Bài giảng Sức bền vật liệu – Chương 7 (Lê Đức Thanh)

Bài giảng Sức bền vật liệu – Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng được biên soạn với mục tiêu giúp các bạn nắm được những kiến thức về khái niệm chung uốn phẳng thanh thẳng; uốn thuần túy phẳng; thiết lập công thức tính ứng suất; hình dáng hợp lý của mặt cắt ngang; uốn ngang phẳng; kiểm tra bền dầm chịu uốn ngang phẳng; quỹ đạo ứng suất chính...

GV: Lê đức Thanh Chương UỐN PHẲNG THANH THẲNG 7.1 KHÁI NIỆM CHUNG ♦ Thanh chịu uốn có P2 trục bị uốn cong dưói tác dụng ngoại lực Thanh có trục nằm ngang chịu uốn gọi dầm (Thanh có trục thẳng đứng gọi cột) P3 02 P1 P5 01 π P4 ♦ Ngoại lực: Lực tập trung P, H.7.1 Tải trọng tác dụng lên dầm lực phân bố q tác dụng vuông góc với trục dầm hay momen (ngẫu lực) M nằm mặt phẳng chứa trục dầm (H.7.1) ♦ Mặt phẳng tải trọng: Mặt phẳng ( π ) chứa ngoại lực trục dầm Đường tải trọng: Giao tuyến mặt phẳng tải trọng với mặt cắt ngang ♦Giới hạn toán: + Chỉ khảo sát mặt cắt ngang có trục đối xứng Trục đối xứng nầy trục hợp thành mặt phẳng đối xứng Tải trọng nằm mặt phẳng đối xứng Mặt phẳng tải trọng trùng mặt phẳng đối xứng, Đường tải trọng trục đối xứng mặt cắt ngang Trục dầm sau bị cong nằm mặt phẳng ( π )được gọi uốn phẳng + Mặt cắt ngang dầm có chiều rộng bé so với chiều cao ♦ H.7.3 ,7.4,7.5 : giới thiệu số loại dầm đơn giản thường gặp _ http://www.ebook.edu.vn Chương 7: Uốn phẳng thẳng GV: Lê đức Thanh P q b) a P b M L c) a) H.7.3 Caùc loại dầm: a) Dầm đơn giản b) Dầm chèn kẹp; c) Dầm có đầu mút thừa P P a) a L-2a a P b) A B A B + _ a) Q B P c) M Pa Pa H.7.4 Daàm với vùng chịu uốn túy A b) B H.7.5 Dầm chịu uốn túy ♦ Nội lực: Tuỳ theo ngoại lực tác dụng mà mặt cắt ngang dầm có nội lực lực cắt Qy mômen uốn Mx ♦ Phân loại: Uốn túy phẳng: Nội lực có mômen uốn Mx=hằng số Uốn ngang phẳng : Nội lực gồm lực cắt Qy mômen uốn Mx ♦ Dầm H.7.4 có đoạn CD chịu uốn túy, dầm H 7.5 chịu uốn túy Đoạn dầm AC DB dầm H.7.4 chịu uốn ngang phẳng _ http://www.ebook.edu.vn Chương 7: Uốn phẳng thẳng GV: Lê đức Thanh 7.2 UỐN THUẦN TÚY PHẲNG 7.2.1 Định nghóa: Thanh chịu uốn túy phẳng mặt cắt ngang có nội lực Mx Dấu Mx : Mx > căng (kéo) thớ ( thớ y > ) dầm 7.2.2 Tính ứng suất mặt cắt ngang: Thí nghiệm quan sát biến dạng: H.7.6 a) Thanh trước biến dạng b) Sau biến dạng; c) Mặt cắt ngang sau biến dạng H 7.6 a) Thanh trước biến dạng b) Sau biến dạng; c) Mặt cắt ngang sau biến dạng Kẻ lên mặt thẳng chịu uốn H.7.6a, đường song song với trục tượng trưng cho thớ dọc đường vuông góc với trục tượng trưng cho mặt cắt ngang; đường tạo thành lưới ô vuông (H.7.6a) Sau biến dạng (H.7.6b), trục bị cong, đường thẳng song song với trục thành đường cong song song với trục thanh; đường vuông góc với trục vuông góc với trục thanh, nghóa góc vuông bảo toàn trình biến dạng Ngoài ra, quan sát thấy thớ bên dãn ra(bị kéo) thớ bên co lại (bị nén) Như thế, từ thớ bị dãn sang thớ bị co tồn thớ mà chiều dài không thay đổi trình biến dạng, gọi thớù trung hòa Các thớ trung hòa tạo thành lớp trung hòa Giao tuyến lớp trung hoà với mặt cắt ngang tạo thành đường trung hòa Vì mặt cắt ngang có chiều rộng bé nên đường trung hòa xem thẳng (H.7.6.c) _ http://www.ebook.edu.vn Chương 7: Uốn phẳng thẳng GV: Lê đức Thanh Mặt phẳng tải trọng Phần bị nén Lớp trung hoà z x y Phần bị kéo Đường trung hoà Đường tải trọng Sau biến dạng mặt cắt ngang 1-1 2-2 ban đầu cách đoạn vi phân dz cắt tâm cong O’ (H.7.7b) hợp thành góc dθ Gọi ρ bán kính cong thớ trung hòa, tức khoảng cách từ O’ đến thớ trung hòa Độ dãn dài tương đối thớ ab cách thớ trung hòa khoảng cách y cho bởi: εz = ab − 010 (ρ + y ) dθ − dz (ρ + y ) dθ − ρdθ y = = = = κy 01 dz ρ dθ ρ (a) đó: κ - độ cong dầm Hệ thức chứng tỏ biến dạng dọc trục dầm tỉ lệ với độ cong biến thiên tuyến tính với khoảng cách y từ thớ trung hòa O O1 M a dθ O2 y dz b M M a) Trùc biế n dạng O1 σ a ρ O2 bâ y σ M b) Sau bieán ng H.7.7 Đoạn dầm vi phân dz _ http://www.ebook.edu.vn Chương 7: Uốn phẳng thẳng GV: Lê đức Thanh Thiết lập công thức tính ứng suất: Mỗi thớ dọc dầm chịu kéo nén (các điểm mặt cắt ngang trạng thái ứng suất đơn) Định luật Hooke ứng với trạng thái ứng suất đơn cho ta: σ z = Eε z = Eκy (b) Ứùng suất pháp tác dụng mặt cắt ngang biến thiên bậc Mx Đường trung hoà y z σz y x dF H.7.8 Ứng suất pháp mô men uốn mặt cắt ngang dầm chịu uốn với khoảng cách y từ thớ trung hòa Xét hợp lực ứng suất pháp toàn mặt cắt ngang + Liên hệ σz vaø Nz ∫ F σ z dF = ∫ F EκyF = (định nghóa N z =0) (c) Vì độ cong κ môđun đàn hồi E số nên đem dấu tích phaân, ∫ ⇒ F ydF = (d) (d) cho thấy mômen tónh diện tích mặt cắt ngang trục trung hoà x không ⇔ trục trung hoà x qua trọng tâm mặt cắt ngang Tính chất cho phép xác định trục trung hoà mặt cắt ngang Nếu trục y trục đối xứng, hệ trục (x,y) hệ trục quán tính trung tâm + Liên hệ σz Mx đó: Mx = ∫ F Jx = ∫ F σ z ydF = κE ∫ y dF = κEJx F (e) y dF (g) mômen quán tính mặt cắt ngang trục trung hòa x Biểu thức (e) viết lại nhö sau: κ = ρ = Mx EJ x (7.1) EJx gọi độ cứng uốn dầm Thế(7.1) vào (b) ⇒ Công thức tính ứng suất pháp điểm mặt cắt ngang dầm: σz = Mx y Jx (7.2) Ứùng suất biến thiên bậc theo tung độ y.và y khoảng cách điểm tính ứng suất kể từ trục trung hoà x (M x y mang dấu đại số) _ http://www.ebook.edu.vn Chương 7: Uốn phẳng thẳng GV: Lê đức Thanh Công thức kỹ thuật: Nếu mômen uốn dương, dầm bị căng ( bị kéo ) thớ dưới, thớ bị nén Kết ngược lại mômen uốn âm Do thực hành, ta sử dụng công thức kỹ thuật để tính ứng suất, M σz = ± x | y | (7.3) Jx ta lấy: dấu (+) Mx gây kéo điểm cần tính ứng suất dấu (–) Mx gây nén điểm cần tính ứng suất 7.2.3 Biểu đồ ứng suất pháp - Ứng suất pháp cực trị: ♦ Biểu đồ ứng suất pháp: +Những điểm xa trục trung hòa có trị số ứng suất lớn +Những điểm có khoảng cách tới thớ trung hòa có trị số ứng suất pháp Biểu đồ phân bố ứng suất pháp đồ thị biểu diễn giá trị ứng suất điểm mặt cắt ngang *Trường hợp mặt cắt ngang có hai trục đối xứng (Hình tròn, chữ nhật ) cho H.7.9 *Trường hợp mặt cắt ngang có trục đối xứng (chữ I,U) cho H.7.10 Dấu (+) ứng suất kéo Dấu (-) ứng suất nén _ + _ http://www.ebook.edu.vn Chương 7: Uốn phẳng thẳng GV: Lê đức Thanh H 7.9 Biểu đồ ứng suất pháp cho mặt cắt có hai trục đối xứng _ + H 7.10 Biểu đồ ứng suất pháp cho mặt cắt có trục đối xứng ♦ Ứng suất pháp cực trị: Tính ng suất pháp kéo nén lớn mặt cắt ngang dầm điểm xa đường trung hòa k n Gọi ymax , ymax khoảng cách thớ chịu kéo thớ chịu nén xa đường trung hòa Khi ứng suất chịu kéo lớn σmax ứng suất chịu nén lớn σmin tính công thức: M M k σ max = x ymax = kx (7.4a) Jx Wx σ = Mx n = ymax Mx Jx Wxn J J Wxk = k x ; Wxn = n x ymax ' ymax với: (7.4b) (7.5) n k Các đại lượng Wx Wx gọi suất tiết diện mômen chống uốn mặt cắt ngang Trường hợp đặt biệt: Nếu trục x (trục trung hoà) trục đối xứng (mặt cắt chữ nhật, tròn, Ι,…) thì: k n ymax = ymax = đó: h Wxk = Wxn = Wx = 2J x h (7.6) ứng suất nén kéo cực đại có trị số nhau: σ max = σ = Mx Wx (7.7) ∗ Mặt cắt ngang hình chữ nhật với bề rộng b chiều cao h : _ http://www.ebook.edu.vn Chương 7: Uốn phẳng thẳng GV: Lê đức Thanh Jx = bh3 bh ; Wx = 12 (7.8) ∗ Mặt cắt ngang hình troøn: πd Jx = 64 ≈ 0,05d ; Wx = πd 32 ≈ 0,1d (7.9) ∗ Mặt cắt ngang hình vành khăn : đường kính D, trong, d Jx = πD 64 (1 − η ) ; Wx = πD 32 (1 − η ) với η = d/ D ∗ Mặt cắt ngang hình Ι, C: Tra bảng thép định hình Ý nghóa vật lý mômen chống uốn: mômen chống uốn lớn dầm chịu mômen uốn lớn 7.2.4 Điều kiện bền- Ba toán Điều kiện bền: + Dầm vật liệu dòn: [σ] k ≠ [σ] n ⏐σmin⏐≤ [σ] n σmax ≤ [σ] k + Dầm vật liệu dẻo: [σ] k = [σ] n = [σ] max ⏐σz⏐≤ [σ] Ba baøi toán bản: (7.10a) (7.10b) +Bài toán kiểm tra bền,(Đây toán thâûm kế.) +Bài toán chọn kích thước mặt cắt ngang,(bài toán thiết kế) +Bài toán chọn tải trọng cho phép.(bài toán sữa chữa,nâng cấp) Bài toán 1: Kiểm tra bền- Kiểm tra chịu lực có đảm bảo độ bền hay không Dùng (7.10a) hay (7.10b) để kiểm tra Thí dụ 7.1 Trên mặt cắt ngang dầm chữ T ngược (H.7.11), mômen uốn Mx = 7200 Nm Dầm làm vật liệu có ứng suất cho phép kéo nén khác nhau: ` [σ ]k = 20 MN/m2; [σ]n = 30 MN/m2 ` Mx 125 ` Kiểm tra bền biết rằng: Jx = 5312,5 cm4 O Giải x Ta có: ykmax = 75 mm= 7,5.10–2 m y n max –2 = 125 mm = 12,5.10 m 75 z y Dầm chữ T chịu uốn _ http://www.ebook.edu.vn Chương 7: Uốn phẳng thẳng H 7.11 GV: Lê đức Thanh Wxk = 5312,5 × 10 −8 Jx = = 708,3 × 10 − m k 7,5 × 10− ymax Wxn = 5312,5 × 10−8 Jx = = 425 × 10 − m3 −2 n 12,5 × 10 ymax σ max = Mx 7200 = = 10,20 × 106 N/m = 10,20 MN/m < [σ k ] 708,3 × 10− Wxk σ = Mx 7200 = = 17 × 106 N/m = 17 MN/m < [σ n ] n Wx 425 × 10− dầm đủ bền Bài toán 2: Chọn kích thước mặt cắt ngang cho dầm thỏa điều kiện bền Từ điều kiện bền tổng quát (7.10a,b) ⇒ mômen chống uốn kích thước mặt cắt ngang xác định Thí dụ 7.2 Cho dầm chịu lực H.7.12 Dầm làm hai thép chữ , Chọn số hiệu thép chữ  để dầm thỏa điều kiện bền Biết [σ ] = 16 kN/cm2 M = 60 KNm  Giải Dầm chịu uốn túy; mặt cắt x H.7.12 ngang dầm có mômen uốn Mx=60 kNm Áp dụng công thức (7.7) (7.10b) ta được: M = 60 kNm Wx ≥ M max 60.100 = = 375 cm [σ] 16 Tra bảng thép hình ta chọn  20 có Wx = × 184 = 368 cm3 Kiểm tra lại điều kiện bền ta có: σ max = M max 60.100 = = 16,3 kN/cm2 368 Wx sai số tương đối: 16,3 − 16 × 100% 16 = 1,9% ; dầm đủ bền Chọn  20 Bài toán 3: Định tải trọng cho phép [P] để dầm thỏa điều kiện bền Thí dụ 7.3 Một dầm gang có mặt cắt ngang H.7.13 Xác định trị số mômen uốn cho phép(mômen có chiều hình vẽ) Biết: [σ ] κ = 1,5 kN/cm2 Hỏi với trị số mômen uốn cho phép đó, ứng suất nén lớn dầm bao nhiêu? Cho bieát Jx = 25470 cm4 _ http://www.ebook.edu.vn Chương 7: Uốn phẳng thẳng GV: Lê đức Thanh Giải Từ điều kiện bền σ max = ⇒ [M x ] = [σ k ] Mx Jx k = ymax Mx ≤ [σ] k Wxk M Jx 25470 = 1,5 × = 3537,5 kNcm k ymax 10,8 192mm x 108mm Tương ứng ta có: σ = − [M x ] y n max Jx =− 3537,5 × 19,2 = − 2,67 kN/cm 25470 z y H.7.13 7.2.5 Hình dáng hợp lý mặt cắt ngang Hình dáng hợp lý cho khả chịu lực dầm lớn đồng thời tốn vật liệu Điều kiện: σ max = Mx Jx k y max = σ k Lập tỉ số ứng suất : - Nếu vật liệu dòn: α < : , σ k y max n y max σ k = = Mx Jx [σ ]k σ n pσ n n y max = σ n =α k n neân y max p y max Ta chọn mặt căùt ngang không đối xứng qua trục trung hoà k n - Nếu vật liệu dẻo: α =1 nên y max = y max Ta chọn mặt căùt ngang đối xứng qua trục trung hoà Theo biểu đồ ứng suất ta thấy gần trục trung hoà ứng suất nhỏ, nên vật liệu làm việc điểm xa trục trung hòa, thường cấu tạo hình dáng mặt cắt cho vật liệu xa trục trung hòa ví dụ hình chữ I,U,vành khăn ,hình rỗng… _ http://www.ebook.edu.vn 10 Chương 7: Uốn phẳng thẳng GV: Lê đức Thanh Theo thuyết bền biến đổi hình dáng (TB 4): τ max ≤ [τ] = [σ] (7.23) + Dầm vật liệu dòn: sử dụng thuyết bền Mohr (TB 5): [ σ] 1+m [σ k ] m = [σ n ] (7.24) τ max ≤ [τ] = đó: (7.25) c) Phân tố trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt: -Xét mặt cắt có mômen uốn Mx lực cắt Qy lớn,(có thể nhiều mặt cắt) -Chọn điểm nguy hiểm mặt cắt để có σ z τ zy tương đối lớn (chỉ cần kiểm tra nơi nguy hiểm nơi tiếp giáp lòng đế mặt cắt chữ Ι, chữ C…)chỗ thay đổi tiết diện Các ứng suất phân tố tính công thức quen thuộc: σz = Mx y Jx τ zy = Qy S xc J x bc -Tính ứng suất phân tố σ 1,3 = σ ± σ + 4τ 2 Điều kiện bền (chương 5): + Dầm làm vật liệu dẻo: Theo TB 3: (7.26) Theo TB 4: σ t4 = σ t = σ1 − σ = σ 2z + τ 2zy ≤ [σ] σ 2z + 3τ 2zy ≤ [σ] (7.27) + Dầm làm vật liệu dòn: Duøng TB σ t5 = 1−m 1+ m σz + σ 2z + 4τ2zy ≤ [σ] 2 (7.28) Từ có ba toán bản: Bài toán 1: Kiểm tra bền Bài toán 2: Chọn kích thước mặt cắt ngang Dựa vào điều kiện bền phân tố trạng thái ứng suất đơn để chọn sơ kích thước mặt cắt ngang dầm Sau đó, tiến hành kiểm tra bền phân tố trạng thái ứng suất khác Nếu không đạt thay đổi kích thước mặt cắt ngang Bài toán 3: Định tải trọng cho phép Từ điều kiện bền phân tố trạng thái ứng suất đơn, xác định sơ tải trọng cho phép sau tiến hành kiểm tra bền phân tố lại _ http://www.ebook.edu.vn 20 Chương 7: Uốn phẳng thẳng GV: Lê đức Thanh Thí dụ 7.9 Cho dầm có mặt cắt ngang chịu lực hình vẽ 1/ Vẽ biểu đồ Mx Qy 2/ Tính ứng suất pháp ứng suất tiếp lớn mặt cắt m-m (bên trái c) 3/Tính ứng suất điểm K(mặt cắt tiếp giáp lòng đế)mặt m-m, Theo TB3 3ql m q ql A B m ql qa qL L H D C L L 3L 11 qa 15 qL 7,6cm 8cm X 4,4cm 4cm 13 qL 3cm Y 12cm 3cm 11 qL _ 13 qL qL J X = 1388,4 cm ql ql 17 qL Tại mặt cắt m-m cónội lực : M x = Qy = 17 17 qa = × 10 × × = 42,5kN − m 4 11 11 qL = × 10 × = 27,5kN 4 k n y max = 4,4, cm, y max = 7,6cm σ mmax −m = Mx k 4250 y max = × 4,4 = 13,47kN / cm Jx 1388,4 _ http://www.ebook.edu.vn 21 Chương 7: Uốn phẳng thẳng GV: Lê đức Thanh σ mmin −m = − τ m−m max = Mx n 4250 y max = − × 7,6 = −23,26kN / cm Jx 1388,4 Q y S xc Jxb c , với = 0,572 kN / cm 7,6 ⎞ ⎛ S XC = ⎜ 2(3 × 7,6 × ) ⎟ = 173,28cm ⎠ ⎝ Tính ứng suất K τk = 27,5 × 158,4 = 0,174cm , 1388,4 × 18 σ kz = ( ) S xc 18 × × 2,2cm = 158,4cm 4250 × (4,4 − ) = 1,22 kN/cm 1388,4 Theo thuyết bền 3: σ t = σ K2 + 4τ K2 = (1,22)2 + 4(0,74) = 2,22kN / cm Thí dụ 7.6 Xác định kích thước mặt cắt ngang hình chữ nhật , cho[σ ] = kN/cm2., L=1m ,h=2b Tính τ max q=2kN/m A h=2b B P=3qa L L b qa + qa 2qa qa 2 qa σ max = M x ,max W qa × × × 100 × = = ≤1 b × h2 b × (2b) ⇒ b=7cm,h=14cm _ http://www.ebook.edu.vn 22 Chương 7: Uốn phẳng thẳng GV: Lê đức Thanh τ max = 1,5 Qy F = 1,5 × 2qa 1,5 × × × = = 0,06 kN / cm × 14 98 Thí dụ 7.7 Xác định số hiệu mặt cắt ngang theo yêu cầu độ bền, [σ ] = 16 kN/cm2 zo 60 kN 60 kN 6m 1m b h/2 1m d t 60 kN h/2 Qy A 60 kN t 60 kNm Mx H.7.22 H.7.21 Giải Mô men uốn cực đại lực cắt cực đại xảy mặt cắt tác dụng tải trọng: Mmax = 60 kNm; Qmax = 60 kN Mô men chống uốn cần thiết là: Wx = M x ,max [σ ] = 6000 = 375cm 16 Tra bảng thép hình mặt cắt [ OCT 8240-56 ta chọn 2[22 với: [22 có d = 5,3 mm, F = 26,7 cm2; Wx = 193 cm2; Sx = 111 cm3; Jx = 2120 cm4; h = 22 cm; t = 0,96 cm; b = 8,2 cm Kieåm tra bền thép hình chọn: * Phân tố trạng thái ứng suất đơn: đương nhiên thỏa * Phân tố trạng thái ứng suất trượt tuý: mặt cắt có: Qy,max = 60 kN _ http://www.ebook.edu.vn 23 Chương 7: Uốn phẳng thẳng GV: Lê đức Thanh τ max = Q y S xc I xbc với ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ S xc = S x = × 111 cm3 J x = × 2120 cm4 b c = 2d = × 0,53 cm Qy = 60 kN 60 × × 111 Suy ra: τ max = × 2120 × × 0,53 = 2,96 kN/cm Theo thuyết bền ứng suất tiếp cực đại: [τ ] = [σ ] = 16 = 8kN/cm2 > τ max 2 phân tố thỏa điều kiện bền * Phân tố trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt: phân tố nơi tiếp giáp lòng đế mặt cắt nầy có: M x ,max = 60 kNm σ xA = vaø Q y ,max = 60 kN 6000 × (11 − 0,96) = 14,21 kN/cm2 × 2120 0,96 ⎞ ⎛ S xc = × 8,2 × 0,96 × ⎜11 − ⎟ = 165,626 cm ⎠ ⎝ τA = 60 × 165,626 = 2,21 kN/cm 2 × 2120 × × 0,53 Theo thuyết bền ứng suất tiếp cực ñaïi: σ t = σ A2 + 4τ A2 = (14,21)2 + 4(2,21) = 14,38kN / cm phân tố thỏa điều kiện bền Kết luận: Chọn [ 22 Thí dụ 7.8 Xác định tải trọng cho phép [P] dầm cho H.7.25 Cho: a = 80 cm, [σ ] = 16 kN/cm2 Giaûi 2øP P ♦ Biểu đồ lực cắt Qy mômen uốn Mx a (H.7.25) Mặt cắt nguy hiểm có: Mx = Pa vaø Qy = P a 2øa 5/4P 10 P/4 Mặt cắt I 10 có:h = 10 cm; Jx = 198 cm4 Wx = 39,7cm3; Sx = 23cm3 , 7/4P Qy _ Mx http://www.ebook.edu.vn 24 Chương 7: Uốn phẳng thẳng 5/4Pa 7/4Pa GV: Lê đức Thanh d = 0,45 cm; t = 0,72 cm; b = 5,5 cm ♦ Từ điều kiện bền phân tố TTỨS đơn nguy hiểm ta coù: Pa ≤ [σ] 4Wx ⇒ P ≤ 16 × 39,7 [σ]Wx = × = 4,537 kN 80 a Ta choïn [P] = 4,53 kN ♦ Với trị số P chọn, ta kiểm tra bền phân tố lại TTỨS trượt túy TTỨS phẳng đặc biệt ++ Phân tố TTỨS trượt túy ; trục trung hòa mặt cắt có: 7 P = × 4,53 = 7,923 kN 4 4,53 × 23 [σ ] = × = 2,046 kN/cm < [τ] = = kN/cm 198 × 0,45 Qy = ⇒ τ max ⇒ phân tố thỏa điều kiện bền ++ Phân tố TTỨS phẳng đặc biệt; nơi tiếp giáp lòng đế mặt cắt có: 7 P = 7,923 kN M x = Pa = × 4,53 × 0,8 = 6,342 kNm vaø Qy = 4 S′xc = 5,5 × 0,72 × τ zy (10 − 0,72) = 18,37 cm × 4,53 × 18,37 = = 1,634 kN/cm 198 × 0,45 σz = 634,2 ⎛ 10 ⎞ ×⎜ − 0,72 ⎟ = 13,71 kN/cm2 198 ⎝ ⎠ Theo thuyết bền ứng suất tiếp cực đại: σ t3 = σ 2z + 4τ 2zy = (13,71)2 + × (1,634)2 = 14,09 kN/cm2 < [σ] = 16 kN/cm2 ♦ Kết luận: Tải trọng cho pheùp [P] = 4,53 kN _ http://www.ebook.edu.vn 25 Chương 7: Uốn phẳng thẳng GV: Lê đức Thanh Thí du ï7.10:Cho dầm ABC chịu lực hình vẽ Định [q] cho[σ ] = 16 kN/cm2 [ τ ]=9kN/cm2 16 × 1cm 2ql q 2ql ql A B 4l l l 2,2ql 2,2ql N 20 H Y 16 × 1cm 4,8ql + + 1,8ql 3,8ql 3ql2 0,8ql ql h=20cm,b=0,76cm d =0,72cm,t=0,9cm + X C JX=1520cm4 ,WX=152cm3 SX=87,8cm3, ql2 2,42ql2 Tính: J X = 2( Max σ z = M xmax Wx 16 × 13 12 + (10 , ) × 16 × ) + J x = 6570 cm ≤ [σ ] , với Wx = J X 6570 = = 597,3cm H 11 _ http://www.ebook.edu.vn 26 Chương 7: Uốn phẳng thẳng GV: Lê đức Thanh ⇒ [q] ≤ [σ ]×2Wx 3l = 16 × 597,3 = 14,2kN / m , với 3(1,5) M xmax = 3ql Kiểm tra lại ứng suất tiếp với q vừa tìm S xc = S x + (16 × × 10 ,5) cm τ max = Qy S xc J x bc = 4,07 kN / cm ≤ [τ ] , với J x = 6570 cm , l = 1,5 m b c = d = × 0,52 cm Q y = 3,8ql = 3,8 × 14,2 × 1,5 = 80,94kN _ http://www.ebook.edu.vn 27 Chương 7: Uốn phẳng thẳng GV: Lê đức Thanh 7.5 Q ĐẠO ỨNG SUẤT CHÍNH Trong phần bên xác định trị số ứng suất phân tố mà chưa đề cập đến phương chúng Những kết đạt tốt vật liệu có ứng suất cho phép kéo nén Tuy nhiên, vật liệu bê tông cốt thép, việc xác định phương ứng suất điểm cần thiết, để từ đặt cốt thép gia cường theo phương Ta xác định phương ứng suất thông qua vòng tròn Mohr Giả sử σα τα thành phần ứng suất pháp ứng suất tiếp mặt phẳng vuông góc với trục dầm có trị số dương: σα = + σ z = Qy S xc Mx y vaø τ α = + τ zy = Jx J xb c Phương σ3 N Phương σ1 M σ3 τ B C −τ A σβ = τβ = τzy σ σ1 σa = σz τα = τzy τ P zy τ H 7.26 Sau vẽ vòng tròn Mohr ứng suất nhận thấy phương phương nối từ điểm cực P(0,+τzy) với hai điểm A B hai đầu đường kính vòng tròn Mohr: PA phương ứng suất σ1, PB phương ứng suất σ3 H.7.26 cho thấy, vòng tròn Mohr ứng suất phương nhiều điểm khác mặt cắt ngang Ta giả sử mômen uốn lực cắt mặt cắt mang dấu dương Ứng suất thay đổi với biên mặt cắt ngang Gần biên, ứng suất không, ứng suất có phương song song với trục dầm; trục trung hoà, ứng suất có phương hợp với trục dầm góc 45o Bằng phương pháp tương tự, ta xác định phương ứng suất nhiều điểm dầm (H.7.27) Ta vẽ đường cong có tiếp tuyến _ http://www.ebook.edu.vn 28 Chương 7: Uốn phẳng thẳng GV: Lê đức Thanh phương ứng suất gọi đường quỹ đạo ứng suất dầm chịu uốn Các quỹ đạo hợp thành hai họ đường cong vuông góc nhau, họ quỹ đạo ứng suất kéo họ quỹ đạo ứng suất nén Các phương ứng suất tùy thuộc vào loại tải trọng điều kiện biên dầm Trên H.7.28, quỹ đạo ứng suất kéo biểu diễn đường nét đậm quỹ đạo ứng suất nén biểu diễn đường nét đứt Người ta thường dùng phương pháp thực nghiệm để xác định quỹ đạo ứng suất phương pháp quang đàn hồi, phương pháp dùng sơn dòn σ σ3 σmin σmin B σ C τ σ σ E τmax τ τ τ σ C D τmax Mx Phương nén σ3 C τ σ τmax τ σ C σ Qy τ Phương nén σ3 Phương kéo σ1 τ σ C σmax A Phương kéo σ1 σmax σ C Phương nén σ3 τ σ Phương kéo σ1 σ1 τ H.7.25 q A B l H 7.28 Quỹ đạo ứng suất dầm tựa đơn chịu tải phân bố 7.6 THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI CỦA DẦM CHỊU UỐN PHẲNG _ http://www.ebook.edu.vn 29 Chương 7: Uốn phẳng thẳng GV: Lê đức Thanh Trong chương TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT, ta có công thức tính riêng biến dạng đàn hồi phân tố là: u= [ ] U = σ + σ 22 + σ 32 − μ (σ 1σ + σ 2σ + σ 3σ ) V 2E (7.29) Trường hợp dầm chịu uốn ngang phẳng, trạng thái ứng suất phân tố phẳng nên thành phần ứng suất không, σ2 chẳng hạn, biểu thức riêng biến dạng đàn hồi có dạng: u= [ dU = σ + σ 32 − 2μσ 1σ dV E ] (7.30) đó: σ1 σ3 ứng suất suy từ σz τzy theo công thức: σ1 = σz ⎛σ ⎞ + ⎜ z ⎟ + τ 2zy ⎝ ⎠ σ3 = σz ⎛σ ⎞ − ⎜ z ⎟ + τ2zy ⎝ ⎠ (7.31) (7.32) thay vaøo (7.30) ⇒ ⎤⎫ ⎡⎛ σ z ⎞2 ⎛ σ z ⎞ ⎤ ⎡⎛ σ z ⎞ ⎧⎪ ⎛ σ z ⎞ 2 ⎪ u= ⎨2 ⎜ ⎟ + ⎢⎜ ⎟ + τ zy ⎥ − μ ⎢⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ − τ zy ⎥ ⎬ E ⎪⎩ ⎝ ⎠ ⎢⎣⎝ ⎠ ⎦⎥ ⎪⎭ ⎣⎢⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦⎥ rút gọn ta được: u= σ z2 2E + τ zy2 2(1 + μ ) ⋅ (7.33) E Ngoài ra, số vật liệu E, G, μ tồn hệ thức sau: G= E 2(1 + μ ) (7.34) thay vào (7.33) rút gọn, cuối ta được: u = σ 2z τ zy + E 2G (7.35) thay biểu thức σz τzy (7.2) (7.11) ta được: u= ( ) ( ) Qy2 S xc M x2 + y EJ x2 2GJ x2 b c 2 (7.36) Thế biến dạng đàn hồi đoạn dz là: _ http://www.ebook.edu.vn 30 Chương 7: Uốn phẳng thẳng GV: Lê đức Thanh ⎡ ⎛ M2 Qy2 ⋅ (S xc ) ⎞⎟ ⎤ x ⎜ dU = ∫ udz.dF = dz ∫ udF = dz ⎢ ∫ y + dF ⎥ c ⎟ F ⎢ F ⎜ EJ x2 ⎥ ( ) GJ b x ⎠ ⎦ ⎣ ⎝ với: ∫ F F J x2 (a) y dF = J x ta ký hiệu: (S ) ∫ (b ) c x c F (b) dF = η Qy2 M x2 dz + η dz EJ x 2GF ta được: dU = (c) Do đó, biến dạng đàn hồi với chiều dài L là: U =∫ L o M x2 dz + EJ x ∫ L o η Qy2 2GF (7.37) dz Với có độ cứng thay đổi đoạn hay luật biến thiên Mx Qy thay đổi đoạn thanh, công thức rút gọn lại: n U = ∑∫ i =1 Li n Li Qy2 M x2 dz + ∑ ∫ η dz EJ x 2GF i =1 (7.38) đó: Li - chiều dài đoạn thanh, n - số đoạn η − hệ số điều chỉnh phân bố không ứng suất tiếp Bằng cách áp dụng công thức tính η ta tính hệ số số tiết diện thông thường - Mặt cắt ngang hình chữ nhật: η = 1,2 - Mặt cắt ngang hình tròn: η = 10 / - Mặt cắt ngang chữ Ι: η = F / Flòng đó: F - diện tích toàn mặt cắt Flòng diện tích phần lòng (phần bụng) chữ Ι 7.7 DẦM CHỐNG UỐN ĐỀU z P A Trong trường hợp dầm có mặt cắt ngang không đổi, ta chọn kích thước theo mặt cắt có mô men uốn lớn Cách sử dụng vật liệu chưa hợp lý ứng suất điểm nguy hiểm mặt cắt có mô men uốn P/2 l/2 l/2 Pl/4 H 7.29 _ http://www.ebook.edu.vn 31 Chương 7: Uốn phẳng thẳng P/2 GV: Lê đức Thanh lớn đạt đến trị số ứng suất cho phép ứng suất điểm nguy hiểm mặt cắt khác nhỏ nhiều so với ứng suất cho phép Như ta chưa sử dụng hết khả chịu lực vật liệu mặt cắt khác Để tiết kiệm vật liệu ta phải tìm hình dáng hợp lý dầm cho ứng suất điểm nguy hiểm mặt cắt ngang đạt đến giá trị ứng suất cho phép Dầm có hình dáng gọi dầm chống uốn Ta xét vài thí dụ cụ thể sau Giả sử, ta có dầm chịu lực hình vẽ (H.7.29), mô men uốn Mx lực cắt Qy mặt cắt 1-1 cách gối tựa A bên trái khoảng cách có trị số là: p z p Qy = Mx = Giả thiết mặt cắt ngang có hình dáng hình tròn Như trị số ứng suất pháp lớn mặt cắt tính với công thức: σ max = Mx P.z = Wx 0,1d Với điều kiện ứng suất cực đại mặt cắt đạt tới trị số ứng suất cho phép [σ], ta tìm luật biến thiên đường kính d theo biến số z sau: d= p.z 0,1[σ ] d1 (a) H 7.30 Như hình dáng phải có dạng đường nét đứt hình vẽ (H 7.30) Ta thấy hai đầu mút, mặt cắt có diện tích không, điều hoàn toàn phù hợp với điều kiện biến thiên mô men uốn, mô men uốn không Song, không thoả mản điều kiện bền lực cắt Qy Quả vậy, mặt cắt dầm ta có trị số lực cắt Qy = lực cắt sinh ứng suất tiếp lớn τ max = P Qy Vì diện tích mặt F cắt cần phải đủ để chịu cắt Do phải chọn đường kính với điều kiện: _ http://www.ebook.edu.vn 32 Chương 7: Uốn phẳng thẳng GV: Lê đức Thanh τ max = Qy ≤ [τ ] F ⇔ đường kính có trị số bé phải là: d = d1 = Qy [τ ] π (b) Vì điều kiện chế tạo, khó gia công để có hình dáng đường cong biểu diễn theo biểu thức (a), nên thực tế người ta thường làm trục hình bậc, nghóa đường kính mặt cắt thay đổi đoạn một, gần sát với đường chống uốn (H 7.31) Các lò xo có sơ đồ chịu lực (H.7.31), thường ghép thép (H.7.32) Các thép ghép theo hình dáng dầm chống uốn đều, hình dáng làm lò xo có trọng lượng nhỏ chuyển vị lớn Loại lò xo thường dùng làm díp trục bánh xe H 7.31 H 7.32 Đối với dầm có sơ đồ chịu lực (H.7.33), chiều cao dầm không đổi dầm chống uốn có hình dáng (H 7.34) Mặt cắt đầu tự có diện tích khác không dầm chịu lực cắt Diện tích xác định tuỳ theo trị số lực cắt H 7.33 H 7.34 _ http://www.ebook.edu.vn 33 Chương 7: Uốn phẳng thẳng GV: Lê đức Thanh BÀI TẬP CHƯƠNG 7.1 Xác định chiều dài nhịp lớn cho dầm tựa đơn có mặt cắt ngang hình chữ nhật (140 mm × 240 mm) chịu tác dụng tải phân bố cường độ q = 6,5 kN/m ứng suất cho phép 8,2 MPa (trọng lượng dầm kể q Trả lời: 3,68 m 7.2 Một dầm thép mặt cắt ngang hình chữ I tựa đơn có hai đầu mút thừa H.7.2 Dầm chịu tác dụng lực phân bố cường độ q = 10 kN/m đầu mút thừa Giả sử mặt cắt ngang chữ Ι có số hiệu 16 có mômen chống uốn (hay suất tiết diện) 109 cm3 Xác định ứng suất pháp cực đại dầm uốn, σmax q q = 10 kN/m 2m q = 10 kN/m 4m 2m H 7.2 7.3 Một dầm gỗ ABC có mặt cắt ngang hình vuông cạnh b, tựa đơn A B chịu tải trọng phân bố q = 1,5 kN/m phần mút thừa BC (H.7.3) Tính cạnh hình vuông b, giả sử chiều dài nhịp L = 2,5 m ứng suất cho phép [σ] = 12 MPa Hãy kể đến trọng lượng riêng dầm biết trọng lượng riêng gỗ γ = 5,5 kN/m3 q = 1,5 kN/m A L = 2,5 m b C B L = 2,5 m H 7.3 b 7.4 Một máng nước có mặt cắt ngang H.7.4 Máng đặt lên hai cột cách m Vật liệu làm máng có trọng lượng riêng γ = 18 kN/m3 Hỏi chứa đầy nước ứng suất pháp ứng suất tiếp cực đại bao nhieâu? 16 12 H 7.4 _ http://www.ebook.edu.vn 34 Chương 7: Uốn phẳng thẳng ... bản: (7. 10a) (7. 10b) +Bài toán kiểm tra bền, (Đây toán thâûm kế.) +Bài toán chọn kích thước mặt cắt ngang, (bài toán thiết kế) +Bài toán chọn tải trọng cho phép. (bài toán sữa chữa,nâng cấp) Bài toán... Kiểm tra bền- Kiểm tra chịu lực có đảm bảo độ bền hay không Dùng (7. 10a) hay (7. 10b) để kiểm tra Thí dụ 7. 1 Trên mặt cắt ngang dầm chữ T ngược (H .7. 11), mômen uốn Mx = 72 00 Nm Dầm làm vật liệu có... ] 70 8,3 × 10− Wxk σ = Mx 72 00 = = 17 × 106 N/m = 17 MN/m < [σ n ] n Wx 425 × 10− dầm đủ bền Bài toán 2: Chọn kích thước mặt cắt ngang cho dầm thỏa điều kiện bền Từ điều kiện bền tổng quát (7. 10a,b)