Bài giảng Cơ học vật liệu - Chương 3: Xoắn thuần túy

• Sự phân bố ứng suất tiếp không thể xác định được bằng tĩnh học đơn thuần – cần phải xét đến các biến dạng của trục.. • Không giống như ứng suất pháp do tải trọng dọc trục gây ra, sự ph[r]

3 Xoắn túy Nội dung Giới thiệu Trục siêu tĩnh Tải trọng xoắn các trục tròn Bài tập ví dụ 3.4 Ứng suất tiếp mô men xoắn gây Thiết kế trục truyền Các thành phần ứng suất tiếp dọc trục Tập trung ứng suất Biến dạng trục Biến dạng dẻo Biến dạng trượt Vật liệu đàn dẻo Ứng suất miền đàn hồi Ứng suất dư Ứng suất pháp Ví dụ 3.08/3.09 Các dạng phá hỏng xoắn Xoắn các trục không tròn Bài tập ví dụ 3.1 Trục rỗng thành mỏng Góc xoắn miền đàn hồi Ví dụ 3.10 3-2 Tải trọng xoắn các trục tròn • Nghiên cứu các ứng suất và biến dạng trục tròn chịu các ngẫu lực xoắn mô men xoắn • Động tác dụng mô men xoắn T lên trục • Trục truyền mô men xoắn đến tuabin • Tua-bin tạo mô men xoắn và ngược chiều T’ 3-3 Ứng suất tiếp mô men xoắn gây • Hợp lực ứng suất là mô men xoắn nội lực, và ngược chiều với mô men xoắn ngoại lực, T    dF     dA • Mặc dù ứng suất tiếp mô men xoắn gây có thể xác định phân bố ứng suất thì không • Sự phân bố ứng suất tiếp không thể xác định tĩnh học đơn – cần phải xét đến các biến dạng trục • Không giống ứng suất pháp tải trọng dọc trục gây ra, phân bố ứng suất tiếp mô men xoắn gây không thể giả thiết là 3-4 Các thành phần ứng suất tiếp dọc trục • Mô men xoắn tác dụng lên trục gây ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang • Các điều kiện cân đòi hỏi phải tồn các ứng suất có cùng giá trị trên mặt chứa đường tâm trục • Sự tồn ứng suất phương dọc trục biểu thị cách coi trục tạo thành từ các dọc trục Các trượt với có mô men xoắn cùng giá trị và ngược chiều tác dụng đầu Nhưng trục đồng chất thì không  có xu hướng trượt  phải tồn ứng suất tiếp 3-5 Biến dạng trục • Theo quan sát, góc xoắn trục tỉ lệ với mô men xoắn tác dụng và chiều dài trục  T L • Khi chịu xoắn, mặt cắt ngang trục tròn phẳng và không biến dạng • Các mặt cắt ngang trục tròn rỗng và đặc phẳng và không biến dạng vì trục tròn có tính chất đối xứng trục • Các trục có mặt cắt ngang không tròn (không đối xứng trục) bị biến dạng (vênh) chịu xoắn 3-6 Biến dạng trượt • Xét mặt cắt trên trục Khi tác dụng mô men xoắn, phân tố hình lập phương trên chu vi biến dạng thành hình thoi • Vì các mặt bên phân tố phẳng, nên biến dạng trượt góc xoắn • Theo đó có  L   hay   L • Biến dạng trượt tỉ lệ với góc xoắn và bán kính  max  c  &    max L c 3-7 Ứng suất miền đàn hồi • Nhân biểu thức trên với mô đun đàn hồi trượt, G   c G max Theo định luật Húc,   G , ta có     max c Ta thấy ứng suất tiếp biến thiên tuyến tính với bán kính trên mặt cắt ngang J  12  c • Nhớ tổng mô men phân bố ứng suất có giá trị mô men xoắn trên mặt cắt ngang,   T    dA  max   dA  max J c c  J  12  c24  c14  • Các kết này xem là các biểu thức xoắn đàn hồi,  max  Tc T &  J J 3-8 Ứng suất pháp • Các phân tố có các mặt song song và vuông góc với đường tâm trục chịu ứng suất tiếp Ứng suất pháp, ứng suất tiếp kết hợp có thể xác định theo các định hướng khác • Xét phân tố hợp với đường tâm trục góc 45o, F  2 max A0 cos 45   max A0  45o  F  max A0    max A A0 • Phân tố a chịu cắt (trượt) túy • Phân tố c chịu ứng suất kéo trên mặt và ứng suất nén trên mặt còn lại • Lưu ý tất các ứng suất cho các phân tố a và c có cùng độ lớn 3-9 Các dạng phá hỏng xoắn • Các vật liệu dẻo thường bị phá hỏng cắt Vật liệu dòn chịu kéo kém cắt • Khi chịu xoắn, vật liệu dẻo bị phá hỏng theo mặt phẳng có ứng suất tiếp lớn nhất, tức là mặt cắt ngang • Khi chịu xoắn, vật liệu dòn bị phá hỏng theo mặt phẳng vuông góc với phương có ứng suất kéo lớn nhất, tức là theo mặt hợp với đường tâm trục góc 45o - 10 Bài tập ví dụ 3.1 HƯỚNG GIẢI: • Dùng các mặt phẳng cắt qua các đoạn trục AB, BC và CD để xác định mô men xoắn nội lực cho đoạn Trục truyền ABCD chịu lực hình vẽ Biết đoạn BC rỗng có đường kính và ngoài là 90 mm và 120 mm Các đoạn trục AB và CD đặc có đường kính d Xác định (a) ứng suất tiếp lớn và nhỏ trục BC, (b) đường kính cho phép d trục AB và CD ứng suất tiếp cho phép các đoạn trục là 65 MPa • Áp dụng các công thức cho xoắn đàn hồi để tìm ứng suất lớn và nhỏ trên trục BC • Từ biểu thức xoắn đàn hồi và ứng suất tiếp cho phép, tìm đường kính cho phép - 11 Bài tập ví dụ 3.1 LỜI GIẢI: • Dùng các mặt phẳng cắt trục qua các đoạn AB và BC và áp dụng các phương trình cân tĩnh học để tìm mô men xoắn nội lực  M x   6 kN  m   TAB  M x   6 kN  m   14 kN  m   TBC TAB  kN  m  TCD TBC  20 kN  m - 12 Bài tập ví dụ 3.1 • Áp dụng các biểu thức xoắn đàn hồi để tìm ứng suất lớn và nhỏ trục BC J   c24  c14   0.0604  0.0454  2  6  13.92 10  max    m TBC c2 20 kN  m 0.060 m   J 13.92 10 m • Từ giá trị ứng suất tiếp cho phép và mô men xoắn, xác định đường kính cho phép trục  max  Tc Tc  J  c4 65MPa  kN  m  c3 c  38.9 103 m d  2c  77.8 mm  86.2 MPa  c1   max c2  86.2 MPa   64.7 MPa  45 mm 60 mm  max  86.2 MPa   64.7 MPa - 13 Góc xoắn miền đàn hồi • Ta đã có mối quan hệ góc xoắn và biến dạng trượt lớn là,  max  c L • Trong miền đàn hồi, biến dạng trượt và ứng suất tiếp liên hệ với định luật Húc,  max   max G  Tc JG • Cân biểu thức trên ta có,  TL JG • Nếu tải trọng xoắn mặt cắt ngang trục thay đổi theo chiều dài, thì góc xoắn xác định là tổng góc xoắn đoạn: Ti Li i J i Gi   - 14 Bài toán xoắn siêu tĩnh • Cho trục chịu mô men xoắn và kích thước hình vẽ, xác định mô men xoắn phản lực A và B • Từ phương trình cân tĩnh học ta có: TA  TB  90 lb  ft ta thấy phương trình này không đủ để tìm mô men phản lực đầu Bài toán này gọi là bài toán siêu tĩnh • Chia trục thành phần, chúng phải có các biến dạng thích hợp, tức là:   1  2  TA L1 TB L2  0 J1G J 2G LJ TB  TA L2 J1 • Thay vào phương trình cân trên ta có: LJ TA  TA  90 lb  ft L2 J1 - 15 Bài tập ví dụ 3.4 HƯỚNG GIẢI: • Áp dụng phân tích cân tĩnh trên trục để tìm mối liên hệ TCD và T0 • Áp dụng các phân tích động học để liên hệ các góc xoay bánh • Tìm mô men xoắn cho phép tác dụng lên trục – chọn giá trị nhỏ Hai trục thép truyền chuyển động cho thông qua các bánh Biết • Tìm góc xoắn tương ứng cho trục trục có G = 11.2 x 106 psi và và góc xoắn thực đầu A ứng suất tiếp cho phép là ksi, xác định (a) mô men xoắn lớn T0 có thể tác dụng lên trục AB, (b) góc xoắn đầu A trục AB - 16 Bài tập ví dụ 3.4 LỜI GIẢI: • Áp dụng phân tích cân tĩnh trên trục để tìm mối liên hệ TCD và T0  M B   F 0.875in.  T0 • Áp dụng phân tích động học để liên hệ các góc xoay bánh rB B  rCC rC 2.45 in C  C rB 0.875in  M C   F 2.45 in.  TCD B  TCD  2.8 T0  B  2.8C - 17 Bài tập ví dụ 3.4 • Tìm T0 theo mô men lớn cho • Tìm góc xoắn cho trục và góc xoắn phép tác dụng lên trục – chọn thực đầu A giá trị nhỏ A / B   max  T  0.375 in. TAB c  8000 psi   J AB  0.375 in. T0  663 lb  in  max 2.8 T0  0.5 in. T c  CD  8000 psi   J CD 0.5 in   T0  561 lb  in T0  561lb  in 561lb  in 24in. TAB L  J ABG  0.375 in 4 11.2  106 psi    0.387 rad  2.22o C / D  TCD L 2.8 561lb  in 24in.  J CDG  0.5 in 4 11.2  106 psi   0.514 rad  2.95o     B  2.8C  2.8 2.95o  8.26o  A   B   A / B  8.26o  2.22o  A  10.48o - 18 Thiết kế các trục truyền • Các đặc tính kỹ thuật chủ yếu trục truyền là: - Công suất - Tốc độ • Người thiết kế phải chọn vật liệu chế tạo và mặt cắt ngang trục để thỏa mãn các đặc tính kỹ thuật mà không vượt quá ứng suất tiếp cho phép • Xác định mô men xoắn tác dụng lên trục theo tốc độ và công suất danh nghĩa, P  T   2 fT  T P   P 2 f • Thực tế hay dùng công suất truyền động P(kW) và tốc độ vòng quay trục n(vòng/phút), nên: T  9550 P  kW   N m  n  vòng phút  • Tìm mặt cắt ngang trục để ứng suất không vượt quá ứng suất tiếp cho phép, max  Tc J J  T  c  c max  trục đặc  J  4 T  c2  c1    c2 2c2 max  trôc rçng  - 19 Tập trung ứng suất • Công thức xoắn,  max  Tc J áp dụng cho trục tròn có mặt cắt ngang không đổi chịu tải trọng thông qua tuyệt đối cứng đặt đầu trục • Việc sử dụng các mặt bích, bánh và puly để lắp lên trục thông qua then, rãnh then, và mặt cắt ngang không liên tục có thể gây tập trung ứng suất • Hệ số tập trung ứng suất xác định thí nghiệm mô số  max  K Hệ số tập trung ứng suất vị trí bo tròn trục tròn chịu xoắn Tc J - 20 Biến dạng dẻo • Với giả thuyết vật liệu đàn hồi tuyến tính, ta có:  max  Tc J • Nếu giới hạn bền bị vượt quá vật liệu có đường cong ứng suất-biến dạng trượt phi tuyến, thì biểu thức này không còn đúng • Biến dạng trượt biến thiên tuyến tính không phụ thuộc vào các thuộc tính vật liệu Việc áp dụng đường cong ứng suất-biến dạng trượt cho phép xác định phân bố ứng suất • Tích phân các mô men từ phân bố ứng suất cân với mô men xoắn trên mặt cắt, c c 0 T    2 d   2   2 d - 21 Vật liệu đàn dẻo (Elastoplastic) • Tại giá trị mô men xoắn đàn hồi lớn nhất, có TY  J  Y  12 c3 Y c Y  L Y c • Khi mô men xoắn tăng lên, vùng dẻo (   Y ) phát triển xung quanh lõi đàn hồi (    Y ) Y Y  T L Y   c3 1  Y Y3   T 1  Y Y3    c  c3     Y3  T  TY 1       • Khi Y  , mô men xoắn tiến tới giá trị tới hạn, TP  43 TY  mo men xoan deo - 22 Ứng suất dư • Vùng dẻo phát triển trục nó chịu mô men xoắn đủ lớn • Khi thôi tác dụng mô men xoắn, giảm ứng suất và biến dạng điểm xảy theo đường thẳng đến giá trị ứng suất dư khác không • Trên đường cong T-, trục hạ tải theo đường thẳng đến góc lớn • Ứng suất dư xác định từ nguyên lý độc lập cộng tác dụng Tc   m J    dA  - 23 Ví dụ 3.08/3.09 LỜI GIẢI: • Giải công thức (3.32) để tìm Y/c và xác định bán kính lõi đàn hồi • Giải công thức (3.36) để tìm góc xoắn Một trục tròn đặc chịu mô men xoắn T  4.6 kN  m đầu Giả thiết trục làm vật liệu đàn dẻo với Y  150 MPa và G  77 GPa Xác định (a) bán kính lõi đàn hồi, (b) góc xoắn trục Khi mô men xoắn thôi tác dụng, hãy xác định (c) biến dạng xoắn vĩnh cửu, (d) phân bố ứng suất dư • Giải công thức (3.16) để tìm góc xoắn sau thôi tác dụng mô men xoắn Biến dạng dư là khác các góc xoắn và thôi xoắn • Tìm phân bố ứng suất dư xếp chồng ứng suất xoắn và thôi xoắn gây - 24 Ví dụ 3.08/3.09 LỜI GIẢI: • Giải công thức (3.36) để tìm góc xoắn • Giải công thức (3.32) để tìm Y/c và xác định bán kính lõi đàn hồi 3   Y T  43 TY 1  14    c    Y  T    c TY  J  12 c  12  25  103 m 9  614  10 m T c Y  Y J   TY  Y J c  150 106 Pa 614  109 m  TY        Y Y c   Y Y c   TY L 3.68 103 N 1.2 m  Y   JG 614  10-9 m 77 10 Pa    Y  93.4 103 rad 93.4 103 rad   148.3 103 rad  8.50o 0.630   8.50o 25  103 m  3.68 kN  m Y 4.6    4 3  c 68    0.630 Y  15.8 mm - 25 Ví dụ 3.08/3.09 • Giải công thức (3.16) để tìm góc xoắn sau thôi tác dụng mô men xoắn Biến dạng dư là khác các góc xoắn và thôi xoắn   TL JG • Tìm phân bố ứng suất dư xếp chồng ứng suất xoắn và thôi xoắn gây   Tc 4.6 103 N  m 25 103 m   max   J 614 10-9 m   187.3 MPa  4.6  103 N  m 1.2 m   6.14 109 m4 77 109 Pa   116.8  103 rad φp        116.8  103  116.8 103 rad  1.81o  p  1.81o - 26 Xoắn mặt cắt không tròn • Các công thức xoắn đã học đúng cho các trục tròn • Mặt cắt ngang phẳng các trục không tròn không còn phẳng và phân bố ứng suất-biến dạng không còn tuyến tính • Đối với các mặt cắt ngang hình chữ nhật, Các hệ số cho chữ nhật chịu xoắn  max  T c1ab2  TL c2ab3G • Với giá trị lớn a/b, ứng suất tiếp lớn và góc xoắn các mặt cắt hở tính giống mặt cắt chữ nhật - 27 Trục rỗng thành mỏng • Hợp lực theo phương x trên phân tố AB, F x    A  t A x    B  t B x  τ At A = τ Bt B = τt = q  luång c¾t ứng suất tiếp biến thiên tỉ lệ nghịch với bề dày • Xác định mô men xoắn từ tích phân mô men ứng suất tiếp gây dM  pdF  p  tds   q  pds   2qdA T  dM q   2qdA  2qA T T   2A 2tA • Góc xoắn  TL A2G  ds t - 28 Ví dụ 3.10 Một ống nhôm có mặt cắt ngang hình chữ nhật chịu mô men xoắn 24 kip-in Xác định ứng suất tiếp vách mặt cắt (a) bề dày vách không đổi và 0.160 in và (b) các bề dày là 0.120 in trên AB và CD và 0.200 in trên CD và BD HƯỚNG GIẢI: • Xác định luồng cắt thành ống • Tìm ứng suất tiếp tương ứng trên bề dày thành - 29 Ví dụ 3.10 LỜI GIẢI: • Xác định luồng cắt thành ống • Xác định ứng suất tiếp bề dày thành Với bề dày thành không đổi,  q 1.335 kip in  t 0.160in   8.34 ksi Với bề dày thành thay đổi,  AB   AC  A  3.84 in.2.34 in.  8.986in.2 q T 24 kip - in kip   335 A 8.986in.2 in   1.335 kip in 0.120in  AB   BC  11.13 ksi  BD   CD  1.335 kip in 0.200in  BC   CD  6.68 ksi - 30