Đang tải... (xem toàn văn)
Ñeå thuaän tieän cho vieäc tính heä chòu taûi troïng ñoäng, caùc coâng thöùc thieát laäp cho vaät chòu taùc duïng cuûa taûi troïng ñoäng thöôøng ñöa veà daïng töông töï nhö baøi toaùn [r]
(1)GV: Lê đức Thanh
Chương 13
TẢI TRỌNG ĐỘNG 13.1 KHÁI NIỆM
1- Tải trọng động
Trong chương trước, khảo sát vật thể chịu tác dụng
ngoại lực, ta coi ngoại lực tác dụng tĩnh, tức tải trọng gây gia
tốc chuyển động bé, xét cân bỏ qua ảnh hưởng lực qn tính
Tuy nhiên, có trường hợp mà tải trọng tác dụng coi tĩnh gây gia tốc lớn, ví dụ va chạm vật, vật quay
quanh trục, dao động Khi này, phải xem tác dụng tải trọng động,
phải xét đến lực qn tính giải tốn 2- Phương pháp nghiên cứu
Khi giải toán tải trọng động, người ta thừa nhận giả thiết sau: - Vật liệu đàn hồi tuyến tính
- Chuyển vị biến dạng hệ bé
Như vậy, nguyên lý cộng tác dụng áp dụng toán tải trọng động
Khi khảo sát cân vật thể chịu tác dụng tải trọng động, người ta thường áp dụng nguyên lý d’Alembert Tuy nhiên, trường hợp vật chuyển động với vận tốc thay đổi đột ngột toán va chạm ngun lý bảo tồn lượng sử dụng
Để thuận tiện cho việc tính hệ chịu tải trọng động, công thức thiết lập cho vật chịu tác dụng tải trọng động thường đưa dạng tương tự toán tĩnh nhân với hệ số điều chỉnh nhằm kể đến ảnh hưởng tác dụng động, gọi hệ số động
(2)GV: Lê đức Thanh
13.2 THANH CHUYỂN ĐỘNG VỚI GIA TỐC LAØ HẰNG SỐ
Một tiết diện A có chiều dài L và trọng lượng riêng γ, mang
vật nặng P, kéo lên với gia tốc a H.13.1.a
Tưởng tượng cắt cách đầu mút
đoạn x Xét phần H.13.1.b, lực
tác dụng gồm có: trọng lượng vật nặng P
Trọng lượng đoạn γAx
Lực quán tính tác dụng vật P Pg.a
Lực quán tính đoạn g Axa
γ
Nội lực động Nđ mặt cắt xét
Theo nguyên lý d’Alembert, tổng hình
chiếu tất lực tác dụng lên theo phương đứng kể lực qn tính phải khơng, ta được:
Nñ − γAx − P − g Pa−
g Axa
γ =
Nñ = γAx + P + g Pa+
g Axa
γ ⇒ Nñ = (γAx + P)(1 +ag )
Đại lượng (γAx + P) nội lực trạng thái treo không
chuyển động, gọi nội lực tĩnh Nt
Ta được: Nđ = Nt.(1 +ag) (13.1)
Ứng suất thanh:
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛
+ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛
+ = =
g a g
a A N A N
t t
d
d σ
σ (13.2)
có thể đặt: Kđ = +ga : Hệ số động (13.3)
σñ = σtKñ (13.4)
Ứng suất lớn mặt cắt thanh:
σñmax = σt,max.Kñ
với: σt = (γAL + P)/A
Điều kiện bền trường hợp là:
σñmax ≤ [σ ]k (13.5)
Ta thấy có hai trường hợp:
γ.A.1a/g Nñ
γ.A.1 x γ,A
P a
P
b) a)
P.a/g
Hình 13.1
a) Vật chuyển động lên với gia tốc a b) Nội lực ngoại lực tác dụng lên phần xét
(3)GV: Lê đức Thanh
- Khi chuyển động lên nhanh dần (gia tốc a chiều chuyển
động) chuyển động xuống chậm dần (gia tốc a ngược chiều chuyển
động) hệ số động Kđ > 1, nội lực động lớn nội lực tĩnh
- Ngược lại, chuyển động lên chậm dần chuyển động xuống
nhanh dần Kđ< 1, nội lực động nhỏ nội lực tĩnh
Dù vậy, vật thể chuyển động tốn đây, phải tính
tốn thiết kế với Kđ >
Thí dụ 13.1 Một dài 10m có tiết diện vuông 30 cm x 30 cm trọng
lượng riêng γ = 2500 kG/m3, kéo lên với gia tốc a = m/s2 (H.13.2)
Xác định đoạn mút thừa b để mômen âm gối tựa mômen dương
giữa nhịp Vẽ biểu đồ mômen, tính ứng suất pháp lớn
Hình 13.2
a) Thanh kéo lên với gia tốc a; b) Sơ đồ tính biểu đồ mơmen
Khi kéo lên với gia tốc a, chịu tác dụng lực quán
tính, tải trọng tác dụng lên hệ tải trọng phân bố đều, gồm có:
q = qbt + qqt = γA(1) + γA(1).a/g
= 2500(0,3.0,3) + 2500(0,3.0,3).5/10 = 337,5 KG/m
Sơ đồ tính biểu đồ mômen cho H.13.2.b Để mơmen gối mơmen nhịp, ta có:
qb q L b qb b 0,206L
2
) (
2 2
= ⇒ − − =
với b = 0,206L mơmen lớn là:
2
max
2
2 max ,
KG/cm , 15 30
30
6 100 11 , 716
KG.m 11 , 716
) 10 206 , ( , 337
) 206 , (
= =
= σ ⇒
= =
= =
x x x
W M
L q qb M
L - 2b b
qa2
2 qa
2 2
q(L - 2b)2
8
-qa2 2
b L - 2b b
L
a
Nd
b qqt = γ.A(1)a/g
qbt = γ.A(1)
(4)GV: Lê đức Thanh
13.3 VƠ LĂNG QUAY ĐỀU
Một vơ lăng có bề dày δ, đường kính trung bình D, tiết diện A, trọng
lượng riêng γ, quay quanh trục với vận tốc góc khơng đổi ω (H.13.3.a)
Hình 13.3 b) Tách vô lăng theo mặt cắt xuyên tâm a) Tải trọng tác dụng lên vô lăng
qñ qñ
γ,A, δ ω
y
dϕ
ϕ x
b) D
σñ
σñ
a)
Với chuyển động quay đều, gia tốc góc ω& = 0, gia tốc tiếp tuyến:
0 =
= D
at ω& có gia tốc pháp tuyến hướng tâm là:
2
2 D
an =ω (a)
Một đoạn dài đơn vị vô lăng có khối lượng γA/g chịu tác dụng
lực quán tính ly tâm là:
g AD a
g A
q n
2
2 ω γ
γ =
=
ñ (b)
Để tính nội lực vơ lăng, dùng mặt cắt tách vô lăng theo mặt cắt xuyên tâm, xét cân phần (H.13.3.b), đối xứng, mặt cắt vơ lăng khơng thể có biến dạng uốn (do mômen), biến dạng trượt (do lực
cắt) mà có biến dạng dài lực dọc, nghĩa có ứng suất pháp σđ.
Vì bề dày δ bé, xem σđ phân đều, lực ly tâm tác dụng
chiều dài ds vô lăng qđ ds, phân tố ds định vị góc ϕ, lấy tổng hình
chiếu theo phương đứng, ta có:
2σđA = ∫π
o qd ds sinϕ
thay: qđ = γADω2/2g ds = D dϕ/2 vào, ta được:
d D4wg
2 γ =
σ (13.6)
Vì ứng suất vơ lăng ứng suất kéo nên điều kiện bền vô lăng:
σñ ≤ [σ ]k (13.7)
(5)GV: Lê đức Thanh
Ví dụ 13.2 Một trục đứng đường kính D = 10 cm, trọng lượng riêng γ = 7850
kG/m3, mang khối lượng lệch tâm Q = 20 kG (H.13.4.a), trục quay với
vận tốc n = 500 vòng/phút Kiểm tra bền trục, tính chuyển vị điểm đặt
khối lượng Cho: [σ ] = 1600 kG/cm2; E = 2.106 kG/cm2, a = 0,5m
ω KG.m 547,75 KG 20 KG Q a e a 136,94 KGm KGm 30,8 KG KGm 50,8 KG 61,6 KG Mx,Q
Mx,Qqt Nz
b)
Hình 13.4 a)
Giải Vận tốc góc:
rad/s 33 , 52 60 / 500 ) 14 , ( 60 = =
= πn
ω
Lực quán tính ly tâm Qlt trọng lượng Q là:
KG N 68 , 547 85 , 5476 , 33 , 52 20 2 = = = = qt qt Q e g Q Q ω
Bỏ qua ảnh hưởng tác dụng tĩnh trọng lượng Q trọng lượng
bản thân trục chúng nhỏ so với lực ly tâm Qlt
Mômen lực ly tâm gây (H.13.4.b):
Mxmax = QltL/4 = 547,68(1)/4 = 136,92 kGm
Ứng suất lớn trục:
2 max
,
max 1395,36kG/cm
32 / ) 10 ( 14 , 100 92 , 136 = = = σ x x W M
Nếu kể đến trọng lượng thân trục tác dụng tĩnh Q, tiết
diện trục chịu tác dụng nội lực sau (H.13.4.b)
Nz = 50,8 kG (neùn); Mx = 135,92 kGm
2 kG/cm 75 , 1395 392 , 32 / ) 10 ( 14 , 100 92 , 136 / ) 10 ( 14 , , 30 2 max , max + = + = + = x x z W M A N σ
Trong trường hợp này, trọng lượng thân trục tác dụng tĩnh
của Q bỏ qua
Chuyển vị tác dụng lực Qlt tính theo cơng thức sau:
0,0116cm
64 / ) 10 ( 14 , 10 48 ) 100 ( 75 , 547
48
3 = = = x EI QL y
(6)GV: Lê đức Thanh
1- Khái niệm
Một hệ chuyển động qua lại vị trí cân xác định đó, Ví dụ
quả lắc đồng hồ, gọi hệ dao động Khi hệ chuyển từ vị trí cân
sang vị trí cân sau qua vị trí xác định quy luật dao động, ta gọi hệ thực dao động
Chu kỳ là thời gian hệ thực dao động, ký hiệu T tính giây (s)
Tần số là số dao động giây, ký hiệu f, nghịch đảo
của chu kỳ, f = / T (1/s)
Số dao động 2π giây gọi tần số góc, hay cịn gọi tần số vịng,
ký hiệu ω, ta thấy ω = 2π / T (1/s)
Bậc tự do số thông số độc lập xác định vị trí hệ hệ quy chiếu Đối với hệ dao động H.13.5.a, vị trí hệ
xác định độ dịch chuyển (y) theo thời gian (t), hệ quy chiếu (t,y)
Khi tính hệ dao động, ta cần đưa sơ đồ tính Xác định sơ đồ tính
của hệ dựa điều kiện phải phù hợp với hệ thực mức độ gần cho phép
Xét dầm cho H.13.5.a, khối lượng dầm không đáng kể, xem dầm liên kết đàn hồi khơng khối lượng, vị trí hệ định
do vị trí khối lượng vật nặng, hệ có một bậc tự do, cần biết tung
độ y(t) vật nặng xác định vị trí hệ thời điểm (t) Với
hệ H.13.5.b, bậc tự hai, cần phải biết y1(t), y2(t) Đối với trục chịu
xoắn (H.13.5.c), bậc tự hai, cần phải biết góc xoắn ϕ1(t), ϕ2(t)
Hình 13.5 a) Hệ bậc tự do; b), c) Hệ hai bậc tự do
c) ϕ1(t)
ϕ2(t)
y(t) a)
y1(t)
b) y2(t)
Khi kể đến khối lượng dầm H.13.5.a, hệ trở thành vô hạn bậc
tự do, phải biết vơ số tung độ y(t) vô số điểm khối lượng suốt chiều dài
(7)GV: Lê đức Thanh
Nếu bỏ qua khối lượng dầm,
có thể đưa hệ hữu hạn bậc tự do, cách
xem khối lượng dầm gồm N khối lượng mi đặt
trên N điểm nút đàn hồi không khối lượng (H.13.6), N lớn,
độ xác tính tốn cao
Một hệ đàn hồi dao động tự hay dao động cưỡng
Dao động cưỡng là dao động hệ chịu tác động biến đổi theo thời gian, gọi lực kích thích, tồn suốt trình hệ dao động dao động dầm mang mơtơ điện hoạt động, khối lượng lệch tâm rôto gây lực kích thích
Dao động tự là dao động chất tự nhiên hệ chịu tác động tức thời, khơng tồn q trình hệ dao động dao động dây đàn
2- Phương trình vi phân dao động cưỡng hệ bậc tự
Hình 13.7 Hệ bậc tự chịu dao động cưỡng bức
y(t) P(t) M
y
Xét hệ bậc tự chịu tác dụng lực kích thích thay đổi theo thời
gian P(t) đặt khối lượng M (H.13.7), thời điểm (t), độ võng khối
lượng M y(t) Giả thiết lực cản môi trường tỷ lệ bậc với vận tốc
chuyển động, hệ số tỷ lệ β
Gọi δ chuyển vị điểm đặt khối lượng M lực đơn vị đặt gây
ra Chuyển vị y(t) kết tác động:
- Lực kích thích P(t) gây chuyển vị P(t)δ
- Lực quán tính −My&&(t) gây chuyển vị −My&&(t)δ
- Lực cản môi trường −βy&(t)gây chuyển vị −βy&(t)δ
ta y(t) = P(t)δ + [−My(t)δ ] + [ −βy(t)δ ] (a)
M δy&&(t) + β δy&(t) + y(t) = P(t) δ (b) (b)
Chia hai vế cho Mδ đặt:
2
1 ;
2 = ω
δ α = β
M
M (c)
phương trình (b) trở thành: )
t (
y&& + 2α y&(t) + ω2 y(t) = P(t).δ ω2 (13.8) mi
(8)GV: Lê đức Thanh
(13.8) phương trình vi phân dao động cưỡng hệ bậc tự 3- Dao đợng tự
Khi khơng có lực kích thích lực cản không, hệ dao động tự do, phương trình (13.8) trở thành phương trình vi phân dao động tự do:
y&&(t) + ω2 y(t) = (13.9)
Tích phân phương trình (13.9), ta nghiệm tổng quát có dạng:
y(t) = C1 cosωt + C2 sinωt (d)
Sử dụng giản đồ cộng vectơ quay (H.13.8), biểu diễn hàm (a) dạng:
y(t) = A sin(ωt + ϕ) (e)
Hàm (e) hàm sin, chứng tỏ dao động
tự dao động tuần hồn, điều hịa
Biên độ dao động A =
2 C
C + , tần số
góc ω, độ lệch pha ϕ ω cịn gọi tần số riêng
được tính theo cơng thức:
ω δ
M
= (13.10)
Gọi P là trọng lượng khối lượng M, ta có M = P/g, thay vào (13.10),
ta được: ω δ
P g
=
Tích số (P.δ) giá trị chuyển vị điểm đặt khối lượng M
trọng lượng P khối lượng dao động M tác dụng tĩnh gây ra, gọi Δt Cơng thức tính tần số dao động tự trở thành:
ω gt
Δ
= (13.11)
Chu kỳ dao động tự do:
t g T
Δ π = ω
π =
/
2 (13.12)
4- Dao động tự có cản
Trong (13.8), cho P(t) = 0, ta phương trình vi phân dao động
tự có cản, hệ bậc tự do: )
t (
y&& + 2α y&(t) + ω2 y(t) = 0 (13.13)
Nghiệm (13.13) tùy thuộc vào nghiệm phương trình đặc trưng:
K2 + 2αK + ω2=
Khi: Δ = α2 – ω2 ≥ 0, phương trình đặc trưng có nghiệm thực:
Hình 13.8 Giản đồ vectơquay
t A
y ϕ C2
(9)GV: Lê đức Thanh K1,2 = −α± α2−ω2
Nghiệm tổng quát (13.13) có dạng: t
K t K C e e
C t
y
2
)
( = +
Ta thấy hàm y(t) tính tuần hồn, hệ khơng có dao động,
ta không xét trường hợp
Khi: Δ = α2 – ω2 < 0, đặt: ω
12 = ω2 – α2, phương trình đặc trưng có
nghiệm ảo: K1,2 = −α±iω1
Nghiệm tổng quát (13.13) có dạng: )
sin( )
( ω1 ϕ1
α +
= −
t e
A t
y t
Hàm y(t) hàm sin có tính tuần hồn, thể dao động với
tần số góc ω1, độ lệch pha ϕ1, biên độ dao động hàm mũ âm A1e–αt,
tắt nhanh theo thời gian
Tần số dao động ω1= ω −2 α2 , nhỏ tần số dao động tự ω (H.13.9)
Hình 13.9 Đồ thị hàm số dao động tự có cản
t
y
4- Dao động cưỡng có cản
Từ phương trình vi phân dao động cưỡng có cản hệ bậc tự
(13.8): qy&&(t) + 2α y&(t) + ω2 y(t) = P(t)δω2 (f)
Với toán kỹ thuật thơng thường, lực kích thích P(t) hàm
dạng sin, lấy P(t) = Po.sinrt, phương trình vi phân (f) có
dạng:
y&&(t) + 2α y&(t) + ω2 y(t) = δω2Po sinrt (13.14)
Nghiệm tổng quát (13.14) có dạng:
y(t) = y1(t) + y2(t)
trong đó: y1(t) - nghiệm tổng quát (13.14) khơng vế phải,
nghiệm dao động tự có cản (e):
(10)GV: Lê đức Thanh
y2(t) - nghiệm riêng (13.14) có vế phải, vế phải
hàm sin, lấy y2 (t) dạng sin:
y2(t) = C1 cosrt + C2 sinrt
(h)
với: C1 C2 - số tích phân, xác định cách thay y2(t)
các đạo hàm vào (13.14), đồng hai vế Sử dụng giản đồ vectơ quay biểu diễn (h) dạng:
y2 (t) = V sin(rt + θ) (i)
Như vậy, phương trình dao động hệ là:
y (t) = A1e–αt sin(ω1 t + ϕ1) + V sin(rt + θ) (j)
Phương trình (j) độ võng y(t) dầm
Số hạng thứ vế phải (j) hàm có biên độ tắt nhanh theo quy luật hàm mũ âm, sau thời gian ngắn, hệ dao động theo
quy luaät: y (t) = V sin(rt + θ) (13.15)
Đó hàm sin biểu diễn dao động tuần hồn, điều hịa, tần số
góc dao động tần số lực kích thích r, độ lệch pha θ, biên độ dao
động V (H.13.10)
V= ymax
y
t
Hình 13.10 Đồ thị biểu diễn dao động cưỡng có cản
Biên độ dao động độ võng cực đại dầm ymax, ta có:
V = ymax = 2 C
C + (k)
Tính giá trị C1 C2, thay vào (k), ta độ võng cực đại
daàm:
4 2 2 max
4 ) (
ω α + ω −
δ =
r r
P
y o (h)
Tích số Poδ giá trị chuyển vị điểm đặt khối lượng M
lực có giá trị Po (biên độ lực kích thích) tác dụng tĩnh gây ra, đặt yt,
ta coù:
4 2 2 max
4 ) (
1
ω α + ω − =
r r
y
y t (13.16)