Tài liệu Chương 4. đặc trưng hình học của mặt cắt ngang pdf

Chơng 4. Đặc trng hình học của mặt cắt ngang Các thuyết bền 27 Chơng 4. đặc trng hình học của mặt cắt ngang - Các thuyết bền A. Đặc trng hình học của mặt cắt ngang I. Khái niệm Thí nghiệm kéo (nén): khả năng chịu tải của thanh phụ thuộc vo diện tích mặt cắt ngang (MCN). Thí nghiệm uốn, xoắn, : khả năng chịu lực của thanh không những phụ thuộc vo diện tích MCN, m còn hình dạng v sự bố trí MCN. Ví dụ thanh tròn rỗng (hình 4.1a) chịu đợc M z gấp 2 lần thanh tròn đặc cùng diện tích MCN. Thanh hình chữ nhật đặt đứng (hình 4.1b) ứng suất nhỏ hơn 4 lần khi đặt ngang (hình 4.1c) với cùng diện tích MCN. Do đó, ngoi diện tích MCN, ta cần xét đến những đại lợng khác đặc trng cho hình dạng MCN về mặt hình học, đó l mômen tĩnh v mômen quán tính . II. Mômen tĩnh của mặt cắt ngang Hình phẳng F nằm trong mặt phẳng toạ độ Oxy (hình 4.2). Ngời ta gọi tích phân: mn F x y dF (4.1) l mômen diện tích hỗn hợp cấp (m+n) của hình phẳng F đối với hệ Oxy. Khi m = 0, n = 1 tích phân (4.1) có dạng: = x F SydF (m 3 ) (4.2) Hình 4. 2 Hình 4.1 a) c) b) 4a 4a a 0,7D D d a P P Chơng 4. Đặc trng hình học của mặt cắt ngang Các thuyết bền 28 Khi m = 1, n = 0 tích phân (4.1) có dạng: = y F SxdF (m 3 ) (4.3) S x v S y đợc gọi l mômen diện tích cấp một hay mômen tĩnh của hình phẳng đối với trục x v trục y. Khi S X = S Y = 0 thì trục X, Y đợc gọi l trục trung tâm . Giao điểm của hai trục trung tâm l trọng tâm của hình phẳng. (hình 4.3). Công thức xác định toạ độ của trọng tâm C cũng tơng tự nh công thức xác định toạ độ của khối tâm: y C S x F = ; x C S y F = (4.4) Nếu diện tích F bao gồm nhiều diện tích đơn giản F i : = = n ii i1 C xF x F ; = = n ii i1 C yF y F (4.5) trong đó x i , y i l toạ độ trọng tâm của diện tích F i . III. Mômen quán tính (diện tích cấp hai) Khi m = n = 1, tích phân (4.1) có dạng: xy F JxydF= (m 4 ) (4.6) đợc gọi l mômen diện tích hỗn hợp cấp hai, hay mômen quán tính li tâm của hình phẳng đối với hệ trục Oxy. Khi m = 0, n = 2 hoặc m = 2, n = 0, các tích phân: 2 x F JydF= v 2 y F JxdF= (4.7) đợc gọi l mômen quán tính (hay mômen diện tích cấp hai ) của hình phẳng F đối với trục x hoặc trục y. J xy có thể dơng hoặc âm, còn các J x , J y luôn luôn dơng. Tổng: ( ) += + = = 22 2 xy p FF J J y x dF dF J (4.8) đợc gọi l mômen quán tính độc cực đối với gốc toạ độ O. Nếu J xy = 0 thì hệ trục đợc gọi l hệ trục quán tính chính . Hình 4. 3 Chơng 4. Đặc trng hình học của mặt cắt ngang Các thuyết bền 29 Nếu J xy =0, S x =S y =0 thì ta có hệ trục quán tính chính trung tâm. IV. Công thức chuyển trục song song của mômen quán tính Công thức chuyển trục song song mômen quán tính của hệ trục OXY với hệ trục trung tâm oxy (hình 4.4): J X = J x + Fb 2 J Y = J y + Fa 2 (4.9) J XY = J xy + Fab Chứng minh các công thức (4.9) nh sau: ta có, X = x + a ; Y = y + b (a) Theo định nghĩa: == = 22 XYXY FF F J Y dF, J X dF, J XYdF (b) Thay (a) vo (b) suy ra: J X = J x +2bS x +Fb 2 ; J Y = J y +2aS y +Fa 2 ; J XY = J xy +aS x +bS y +Fab Khi x v y l các trục trung tâm thì S x = S y = 0 (4.9). V. Công thức xoay trục của mômen quán tính Cho biết J x , J y , J xy của hình phẳng F đối với hệ trục Oxy. Hãy tính J u , J v , J uv của hình phẳng F đối với hệ trục Ouv (hình 4.5). Ta có: u = xcos + ysin v = ycos xsin = 2 u F JvdF ; = 2 v F JudF ; = uv F JuvdF Thay u, v ở trên v khai triển các tích phân ny, ta đợc: + =+ + = + =+ xy xy uxy xy xy vxy xy uv xy JJ JJ Jcos2Jsin2 22 JJ JJ Jcos2Jsin2 22 JJ Jsin2Jcos2 2 (4.10) Nếu hệ trục Ouv l hệ trục quán tính chính (J uv = 0) thì phơng các trục quán tính chính rút ra từ công thức thứ ba của (4.10): Hình 4. 4 Hình 4.5 Chơng 4. Đặc trng hình học của mặt cắt ngang Các thuyết bền 30 = xy xy 2J tg JJ (4.11) VI. Mômen quán tính của một số mặt cắt ngang 1. Hình chữ nhật (hình 4.6) Hệ trục đối xứng Oxy l hệ trục quán tính chính trung tâm. Ta có: J x = h h 2 2 22 3 h h F 2 2 1 ydF ybdy by 3 + == hay: 3 x bh J 12 = 3 y hb J 12 = (4.14) 2. Hình tam giác (hình 4.7) Chọn dải phân tố diện tích dF song song với trục đáy x 1 v cách trục x 1 một khoảng y. Chiều di b(y) của dải phân tố diện tích ny suy ra từ điều kiện đồng dạng: b(y) h y bh = b(h y) b(y) h = Nh vậy, đối với trục đáy x 1 : () 1 h h 34 22 x Fo o bh y bhy y JydFy dy hh34 == = 1 3 x bh J 12 = (4.15) Nếu x l trục trung tâm thì theo công thức (4.9): J x = 2 332 bh h bh bh h F. 12 3 12 2 9 = hay = 3 x bh J 36 (4.16) 3. Hình tròn (hình 4.8) Đối với hệ trục trung tâm Oxy: J x = J y = p J 2 trong đó: = 4 4 p R J0,1D 2 nên: == = 44 4 xy RD JJ 0,05D 464 (4.17) Hình 4. 8 Hình 4. 6 Hình 4. 7 Chơng 4. Đặc trng hình học của mặt cắt ngang Các thuyết bền 31 4. Hình vnh khăn Đối với hình vnh khăn có đờng kính ngoi D v đờng kính trong d: () () == = 4 444 xy p 1D JJ J 1 0,05D1 264 ; = d/D (4.18) VII. Ví dụ áp dụng Ví dụ 4.1. Xác định vị trí trọng tâm C o v các mômen diện tích cấp hai J x , J y của mặt cắt cho trên hình 4.9 (đơn vị l cm). Giải Coi mặt cắt đã cho l hiệu của hai hình chữ nhật ABCD (kí hiệu l 1) v EFGH (kí hiệu l 2). Ta có: S x = 12 xx SS trong đó: () 1 13 x1C 60 S F y 100 60 180.000cm 2 ==ì = () 2 23 x2C 40 S F y 30 40 20 48.000cm 2 ==ì += Do đó: S x = 180.000 48.000 = 132.000cm 3 ; 12 yyy SSS= trong đó: () 1 13 y1C 100 S F x 100 60 300.000cm 2 ==ì = () 2 23 y2C 30 S F x 30 40 50 78.000cm 2 ==ì += Vậy: S y = 300.000 78.000 = 222.000cm 3 Toạ độ trọng tâm C o của mặt cắt l: ()() == = ìì o y C S 222.000 x46,25cm F 100 60 30 40 ; o x C S 132.000 y27,5cm F 4800 == = 12 xxx JJJ= trong đó: 3 3 154 11 x bh 100 60 J7210cm 33 ì == =ì () 2 3 3 22 2 22 x2C bh 30 40 JFy 3040.40 12 12 ì =+ = +ì = 20,8 ì 10 5 cm 4 Hình 4.9 Chơng 4. Đặc trng hình học của mặt cắt ngang Các thuyết bền 32 Do đó: J x = (72 20,8)10 5 = 51,2 ì 10 5 cm 4 ; 12 yxy JJJ= trong đó: 3 3 164 11 y hb 60 100 J2010cm 33 ì == =ì () 2 3 3 22 2 22 y2C hb 40 30 JFx 3040.65 12 12 ì =+ = +ì = 5,16 ì 10 6 cm 4 Vậy J y = (20 5,16)10 6 = 14,84 ì 10 6 cm 4 . B. Các thuyết bền I. Khái niệm Đối với các chi tiết máy đợc bền an ton thì trạng thái ứng suất ở mọi điểm không đợc vợt quá trạng thái ứng suất nguy hiểm của vật liệu (trạng thái ứng suất giới hạn - 0 v 0 ). ứng suất giới hạn của trạng thái ứng suất đơn dễ dng đợc xác định bằng thực nghiệm. Ví dụ, đối với vật liệu dẻo ứng suất giới hạn l giới hạn chảy ch (hoặc ch ), đối với vật liệu giòn l B (hay B ). Tuy nhiên, thực tế ngời ta hay tính theo ứng suất cho phép [] (hay []). Kiểm tra bền ở trạng thái ứng suất đơn, trợt thuần tuý: [ ] [ ] [ ] = = max 1 min 3 max kn ; ; (4.19) Khi kiểm tra bền ở trạng thái ứng suất phức tạp (phẳng, khối), cần lm các thí nghiệm phá hỏng ở trạng thái ứng suất. Việc xác định trạng thái ứng suất giới hạn bằng thực nghiệm rất khó khăn thực tế có khi không thực hiện đợc, vì: Số lợng thí nghiệm phát rất nhiều, đáp ứng tỷ lệ 1 , 2 v 3 Trình độ kỹ thuật v thiết bị cha cho phép thí nghiệm trạng thái ứng suất phức tạp. Do đó ngời ta đa ra các thuyết bền , nhằm đa trạng thái ứng suất phức tạp về trạng thái ứng suất đơn tơng đơng. Gọi ứng suất chính của trạng thái ứng suất đơn tơng đơng l tđ ( tđ liên hệ với các ứng suất chính 1 , 2 v 3 ). Điều kiện bền có dạng: tđ [] (4.20) Thuyết bền cho phép thiết lập mối quan hệ giữa ứng suất tơng đơng với các ứng suất chính. Nói một cách khác, thuyết bền Chơng 4. Đặc trng hình học của mặt cắt ngang Các thuyết bền 33 l những giả thuyết về nguyên nhân phá hoại của vật liệu, trên cơ sở đó cho phép ta xác định đợc độ bền của vật liệu ở mọi trạng thái ứng suất khi ta chỉ biết độ bền của vật liệu ở trạng thái ứng suất đơn. Dới đây chúng ta sẽ nghiên cứu những thuyết bền cơ bản nhất v phổ biến nhất. II. Các thuyết bền 1. Thuyết bền thứ nhất (thuyết bền ứng suất pháp lớn nhất) Thuyết bền thứ nhất do Galilê đa ra năm 1638. Thuyết ny cho rằng, vật liệu bị phá hỏng l do ứng suất pháp lớn nhất gây ra. Thuyết bền ny phát biểu nh sau: Hai trạng thái ứng suất phức tạp v đơn có độ bền tơng đơng nếu ứng suất pháp lớn nhất của chúng nh nhau . Điều kiện bền theo thuyết ny: [ ] [] = = = = tđ max 1 k tđ min 3 n (4.21) Đối với vật liệu dẻo [] k = [] n Thiếu sót lớn nhất l thuyết bền ny l không kể đến ảnh hởng của hai ứng suất chính còn lại. Ngoi ra, thực nghiệm cho thấy thuyết ny không thích hợp với vật liệu dẻo. Còn đối với vật liệu giòn chỉ cho những kết quả phù hợp khi có một ứng suất chính rất lớn so với các ứng suất chính còn lại. Thuyết ny hiện nay hầu nh không dùng nữa. 2. Thuyết bền thứ hai (thuyết bền biến dạng tỷ đối lớn nhất) Thuyt bn th hai do Marit a ra nm 1682. Thuyt ny cho rng: vt liu b phỏ hu l do bin dng di tng i cc i ca phõn t trng thỏi ng sut phc tp t n bin dng di tng i trng thỏi nguy hi m ca phõn t trng thỏi ng sut n. Hai trng thỏi ng sut phc tp v n s cú bn tng ng nu bin dng t i ln nht do chỳng gõy ra bng nhau. éiu kin bn c vit l: Chơng 4. Đặc trng hình học của mặt cắt ngang Các thuyết bền 34 ( ) [ ] () [] =+ =+ tđ 1 2 3 k tđ 3 1 2 n (4.21) u im ca thuyt bn th hai l cú k n nh hng ca ba ng sut chớnh 1 , 2 v 3 . Song cng nh thuyt bn th nht, thuyt ny cng khụng thớch hp i vi vt liu do. Cũn i vi vt liu giũn thỡ nú ch cho kt qu phự hp khi 1 > 0 v 3 < 0. Thuyt ny hin nay hu nh khụng cũn c dựng na. 3. Thuyết bền thứ ba (thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất) Thuyt bn th ba do Culông (Coulomb) a ra nm 1773. Thuyt ny cho rng: vt liu b phỏ hoi l do ng sut tip cc i ca phõn t trng thỏi ng sut phc tp t n ng sut tip nguy him ca phõn t trng thỏi ng sut n. Hai tr ng thỏi ng sut phc tp v n s cú bn tng ng nu ng sut tip ln nht ca chỳng bng nhau. Điều kiện bền l: [ ] max đơn (a) Ta biết 13 max 2 = (chơng 3), [] [] = = đơn max đơn , 22 (chơng 2) Do đó điều kiện bền theo giả thuyết ứng suất tiếp lớn nhất: tđ = 1 3 [] k (4.22) Trong trờng hợp ứng suất phẳng đặc biệt (hình 4.10), ta có: 22 1max 11 4 22 = = + + ; 22 3min 11 4 22 = = + (4.23) Điều kiện bền theo giả thuyết ứng suất tiếp lớn nhất: [] =+ 22 tđ 4 (4.24) Thuyt bn ng sut tip ln nht rt phự hp vi vt liu do nhng li khụng thớch hp i vi vt liu giũn. Thiu sút ca thuyt ny l khụng k n ng sut chớnh 2 . Thuyt th 3 cho phộp gii thớch vỡ sao vt liu b nộn u theo tt c cỏc phng cú th chu c nhng ỏp sut rt cao, vỡ trong trng hp ny thỡ 1 = 3 =-p dự ỏp sut p cú ln ti õu t cng luụn luụn bng khụng. 4. Thuyết bền thứ t (thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng) H ình 4.10 Chơng 4. Đặc trng hình học của mặt cắt ngang Các thuyết bền 35 Thuyt bn th nng bin i hỡnh dng do Huybe a ra nm 1904. Thuyt ny cho rng: vt liu b phỏ hoi l do th nng bin i hỡnh dng ca phõn t trng thỏi ng sut phc tp t n th nng bin i hỡnh dng trng thỏi ng sut nguy him ca phõn t trng thỏi ng sut n. Hai tr ng thỏi ng sut phc tp v n s cú bn tng ng nu th nng riờng bin i hỡnh dng ca chỳng bng nhau. Trng thỏi ng sut khi: () + = ++ 222 hd 123122331 1 u 3E Trng thỏi ng sut n: + = 2 hd tđ 1 u 3E Điều kiện bền có dạng: [] = ++ 222 tđ 123122331 k (4.25) Trong trờng hợp trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt: [] =+ 22 tđ k 3 (4.26) Thuyt bn th t phự hp i vi vt liu do, nhng i vi vt liu giũn thỡ cng khụng thớch hp. Mt khỏc thuyt ny vn cha gii thớch c s phỏ hoi ca vt liu khi b kộo u theo 3 phng. 5. Thuyết bền thứ năm (thuyết bền Mo) Thuyt bn Mo a ra ln u tiờn vo nm 1882 v sau ú phỏt trin chi tit vo nm 1990. Thuyt ny cho rng: vt liu b phỏ ho i l do trng thỏi ng sut ang xột vt quỏ trng thỏi ng sut gii hn tng ng trong h vũng trũn ng sut gii hn. Thuyt bn Mo da vo ng bao ca h vũng trũn ng sut gii hn xỏc nh trng thỏi ng sut gii hn cho tng trng hp ca trng thỏi ng sut. Nu lm nhiu ln thớ nghim vi cỏc ng su t chớnh khỏc nhau thỡ ta c mt tp hp cỏc vũng trũn gii hn (hỡnh 4.13). Ngi ta ó chng minh iu kin bn theo thuyt bn ny l: [ ] = tđ 1 3 k vi k 0 n 0 = (4.27) Thuyt bn Mo vit cho trng thỏi ng sut phng c bit: () () == + + + 22 22 tđ 1 3 11 44 22 22 éiu kin bn: [] = + + 22 tđ k 11 4 22 (4.28) Chơng 4. Đặc trng hình học của mặt cắt ngang Các thuyết bền 36 Thuyt bn Mo cú nhc im l b qua nh hng ca ng sut chớnh 2 v n gin ng cong gii hn thnh ng thng nhng cng cú u im hn nhng thuyt trờn vỡ cú xột n trng thỏi ng sut ca vt liu b phỏ hoi. Mt khỏc, thuyt ny cng khụng cn ra nhng gi thuyt m cn c trc tip vo cỏc trng thỏi ng sut khi nguy him biu th bng nhng vũng trũn gi i hn. III. áp dụng các thuyết bền Cho n nay ngi ta ó xõy dng nhiu thuyt bn khỏc nhau, mi thuyt bn ra mt quan im v nguyờn nhõn phỏ hoi ca vt liu. Trong thc t tớnh toỏn, vic chn thuyt bn no l ph thuc vo loi vt liu s dng v trng thỏi ng sut ca im kim tra. Nu l vt liu do ta dựng thuyt th ba hoc th t . Nu l vt liu giũn ta dựng thuyt th hai hoc th nm (Mo). Gn õy xut hin nhiu thuyt mi liờn quan ch yu n cỏc loi vt liu mi nh cht do, si thu tinh, cht do nhiu lp, Cỏc nghiờn cu thc nghim v lý thuyt cho thy rng cu trỳc ca tinh th vt rn bin dng cú nh hng l n n bin dng v phỏ hng ca vt liu ú. Nu b qua nh hng ú thỡ kt qu tớnh toỏn theo cỏc thuyt bn s b sai lch. Do ú hin nay, ngi ta ang tip tc nghiờn cu v cỏc vn ny. Ví dụ. Kiểm tra bền của phân tố vật thể chịu các ứng suất: x = -4kN/cm 2 , y = -6 kN/cm 2 , z = 3 kN/cm 2 , xy = yx =2 kN/cm 2 , zx = xz = yz = zy = 0. Cho biết [] = 12 kN/cm 2 . Giải Nếu coi z = 3 kN/cm 2 l một ứng suất chính của phân tố thì hai ứng suất chính còn lại: + + = += + 2 2 xy xy 22 max xy min 46 46 2 22 22 max = -2,764 kN/cm 2 ; min = -7,236 kN/cm 2 Hỡnh 4.13 [...]...Chơng 4 Đặc trng hình học của mặt cắt ngang Các thuyết bền Nh vậy: 1 = 3 kN/cm2 ; 2 = -2,764 kN/cm2 ; 3 = -7,236 kN/cm2 Theo thuyết bền thứ ba: tđ = 1 3 = 3 (- 7,236) = 10,236 [] Theo thuyết bền thứ t: 2 2 2 tđ = 1 + 2 + . Chơng 4. Đặc trng hình học của mặt cắt ngang Các thuyết bền 27 Chơng 4. đặc trng hình học của mặt cắt ngang - Các thuyết bền A. Đặc trng hình học của. 0,05D 46 4 (4. 17) Hình 4. 8 Hình 4. 6 Hình 4. 7 Chơng 4. Đặc trng hình học của mặt cắt ngang Các thuyết bền 31 4. Hình vnh khăn Đối với hình vnh