Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

I KHÁI NIỆM Trong thí nghiệm kéo nén tâm, ta nhận thấy với loại vật liệu, có diện tích mặt cắt ngang lớn chịu tải trọng lớn hơn.Nhưng thí nghiệm uốn, xoắn khả chịu lực chúng phụ thuộc diện tích mặt cắt ngang mà phụ thuộc hình dạng bố trí mặt cắt ngang Thí nhiệm cho thấy, tròn rỗng hình 5-1 chịu momen xoắn lớn gấp hai lần tròn đặc có diện tích mặt cắt ngang Ðối với chữ nhật đặt đứng (h 5-1a) chịu lực P ứng suất mặt cắt ngang nhỏ lần đặt ngang (h 5-1b), độ võng nhỏ 16 lần đặt ngang Vì diện tích mặt cắt ngang F ta cần xét đến đại lượng khác đặc trưng cho hình dạng mặt cắt ngang hình học Ðó momen tĩnh vàmomen quán tính II- MOMEN TĨNH CỦA MẶT CẮT NGANG Momen tĩnh trục Ta gọi momen tĩnh mặt cắt ngang F trục x, y tích phân sau: Sx : moment tĩnh mặt cắt ngang trục x Sy : moment tĩnh mặt cắt ngang trục y x,y: khoảng cách từ diện tích vi cấp dF tới trục tương ứng - Ðối với trục y: dF = Ghi chú: Moment tĩnh đối tổng đại số moment Ví dụ: Ví dụ: Tính moment tĩnh mặt cắt ngang chữ nhật chữ nhật trục x, y trùng với cạnh - Ðối với trục x: dF = b.dy =>Ġ h.dx =>Ġ với trục mặt cắt hình dạng phức tạp tĩnh hình đơn giản thành phần 2 Momen tĩnh trục song song TOP Ta tính momen tĩnh trục với OXY so với hệ trục cũ Oxy song song tương ứng với gốc Oï(b, a) Ta có Ġ Trục trung tâm TOP Ghi chú: trục đối xứng mặt cắt ngang trục trung tâm Trọng tâm mặt cắt ngang Trọng tâm mặt cắt ngang giao điểm trục trung tâm Gọi xc, yc tọa độ trọng tâm mặt cắt ngang (C(xc,yc)) ta có: TOP Ngược lại biết trọng tâm mặt cắt ngang hệ trục x, y ta biết momen tĩnh mặt cắt ngang hệ trục Vậy trục qua trọng tâm mặt cắt có momen tĩnh Ví dụ: 1) Xác định trọng tâm mặt cắt ngang hình chữ nhật: 2) Xác định tọa độ trọng tâm hình tam giác: (chỉ xét tung độ yc) a) Tính momen tĩnh mặt cắt ngang so với trục x trùng với cạnh đáy Xét dãy song song với trục x Coi dãy hình chữ nhật có diện tích b(y).dy Ta có: b(y) = Ay +B y = => b(y) = b => B = b Ta có Vậy:Ġ b) Tung độ trọng tâm yc: Ta có:Ġ 3) Xác định tọa độ trọng tâm hình tròn: Xác định momen tĩnh mặt cắt ngang trục x trùng cạnh đáy Xét dãy dài b(y) rộng dy Ta có: y = R.sin( ; b(y) = 2Rcos( ; d(y) = R.dj.cosj dF = b(y) dy = 2Rcosj.Rcosj dj = 2R2cos2j dj Vì y trục đối xứng nên Sy = b) Do Sy = nên trọng tâm C nằm trục tung => xc = III- MOMEN QUÁN TÍNH CỦA MẶT CẮT NGANG Momen quán tính trục Momen quán tính mặt cắt ngang trục x hay y định nghĩa tích phân sau * Momen quán tính cực Momen quán tính cực mặt cắt ngang cực định nghĩa tích phân sauĠ * Momen quán tính ly tâm Momen quán tính ly tâm mặt cắt ngang hệ trục xy tích phân sau Nhận xét: TOP a) Momen quán tính trục momen quán tính cực luôn dương b) Tổng hai momen quán tính mặt cắt hai trục vuông góc momen quán tính cực mặt cắt ngang giao điểm hai trục c) Momen quán tính ly tâm Jxy âm, dương không Thật vậy, xoay hệ trục 0xy góc (/2 đổi chiều trục tọa độ 0xy ta có: y = y ; x = -x y = -y x = x Như momen quán tính ly tâm lấy hệ tọa độ đổi dấu so với hệ tọa độ cũ Vậy điểm ta tìm hệ trục quán tính (Jxy = 0) Tất nhiên ta xoay hệ trục góc ( đổi chiều hai trục momen quán tính ly tâm không đổi dấu Khi chuyển momen quán tính ly tâm từ âm sang dương ngược lại đạt giá trị 0, hệ trục có Jxy = gọi hệ trục quán tính hay hệ trục d) Momen quán tính ly tâm hệ trục vuông góc, có hai trục đối xứng mặt cắt ngang Thật có trục trục đối xứng F = F1 + F2 thì: Do tính chất đối xứng nênĠ Do đó:Ġ e) Momen quán tính mặt cắt ngang dạng phức tạp trục tổng momen quán tính phần diện tích đơn giản mặt cắt ngang trục Ðiều với tất momen quán tính f) Nếu mặt cắt có hai trục đối xứng không vuông góc tất trục qua trọng tâm mặt cắt trục quán tính trung tâm Momen quán tính trục mặt cắt trục IV MOMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ MẶT CẮT NGANG Xác định momen quán tính mặt cắt ngang hình chữ nhật trục trung tâm X, Y Do hệ trục X, Y trục đối xứng nên Jxy = Momen quán tính trục X trục Y Tương tựĠ Xác định momen quán tính mặt cắt ngang hình tam giác trục x qua đáy Mặt cắt ngang hình tròn Trước hết ta tính momen quán tính cực mặt cắt ngang hình tròn Lấy diện tích phân tố dF diện tích hình vành khăn Ðể tính dF ta coi hình vành khăn hình chữ nhật dài 2(( rộng d( Do Ta có J( = Jx + Jy Mà Jx = = Jy Do đóĠ Nếu mặt cắt ngang hình tròn rỗng thì: Trong Ġv Ġ V CÔNG THỨC CHUYỂN TRỤC SONG SONG CỦA MOMEN QUÁN TÍNH Trong sức bền vật liệu, nhiều cần thiết phải xác định momen quán tính mặt cắt trục trung tâm Nhưng việc tính toán trục trung tâm khó khăn phức tạp nhiều so với việc tính tóan trục vị trí đặc biệt sau ta dùng công thức biến đổi để đưa trục trung tâm Ở ta thiết lập công thức biến đổi momen quán tính từ hệ trục 0xy hệ trục CXY trục trung tâm song song với Ta có: Nhưng hệ trục X, Y trục trung tâm nên Như vậy: mặt cắt ngang có trục trung tâm momen quán tính mặt cắt ngang trục trung tâm nhỏ Chú ý: trục x, y trục X, Y phải trục trung tâm VI HỆ TRỤC QUÁN TÍNH CHÍNH - CÔNG THỨC XOAY TRỤC CỦA MOMEN QUÁN TÍNH Hệ trục quán tính Ta biết xoay hệ trục momen quán tính ly tâm thay đổi có giá trị chuyển từ giá trị âm sang dương ngược lại Hệ trục có momen quán tính ly tâm gọi Hệ trục quán tính hay Hệ trục Nếu hệ trục quán tính lại qua trọng tâm mặt cắt ngang gọi Hệ trục quán tính trung tâm hay Hệ trục trung tâm Ðối với hệ trục trung tâm ta luôn có: SX = Sy= Jxy = Công thức xoay trục momen quán tính Ta tìm liên hệ momen quán tính mặt cắt ngang hệ trục oxy hệ trục ouv xoay với góc ( Ta có: Ta có nhận xét: a) Nếu cộng hai biểu thức Ju Jv vế với vế ta Ju + Jv = Jx + Jy Tức là: Tổng momen quán tính mặt cắt ngang hai trục vuông góc không đổi quay trục quanh giao điểm chúng b) Ta thấy công thức hoàn toàn tương tự công thức tính (( , ((+(/2 , (( chương trạng thái ứng suất c) Ðiều kiện để xác định hệ trục quán tính Juv = hoàn toàn giống điều kiện xác định mặt chương trạng thái ứng suất (uv = Vì ta sử dụng kết nghiên cứu chương trạng thái ứng suất để xác định hệ trục momen quán tính d) Giá trị dương đại lượngĠgọi bán kính quán tính mặt cắt trục tương ứng e) Ellip vẽ theo phương trìnhĠ gọi ellip quán tính mặt cắt Ơí trục x y trục quán tính Thông thường ellip quán tính vẽ hệ trục quán tính trung tâm mặt cắt Momen quán tính số mặt cắt ngang