70 h b d= 0,7071D d= 0,7071D Chương 5 ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC C ỦA MẶT CẮT NGANG PH ẲNG 4.1. KHÁI NIỆM CHUNG Khi nghiên cứu khả năng chịu lực của thanh chịu kéo, nén đúng tâ m, ta nhận thấy với cùng một loại vật liệu, thanh nào có di ện tích mặt cắt ngang lớn hơn thì chịu được tải trọng lớn hơn. Nhưng khi tính những thanh chịu xoắn, uốn thì khả năng của chúng không những phụ thuộc vào diện tích của mặt cắt ngang mà còn ph ụ thuộc vào hình dạng và sự bố trí mặt cắt ngang. Ví dụ: Xét một dầm tiết diện chữ nhật b h với h > b trong hai trường hợp: Tiết diện để đứng và tiết diện nằm ngang cùng chịu l ực P như nhau như trên hình 4.1a, 4.1b. P b a) a) M P b) b) h Hình 4.1: Dầm có ti ế t di ệ n đứng (a) và n ằ m ngang (b) D Hình 4.2: Dầm có ti ế t di ệ n hình tr ụ(a) và hình vành kh ăn (b) Kết quả thực nghiệm hoặc bằng trực giác ta cũng nhận ra là trường hợp (a) chịu lực tốt hơn trường hợp (b). Đối với trường hợp trục chịu xoắn ở hình 4.2, thì m ặt cắt ngang vành khăn chịu xoắn tốt hơn. Chúng ta sẽ khảo sát những đặc trưng hình học của mặt cắt ngang có liên quan đến việc chịu lực của các thanh. 71 4.2. MÔ MEN TĨNH VÀ CÁC MÔ MEN QUÁN TÍNH Giả sử có mặt cắt ngang có diện tích F. Xác định trong mặt phẳng của mặt cắt một hệ trục tọa độ (Oxy) và ta gọi (x, y) là tọa độ của điểm A nào đấy thuộc F. Lấy chung quanh A một phân tố diện tích dF. 4.2.1. Mô men tĩnh. Ta gọi mô men tĩnh của diện tích F đối với tr ục x hay đối với trục y là các biểu thức tích phân sau: S x F ydF ; S y xd F F , đơn vị m 3 , cm 3 Trong đó: S x , S y có th ể âm, dương, hay bằng không. 72 y y y c y o x y F: Di ệ n tích của b ề m ặ t c ắ t ngang A dF y x O x Hình 4.3 Xác đị nh mô men t ĩ nh * Khi mô men tĩnh của diện tích F đối với một trục nào bằng không thì trục đó gọi l à trục trung tâm. * Giao điểm của hai trục trung tâm g ọi là trọng tâm của mặt cắt ngang. Xuất phát từ định nghĩa trên ta có thể thiết lập công thức tính tọa độ trọng tâm c ủa diện tích F đối với hệ trục Oxy. Giả sử có hai trục trung tâm Cx o , Cy 0 cắt nhau tại trọng tâm C của mặt cắt ngang và song song v ới Ox, Oy, hình 4.4. Theo định nghĩa ta có: S xo = S yo = 0 (a) G ọi (x C ,y C ) là tọa độ của C trong hệ trục Oxy và trục Cx o y o thì: (x o ,y o ) là t ọa độ của A trong h ệ x x c x o y y c y o y y o F T ừ định nghĩa có: A S x ydF (y c y o )dF y c dF y o dF x o F F F F C S x = y c F + S xo = y c F [S xo = 0 theo (a)] Tương tự: S y = x c F V ậy, ta có: O x x 0 x C S x y c F S x c F x (4-1) S y x c F Tính chất cơ bản: S y c F Hình 4.4: Xác đị nh to ạ độ trọng tâm c ủa m ặ t c ắt ngang y M ọi trục đối xứng của mặt cắt ngang đều l à trục trung tâm (hình 4.5). Th ực vậy, nếu trục y là trục đối x ứng của mặt cắt ngang thì: xdF | x | dF xdF 73 dF dF B A F 1 F 2 F2 F 1 F 2 Trong đó F 1 , F 2 di ện tích của hai nửa. S y xdF xdF xdF xdF 0 F S y = 0 F 1 F 2 F 1 F 2 x -x x V ậy y là trục trung tâm. * Ví dụ 1: Hình 4.5: Trục đố i x ứ ng của mặt c ắt ngang là trục trung tâm a) Tính mô men tĩnh và tọa độ trọng tâm của mặt cắt ngang chữ nhật đối với các trục đi qua các cạnh (hình 4.6). 74 h h h/2 y dy h dy y dy 2 6 y Trên hình ch ữ nhật ta lấy dải phân tố diện tích dF = bdy, ta có: dF S x ydF h ybdy bh (4-2) C T ương t ự : S y = x 0 F hb 2 2 2 (4-3) O b/2 b Tọa độ trọng tâm : 2 Hình 4.6: Tính mô men t ĩ nh và toạ độ trọng tâm S y x c F bh 2b h b ; 2 h y c 2 mặt cắt ngang chữ nh ậ t b) Tính y mô men t ĩnh S x và tung độ trọng tâm y c của hình tam giác đối v ới trục x cạnh đáy (hình 4.7). dF Theo hình 4.7, ta có: dF = b(y)dy , mà b(y) h y => dF = b b(h y) dy h h b h bh 2 b(y) x O b S x F ydF (h y)ydy 0 2 (4- 4) Hình 4.7: Tính mô men t ĩ nh và tung độ y S x bh / 6 h c F bh / 2 3 trọng tâm mặt c ắ t c) Tính mô men tĩnh và tọa độ trọng tâm của mặt cắt ngang dạng nửa hình tròn đối với trục x đi qua đáy (hình 4.8). y T ừ hình 4.8, ta có: dF = b(y)dy dF 75 y nhưng y = Rsin => dy= Rcosd A b(y) = 2Rcos => dF = 2R 2 cos 2 d / 2 b(y) O (4- 5) =>S x = R sin.2R 2 cos 2 d 0 => S x = 2 R 3 3 R R x Hình 4.8 Tính mô men t ĩ nh và tung độ tr ọ ng tâm m y S x c F 4 R 3 76 6a y y d) Tính mô men tĩnh và tọa độ trọng tâm của mặt cắt ngang nh ư hình vẽ 4.9 đối với y tr ục x đi qua đáy. Từ hình 4.9, ta có: 2a 2a S x ydF ydF ydF ydF ydF 1 S x F 4a(6a) 2 F 1 2 2 F 2 3a(6a ) 2 6 F 3 F 4 2 a(3a) 2 3 2 4 3 S x = 90a 3 x C = 0 3a 3 a x S x c 90a 3 180a 5a 5 a F 42 9 a 2 84 9 Hình 4.9 Tính mô men t ĩ nh và tung độ trọng tâm m ặ t 2 ắt ngang h trục (gọi tắt mô men quán tính). 4.2.2. Mô men quán tính đối với một Ta gọi mô men quán tính của diện tích F đối với y tr ục x hay trục y là biểu thức tích phân sau: Diện tích mặt cắt J x F y 2 dF A dF y hay J x 2 dF F đơn vị m 4 , cm 4 O x x J x , J y luôn luôn dương. 4.2.3. Mô men quán tính độc cực (đối với một điểm). Ta gọi mô men quán tính độc cực của diện tích F đối với gốc tọa độ O là biểu thức tích phân: 77 P Hình 4.10: Xác đị nh mô men quán y tính dF dF 2 4 4 J P F dF , đơn vị m , cm B A Trong đó: = OA vì 2 = x 2 + y 2 => J (x 2 y 2 )dF F F 1 F 2 J p = J x + J y c ũng như mô men quán tính, mô men quán tính độc cực bao gi ờ cũng dương. 4.2.4. Mô men quán tính ly tâm. Ta gọi mô men quán tính ly tâm c ủa diện tích F đối với hệ trục Oxy là biểu thức tích phân: x -x O x Hình 4.11: Xác đị nh mô men quán tính li 4 4 tâm J xy xydF đơn vị m , cm x, y có th ể có dấu ngược nhau => J xy có thể âm, dương, hay b ằng không. 78 Khi J xy = 0, thì Ox o y o gọi là hệ trục quán tính chính (gọi tắt hệ trục chính). * N ếu hệ trục quán tính có gốc tại trọng tâm của mặt cắt ngang thì được gọi là hệ trục quán tính chính trung tâm. * Tính ch ất: Nếu mặt cắt có một trục đối xứng thì bất cứ trục nào vuông góc với trục đối xứng đó cũng lập với nó một hệ trục quán tính chính (có thể chứng minh tương tự như ở hình 4.5). . 0,7071D Chương 5 ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC C ỦA MẶT CẮT NGANG PH ẲNG 4.1. KHÁI NIỆM CHUNG Khi nghiên cứu khả năng chịu lực của thanh chịu kéo, nén đúng tâ m, ta nhận thấy với cùng một loại vật liệu,. 4.8). y T ừ hình 4.8, ta có: dF = b(y)dy dF 75 y nhưng y = Rsin => dy= Rcosd A b(y) = 2Rcos => dF = 2R 2 cos 2 d / 2 b(y) O (4- 5) =>S x = R sin.2R 2 cos 2 d 0 =>. 2 F 2 3a(6a ) 2 6 F 3 F 4 2 a(3a) 2 3 2 4 3 S x = 90a 3 x C = 0 3a 3 a x S x c 90a 3 180a 5a 5 a F 42 9 a 2 84 9 Hình 4.9 Tính mô men t ĩ nh và tung độ trọng tâm m ặ t 2 ắt