bài giảng sức bền vật liệu, chương 13 potx

1 x Chương 13: DẦM CHỊU UỐN NGANG PH ẲNG Một dầm chịu uốn ngang phẳng là một dầm chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang của nó có hai thành phần nội lực là lực cắt và mô men uốn. Các thành phần nội lực này nằm trong mặt phẳng đối xứng của dầm. Ví d ụ : Dầm có mặt cắt ngang là hình chữ nhật chịu lực như trên hình v ẽ (hình 5.16). Xét một mặt cắt 1-1 nào đó của dầm, thì trên m ặt cắt đó có hai thành phần nội lực là l ực cắt Q y và mô men uốn M x . Hai thành phần nội lực này đều nằm trong mặt phẳng đối xứ ng của dầm là Oyz (hình 5.17). 5.6. ỨNG SUẤT PHÁP TRÊN MẶT NGANG CỦA DẦM CHỊU U ỐN NGANG PHẲNG . b d z 1 2 1 2 P l P M x x z y P l Hình 5.16: Dầm ch ị u lực có mặt c ắt ngang ữ nh ậ t Hình 5.17: N ội l ực trên mặt cắt ngang c ủa d ầ m ch ị u uốn ngang ph ẳ ng Công thức tính ứng suất pháp  z (5-2) được suy ra cho tr ường hợp M x = const. N ếu mô men uốn M x là m ột hàm số theo z thì trên mặt cắt ngang sẽ có lực cắt: Q y   dM x 2 dz 3 Trong trường hợp này, trên mặt cắt ngang, ngoài ứng suất pháp do mô men uốn M x gây ra, còn có ứng suất tiếp do lực cắt Q y gây ra. Đối với trường hợp này, sau khi bị biến dạng mặt cắt ngang không còn phẳng nữa. Mặt cắt ngang không những bị xoay n hư trong dầm chịu uốn thuần túy phẳng mà còn bị vênh đi một ít do tác d ụng của ứng suất tiếp, cho nên quá trình chứng minh ở mục 5-2 không còn phù hợp. Nhưng "Lý thuyết đàn hồi" đã chứng minh r ằng, công thức (5-2) có thể dùng được trong trường hợp uốn ngang phẳng mà sai số mắc phải không lớn. Vì vậy, chúng ta thừa nh ận công thức (5-2) để tính ứng suất pháp trên mặt cắt ngang trong trường hợp uốn ngang phẳng: M  z = x y J x (5-13) 5.7. ỨNG SUẤT TIẾP TRÊN MẶT CẮT NGANG CỦA DẦM CHỊU UỐN NGANG PHẲNG. Để đơn giản bài toán, ta giả thiết dầm có mặt cắt ngang hình ch ữ nhật. Nói chung, ứng suất tiếp  z ở một điểm bất kì trên mặt cắt ngang có thể không cùng phương với lực cắt Q y . Phân tích ứng suất tiếp  z ra thành hai thành ph ần  zy và  zx (hình 5.18):  z = 2 2  zy   zx Trong đó: zy là thành ph ần ứng suất tiếp song song với lực cắt Q y (tức là song song với Oy);  zx là thành ph ần ứng suất tiếp vuông góc với lực cắt Q y (tức là song song với O x ). Cách xác định ứng suất tiếp  z ở một điểm bất kì trên mặt cắt ngang là vấn khó khăn. Vả lại n ếu mặt cắt có dạng hình chữ nhật hẹp thì thành phần ứng suất tiếp  zx r ất bé so với  zy . Nên trong th ực tế, người ta th ường chỉ xác định thành phần ứng suất tiếp song song với lực cắt  zy . Để lập công thức tính thành phần ứng suất tiếp song song v ới lực cắt, ta thừa nhận giả thuyết sau: Thành ph ần ứng suất ti ếp song song và cùng chi ều v ới lực cắt ở một điểm bất kì K trên m ặt c ắt ngang là phân t ố đều theo đoạn th ẳng đi qua điểm K và vuông góc v ới l ực cắt. 4 Q y O   xy  zx Hình 5.18: Ứ ng su ất trên m ặt c ắ t ngang c ủ a d ầm ch ị u Tưởng tượng tách ra khỏi dầm một đoạn vô cùng bé dz bằng hai m ặt cắt 1-1 và 2-2 (xem hình 5.19 và hình 5.20). Sau đó, cắt đoạn dầm dz bởi mặt cắt thứ ba đi qua điểm đang xét K và vuông góc với lực cắt Q y . Mặt cắt này cắt đoạn dầm làm hai ph ần, ta xét sự cân bằng của phần dưới ABCDEFGH (hình 5.20). Vi ết điều kiện cân bằng của phân tố này dưới dạng phương trình hình chiếu của các lực lên phương của trục dầm (trục O z ). - Trên m ặt ABCD: Kí hiệu ứng suất pháp trên mặt này là  z(1) (hình 5.20), ta có: 5  = y z(1)  S x z M M x z( 1) J x b d c Q y x Q y 1 d 2 z M x +d M x O A B H  z (  z ( 2) x Hình 5.19: Phân 1) D C tố VCB y Hình 5.20: Xác đị nh ứ ng su ất ti ế p Vậy hình chiếu của lực tác dụng lên mặt ABCD lên phương Oz bằng: N 1 =   dF  M x ydF   M x c x (a) Fc J x Fc J x Trong đó: F c - Diện tích của mặt ABCD mà ta gọi là diện tích cắt; S c - Mô men t ĩnh của phần diện tích bị cắt đối với trục trung hòa O x - Trên m ặt EFGH: Ứng suất pháp trên mặt 2-2 này là  z(2) : M  dM  z(2) = x x y J x Vậy hình chiếu của lực tác dụng lên mặt AFGH lên phương O Z bằng: M  dM M dM N 2 =    dF  x x ydF  x x S c (b) 6 J J z ( 2) J  J x Fc x Fc x - Trên m ặt ABEF: Theo giả thuyết về các thớ dọc, trên mặt này chỉ có ứng suất tiếp. Dựa vào định luật đối ứng, thành phần ứ ng suất tiếp  yz song song v ới trục O Z bằng:  yz =  zy Vì chúng ta đã thừa nhận ứng suất tiếp  zy phân b ố đều trên đoạn AB (hình 5.20) nên thành ph ần ứng suất tiếp  yz c ũng phân bố trên toàn mặt ABEF. Do đó, hình chiếu của nội lực tác dụng lên mặt ABEF lên p hương O Z bằng: T =  yz  diện tích (ABEF) =  zy b c dz Trong đó b c là bề rộng của mặt cắt (tức chiều dài đoạn AB) đi qua điểm đang xét K và vuông góc v ới lực cắt Q y . V ậy, điều kiện cân bằng dưới dạng phương trình tổng quát hình chi ếu của các lực tác d ụng lên phân tố ABCDEFGH lên phương O Z : z = 0; N 1 - N 2 + T = 0 hay M x S c  M x  dM x S c    b c dz  0 x x zy x x x x h y x y x dM S c x x rút ra:  zy = Vì dM x dz dz  Q y J b c nên  zy = Q .S c J b c (5-14) Trong đó: S c - Mô men tĩnh của phần điện tích bị cắt đối với trục trung hòa; b c - B ề rộng của mặt cắt đi qua điểm đang xét và vuông góc với lực cắt. Công thức (5-14) được gọi là công thức Durápski. Dưới đây, ta lần lượt tính ứng suất tiếp đối với một số mặt cắt ngang đơn giản. a) Mặt cắt ngang hình chữ nhật (hình 5.21). Để xác định sự phân bố của thành phần ứng suất tiếp  zy trên toàn b ộ mặt cắt, b Q y  m ax O K x trước hết ta tính thành phần ứ ng suất tiếp  zy ở điểm K (hình 5.21). B ề rộng mặt cắt đi qua điểm K bằng : b c = b. Mô men t ĩnh của phần điện tích bị cắt (phần dưới) đối với trục trung hòa Ox bằng: c  h  h  1 bh 2   y 2   S x  b   y   y    c 2 2  1  4   8 h 2       y Hình 5.2: Xác đị nh ứ ng su ất ti ế p 14) ta được: Mô men quán tính của mặt cắt đối với bh 3 trục trung hòa Ox: J x = 12 Khi thay các giá trị trên vào x h y x (5-  zy = 3 Q y    1  4 y 2     2 2 bh  h   Như vậy, quy luật phân bố của  zy là m ột đường Parabol bậc hai. Nh ững điểm ở trên trục trung hòa Ox là những điểm có ứng suất tiếp  zy l ớn nhất (y=0): 3 Q y  max = 2 bh (5-15) b) Mặt cắt ngang hình chữ I (hình 5.22). Ở đây, ta chỉ xét sự phân bố của ứng suất tiếp  zy trong lòng ch ữ I Tính ứng suất tiếp  zy ở điểm K nằm trong lòng chữ I. Bề rộng của mặt cắt đi qua điểm K bằng: b b c = d ; 2 S c  S  (yd) y  S 2 x  d y 2 Q y Thay chúng vào (5-14), ta được: 96 x O K d  max y R y   d(   ) 2  R   Q  S  d y  y  x 2    zy =     J x d V ậy, luật phân bố của  zy d ọc theo chiều cao của mặt cắt ngang chữ I là một đường Parabol bậc hai. Ứng suất tiếp  zy đạt tới giá trị lớn nhất ở trên trục trung hòa (y=0) :  max = Q y .S x J x d Trong đó S x là mô men tĩnh của nửa hình chữ I lấy đối với trục trung hoà O x , đại lượng này được cho trong các sổ tay kĩ thuật. c) Mặt cắt ngang hình tròn (hình 5.23) R 4 Đối với trường hợp này : b c = 2 R 2  y 2 ; J x = 4 3 R S c    b      d      2 R  y 2   d  2 (R 2  y 2 ) 2 x y y 3 Thay chúng vào (5-14) và chú ý di ện tích mặt cắt hình tròn F là .R 2 : 4 Q y   y 2    zy    3   1    F R 2    Công thức này chứng tỏ  zy bi ến thiên dọc theo đường kính của mặt cắt ngang hình tròn là đường cong bậc hai. Ứng suất tiếp  zy đạt tới giá trị lớn nhất ở những điểm nằm trên đường trung hòa (y=0): Q y O x K b(  b ) c  ma x   4  Q y max 3 C a F (5- 17) Hình 5.23: Xác đị nh ứ ng ất ti ế p 5.8. ĐIỀU KIỆN BỀN CỦA DẦM CHỊU UỐN NGANG PHẲNG Như trên đã nói, trên mặt cắt ngang của dầm chịu uốn ngang ph ẳng ngoài ứng su ất pháp  z do mô men u ốn M x gây ra, còn có ứng suất tiếp  zy do l ực c ắt Q y gây ra. Trên hình 5.24 bi ểu diễn biểu đồ ứng suất pháp  z và ứng su ất tiếp  zy d ọc theo b Q y A B M x O x 9  7 m a x  min A O C [...]... là (xem chương 3: Trạng thái ứng suất):  2 2

  1 

98 2  2

  2   3 
   ; 2 = 0 


2 2

2
 Nếu dầm bằng vật liệu dẻo, điều kiện bền của phân tố trên là : - Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất:  2  4 2  [] - Theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng:  2  3 2  [] - Đối với dầm bằng vật liệu giòn, có thể dùng thuyết bền Mohr để kiểm tra bền * Chú... trên hình 5.24 Ứng suất chính của phân tố có trị số: 1= -3= max ; 2 = 0 (xem ở chương 3: Trạng thái ứng suất trượt) - Nếu dầm bằng vật liệu dẻo, ta có điều kiện bền của phân tố: [ ] (5max  20) 2 [ - Theo thuyết bền thế năng biến đổi hình ] (5-21) dạng: max  3 Nếu dầm bằng vật liệu giòn, ta có thể dùng thuyết bền Mohr để kiểm tra c) Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt : Vì ứng suất pháp và... Vậy điều kiện bền đối với phân tố này được thỏa mãn b) Kiểm tra bền đối với phân tố ở trạng thái trượt thuần túy: Phân tố này được chọn ở trên mặt cắt ngang có lực cắt lớn nhất và ở ngay trên trục trung hòa của mặt cắt ngang này Ứng suất tiếp lớn nhất bằng:
6 Q S 21.10 4.423.10 max MN / m 2 max =x  88,5 J x d 133 80.10
8.0,75.10
2 Trị số ứng suất tiếp cho phép có thể tính theo thuyết bền thế năng... 3: Kiểm tra bền dầm có mặt cắt ngang hình chữ I số hiệu 36 chịu lực như hình vẽ (hình 5.25a) Chiều dài của dầm là l=2m, cường độ tải trọng phân bố đều là 99 q=104N/m , lực tập trung P=20104N, đặt cách gối tựa một khoảng cách a= 0,2m Ứng suất cho phép là []=150MN/m2 P a ) b ) c ) A C D l B 21 10 4N 20,8 1 04N 21 10 4N d ) t a q h a P d x b
d 4 b 4,18.104 4,5.1 4 0 Hình 5.25: Kiểm tra bền Bài giải :Biểu... cùng và dưới cùng bằng không, nên trạng thái ứng suất của các phân tố ở những điểm này là trạng thái ứng suất đơn (tại điểm Avà D trên hình 5.24) Điều kiện bền của các phân tố : (5- Đối với dầm bằng vật liệu dẻo: max||  || 18) - Đối với dầm bằng vật liệu giòn: max []k ; min  []n (519) b) Trạng thái trượt thuần túy:Vì ứng suất pháp ở những điểm trên trục trung hòa bằng không, nên trạng thái ứng... tra bền đối với phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt: Phân tố này được chọn ở điểm tiếp giáp giữa đế và lòng của chữ I trên mặt cắt ngang có mômen uốn và lực cắt cùng lớn sát mép trái C hay sát mép phải D Gọi K là điểm tiếp giữa lòng và đế của chữ I 4,2.1 4  = k k (0,18
0,0123)  52,6MN / m 2  0 Mx y 133 80.1 Jx 0
8 Q S c 20,8.1   MN / m 2 y x  4 k =  317,5.10 65,8 0
6 J x d 133 80.10... ngang ở C, D có mô men uốn Mx và lực cắt Qy đều lớn: Qy = 20,8.104N; Mx = 4,2.104Nm Số liệu và kích thước của mặt cắt ngang chữ I số 36 (cho theo bảng) như sau: Jx = 133 80cm4; Wx = 743cm3; Sx = 423cm3, d = 0,75cm; h = 36cm a) Kiểm tra bền đối với phân tố ở trạng thái ứng suất đơn: Phân tố này được chọn ở trên mặt cắt ngang có mô men uốn lớn nhất và ở biên trên hay biên dưới của mặt cắt ngang này Ứng... 0,75.10
2 y 16,77  317,5cm Trong đó: S x
y d  423
16,77  0,75  x c S x k23 2 Sử dụng thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng lớn nhất, ta xác đinh ứng suất tương đương là: td =  22   52,62  3(65,8) 2  125MN / m 2  150MN 3  / m 2  [] k k Ứng suất nhỏ hơn ứng suất cho phép, vậy dầm đủ bền ... tiếp lớn nhất:  2  4 2  [] - Theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng:  2  3 2  [] - Đối với dầm bằng vật liệu giòn, có thể dùng thuyết bền Mohr để kiểm tra bền * Chú ý: Không phải kiểm tra bền cho cả ba loại phân tố ở trên cùng một mặt cắt ngang Đối với phân tố ở trạng thái ứng suất đơn, ta phải chọn mặt cắt ngang có mô men uốn lớn nhất Đối với phân tố ở trạng thái trượt thuần túy, phải . thuy ết bền ứng suất tiếp lớn nhất:  2  4 2  [] - Theo thuy ết bền thế năng biến đổi hình dạng:  2  3 2  [] - Đối với dầm bằng vật liệu giòn, có thể dùng thuyết bền Mohr để kiểm tra bền. *. -  3 =  max ;  2 = 0 (xem ở chương 3: Trạng thái ứng suất trượt). - Nếu dầm bằng vật liệu dẻo, ta có điều kiện bền của phân tố: [  ]  max  2 [  ] (5- 20) - Theo thuy ết bền thế năng biến đổi. (xem chương 3: Trạng thái ứ ng suất): 2    1   2        99 2 2   2    3  2           2      2 ;  2 = 0    Nếu dầm bằng vật liệu dẻo, điều kiện bền của