⎪⎪ ⎨ Q1 = qa − qz1 ⎪ ⎪ M = qaz − qz1 1 ⎩⎪ M1 N1 Q1 K1 z1 (0 ≤ z1 ≤ a) 2q a A q a Đoạn BC: dùng mặt cắt 2-2 xét cân đoạn ABK2 ta được: q M2 a B K2 z2 N2 ⎧ ⎪ N = qa ⎪ ⎪ ⎨Q2 = − qa ⎪ 5 ⎪ ⎪⎩ M2 = qa − qaz2 Q2 a 2q a A q a (0 ≤ z2 ≤ a) Đoạn CD: dùng mặt cắt 3-3 xét cân DK3 N3 ⎧ ⎪ N = − qa ⎪ ⎨Q3 = ⎪M = ⎪ ⎩ M3 K3 Q3 (0 ≤ z3 ≤ a) Kiểm tra cân nút Z3 D VD = q a Đối với khung, kiểm tra kết việc xét cân nút Nếu tách nút khỏi hệ ta phải đặt vào nút ngoại lực tập trung (nếu có) nội lực mặt cắt, giá trị chúng lấy từ biểu đồ vừa vẽ Sau đặt lực trên, tính nội lực nút nút cân bằng, nghóa phương trình cân thỏa mãn Ngược lại, phương trình không thỏa mãn nội lực tính sai Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 16 http://www.ebook.edu.vn GV: Lê Đức Thanh Cụ thể khung xét, ta tách nút B đặt vào mômen tập trung qa2 thành phần nội lực đoạn ngang đứng H.2.16d: - Tại mặt cắt ngang có lực dọc +qa hướng mặt cắt, lực cắt qa 2 có chiều hướng lên mômen qa 2 - Tại mặt cắt đứng có lực dọc gây căng thớ + 5qa hướng mặt cắt (hướng xuống) lực cắt +qa hướng từ phải sang trái mômen 3qa 2 gây căng thớ khung nên chiều quay có mũi tên hướng Ta dễ dàng thấy phương trình cân thỏa mãn: ∑ X = ; ∑ Y = ; ∑ M/B = Tương tự, tách nút C đặt vào lực tập trung qa hướng từ trái sang phải thành phần nội lực đoạn ngang đứng H.2.16d - Tại mặt cắt ngang có lực dọc +qa hướng mặt cắt, lực cắt − 5qa có khuynh hướng làm quay phần đoạn xét ngược chiều kim đồng hồ nên có chiều hướng xuống, mômen không - Tại mặt cắt thẳng đứng tồn lực dọc − 5qa có chiều hùng vào mặt cắt (hướng lên) lực cắt mômen Ta dễ dàng thấy phương trình cân thỏa mãn: 5 ∑ X = − qa + qa = ; ∑ Y = − qa + qa = ; ∑ M B = Vậy nút B C cân nghóa hệ nội lực nút Thí dụ 2.9 Vẽ BĐNL cong (H.2.17) Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 17 http://www.ebook.edu.vn GV: Lê Đức Thanh Giải Cắt tiết diện 1-1, xác định góc ϕ (0 P 2P ϕ ≤ ϕ ≤ 90o), xét cân R 2P ϕ a) b ) P ϕo PR 1,7PR 45 2P N Phương trình cân hình chiếu lực 2.12P ϕo + ước H.2.17b Q max =2,236P 2P 0,7P - M N dụng ngoại lực đặt theo chiều dương quy 1Q R B phần tác thành phần nội lực A P A ϕo o P Q M d c ) ) theo phương pháp tuyến với mặt cắt cho: N 3PR e) H 2.17 = 2Psinϕ – Pcosϕ = P(2sinϕ – cosϕ) (a) Phương trình cân hình chiếu lực theo phương đường kính Q = 2Pcosϕ + Psinϕ = P(2cosϕ + sinϕ) (b) Phương trình cân mômen lực trọng tâm mặt cắt dẫn đến: cho: (c) M = – 2PRsinϕ – PR(1 – cosϕ) = – PR(2sinϕ + – cosϕ) Cho ϕ vài trị số đặc biệt tính trị số nội lực tương ứng, ta vẽ biểu đồ dQy Lực cắt đạt cực trị dϕ = , nghóa khi: -2sinϕ + cosϕ = ⇒ tgϕ = 0,5 ⇒ ϕ = ϕo = 26o56’ sinϕo = 0,4472 ; cosϕo = 0,8944 Ta có bảng nội lực sau: ϕ ϕo 45o 900 N –P 0,7 P 2P Q 2P 2,236 P 2,12 P +P - PR -1,7 PR -3PR M Khi veõ cần ý đặt tung độ theo phương vuông góc với trục thanh, tức theo phương bán kính H.2.17c,d,e Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 18 http://www.ebook.edu.vn GV: Lê Đức Thanh 2.5 CÁCH VẼ BIỂU ĐỒ NHANH 2.5.1 Phương pháp vẽ điểm Dựa liên hệ vi phân, ta định dạng BĐNL tùy theo dạng tải trọng cho từ ta xác định số điểm cần thiết để vẽ biểu đồ Trên đoạn + q =0 ⇒ Q = số, M = bậc + q = ⇒ Q = bậc nhất, M = bậc hai ……………………………………………………………………………… + Nếu biểu đồ có dạng số , cần xác định điểm + Nếu biểu đồ có dạng bậc , cần tính nội lực hai điểm đầu cuối đoạn + Nếu biểu đồ có dạng bậc hai trở lên cần ba giá trị điểm đầu, điểm cuối nơi có cực trị, cực trị cần biết chiều lồi lõm biểu đồ theo dấu đạo hàm bậc hai Đoạn có lực phân bố q hướng xuống âm, nên bề lõm biểu đồ mômen hướng lên Ngược lại, q hướng lên dương nên bề lõm biểu đồ mômen hướng xuống Tóm lại, đường cong mômen hứng lấy lực phân bố q Thí dụ 2.10: Vẽ BĐNL dầm cho H.2.18 (phương pháp vẽ điểm) Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 19 http://www.ebook.edu.vn GV: Lê Đức Thanh Giải Phản lực liên kết ∑M B = ⇒ − qa + 2qa + 2qa − VC × 2a = ⇒ VC = ∑Y = ⇒ VB = qa Nội lực Đoạn AB: q=0⇒ Qy = số, Mx = bậc Trong trường hợp Qy số không QA(AB) = ⇒ Mx đoạn số (AB) (BA) = MB = – Mo = -qa MA Đoạn BD: q= ⇒ Qy = bậc 1, Mx = bậc Tại B: Tại D: qa ⎧ ( BD ) = + qa ⎪QB ⎨ ⎪M ( BD ) = − M = − qa o ⎩ B ⎧ ( BD) = qa − qa = qa ⎪⎪QD 2 ⎨ ⎪ M ( BD) = qa − qa = qa D 2 ⎩⎪ Mo = qa2 P= q 2qa a) B A a b ) q a Qy q c ) Mx a C D a a VB = q a + q a q VC = q a – q a q a a H 2.18 Bieåu đồ Qy đoạn vị trí =0 ⇒ biểu đồ Mx cực trị Chỉ cần nối hai giá trị mômen B D đường cong bậc hai có bề lõm cho hứng lấy lực q Đoạn DC: q= ⇒ Qy = bậc 1, Mx = bậc Tại D: Tại C: ( DC ) QD = − qa ; M D( DC ) = QC = − VC = − qa ; qa = qa qa − 2 MC = Biểu đồ Qy đoạn vị trí =0 ⇒ biểu đồ Mx cực trị Chỉ cần nối hai giá trị mômen D C đường cong bậc hai có bề lõm cho hứng lấy lực q Các biểu đồ lực cắt Qy mômen Mx vẽ H.2.18b,c Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 20 http://www.ebook.edu.vn GV: Lê Đức Thanh 2.5.2 Cách áp dụng nguyên lý cộng tác dụng Khi chịu tác dụng nhiều loại tải trọng, ta vẽ biểu đồ nội lực tải trọng riêng lẻ gây cộng đại số lại để kết cuối Thí dụ 10 Vẽ biểu đồ mô men dầm H.2.18a cách cộng biểu đồ q a) P = 2qa a b) Pa c ) qa / d ) Pa + qa2/ H.2.18 Giải Tải trọng chia thành hai trường hợp bản: + Hình 2.18b biểu diễn mô men lực tập trung P gây + Hình 2.18c biểu diễn mô men lực phân bố q gây Hình 2.18dbiểu diễn mô men tổng hợp cần tìm, tung độ tổng đại số tung độ tiết diện tương ứng H.2.18b,c Bảng tóm tắt dầm console , dầm đơn giản, dầm đầu thừa P Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực B A 21 http://www.ebook.edu.vn GV: Lê Đức Thanh BÀI TẬP CHƯƠNG 2.1 Vẽ biểu đồ nội lực dầm cho H.2.1 M = 10 kNm P = kN Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực q = kN/m q P = 2qa 22 http://www.ebook.edu.vn GV: Lê Đức Thanh M = qa 1 m m m a) P = 6qa P P = kN 2a c q P = qa a a q a m m 2a M = 15 kNm P = qa a 3a e) b q = kN/m ) ) M = qa M = 16 kNm m d ) q = 10 kN/m P = 20 kN P 2 1m m m m m H.2.1 f ) 2.2 Không cần tính phản lực, vẽ BĐNL dầm cho H.2.2 P = 2qa q 2a P = qa a 3a M = qa a q 4a a) b ) H.2.2 2.3 Vẽ biểu đồ nội lực H.2.3 P = kN qo = kN/m q A D B C 1 m m m a) a a b H.2.3 ) 2.4 Vẽ biểu đồ nội lực dầm tónh định H.2.4 M = qa 3a a a M = qa 3a H 2.4 Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 23 http://www.ebook.edu.vn GV: Lê Đức Thanh 2.5 Vẽ biểu đồ nội lực cho heä khung sau (H.2.5) q q P = ql q a 2q 0,75a a , q 0,75a l a , l l a) b H.2.5 ) 2.6 Vẽ biểu đồ lực dọc, mômen uốn, mômen xoắn cho không gian (H.2.6) P = qa a P = qa q P = qa a a) Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực q a H 2.6 2P b ) 24 http://www.ebook.edu.vn ... K1 z1 (0 ≤ z1 ≤ a) 2q a A q a Đoạn BC: dùng mặt cắt 2- 2 xét cân đoạn ABK2 ta được: q M2 a B K2 z2 N2 ⎧ ⎪ N = qa ⎪ ⎪ ⎨Q2 = − qa ⎪ 5 ⎪ ⎪⎩ M2 = qa − qaz2 Q2 a 2q a A q a (0 ≤ z2 ≤ a) Đoạn CD: dùng... HA = , VA = 2qa; VC = 2qa P = 2qa 1 VA = 2qa a • ⎧Q1 = 2qa − qz ⎪ ⎨ qz2 ⎪ M1 = 2qaz − ⎩ Q1 VA = Mo VA a z q a q a 2qa * Đoạn BC: Mặt cắt 2- 2, gốc A (a ≤ z ≤ 2a) xét cân phần trái: ⎧Q2 = − qa ⎪... http://www.ebook.edu.vn GV: Lê Đức Thanh BÀI TẬP CHƯƠNG 2. 1 Vẽ biểu đồ nội lực dầm cho H .2. 1 M = 10 kNm P = kN Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực q = kN/m q P = 2qa 22 http://www.ebook.edu.vn GV: Lê Đức Thanh M = qa