Chương 4 Đặc trưng hình học mặt cắt ngang

- Trục trung tâm là trục có mômen tĩnh của diện tích A đối với trục đó bằng không.. Mômen tĩnh Từ đó suy ra cách xác định trọng tâm đối với diện tích A như sau: - Trọng tâm là giao điểm

BÀI GiẢNG MÔN HỌC

SỨC BỀN VẬT LiỆU

GV: TRẦN HỮU HUY

Tp.HCM, tháng 10 năm 2009

(Lưu hành nội bộ)

2

ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG

™ ĐỊNH NGHĨA

CHƯƠNG 4:

ĐỊNH NGHĨA

Trong những trường hợp như thanh chịu uốn, xoắn… thì ứng suất trong thanh không chỉ phụ thuộc vào diện tích A

mà còn phụ thuộc vào hình dáng, cách bố trí mặt cắt…

nghĩa là phụ thuộc vào các yếu tố khác gọi chung là đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

y

P

P

z

4

CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG

Mômen tĩnh của diện tích A đối với trục x (hay y) nào đó của mặt cắt là biểu thức tích phân sau:

Mômen tĩnh

x

y y

x

M

S =∫ydA;S =∫xdA Trong đó:

- x, y tọa độ của điểm M – tâm của phân tố diện tích dA

Mômen tĩnh có thứ nguyên là [chiều dài3] Mômen tĩnh có thể có giá trị âm, dương hoặc bằng không

- Trục trung tâm là trục có mômen tĩnh của diện tích A đối với trục đó bằng không

Mômen tĩnh

Từ đó suy ra cách xác định trọng tâm đối với diện tích A như sau:

- Trọng tâm là giao điểm của hai trục trung tâm của mặt cắt

- Như vậy, mômen tĩnh đối với trục đi qua trọng tâm là bằng không

6

CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG

Mômen tĩnh

c o

c o

Gọi C là trọng tâm của tiết diện cần tìm Qua C dựng hệ trục tọa độ x0Cy0song song với hệ trục tọa độ oxy ban đầu

0

0 0

C

A dA M y

x

X

Y

X

C

x

x

Ta có được quan hệ sau:

Thay vào công thức tính mômen tĩnh

A

Y A c o

∫

∫

CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG

Mômen tĩnh

Triển khai biểu thức trên:

Vì x0và y0là trục trung tâm nên

x y

S = S =0

Từ đó ta có: Sx = y A;Sc y =x Ac Tọa độ của điểm C là (xC,yC) được xác định như sau:

y x

S S

8

CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG

Mômen tĩnh Nếu mặt cắt có một trục đối xứng, trọng tâm của tiết diện

sẽ nằm trên trục này vì mômen tỉnh của tiết diện đối với trục này bằng không Nếu mặt cắt có hai trục đối xứng, trọng tâm sẽ nằm ở giao điểm hai trục đối xứng

x i i 1 1 2 y n n

y i i 1 1 2 y n n

∑

∑

Trong thực tế, ta hay gặp những mặt cắt ngang có hình dáng phức tạp được ghép từ nhiều hình đơn giản Ta có thể tính mômen tỉnh của hình phức tạp bằng tổng mômen tĩnh của các hình đơn giản

Mômen quán tính

Mômen quán tính của diện tích

A đối với trục x (hay y) là các biểu thức tích phân sau:

- Mômen quán tính có thứ nguyên

là [chiều dài4]

- Mômen quán tính luôn mang giá trị dương

x

y y

x

M

10

CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG

Bán kính quán tính

Một đặc trưng hình học hay được dùng để tính toán kết cấu đó là bán kính quán tính được xác định như sau:

y x

I I

Bán kính quán tính đối với các trục chính được gọi là bán kính quán tính chính và có thứ nguyên là [chiều dài]

CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG

Mômen quán tính độc cực Mômen quán tính độc cực của diện tích A đối với góc tọa

độ 0 là biểu thức tích phân sau:

2 p A

I = ρ∫ dA Trong đó, ρ là khoảng cách từ điểm M – tâm của phân tố diện tích dA đến góc tọa độ 0

A dA

M

x

y y

x

ρ

Từ đó ta có quan hệ:

2 2 2

p x y

= +

12

CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG

Mômen quán tính ly tâm

Mômen quán tính ly tâm của diện tích A đối với hệ trục xoy

là biểu thức tích phân sau:

xy A

I =∫xydA

Mômen quán tính ly tâm có thứ nguyên là [chiều dài4] Và có giá trị âm, dương hoặc bằng không

A dA

M

x

y y

x ρ

Hệ trục quán tính chính

Hệ trục quán tính chính là hệ trục có mômen quán tính ly tâm bằng không

Một hệ trục tọa độ bất kỳ trong đó có một trục nào đó là trục đối xứng của diện tích A là hệ trục quán tính chính của mặt cắt đó Vì mômen quán tính ly tâm của hai nữa diện tích đối xứng với trục đối xứng có giá trị bằng nhau nhưng ngược dấu nhau nên mômen quán tính của cả hình bằng không

Hệ trục quán tính chính trung tâm là hệ trục quán tính chính có gốc tọa độ đặt tại trọng tâm của tiết diện

14

MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ HÌNH ĐƠN GiẢN

Hình chữ nhật Cho hình chữ nhật b x h Xác định các mômen quán tính Ix,

Iy đối với trục đối xứng x và y

Ta có:

Tương tự:

dy y dA

y

x

b

dA=b.dy

h 2

x

3 y

hb I 12

=

MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ HÌNH ĐƠN GiẢN

Hình tam giác

h

−

=

h

x

x

I y dA y b dy

I

−

y

dA

dy y

b

16

MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ HÌNH ĐƠN GiẢN

Hình tròn

Ta có: dA = πρ ρ 2 d

R

2 p

4 p

2

4

πρ

= ρ πρ ρ =

∫

Cho hình tròn bán kính R (D=2R) Xác định mômen quán tính độc cực Ipcủa hình tròn

ρ

ρ

d dA 0

Vì tính chất đối xứng nên:

4

x y

π

Hình vành khăn

4

p

4

4 p

D

32

= − = ⎜⎜ −⎜ ⎟ ⎟⎟

⎝ ⎠

π

Coi diện tích hình vành khăn bằng diện tích hình tròn lớn trừ diện tích hình tròn nhỏ, ta được:

0

d D

4

x y

π

18

CÁC CÔNG THỨC CHUYỂN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

Công thức chuyển trục song song

X= +x a; Y= +y b

- Biết Ix, Iy, Ixy

- Tìm IX, IY, IXY

Ta có các liên hệ sau:

( )

2 2

X

X A

X

∫

A dA

M y

x

X

Y

x

X

0

a

CÁC CÔNG THỨC CHUYỂN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

Công thức chuyển trục song song

2

2

XY xy x y

- Vậy ta có:

A dA

M y

x

X

Y

x

X

0

a

Trong đó a, b là tọa độ của gốc tọa độ ban đầu trong hệ trục tọa độ mới XOY

20

CÁC CÔNG THỨC CHUYỂN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

Công thức chuyển trục song song

x y

S =S =0

Trong trường hợp đặc biệt khi gốc tọa độ ban đầu nằm tại trọng tâm mặt cắt

A dA

M y

x

X

Y

x

X

0

a

Ta có các công thức sau:

2

X x

2

Y y

XY xy

= +

= +

Công thức xoay trục

Xét hệ trục uov xoay

từ hệ trục ban đầu một góc α

Ta có liên hệ tọa độ:

u x cos y sin

v y cos x sin

⎧

⎩

- Biết Ix, Iy, Ixy

- Tìm Iu, Iv, Iuv

x

u

v x.s ina

y.c

osa

α

A dA M y

x

v

α

u

22

CÁC CÔNG THỨC CHUYỂN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

Công thức xoay trục Thay vào công thức Iu

u A

u

∫

Sử dụng các công thức lượng giác:

cos 1 cos2 ;sin 1 cos2 ; 2 sin cos sin 2

CÁC CÔNG THỨC CHUYỂN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

Công thức xoay trục Triển khai và thu gọn ta được:

x y x y

x y x y

x y

I I

2

−

24

CÁC CÔNG THỨC CHUYỂN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

Công thức xoay trục

Các công thức trên có dạng tương tự với công thức ứng suất trên mặt cắt nghiêng Nên:

2

x y x y 2

2

x y x y 2

x y

2I tg2

α = −

−

Công thức xoay trục

Về toán học ta nhận thấy có sự tương đồng giữa phương trình chuyển đổi mômen quán tính và phương trình chuyển đổi ứng suất

-Iu tương đương σu

-Ivvới tương đương σv

-Ix tương đương σx

-Iyvới tương đương σy

-Ixyvới tương đương τxy

Vì vậy, nếu dùng một hệ trục tọa độ với trục hoành biểu diễn Iuvà trục tung biểu diễn Iuvthì quan hệ giữa Iuvà Iuvlà tương quan của một vòng tròn gọi là vòng tròn Mohr quán tính

26

VÒNG TRÒN MOHR QUÁN TÍNH

Công thức xoay trục

Ở đây, vòng tròn Mohr luôn nằm ở bên phải trục tung vì các giá trị Iulà luôn dương

y

Ι

B

Ι x

xy

Ι

Ιmin

max

Ι

Ι uv

A

D P

F C E

Ι uv

Ι u

α

u

Ι

max

Ι

min

Ι

Ιu

M

G

α

2

Cách xác định hệ trục QTCTT của một hình phẳng bất kỳ:

Trong trường hợp tổng quát, khi hình phẳng A không có trục đối xứng, hệ trục QTCTT được xác định theo trình tự như sau:

- Chọn hệ trục Oxy bất kỳ ban đầu Xác định trọng tâm của hình trong hệ trục này

- Chuyển trục song song về trọng tâm của hình Tính các mômen quán tính đối với hệ trục trung tâm

- Xoay trục để tìm phương chính đi qua trọng tâm