bài giảng sức bền vật liệu, chương 3 pdf

12 658 0
bài giảng sức bền vật liệu, chương 3 pdf

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Chương 3: TRẠNG THÁI TRƯỢT THUẦN TÚY Trạng thái trượt thuần túy tại một điểm trong vật thể đàn hồi. Nếu tại một điểm nào đó ta tách ra được một phân tố mà trên các m ặt của nó chỉ có ứng suất tiếp (không có ứng suất pháp, tức  = 0) xem hình 3.16, trong trường hợp này, vòng tròn Mohr có tâm C ở gốc O, (vì  x =  y = 0). y  1 =      D  3 =    M 3 M 1   O x C Hình 3.16: Tr ạ ng thái ứng su ấ t trượt thuần tuý  3 =  -      1 =   Hình 3.17: Vòng Mohr để xác đị nh ứng suất chính Cực D (0, )  trục tung. D ựa vào vòng Mohr, ta có:  1 =  max =  xy ;  2 = 0;  3 =  min = -  xy Nh ư vậy trạng thái trượt thuần túy có đặc điểm là hai ứng suất chính  1 và  3 b ằng nhau nhưng ngược chiều (kéo, nén). Phương chính xiên góc 45 0 so với phương của ứng suất tiếp (hình 3.16; 3.17). 3.4. LIÊN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG - ĐỊNH LUẬT HOOKE TỔNG QUÁT. Trong trường hợp tổng quát, trên các mặt của phân tố có các ứ ng suất pháp và ứng suất tiếp. 3.4.1. Biến dạng dài theo một cạnh của phân tố. x  Đó là biến dạng do tác dụng của cả ba ứng suất pháp theo ba p hương x, y, z gây ra. Để tính biến dạng này ta dùng nguyên lý độc lập tác dụng: "Tác dụng gây ra đồng thời do nhiều yếu tố thì bằng tổng những tác dụng do các yếu tố riêng rẽ gây ra". Nguyên lý đó thể hiện bằng biểu thức toán học sau:  x =  (  x )     ( y )   ( z )   x     (  y )   (  z ) y x x  =  x    y E E x    z   E E 1    E x y   ( y z   z )    y (3-13)  Z d y Ta suy ra cho biến dạng các phương khác: 58   x x O d x x d z Z z  y Hình 3.18: Xác đị nh 59 E E    1   x  E [  x   ( y   z )]       y      1 [  y   ( z   x )] E 1 (3-14)   z  [ z   ( x   y )]   Biểu thức (3-14) được gọi là định Hooke tổng quát. Nếu các mặt của phân tố là mặt chính, thì định luật Hooke tổng quát có dạng:  1   1  E [  1   ( 2   3 )]       2      1 [  2   ( 3   1 )] E 1 (3-15)   3  [ 3   (  1   2 )]   3.4.2. Định luật Hooke về biến dạng thể tích: Đặt vấn đề: Tính độ biến đổi thể tích của một phân tố chính hình h ộp có các cạnh dài dx, dy, dz. G ọi thể tích ban đầu: V 0 = dxdydz Th ể tích sau biến dạng: V 1 = (dx + dx) (dy+ dy) (dz+dz) Bỏ qua các vô cùng bé b ậc cao: => V 1 = dxdydz (1+ dx   dx dy   dy dz ) dz V 1 = V 0 (1+  x +  y +  z ) G ọi  là biến dạng thể tích tương đối, thì:  = V 1  V 0 V 0   x   y   z  1  2   E (3-16) V ới  =  x +  y +  z 3.4.3. Định luật Hooke đối với biến dạng trượt:Theo định lu ật Hooke, biến dạng tr ượt tỷ lệ với ứng suất tiếp:  xy =  xy G ;  yz =  yz G 60   ;  zx = zx G (3 - 1 7) Trong đó: xy, yz, zx- Các chỉ số của , dùng để chỉ biến dạng trượt trong các mặt phẳng song song với các mặt phẳng tọa độ xOz, yOz, yOx; G- Hệ số tỷ lệ, được gọi là moduyn đàn hồi trượt, đơn vị MN/m 2 , KN/cm 2 Moduyn G ph ụ thuộc từng loại vật liệu và liên hệ với E,  theo bi ểu thức sau: G = 3.4.4. Trạng thái ứng suất khối. E 2(1   ) (3-18) Định nghĩa: Trạng thái ứng suất khối là trạng thái ứng suất mà trên 3 mặt chính của nó đều có các ứng suất chính khác không. 61 Đây là một bài toán không gian, lý thuyết đàn hồi sẽ nghiên c ứu đầy đủ hơn về nó. Ở đây chúng ta chỉ xét một vài trường h ợp đặc biệt. a) Ứng suất trên m ặt cắt nghiêng bất kỳ. Gi ả sử tại một điểm M nào đó của vật thể đàn hồi ta rút ra một phân tố chính (các mặt đều là mặt chính, hình 3.19). Nếu đã biết các ứng suất chính  1 ,  2 ,  3 , ta có th ể hoàn toàn xác định được các ứng suất trên mặt nghiêng bất kỳ nào đi qua điểm M. z  3 c M  1 z u c Z u  u  2 P u  1 Y  X u b a  2 y a) x u M u a x b  3 y b) Thật vậy, tưởng tượng cắt phân tố bởi mặt cắt abc, có pháp tuy ến u. Gọi l, m, n là các cosin ch ỉ phương H c ì ủ n a h ph 3 á . p 1 tu 9 y : ến T u r : ạng thái ứng suất kh ố i l = cos , m = cos , n = cos  Trong đó: , ,  - Góc giữa pháp tuyến u với các trục x, y, z. Bây gi ờ hãy khảo sát sự cân bằng của phân tố bốn mặt Mabc (hình 3.19b). Vì abc là m ột mặt bất kỳ, nên trên đó có cả ứng suất pháp  u và ứng suất tiếp  u . G ọi p u là ứng su ất toàn phần trên mặt này và p u =  2   2 , ta có th ể xác định ứng su ất toàn phần p u u u dựa vào các ứng suất chính  1,  2 ,  3 và các cosin ch ỉ phương l, m, n. N ếu gọi X u , Y u , Z u là các hình chiếu của P u xuống các trục x, 62 y, z thì: P u  X u  Y u  Z u (a) 2 2 2 2 V ậy muốn xác định P u ta chỉ cần xác định các hình chiếu của nó lên các tr ục là X u , Y u , Z u . Nếu ta gọi dF là diện tích của mặt xiên abc thì: - Di ện tích mặt Mbc sẽ là dFl. - Di ện tích mặt Mca sẽ là dFm. - Di ện tích mặt Mab sẽ là dFr . Thi ết lập các phương trình cân bằng cho phân tố Mabc ta có: X = X u dF -  1 dF l = 0 => X u =  1 l Y = Y u dF -  2 dF m = 0 => Y u =  2 m (b) Z = Z u dF -  3 dF n = 0 => Z u =  3 n Đưa (b) vào (a) ta được: P 2   2 l 2   2 m 2   2 n 2 (3-19) u 1 2 3 Muốn có thành phần ứng suất pháp  u thì ta chi ếu giá trị ứng su ất pháp toàn phần P u xu ống tr ụ c u:  u = X u .l + Y u  m + Z u .n hay  u =  1 l 2 +  2 m 2 +  3 n 2 (3- 20) P u 1 2 u 2 2 2  Và ta có giá trị ứng suất tiếp  u là:  u = p 2   2 (3-21) u u b) Ứng suất trên mặt cắt nghiêng song song với một ứng suất chính: * Trên m ặt cắt song song với  3 : Pháp tuy ến u của mặt cắt này sẽ vuông góc với phương x (phương tác dụng của ứng suất chính  3 ), lúc đó n = 0 và công thức (3-19), (3- 20), (3-21) s ẽ là: P 2   2 l 2   2 m 2 u 1 2  u =  1 l 2 +  2 m 2  u    2   2    2 l 2   2 m 2  ( 1 l   2 m )  ( 1   2 )l.m Ta nh ận thấy rằng: Ứng suất trên mặt cắt nghiêng này chỉ phụ thuộc vào  1 và  2 , do đó dựa vào  1 ,  2 ta có th ể vẽ được vòng Mohr ứng suất, mà tâm vòng tròn này             có tọa độ C 3  1 2 ,0  , bán kính r 3 =  1 2  , (hình 3.20b).  2    2   Tương tự như trên tọa độ của một điểm nào đó trên vòng Mohr này s ẽ là giá trị ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt cắt nghiêng song song v ới  3 . * Trên m ặt cắt song song với  2 : C ũng tương tự như vậy, nếu mặt cắt song song z   3 a) b)  1 x  2  2 O C 3  1    y Hình 3.20: Xác đị nh ứng suất trên mặt c ắ t ớ i    với  2 thì pháp tuy ến sẽ vuông góc với  2 (t ức là với trục y), khi đó m = 0. Các ứng suất trên mặt chỉ phụ thuôc vào  1 và  3 cho nên ta c ũng sẽ có: P 2 2 2 2 2 u   1 l   3 n  u =  1 l 2 +  3 n 2  u = (  1 -  3 )l.n D ựa vào  1 và  3 ta c ũng xây dựng được vòng tròn Mohr ứng suất có tâm   1   3 ,0  , bán kính r     =  1 3  . Tọa độ của một điểm trên vòng tròn này c ũng C 2     2     2  2  z  3 t a) b)  1 x O  3 C 2 1 2 6 1 y Hình 3.21 Xác đị nh ứng suất trên mặt c ắ t 62 là giá trị ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt cắt có pháp tuy ến u song song với  2 (tr ục y), hình 3.21. * M ặt cắt song song với  1 , l=0 do đó ứng suất trên mặt cắt chỉ phụ thuộc vào  2 và  3 . P 2 2 2 2 2 u   2 m   3 n  u =  2 m 2 +  3 n 2  u = (  2 -  3 )m.n C ũng tương tự như trên, dựa vào  2 ,  3 ta có th ể lập vòng Mohr ứng suất với tâm             C 1  2 3 ,0  , bán kính r 1 =  2 3  , ( hình 3.22).  2    2   Tọa độ của ,một điểm trên vòng tròn là giá trị ứng suất pháp và ti ếp của mặt cắt nghiêng có pháp tuyến u song song với  1 (v ới tr ục x) z  3   a) b)  1 x O O  3 C 1  2  1    y Hình 3.22 Xác đị nh ứng suất trên mặt c ắt nghiêng song song v  Tóm lại: Ứng suất trên mặt cắt nào đó mà song song với một ứ ng suất chính xác định, thì có thể vừa xác định bằng công thức giải tích vừa có thể biểu diễn bằng đồ thị là vòng tròn ứng suất tạo với 2 ứng suất chính không song song với mặt cắt nói trên. Cũng có thể nói về mặt đồ thị thì đối với một phân 63 tố trạng thái ứng suất khối ta có th ể vẽ 3 vòng tròn ứng suất tạo nên bởi 3 ứng suất chính. Mỗi vòng tròn ứng suất tương ứng với m ột tập hợp các mặt cắt song song với một ứng suất chính nào đó . Đối với một mặt cắt nghiêng b ất kỳ, không song song với một ứng suất chính nào cả, thì ta có th ể sử dụng kết quả trong lý thuy ết đàn hồi để xác định ứng su ất trên mặt cắt nghiêng đó được biểu diễn tọa độ của       O  3 M C 1  2 C 2 C 3  1   một điểm nằm trong vùng gạch giới hạn của 3 vòng tròn C 1 , C 2 và C 3 , (hình 3.23). * Nhận xét chung: Hình 3.23: Vòng Mohr c ủ a tr ạng thái ứng suất kh ố i 1- Tổng ứng suất pháp trên 3 mặt vuông góc với nhau đi qua m ột điểm là hằng số:  1 +  2 +  3 =  x +  y +  z (3-21) [...]... với 2 phương của 3 và xiên một góc 450 so với các phương của 1, 2 3 2 .3 =  2  - Ứng suất tiếp trên mặt cắt song song với 1 và xiên một góc 2 0 so với các phương của 2, 3 45   3. 1 =  1 3 - Ứng suất tiếp trên mặt cắt song song với 2 0 2 và xiên góc 45 64 với các phương 1 và 3 Trong 3 ứng suất tiếp lớn nhất này, thì ứng suất tiếp 3. 1 là lớn nhất:  1  3  max = = 3. 1 2 Điều này rất... 3 Trong 3 ứng suất tiếp lớn nhất này, thì ứng suất tiếp 3. 1 là lớn nhất:  1  3  max = = 3. 1 2 Điều này rất quan trọng nó có ý nghĩa đối với nhiều vấn đề trong cơ học, ví như xây dựng các thuyết bền chẳng hạn 65 . tọa độ của       O  3 M C 1  2 C 2 C 3  1   một điểm nằm trong vùng gạch giới hạn của 3 vòng tròn C 1 , C 2 và C 3 , (hình 3. 23) . * Nhận xét chung: Hình 3. 23: Vòng Mohr c ủ a tr ạng. tổng quát có dạng:  1   1  E [  1   ( 2   3 )]       2      1 [  2   ( 3   1 )] E 1 (3- 15)   3  [ 3   (  1   2 )]   3. 4.2. Định luật Hooke về biến dạng thể tích: Đặt. m ặt cắt song song với  3 : Pháp tuy ến u của mặt cắt này sẽ vuông góc với phương x (phương tác dụng của ứng suất chính  3 ), lúc đó n = 0 và công thức (3- 19), (3- 20), (3- 21) s ẽ là: P 2   2 l 2

Ngày đăng: 02/07/2014, 09:20

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan