Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang phẳng

KHÁI NIỆM CHUNG Khi nghiên cứu khả năng chịu lực của thanh chịu kéo, nén đúng tâm, ta nhận thấy với cùng một loại vật liệu, thanh nào có diện tích mặt cắt ngang lớn hơn thì chịu được t

Chương 4

ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG PHẲNG 4.1 KHÁI NIỆM CHUNG

Khi nghiên cứu khả năng chịu lực của thanh chịu kéo, nén đúng tâm, ta nhận thấy với cùng một loại vật liệu, thanh nào có diện tích mặt cắt ngang lớn hơn thì chịu được tải trọng lớn hơn Nhưng khi tính những thanh chịu xoắn, uốn thì khả năng của chúng không những phụ thuộc vào diện tích của mặt cắt ngang mà còn phụ thuộc vào hình dạng

và sự bố trí mặt cắt ngang

Ví dụ: Xét một dầm tiết diện chữ nhật b × h với h > b trong hai trường hợp: Tiết

diện để đứng và tiết diện nằm ngang cùng chịu lực P như nhau như trên hình 4.1a, 4.1b

Kết quả thực nghiệm hoặc bằng trực giác ta cũng nhận ra là trường hợp (a) chịu lực tốt hơn trường hợp (b) Đối với trường hợp trục chịu xoắn ở hình 4.2, thì mặt cắt ngang vành khăn chịu xoắn tốt hơn Chúng ta sẽ khảo sát những đặc trưng hình học của mặt cắt ngang có liên quan đến việc chịu lực của các thanh

4.2 MÔ MEN TĨNH VÀ CÁC MÔ MEN QUÁN TÍNH

Giả sử có mặt cắt ngang có diện tích F Xác định trong mặt phẳng của mặt cắt một

hệ trục tọa độ (Oxy) và ta gọi (x, y) là tọa độ của điểm A nào đấy thuộc F Lấy chung quanh A một phân tố diện tích dF

4.2.1 Mô men tĩnh Ta gọi mô men tĩnh của diện tích F đối với trục x hay đối với trục

y là các biểu thức tích phân sau:

S ydF ;

F

F

S , đơn vị m3, cm3

Trong đó: Sx, Sy có thể âm, dương, hay bằng không

D

M

Hình 4.2: Dầm có tiết diện hình trụ(a) và hình vành khăn (b)

P

a)

b

Hình 4.1: Dầm có tiết

diện đứng (a) và nằm

ngang (b)

P

b)

h

a)

b)

* Khi mô men tĩnh của diện tích F đối với một trục nào bằng không thì trục đó gọi là trục trung tâm

* Giao điểm của hai trục trung tâm gọi là trọng tâm của mặt cắt ngang

Xuất phát từ định nghĩa trên ta có thể thiết lập công thức tính tọa độ trọng tâm của diện tích F đối với

hệ trục Oxy Giả sử có hai trục trung tâm Cxo , Cy0 cắt nhau tại trọng tâm C của mặt cắt ngang và song song với

Ox, Oy, hình 4.4

Gọi (xC,yC) là tọa độ của C trong hệ trục Oxy và (xo,yo) là tọa độ của A trong hệ

trục Cxoyo thì:

⎩

⎨

⎧

+

=

+

=

o c

o c

y y y

x x x

Từ định nghĩa có:

=∫ =∫ + = ∫ +∫

F

o F

c F

o c F

S

Sx = ycF + Sxo = ycF [Sxo = 0 theo (a)]

Tương tự: Sy = xcF

Vậy, ta có:

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

=

⇔

⎩

⎨

⎧

=

=

F

S x F

S y F

x S

F y S

y c

x c

c y

c x

(4-1)

Tính chất cơ bản:

Mọi trục đối xứng của mặt cắt ngang đều là

trục trung tâm (hình 4.5) Thực vậy, nếu trục y là

trục đối xứng của mặt cắt ngang thì:

∫ = ∫ =−∫

2 F 2

F F

xdF dF

| x

| xdF

1

Trong đó F1, F2 diện tích của hai nửa

S xdF xdF xdF xdF 0

2 1

2

F F

+

Sy = 0

Vậy y là trục trung tâm

* Ví dụ 1:

a) Tính mô men tĩnh và tọa độ trọng tâm của mặt cắt ngang chữ nhật đối với

các trục đi qua các cạnh (hình 4.6)

y

Hình 4.5: Trục đối xứng của mặt cắt ngang

là trục trung tâm

y

Hình 4.3 Xác định

mô men tĩnh

x

A

y

x

O

dF

F: Diện tích

của bề mặt

cắt ngang

Hình 4.4: Xác định toạ

độ trọng tâm của mặt

cắt ngang

y yo

x o

x

x C

x 0

x

y y

yo

O

C A F

Trên hình chữ nhật ta lấy dải phân tố diện tích dF = bdy, ta có:

2

bh dy yb ydF

S

2 h

0 F

Tương tự :

Sy =

2

hb2

(4-3) Tọa độ trọng tâm :

2

h y

; 2

b bh 2

bh F

S

xc = y = 2 = c =

b) Tính

mô men tĩnh Sx và tung độ trọng tâm yc của hình tam giác đối

với trục x ≡ cạnh đáy (hình 4.7)

Theo hình 4.7, ta có:

dF = b(y)dy , mà

h

y h b

) y (

b = −

=> dF = dy

h

) y h (

b −

=∫ =∫h − =

0

2

F x

6

bh ydy ) y h ( h

b ydF

3

h 2 / bh

6 / bh F

S y

2 x

c) Tính mô men tĩnh và tọa độ trọng tâm của mặt cắt ngang dạng nửa hình tròn

đối với trục x đi qua đáy (hình 4.8)

Từ hình 4.8, ta có: dF = b(y)dy

nhưng y = Rsin ϕ=> dy= Rcosϕdϕ

b(y) = 2Rcos ϕ

=> dF = 2R2cos2ϕ×dϕ

=>Sx = π∫/2 ϕ ϕ ϕ

0

2 2

d cos R 2 sin R => Sx = 3

R 3

2 (4-5)

R

3

4 F

S

y

Hình 4.7: Tính mô men tĩnh và tung độ

b

b(y) dF

Hình 4.6: Tính mô men

tĩnh và toạ độ trọng tâm

mặt cắt ngang chữ nhật

h/2 y dy

dF

y

x

b/2

b

C

O

Hình 4.8 Tính mô men tĩnh và tung độ trọng tâm mặt cắt ngang dạng

y

b(y)

dF

A

α

O

d) Tính mô men tĩnh và tọa độ trọng tâm của mặt cắt ngang như hình vẽ 4.9 đối với

trục x đi qua đáy Từ hình 4.9, ta có:

∫

∫

∫

∫

=

4 3

2

F F

2 2

2

3

2 6

) a 6 ( a 3 2 2

) a 6 ( a 4

Sx = 90a3

xC = 0

π

−

=

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

−

=

=

9 84

a 180 a

2

9 42

a 90 F

S y

2

3 x

c

4.2.2 Mô men quán tính đối với một trục (gọi tắt mô men quán tính)

Ta gọi mô men quán tính của diện tích F đối với

trục x hay trục y là biểu thức tích phân sau:

=∫

F

2

J

hay =∫

F

2

J đơn vị m4, cm4

Jx, Jy luôn luôn dương

4.2.3 Mô men quán tính độc cực (đối với một điểm).

Ta gọi mô men quán tính độc cực của diện tích

F đối với gốc tọa độ O là biểu thức tích phân:

=∫

F

2

J ρ , đơn vị m4, cm4

Trong đó: ρ = OA

vì ρ2 = x2 + y2 => =∫ +

F

2 2

J

Jp = Jx + Jy cũng như mô men quán tính, mô men

quán tính độc cực bao giờ cũng dương

4.2.4 Mô men quán tính ly tâm

Ta gọi mô men quán tính ly tâm của diện tích

F đối với hệ trục Oxy là biểu thức tích phân:

∫

= xydF

Jxy đơn vị m4, cm4

x, y có thể có dấu ngược nhau => Jxy có thể âm, dương, hay bằng không

Hình 4.9 Tính mô men tĩnh

và tung độ trọng tâm mặt

cắt ngang hình thang

y

x

2a 2a

3a 3a

5a 5a

1

Hình 4.11: Xác định

mô men quán tính li

tâm

y

B A

O

y

Hình 4.10: Xác định mô men quán

tính

x

A

y

x

O

dF

ρ

Diện tích mặt cắt

Khi Jxy = 0, thì Oxoyo gọi là hệ trục quán tính chính (gọi tắt hệ trục chính)

* Nếu hệ trục quán tính có gốc tại trọng tâm của mặt cắt ngang thì được gọi là

hệ trục quán tính chính trung tâm

* Tính chất: Nếu mặt cắt có một trục đối xứng thì bất cứ trục nào vuông góc với trục đối xứng đó cũng lập với nó một hệ trục quán tính chính (có thể chứng minh tương

tự như ở hình 4.5)

4.3 MÔ MEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ HÌNH ĐƠN GIẢN

Ví dụ 2 : 1) Hình chữ nhật b× h:

dF = bdy =∫ = ∫ =

− F

3 2

/ h

2 / h

2 2

x

12

bh bdy y dF y J

12

hb J 12

bh J

3 y

3 x

=

=

(4-6)

2) Hình tam giác đáy b, cao h:

)

y h ( h

b ) y ( b h

y

h

b

)

y

(

b = − => = −

=∫ =∫ −

F

h

0

2 2

h

b y dF y J

12

bh

Jx = 3 (4-7)

Nếu trục x qua trọng tâm hình tam giác

thì cũng thực hiện tương tự ta có:

36

bh J

3

x =

Jx = Jy => Jp = Jx+ Jy = 2Jx= 2Jy

nên ta có thể tính Jp trước rồi suy ra Jx, Jy

Dùng tọa độ độc cực: dF = ρdϕdρ

=∫ρ =2∫∫π ρ ρ ϕ ρ= π

0

R

0

4 2

F

2 P

2

R d

d dF

J

R là bán kính đường tròn

y

Hình 4.13: Xác định

mô men quá tính của hình tam giác

b

b(y)

dF

Hình 4.12: Xác định

mô men quá tính của

hình chữ nhật

dF

y

b/2

b

C

O

x

4

R J

J 2

R J

J J

4 y

x

4 P

y x

π

=

=

=>

π

=

= + (4-8)

hay 4 4

32

D

J =π ≈

Jx=Jy ≈ 0,05D4

D- Đường kính đường tròn

4) Hình vành khăn:

Tương tự, nhưng với r ≤ρ ≤R

(1 ) 0,1D (1 )

32

D

(1 ) 0,05D (1 )

64

D J

y

Trong đó:

D

d

= η

4.4 CÔNG THỨC CHUYỂN TRỤC SONG SONG CỦA MÔ MEN QUÁN TÍNH

Giả sử ta biết mô men quán tính của mặt cắt ngang có diện tích F đối với trục x, y.Tính mô men quán tính của mặt cắt ngang đó đối với các trục X, Y song song với các trục x, y.Ta có:

⎩

⎨

⎧

+

=

+

= b Y y

a X x

Theo định nghĩa:

= ∫ = ∫ +

2 2

J

= JX + b2F + 2bSX

Tương tự: Jy = JY + a2F + 2aSY

Jxy = JXY + abF + aSX + bSY

Nếu X, Y là các trục trung tâm:

SX = SY = 0 ; a = xC ; b = yC

y

Hình 4.14: Xác định mô men quá tính của hình tròn

D=2R

ρ

ϕ

dϕ dF

O

y

x

Hình 4.15: Xác định

mô men quán tính của hình vành khăn

D=2R

O

y Y

Hình 4.16: Sơ đồ chuyển trục song song của mô men quán tính

X

x

C

O

x

a=x C X

Ta được:

Ví dụ 3: Xác định mô men quán tính đối với trục trung tâm X của mặt cắt ngang

hình 4.17 Trước hết ta phải xác đinh trọng tâm của mặt cắt ngang Chia mặt cắt ngang thành 2 hình đơn giản (1) là hình chữ nhật chưa bị khoét và (2) là diện tích hình tam giác

bị khoét Chọn hệ trục ban đầu (x1, y) đi qua trọng tâm của hình (1) Vì y trục đối xứng , nên C ∈ trục y:

XC = 0

2 1

) 2 ( 1 ) 1 ( 1 xl C

F F

S S F

S Y

−

−

=

a 6 a 48

a 6 a 3 0

2 2

2

=

−

⋅

−

Như vậy trọng tâm C của hình sẽ nằm trên trục x, cách trục x1 về phía dưới một đoạn bằng Yc= 0,43a Bây giờ ta tính mô men quán tính đối với trục chính trung tâm x vừa mới xác dịnh.Ta có:

( 2 )

X ) 1 ( X

mà ( ) 2 1

c ) 1 ( X

1

J = 1 + 1⋅

3 (0,43a)2 48a2

12

) a 8 ( a

= = 264,875a4

2 2

c ) 2 ( X )

2

(

J

2

2 +

=

3 (3,43a)2 6a2

36

) a 3 ( a

= =73,59a4

Vậy JX = 264,875a4 - 73,59a4 =

191,285a4

4.5 HỆ TRỤC QUÁN TÍNH CHÍNH - CÔNG

THỨC XOAY TRỤC CỦA MÔ MEN QUÁN TÍNH

4.5.1 Hệ trục quán tính chính Đối với một hình phẳng có một trục đối xứng thì khi

đã biết trọng tâm, ta có ngay một hệ trục quán tính chính trung tâm (hệ trục này có gốc ở trọng tâm, một trục là trục đối xứng và trục kia vuông góc với nó đi qua trọng tâm) Và việc xác định mô men quán tính chính của nó là đơn giản Thế nhưng đối với một hình không có trục đối xứng nào thì khi đã biết trọng tâm của nó vẫn chưa thể xác định hệ trục quán tính chính trung tâm và cũng chưa thể xác định được các mô men quán tính chính

đó được Dưới đây ta hãy nghiên cứu vấn đề này, trước hết ta nhắc lại một số định nghĩa:

Định nghĩa: Trong mặt phẳng chứa mặt cắt ngang, xác định một hệ trục vuông

tâm

F y x J

J

F x J J

F y J J

c c XY xy

2 c Y y

2 c X x

+

=

+

=

+

=

(4-9)

Hình 4.17: Xác định mô men quán tính đối với trục trung tâm của mặt cắt ngang

x

x 1

x 2

6a

2

C

C 1

C 2

y

Lúc đó mô men quán tính của mặt cắt ngang đối với các trục quán tính chính trung

tâm được gọi là “mô men quán tính chính trung tâm” Khi giải các bài toán sức bền vật

liệu, ta thường sử dụng đến các hệ trục quán tính chính trung tâm và các mô men quán tính chính trung tâm Bây giờ còn phải xác định vị trí của hệ trục chính Muốn vậy, nói chung ta cần xét sự biến thiên của các mô men quán tính khi xoay trục

4.5.2 Công thức xoay trục của mô men quán tính

Xét một mặt cắt ngang biểu diễn ở hình 4.18 Giả sử biết Jx, Jy, Jxy của mặt cắt ngang Bây giờ chọn hệ trục toạ độ xoay quanh O

một góc α, ta được hệ trục mới Ouv Tìm sự liên hệ

giữa Jx, Jy, Jxy với JU, JV, JUV

Ta có công thức chuyển trục:

⎩

⎨

⎧

−

=

+

=

α α

α α

sin x cos y v

sin y cos x u

Nên: Ju =∫ (ycosα−xsinα)2dF

=J cos2α+Jsin2α−2Jxysin2α

Cuối cùng ta có:

cos2α J sin2α

2

J J 2

J J

Ju = x + y + x − y − xy

Chú ý: Dùng công thức:

2

2 cos 1 cos2 + α

= α

va

2

2 cos 1 sin2α = − α Tương tự:

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

α +

α

−

=

α +

α

−

−

+

=

α

− α

− +

+

=

2 cos J 2 sin 2

J J J

2 sin J 2 cos 2

J J 2

J J J

2 sin J 2 cos 2

J J 2

J J J

xy y

x UV

xy y

x y x V

xy y

x y x U

(4-10)

Đó là công thức xoay trục của mô men quán tính

Ta rút ra những nhận xét :

* JU + JV = Jx + Jv

* Các công thức trên giống công thức tính σU, σV, τUV

* Điều kiện để xác định hệ trục chính là: JUV = 0

Hoàn toàn giống điều kiện xác định mặt chính trong trạng thái ứng suất τUV = 0

Vì vậy ở đây ta có thể sử dụng ngay các kết quả đã nghiên cứu ở chương trước để xác định hệ trục chính và mô men quán tính chính

(4-11)

2 xy

2 y x y

x min

2

1 2

J J

Hình 4.18: Sơ đồ xoay trục để tính

mô men quán tính

x

u

v

O

u

v

x

y

α

A dF

F

y

min max/

y

xy 2

/ 1

J J

J tg

−

=

4.6 VÒNG TRÒN MOHR QUÁN TÍNH

Để xác định các trục chính, các ứng suất chính của một hình phẳng nào đó ta cũng

có thể sử dụng phương pháp hoạ đồ như đối với việc xác định phương chính, ứng suất chính đối với bài toán trạng thái ứng suất Thật vậy đối chiếu các công thức tính mô men quán tính chính, xác định phương chính bằng giải tích như (4-10), (4-11) và (4-12) với các biểu thức xác định các ứng suất chính và phương chính ở chương 3 vừa rồi ta thấy về mặt toán học tương tự nhau

Từ (4-10) với lập luận và thực hiện các

phép biến đổi như đối với việc xây dựng vòng

tròn Mohr ứng suất, ta sẽ có vòng tròn Mohr

quán tính

Khi biết Jx, Jy và Jxy thì tâm C của vòng

tròn quán tính có toạ đô: C⎜⎜⎝⎛Jx 2+Jy ,0⎟⎟⎠⎞

và bán kính sẽ là: 2

xy

2 2 y x

J 2

) J J (

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ −

Cuối cùng ta có thể dựng vòng tròn

quán tính và cách xác định các trục chính và

giá trị các mô men quán tính chính như trên

hình 4.19

Chú ý :Vòng tròn Mohr ứng suất có thể nằm cả 2 phía trục tung hoặc cắt trục tung, nhưng vòng tròn Mohr quán tính chỉ có thể nằm bên phải của trục trung mà thôi,vì giá trị

mô men quán tính luôn luôn dương

Từ hình vẽ vòng tròn Mohr quán tính (xem hình 4.19), ta có thể tìm vị trí các trục

có mô men quán tính chính theo biểu thức:

max y

xy

y max

xy 1

J J

J J

J

J )

180 ( tg tg

−

=

−

−

= β

−

=

min y

xy 2

J J

J tg

−

=

α (4-14)

4.7 BÁN KÍNH QUÁN TÍNH

Bán kính quán tính cũng là một đại lượng có ý nghĩa và thường được sử dụng trong tính toán kết cấu, cũng như các đại lượng cơ học khác nó được ký hiệu và định nghĩa theo biểu thức:

F

J

F

J

ry = y Trong đó: rx , ry là bán kính quán tính theo phương x và phương y Tương tự đối với trục chính, ta cũng có:

F

J r

vaì F

J

min max

Hìmh 4.19: Vòng tròn Mohr quán tinh

α 1

O

Jmin Jy

C

J uv

J x

J u

Jmax β

α 2

Phương trục chính có Jmax

Phương trục chính có Jmin cực D

Ví dụ 4: Xác định mô men quán tính chính, trọng tâm của mặt cắt như hình 4.20

Bài giải: Trước tiên ta phân tích mặt cắt

thành 3 hình chữ nhật và được đánh dấu I, II,

III (xem hình 4.20)

Với các trọng tâm từng hình là O1, O2,

O3 và kính thước được xác định

1 Xác định trọng tâm C của toàn

nên trọng tâm cả hình chắc phải nằm trên trục

y Vì vậy trước tiên ta chọn trục xo qua trọng

tâm của hình III, nó cùng với trục y là hệ trục

ban đầu Gọi yc là tung độ của trọng tâm C

trong hệ xoO3 y thì nó được xác định bởi:

F

Sx

c =

Trong đó: Sxo- Mô men tĩnh toàn hình

lấy đối với trục xo; F- Diện tích toàn hình :

F = F1 + F2 + F3 = 2a ×

a + a × 4a + 6a × a = 12a2

và III

x

II x

I x

xo S o S o S o

Trong đó: 2 3

3 1 1

I

3 3

2 2

II

S

SIII F3 0303 6a a 0 0

Vậy:

o x

S = 10a3 + 10a3 + 0 = 20a3 Cuối cùng : a

3

5 a

12

a 20 F

S

yc = xo = + 23 = + Vậy trọng tâm C đã được xác định

Chú ý : Trục xo ban đầu chọn ở đâu cũng được nhưng tất nhiên chọn qua trọng tâm một hình nào đó thì đơn giản hơn

a) Tính Jy: Vì y là trục qua trọng tâm của mọi hình nên ta sử dụng công thức tính mô men quán tính cho hình chữ nhật

III y

II y

I y

mà I 3 4

3

2 12

) a 2 ( a

3

a 12

a a 4

JII 3 4

III 3 4

12

) a 6 ( a

y

Hình 4.20: Xác định mô men quán tính chính

2a

6a

a

yC

x o

O 1

O 2

O 3

I II

III