Khái niệm chung : Xét 1 dầm công xon tiết diện chữ nhật có cạnh b h với h > b cùng chiều dài, cùng một loại vật liệu, cùng chịu một lực P như nhau trong 2 trường hợp : tiết diện để đứn
Trang 1Chương 5
ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG
5.1 Khái niệm chung :
Xét 1 dầm công xon tiết diện chữ nhật có cạnh (b h) với h > b cùng chiều dài, cùng một loại vật liệu, cùng chịu một lực P như nhau trong 2 trường hợp : tiết diện
để đứng (Hình 5.1a) và tiết diện nằm ngang (Hình 5.1b)
Bằng trực giác ta nhận ra là trường hợp (a) chịu lực tốt hơn trường hợp thứ (b) Mặt khác ta thấy ứng suất ở trường hợp (b) gấp 4 lần ở trường hợp (a) và độ võng lại gấp 16 lần
Như vậy rõ ràng sức chịu của một thanh không những chỉ tuỳ thuộc vào loại vật liệu mà còn tuỳ thuộc vào hình dạng của mặt cắt ngang và sự phân bố của vật liệu trên mặt cắt Những yếu tố đó được thể hiện trong những đặc trưng hình học của mặt cắt được nghiên cứu sau đây:
5.2 Momen tĩnh:
5.2.1 Momen tĩnh đối với 1 trục:
Định nghĩa :
F y F
x ydF ; S xdF S
Sx , Sy là moment tĩnh của diện tích mặt cắt
ngang đối với trục x, y
Thứ nguyên của Sx , Sy là (chiều dài)3
Vì x, y có thể âm hoặc dương nên momen tĩnh
có thể có trị số âm hoặc dương
5.2.2 Hệ quả:
a) Khi momen tĩnh của diện tích F đối với trục nào bằng 0 thì trục đó gọi là trục
trung tâm.
b) Giao điểm của 2 trục trung tâm gọi là trọng tâm của mặt cắt
Gọi xc , yc là toạ độ trọng tâm của 1 hình, ta có : Sx = F.yc , Sy = F.xc
( với F là diện tích mặt cắt ngang )
Hình 5.1
P x
y z z
P
x y
Hình 5.2
x
dF
F
y y
yC
xC
x
C
O (b) (a)
Trang 2Từ đó suy ra toạ độ trọng tâm của mặt cắt :
F
S y , F
S
xc y c X
c) Để tính momen tĩnh của các hình phứctạp ta phải chia nó thành nhiều hình đơn giản mà diện tích ( Fi ) và toạ độ trọng tâm của chúng ( xi , yi) đã biết trước
n
i i i n
n
x F y F y F y F y S
1 2
2 1 1
n
i i i n
n
y F x F x F x F x S
1 2
2 1 1
Toạ độ trọng tâm mặt cắt :
i
i i x
c
i
i i y
c
F
y F F
S y
F
x F F
S x
5.3 Momen quán tính của mặt cắt ngang:
5.3.1 Momen quán tính đối với 1 trục :
F
x y dF
F
y x dF
Thứ nguyên của momen quán tính: (chiều dài )4 Đơn vị: m4, cm4, …
5.3.2 Momen quán tính độc cực :
F
2
J
Vì 2 x 2 y 2
nên Jp = Jx + Jy
5.3.3 Momen quán tính ly tâm với hệ trục (x,y)
F
xy xy dF J
vì x , y , 0 Jxy , 0
5.3.4 Tính chất :
a) Khi momen quán tính ly tâm đối với hệ trục nào đó bằng 0 thì hệ trục đó
được gọi là được gọi là hệ trục quán tính chính Nếu hệ trục quán tính chính qua trọng tâm mặt cắt thì được gọi là hệ trục quán tính chính trung tâm.
b) Tại bất kỳ điểm nào trên mặt phẳng của mặt cắt ta cũng có thể xác định được một hệ trục quán tính chính
c) Nếu mặt cắt có 1 trục đối xứng thì bất kỳ trục nào vuông góc với trục đối
Hình 5.3
y
x
x1
x2
x3
y 1
y 2
y 3
O
Hình 5.4
O
x
y y
x dF F
Trang 3xứng đó cũng lập với nó thành một hệ trục quán tính chính.
5.3.5 Momen quán tính của 1 số hình đơn giản :
a) Hình chữ nhật: (Hình 5.5a)
F
/ h / h x
bh bdy y dF
y
J
2
2
3 2
2
12
Tương tự :
12
hb J
3
b) Hình tam giác : (Hình 5.5b)
12
3
bh
Jx
c) Hình tròn – hình vành khăn :
- Hình tròn: (Hình 5.6a)
Vì dF 2 d , momen quán tính độc cực là :
F
R 0
4 3
2 p
2
R d
2 dF J
Do tính chất đối xứng nên ta nhận thấy ngay Jx = Jy , do đó ta có :
Jp = Jx + Jy = 2 Jx = 2Jy
Suy ra :
4
R 2
J J J
4 p
y x
Nếu gọi D là đường kính đường tròn thì các công thức trên có thể viết lại :
y x 4 4
32
D
- Hình vành khăn: (Hình 5.6b).
Hình 5.5
x y
b
y
d
y
x
d
y
x R
Trang 4 4 4 4
4 4
4
32
D 32
d 32
D
J
4 4 4
4 p
y
64
D 2
J J
D
d
5.4 Momen quán tính đối với hệ trục song song :
Biết Jx , Jy ,Jxyđối với hệtrục Oxy Tìm JX , JY ,JXY đối với hệ trục song song O1XY
Công thức chuyển trục :
b y Y
a x X
Do đó :
F
2 F
2
F
2 F
2
J
F F
XY XYdF x a y b dF
J
Khai triển và rút gọn ta được :
J X J x b2F 2 bS x
J Y J y a2F 2 aS y
y x xy
Trường hợp đặc biệt : Nếu Oxy là hệ trục trung tâm, ta có Sx = Sy = 0, khi đó công thức trên chở thành:
JX Jx b 2 F
JY Jy a 2 F
JXY Jxy abF
Ta nhận thấy momen quán tính đối với trục trung tâm là nhỏ nhất so với trục nào // với nó
5.5 Công thức xoay trục với momen quán tính – Hệ trục quán tính chính:
Biết Jx , Jy ,Jxy đối với hệ trục Oxy
Tìm JX , JY ,JXY đối với hệ trục Ouv hợp
với trục x một góc theo chiều dương
lượng giác
Công thức xoay trục :
sin x cos y v
sin y cos x u
(i) Theo định nghĩa ta có :
F
u v dF
;
F
v u dF
; J uvdF
F
uv (j) Thay công thức xoay trục vào (j) , khai triển và rút gọn ta được :
2
c os J
2
s in J
J 2 J
sin
co s J
2 cos
J sin
J J
sin
c os J
2 sin
J
c os J
J
xy y
x uv
xy 2
y 2
x v
xy 2
y 2
x u
Biến đổi ta suy ra :
Hình 5.7
y y
O
O1
Y
X a
M Y
X
Hình 5.8
u x
y
O
v
M x
Trang 5
2 cos J
2 sin 2
J J
J
2 sin J
2 cos 2
J J
2 J J
J
2 sin J
2 cos 2
J J
2 J J
J
xy y
x uv
xy y
x y
x v
xy y
x y
x u
5.5.1 Hệ quả :
a) J u J v J x J y
b) Hệ trục quán tính chính Juv 0
y x
xy
J J
J tag
xy
2 y x y
x
2
1 2
J J
xy
2 y x y
x
2
1 2
J J
Ngoài ra ta có thể biểu diễn MMQT của một hình với 1 trục như sau:
J i 2 F ix Jx/ F
x
J i 2 F iy Jy/ F
y
y
(ix , iy gọi là bán kính quán tính [m2] )
5.5.2 Ví dụ :
Xác định momen quán tính chính trung tâm của mặt cắt như hình vẽ
BÀI LÀM
a) Ta phân mặt cắt đã cho thành mặt cắt chữ nhật I, II, III.(Hình 5.9)
b) Xác định trọng tâm mặt cắt :
- Vì mặt cắt có 1 trục đối xứng y nên trọng tâm phải nằm trên trục này
20 5 2 4 5 2
0 5 2 5
0 0 0 0
a a , a a a a a
a , F a F S S S
Sx Ix IIx IIIx I II
- Tung độ trọng tâm mặt cắt :
a a a a a a a
a F
F
F
S
y
III II
I
x
c
3
5 6
4 2
20 3
0
- Momen quán tính chính trung tâm :
Hình 5.9
6a
2a
x0
y C
y
x a
I II
III
Trang 6
3 3
3 III
y II
y
I
y
x
4 4
2 3
2 3
2 3
III
x
II
x
I
x
x
a 19 12
a 6 a 12
a a 4 12
a 2 a J
J
J
J
a 3
143 3
50 2
1 9
25 3
16 9
200 6
1 a
3
a 5 a a 6 12
a a 6
3
a 5 a 5 , 2 a a 4 12
a 4 a
3
a 5 a 5 a a 2 12
a a 2 J
J
J
J