Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 15 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
15
Dung lượng
291,17 KB
Nội dung
Chương 2: Phương chính và ứng suất chính. Muốn xác định phương chính và ứng suất chính, thì theo định nghĩa ta phải tìm mặt nghiêng nào có ứng suất tiếp bằng không (tức là mặt cắt không có ứng suất tiếp). Mặt cắt nghiêng () là mặt chính khi uv = 0. (3- 6) G ọi 0 là góc nghiêng c ủa phương chính với trục x, từ (3- 6) và (3-3), ta có: uv x y sin 2 2 0 xy cos 2 0 0 (3-7) tg2 0 2 xy 2 xy x y Đặt tg x y 0 k 2 2 , k z Ha y 01 2 02 2 2 nha u Như vậy từ (3-7) luôn luôn tìm được hai giá trị của 0 là 01 và 02 chênh l ệch xy 2 . Vậy luôn luôn có hai phương chính thẳng góc nhau. Lần lượt thay 01 , 02 vào (3-2) ta s ẽ được các ứng suất chính cần tìm. Nh ững ứng suất chính còn là những ứng suất cực trị, nghĩa là ứng suất trên mặt chính sẽ có giá trị cực trị. Rõ ràng đạo hàm bậc nhất của giá trị ứng suất pháp bằng 0 cũng đồng nghĩa với ứng suất tiếp ở mặt đó triệt tiêu. Th ực vậy d u d 2 x y 2 sin 2 2 xy cos 2 2 uv d u uv = 0 , c ũng có nghĩa là 0 d Như vậy, khi thay cos 2 c1 , cos 2 c 2 , sin 2 c1 và sin 2 c 2 , suy t ừ (3-7) v ới sự biến đổi cos 2 tg2 1 tg 2 2 và sin 2 1 1 tg 2 2 , ta có được hai giá trị ứ ng suất chính ở hai mặt chính vuông góc với nhau và thường trong trạng thái ứng suất phẳng, ta ký hiệu các ứng suất chính là max , min . Ta có : max/ min x y 1 2 2 ( x y ) 2 4 2 (3-8) d ấu + ứng với max , d ấu ứng với min . 3.2.3. Vòng tròn ứng suất (vòng Mohr) Chúng ta để ý đến hai biểu thức (3-2) và (3-3) thì thấy rằng: u và uv đều là hàm của góc nghiêng . Do đó giữa chúng chắc sẽ có một mối liên hệ nào đó. Thật vậy từ (3-2) và (3-3) ta được: x u y 2 x y cos 2 2 x y sin 2 x y sin 2 cos 2 uv 2 xy 2 2 Bình phương cả 2 vế của hai phương trình này, sau đó cộng các vế lại ta sẽ được: x y 2 x y u uv 2 co2 xy sin 2 2 2 Sau khi thu g ọn ta đượ c: x 2 y sin 2 2 x y 2 cos 2 x y 2 x y 2 u 2 uv 2 xy (3-9) Trong hình h ọc giải tích ta đã biết phương trình chính tắc của đường tròn bán kính R: (x-a) 2 + (y-b) 2 = R 2 ; (a,b) t ọa độ tâm vòng tròn đó. Nếu lập hệ trục mà trục hoành là u và tr ục tung uv thì (3- 9) chính là ph ương trình của một vòng tròn trong đó: u , uv - T ọa độ của những điểm trên vòng tròn. 2 x y ,0 - Tọa độ của tâm vòng tròn. 2 x y 2 2 xy - Bán kính của vòng tròn. Ta có th ể kết luận: Sự liên hệ giữa ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt cắt bất kỳ có thể biểu diễn bằng một vòng tròn là vòng tròn ứng suất (hay vòng Mohr). Cách d ựng vòng Mohr như sau: Xét một phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng, trong đó phương Oz là một phương chính không có ứng suất, còn hai phương Ox, Oy là b ất kỳ và giả sử đã biết các ứng suất x , y , xy = - yx , v ới giả thiết x > y > 0; xy > 0. Ta l ập hệ trục tọa độ (theo một tỉ lệ nhất định ,vị dụ 1cm ứng v ới 1KN/cm 2 ). * Tr ục hoành song song với Ox, biểu diễn ứng suất pháp. * Trục tung song song với Oy, biểu diễn ứng suất tiếp. y y yx x xy x x y uv D xy x yx O A C B u y Hình 3.8:Phân t ố ứng suất ph ẳ ng y x y 2 x Hình 3.9: V ẽ vòng tròn Mohr Xác định tâm C của vòng Mohr: Trên trục hoành lấy các đoạn OA y ; OB x . Điểm chính giữa C của AB chính là tâm vòng Mohr, vì: xy OC OA OB y x * Tìm bán kính vòng Mohr: Ứng với điểm A ta lấy D có tung độ 2 AD xy 2 nằm về phía dương của trục tung (vì gi ả thuyết xy > 0). CD chính là bán kính c ủa vòng Mohr, vì: 2 CD 2 AC 2 AD 2 x = y 2 2 Với tâm C và bán kính CD ta lập được vòng Mohr. D ( y , xy ): G ọi là điểm cực của của vòng Mohr có tâm C và bán kính CD.Ta hoàn toàn có th ể vẽ vòng tròn Mohr ứng suất (hình 3.9). Chúng ta chú ý đến điểm M o ( x , xy ), hình 3.11, t ức là tọa độ của nó thể hiện ứng xuất pháp x , ứng suất tiếp xy trên m ặt chuẩn có pháp tuyến x, nên điểm M o gọi là điểm gốc của vòng tròn ứng suất, MO cũng là bán kính của vòng Mohr. Bây gi ờ ta hãy chứng minh tính chất sau: - N ếu lấy một điểm M thuộc vòng Mohr và kí hiệu góc giữa các bán kính CM và CM o là 2 , thì tọa độ điểm M đó sẽ là u , uv trên m ặt cắt có pháp tuyến u xiên góc với trục x (xem hình 3.11). y xy x y yx u u uv xy xy uv D M M O 2 xy x O x yx y O A C T B u y Hình 3.10: Ứ ng suất trên m ặt c ắ t xiên x Hình 3.11: Cách d ự ng vòng tròn ứng su ấ t Theo hình ta tính được: OT OC CT OC CM cos( 2) = OC CM cos . cos 2 CM sin .sin 2 Vì CM cos CM 0 cos CB x y 2 Và CM sin CM 0 sin BM 0 xy OT x y 2 x y 2 cos 2 xy sin 2 So sánh với (3-2) = > T ương tự OT u TM uv N ối DM => MDM 0 = => DM // u * Chú ý: a) Khi bi ểu diễn các giá trị x , y , xy trong h ệ trục (, ) cần lưu ý dấu. b) > o, khi quay ngược chi ều kim đồng hồ kể từ trục x. Ví dụ: Tính ứng suất trên mặt cắt có pháp tuyến u nghiêng m ột góc = 30 0 so với trục x. * Tính theo phương pháp đồ thị: L ập hệ trục // x; // y, chọn tỉ xích 5mm =1KN/cm 2 . 2,7 2 x Trên trục lấy OA y 4; OB x 8 . Trung điểm C của AB là tâm vòng Mohr. Cực D (4,2), CD là bán kính vòng Mohr ứng với phân tố đã cho. Từ D kẻ đường thẳng song song với u cắt vòng Mohr tại M. Đo tọa độ , ta nhận được: 2 2 u = x (M) = 5,3 k/cm ; uv - y (M) == 2,7k/cm KN y cm 2 4 M 0 u 2 30 0 D 30 8 O M 2 A 4 C B M 1 kN uv O 5,3 8 cm 2 Hình 3.12: Xác đị nh ứng su ấ t t ại mặt xiên * Tính theo phương pháp gi ải tích: Hình 3.13: Cách tìm ứ ng suất trên m ặt xiên b ằ ng vòng Mohr u 8 4 2 8 4 2 cos 60 0 2 sin 60 0 5,268 KN cm 2 uv 8 4 2 sin 60 0 2c0s60 0 2,732 kN cm 2 chín h. * Ứng dụng chủ yếu của vòng Mohr là để xác định phương chính và ứng suất Ta biết rằng mặt chính là mặt không có ứng suất tiếp. Do đó để xác định phương 2 2 chính ta chỉ việc tìm trên vòng tròn Mohr những điểm có tung độ bằng không. Đó là hai điểm M 1 , M 2 , các phương này hợp với phương ngang những góc 1 và 2 . Ở đây ta qui ước chiều dương của các góc là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ. Giá tr ị của các ứng suất chính có thể đo trực tiếp trên các trục (, ). Đó là các đoạn OM 1 và OM 2 ; OM 1 max ; OM 2 min , (xem hình 3.15) Nh ờ vòng Mohr ta có thể rút ra công thức tính ứng suất chính: x y x y 2 min OC M 2 C 2 2 xy x y x y 2 max OC CM 1 2 2 xy 2 xy 2 Viết gộp: max/ min x y 2 x y 2 2 (3- 10) d ấu + ứng với ma x , d ấu ứng với min . 1 2 y y y x x D x y M 2 1 M 1 y x x x y x y x y O 2 A C B 1 Hình 3.14:Phân t ố ứng su ấ t ph ẳ ng 2 x y 2 x 1 Hình 3.15: Xác đị nh ứng suất chính b ằ ng vòng Mohr Theo hình trên thì ta sắp xếp các ứng suất chính theo thứ tự : 1 = max , 2 = min , 3 = 0 G ọi: 1 - Góc gi ữa phương chính có max v ới phương ngang. 2 - Góc gi ữa phương chính có min v ới phương ngang. thì từ vòng Mohr ta rút ra: tg 1 tg 2 AD AM 1 A D xy max y xy [...]... xy y max AM 2 y min xy tg 1 /2 (3-11) Viết gộp: y max / min Trên vòng tròn Mohr còn có hai điểm đặc biệt M3 và M4 là hai điểm có tung độ lớn nhất và bé nhất Dựa vào vòng Mohr, ta có: x 2 y 2 xy CM max 3 2 2 x y xy min CM 4 2 2 Viết gộp: max/ min x y 2 . sin 2 2 0 xy cos 2 0 0 (3-7) tg2 0 2 xy 2 xy x y Đặt tg x y 0 k 2 2 , k z Ha y 01 2 02 2 2 nha u Như. vậy d u d 2 x y 2 sin 2 2 xy cos 2 2 uv d u uv = 0 , c ũng có nghĩa là 0 d Như vậy, khi thay cos 2 c1 , cos 2 c 2 , sin 2 c1 và sin 2 c 2 , suy t ừ (3-7) v ới. đó. Thật vậy từ (3 -2) và (3-3) ta được: x u y 2 x y cos 2 2 x y sin 2 x y sin 2 cos 2 uv 2 xy 2 2 Bình phương cả 2 vế của hai phương