- 50 - Chương 5 ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG 5.1. Khái niệm chung : Xét 1 dầm công xon tiết diện chữ nhật có cạnh (b × h) với h > b cùng chiều dài, cùng một loại vật liệu, cùng chịu một lực P như nhau trong 2 trường hợp : tiết diện để đứng (Hình 5.1a) và tiết diện nằm ngang (Hình 5.1b). Bằng trực giác ta nhận ra là trường hợp (a) chịu lực tốt hơn trường hợp thứ (b). Mặt khác ta thấy ứng suất ở trường hợp (b) gấp 4 lần ở trường hợp (a) và độ võng lại gấp 16 lần. Như vậy rõ ràng sức chịu của một thanh không những chỉ tuỳ thuộc vào loại vật liệu mà còn tuỳ thuộc vào hình dạng của mặt cắt ngang và sự phân bố của vật liệu trên mặt cắt. Những yếu tố đó được thể hiện trong những đặc trưng hình học của mặt cắt được nghiên cứu sau đây:. 5.2. Momen tĩnh: 5.2.1. Momen tĩnh đối với 1 trục: Định nghĩa : ∫∫ == F y F x xdFS;ydFS S x , S y là moment tĩnh của diện tích mặt cắt ngang đối với trục x, y. Thứ nguyên của S x , S y là (chiều dài) 3 . Vì x, y có thể âm hoặc dương nên momen tĩnh có thể có trị số âm hoặc dương. 5.2.2. Hệ quả: a) Khi momen tĩnh của diện tích F đối với trục nào bằng 0 thì trục đó gọi là trục trung tâm. b) Giao điểm của 2 trục trung tâm gọi là trọng tâm của mặt cắt . Gọi x c , y c là toạ độ trọng tâm của 1 hình, ta có : S x = F.y c , S y = F.x c ( với F là diện tích mặt cắt ngang ) Hình 5.1 P x y z z P x y Hình 5.2 x dF F y y y C x C x C O (b) (a) - 51 - Từ đó suy ra toạ độ trọng tâm của mặt cắt : F S y, F S x X c y c == c) Để tính momen tĩnh của các hình phứctạp ta phải chia nó thành nhiều hình đơn giản mà diện tích ( F i ) và toạ độ trọng tâm của chúng ( x i , y i ) đã biết trước. Khi đó ta có : ∑ = =+++= n i iinnx y.Fy.F y.Fy.FS 1 2211 ∑ = =+++= n i iinny x.Fx.F x.Fx.FS 1 2211 Toạ độ trọng tâm mặt cắt : ∑ ∑ ∑ ∑ == == i ii x c i ii y c F y.F F S y F x.F F S x 5.3. Momen quán tính của mặt cắt ngang: 5.3.1. Momen quán tính đối với 1 trục : ∫ ≥= F x dFyJ 0 2 ∫ ≥= F y dFxJ 0 2 Thứ nguyên của momen quán tính: (chiều dài ) 4 . Đơn vị: m 4 , cm 4 , …. 5.3.2. Momen quán tính độc cực : ∫ ≥ρ= F 2 p 0dFJ Vì 222 yx +=ρ nên J p = J x + J y 5.3.3. Momen quán tính ly tâm với hệ trục (x,y) ∫ = F xy dF.xyJ vì 0,J0,y,x xy ≥≤→≥≤ 5.3.4. Tính chất : a) Khi momen quán tính ly tâm đối với hệ trục nào đó bằng 0 thì hệ trục đó Hình 5.3 y x x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 O Hình 5.4 O x y y ρ x dF F - 52 - được gọi là được gọi là hệ trục quán tính chính. Nếu hệ trục quán tính chính qua trọng tâm mặt cắt thì được gọi là hệ trục quán tính chính trung tâm. b) Tại bất kỳ điểm nào trên mặt phẳng của mặt cắt ta cũng có thể xác định được một hệ trục quán tính chính. c) Nếu mặt cắt có 1 trục đối xứng thì bất kỳ trục nào vuông góc với trục đối xứng đó cũng lập với nó thành một hệ trục quán tính chính. 5.3.5. Momen quán tính của 1 số hình đơn giản : a) Hình chữ nhật: (Hình 5.5a) ∫ ∫ + − === F /h /h x bh bdyydFyJ 2 2 3 22 12 Tương tự : 12 hb J 3 y = b) Hình tam giác : (Hình 5.5b) 12 3 bh J x = c) Hình tròn – hình vành khăn : - Hình tròn: (Hình 5.6a) Vì ρπρ= ddF 2 , momen quán tính độc cực là : ∫ ∫ π =ρρπ=ρ= F R 0 4 32 p 2 R d2dFJ Do tính chất đối xứng nên ta nhận thấy ngay J x = J y , do đó ta có : J p = J x + J y = 2 J x = 2J y . Suy ra : 4 R 2 J JJ 4 p yx π === Hình 5.5 x y b dy h/2 y h a) b) b y dy y h Hình 5.6 b) D d y x dρ ρ y x R D a) - 53 - Nếu gọi D là đường kính đường tròn thì các công thức trên có thể viết lại : 4 yx 4 4 p D05,0JJ;D1,0 32 D J ==≈ π = - Hình vành khăn: (Hình 5.6b). ( ) ( ) 444 444 p 1D1,01 32 D 32 d 32 D J η−≈η− π = π − π = ( ) ( ) 444 4 p yx 1D05,01 64 D 2 J JJ η−≈η− π === , với D d =η . 5.4. Momen quán tính đối với hệ trục song song : Biết J x , J y ,J xy đối với hệ trục Oxy. Tìm J X , J Y ,J XY đối với hệ trục song song O 1 XY. Công thức chuyển trục : += += byY axX Do đó : ( ) ∫∫ +== F 2 F 2 X dFbydFYJ ( ) ∫∫ +== F 2 F 2 Y dFaxdFXJ ( )( ) ∫∫ ++== FF XY dFbyaxXYdFJ Khai triển và rút gọn ta được : x 2 xX bS2FbJJ ++= y 2 yY aS2FaJJ ++= yxxyXY bSaSabFJJ +++= Trường hợp đặc biệt : Nếu Oxy là hệ trục trung tâm, ta có S x = S y = 0, khi đó công thức trên chở thành: FbJJ xX 2 += FaJJ yY 2 += abFJJ xyXY += Ta nhận thấy momen quán tính đối với trục trung tâm là nhỏ nhất so với trục nào // với nó . 5.5. Công thức xoay trục với momen quán tính – Hệ trục quán tính chính: Hình 5.7 x x y y b dF F O O 1 Y X a M Y X Hình 5.8 u x y y dF F O v M x v u - 54 - Biết J x , J y ,J xy đối với hệ trục Oxy. Tìm J X , J Y ,J XY đối với hệ trục Ouv hợp với trục x một góc α theo chiều dương lượng giác . Công thức xoay trục : α−α= α+α= sinxcosyv sinycosxu (i) Theo định nghĩa ta có : ∫ = F u dFvJ 2 ; ∫ = F v dFuJ 2 ; dFuvJ F uv ∫ = (j) Thay công thức xoay trục vào (j) , khai triển và rút gọn ta được : ( ) α+α−= αα+α+α= αα−α+α= 2cosJ2sinJJ 2 1 J sincosJ2cosJsinJJ sincosJ2sinJcosJJ xyyxuv xy 2 y 2 xv xy 2 y 2 xu Biến đổi ta suy ra : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) α+α − = α+α − − + = α−α − + + = 2cosJ2sin 2 JJ J 2sinJ2cos 2 JJ 2 JJ J 2sinJ2cos 2 JJ 2 JJ J xy yx uv xy yxyx v xy yxyx u 5.5.1. Hệ quả : a) yxvu JJJJ +=+ b) Hệ trục quán tính chính 0=⇒ uv J yx xy JJ J tag − −=α⇔ 2 2 c) ( ) 2 xy 2 yx yx max J4JJ 2 1 2 JJ J +−+ + = d) ( ) 2 xy 2 yx yx min J4JJ 2 1 2 JJ J +−− + = Ngoài ra ta có thể biểu diễn MMQT của một hình với 1 trục như sau: F/JiF.iJ xx 2 xx =⇒= F/JiF.iJ yy 2 yy =⇒= (i x , i y gọi là bán kính quán tính [m 2 ]. ) - 55 - 5.5.2. Ví dụ : Xác định momen quán tính chính trung tâm của mặt cắt như hình vẽ . BÀI LÀM a) Ta phân mặt cắt đã cho thành mặt cắt chữ nhật I, II, III.(Hình 5.9) b) Xác định trọng tâm mặt cắt : - Vì mặt cắt có 1 trục đối xứng y nên trọng tâm phải nằm trên trục này. Ta có : 3 2052452 0525 0000 aa,.a.aa.a.a a,.Fa.FSSSS III III x II x I xx =+= ++=++= - Tung độ trọng tâm mặt cắt : a a.aa.aa.a a FFF S y IIIIII x c 3 5 642 20 3 0 = ++ = ++ = - Momen quán tính chính trung tâm : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 3 3 III y II y I yx 44 2 3 2 3 2 3 III x II x I xx a19 12 a6.a 12 a.a4 12 a2.a JJJJ a 3 143 3 50 2 1 9 25 3 16 9 200 6 1 a 3 a5 a.a6 12 a.a6 3 a5 a5,2a.a4 12 a4.a 3 a5 a5a.a2 12 a.a2 JJJJ =++=++= = ++ ++ += = ++ + −++ −+=++= Hình 5.9 6a 2a x 0 y C 5a 4a a a 2,5a y x a I II III . tính chính trung tâm của mặt cắt như hình vẽ . BÀI LÀM a) Ta phân mặt cắt đã cho thành mặt cắt chữ nhật I, II, III. (Hình 5.9) b) Xác định trọng tâm mặt cắt : - Vì mặt cắt có 1 trục đối xứng. Giao điểm của 2 trục trung tâm gọi là trọng tâm của mặt cắt . Gọi x c , y c là toạ độ trọng tâm của 1 hình, ta có : S x = F.y c , S y = F.x c ( với F là diện tích mặt cắt ngang ) Hình 5.1 . lần. Như vậy rõ ràng sức chịu của một thanh không những chỉ tuỳ thuộc vào loại vật liệu mà còn tuỳ thuộc vào hình dạng của mặt cắt ngang và sự phân bố của vật liệu trên mặt cắt. Những yếu tố đó được