Xoắn những thanh phẳng có mặt cắt tròn ngang

Định nghĩa: Một thanh chịu xoắn thuần tuý là thanh chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang của thanh chỉ có một thành phần nội lực là mô men xoắn M Z.. Ngoại lực khiến thanh bị xoắn có

Chương 6

6.1 KHÁI NIỆM CHUNG

Định nghĩa: Một thanh chịu xoắn thuần tuý là thanh chịu lực sao cho trên mọi

mặt cắt ngang của thanh chỉ có một thành phần nội lực là mô men xoắn M Z

Ví dụ: Trục của động cơ, máy cắt, lò xo, v.v

Ngoại lực khiến thanh bị xoắn có thể là những mô men tập trung M1, M2, M3 hoặc những mô men phân bố tác dụng trong những mặt cắt vuông góc trục thanh Những mô men này gọi là

mô men xoắn ngoại lực Khi tính toán, ta biểu diễn thanh chịu lực

bằng sơ đồ như trên hình (6.1b)

6.2 MÔ MEN XOẮN VÀ BIỂU

ĐỒ MÔ MEN XOẮN

Muốn xác định mô men xoắn nội lực trên các mặt cắt ngang của thanh ta dùng phương pháp mặt cắt

Ví dụ để tính Mz tại mặt cắt 1-1 của thanh, ta

tưởng tượng dùng mặt phẳng qua 1-1 thẳng góc với

trục thanh, cắt thanh ra làm hai phần, xét sự cân bằng

của một trong hai phần đó Ví dụ phần bên trái (xem

hình 6.2).Ta có:

∑mz = 0⇒M1 − M2 − M3 + Mz = 0

⇒Mz = M2 + M3 − M1

Như vậy mô men xoắn nội lực tại một mặt cắt

nào đó bằng tổng đại số các mô men xoắn ngoại lực

tác dụng lên phần đang xét

Ta quy ước dấu của Mz như sau: Nếu nhìn vào mặt cắt ta thấy Mz quay cùng chiều với chiều kim đồng hồ thì Mz > 0, ngược lại MZ < 0 (xem hình 6.3)

Để biết sự thay đổi của Mz dọc theo trục thanh ta vẽ biểu đồ nội lực Mz dọc theo

thanh

Ví dụ 1:Vẽ biểu đồ nội lực Mz của thanh chịu lực như hình vẽ 6.4a, biết:

m M 1 M 2 M 3

a)

b)

M 1 M 2 M 3

m

Hình 6.1: a- M t thanh ch u xo n;

b- S bi u di n

z

z

Hình 6.3: Chi u c a mô men xo n a-chi u d ng; b- chi u âm

z

I

M 4

I

M Z

Hình 6.2 Cách tính mô men xo n

M1 = 500Nm ; M2 = 400Nm ; M3 = 200Nm ; m = 500Nm m

Dùng phương pháp mặt cắt tính Mz trên từng đoạn

Trên AB : Mz1 - mz = 0 0 ≤ z ≤ 0,6m (hình 4.6b)

Mz1 = mz = 500z Trên BC : Mz2 = m.0,6 = 500.0,6 = 300 Nm (hình 4.6c)

Trên ED : Mz4 = 200 Nm (hình 4.6d)

Trên DC : Mz3 = 200 - 400 = - 200 Nm (hình 4.6e)

Biểu đồ (Mz) như hình vẽ 4.6f

* Chú ý: Khi xét sự cân bằng của một phần náo đó ta nên chọn phần có ít ngoại lực tác dụng

Nhận xét: Tại mặt cắt mô men xoắn ngoại lực tập trung tác dụng, biểu đồ có bước nhảy, giá trị bước nhảy này bằng giá trị của mô men tập trung tương ứng

6.3 LIÊN HỆ GIỮA MÔ MEN XOẮN NGOẠI LỰC VỚI CÔNG SUẤT VÀ SỐ VÒNG QUAY CỦA TRỤC TRUYỀN

Khi biết công suất của động cơ chuyển đến trục truyền, ta có thể xác định mô men xoắn ngoại lực tác dụng lên trục đó

Công A do M (hoặc ngẫu lực) thực hiện khi trục quay một góc α trong thời gian t là: A = Mα

Vậy công suất W sẽ là:

= = α = Mω

t

M t

A W

M

α

H×nh 6.4: Ph ng pháp v bi u mô men xo n

m

300Nm

200Nm

200Nm

M z2

60cm 50cm 40cm 40cm

M z3 M 2 M 3

M 3

Mz4

z

z

40cm

=

⇒ M W (6-1) Trong đó: M- Mô men xoắn ngoại lực tính ra Nm

W- Công suất tính ra W (watt)

ω- Vận tốc góc tính ra rad/s

rad/s

30

n 60

n

=

π

=

ω (6.2) với n : số vòng/phút

Ví dụ 2: Trên trục truyền có ba puli bị động (1, 2, 4) và một puli chủ động (3)

Puli (3) truyền cho trục truyền một công suất W3 = 110KW

Puli (1) nhận được một công suất là W1 = 40KW

Puli (2) nhận được một công suất là W2 = 20KW

Puli (4) nhận được một công suất là W4 = 50KW

Các puli này truyền công suất nhận được đến những nguồn tiêu thụ Trục truyền quay đều với vận tốc n = 100 vòng/phút Vẽ biểu đồ mô men xoắn Mz

Bài giải:

Ta có:

s / rad 46 , 10 30

100 14 , 3 30

= π ω

Mô men tác động lên các puli:

ωi

i

W

M =

) KNm ( 822 , 3 46 , 10

40 W

ω

=

) KNm ( 911 , 1 46 , 10

20 W

ω

=

) KNm ( 78 , 4 46 , 10

50 W

ω

=

) KNm ( 515 , 10 46 , 10

110 W

ω

=

Vì trục quay đều nên ta có thể xem trục được cân bằng dưới tác dụng của các mô men M1, M2, M3, M4 Biểu đồ (Mz) trên hình 6.6

6.4 ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGANG CỦA THANH TRÒN CHỊU XOẮN

6.4.1 Quan sát biến dạng: Trước khi xoắn ta kẻ lên bề mặt của thanh những đường

thẳng song song với trục thanh biểu diễn các thớ dọc và những đường tròn vuông góc với trục thanh biểu diễn các mặt cắt ngang (hình 6.7a)

Tác dụng mô men xoắn vào đầu thanh, sau khi thanh bị biến dạng ta thấy các đường thẳng song song với trục trở thành những đường xoắn ốc, các đường tròn vẫn tròn

và vuông góc trục thanh (hình 6.7b)

Mạng lưới chữ nhật gần như mạng lưới hình bình hành

Hình 6.6:Tính mô men xo n qua công su t

W 1 W 2 W 3 W 4

M1 M2 M3 M4

3,822

5,735

4,780

M z (KNm)

a)

b)

c)

6.4.2 Các giả thuyết

Từ những điều quan sát trên, ta đưa ra các giả thuyết sau để làm cơ sở tính toán

cho một thanh tròn chịu xoắn:

a) Giả thuyết 1 (về mặt cắt ngang)

Trước và sau biến dạng các mặc cắt ngang vẫn phẳng, vuông góc với trục thanh và khoảng cách giữa chúng không thay đổi

b) Giả thuyết 2 (về các bán kính)

Trước và sau biến dạng các bán kính vẫn thẳng và có chiều dài không đổi

c) Giả thuyết 3 (về các thớ dọc)

Trong quá trình biến dạng các thớ dọc không ép lên nhau hoặc đẩy nhau

Ngoài các giả thuyết trên ta luôn luôn xem rằng vật liệu tuân theo định luật HoooKe, nghĩa là tương quan giữa ứng suất và biến dạng là bậc nhất

6.4.3 Thiết lập công thức tính ứng suất

Tưởng tượng tách một phân tố ABCDEFGH trên thanh tròn chịu xoắn thuần tuý giới hạn bởi:

* Hai mặt cắt 1-1, 2-2 cách nhau dz

* Hai mặt trụ đồng trục có bán kính ρ và ρ + dρ

* Hai mặt phẳng chứa trục thanh và hợp với nhau một góc dα

- Theo giả thuyết a), c) ⇒ σx = σy = σz = 0

- Theo b) ⇒ Không có thành phần ứng suất tiếp dọc theo phương bán kính

- Vậy chỉ có một thành phần ứng suất tiếp theo phương tiếp tuyến τρ

Nghĩa là phân tố trên ở trạng thái trượt thuần tuý

Sau khi thanh bị biến dạng, mặt cắt ngang 1-1 sẽ bị xoay đi một góc ϕ và mặt cắt 2-2 ở đầu mút phải có hoành độ z+dz sẽ bị xoay đi một góc ϕ+dϕ so với đầu cố định bên trái.Ta có thể giả thuyết 1-1 đứng yên, còn 2-2 xoay một góc dϕ; A, B, C, D lần lượt trượt đến A’, B’, C’, D’ (trên hình 6.8 ) Góc tạo giữa hai mặt phẳng A’D’HE và ADHE là γρ ,

đó là góc trượt tương đối giữa hai mặt cắt 1-1, 2-2 do τρ gây ra

Theo hình vẽ có:

dz

d EA

' AA

Vì biến dạng bé, nên tg γρ ≈ γρ, suy ra

dz

dϕ ρ

=

γρ (a) Theo định luật HooKe về trượt:γρ τρ

G

1

= (b)

Hình 6.7:Bi n d ng khi xo n

x x

M z

a) b)

Trong đó: G - mô dun đàn hồi trượt, hằng số đối với từng loại vật liệu; τρ - ứng suất tiếp trên phân tố cách trục thanh một đoạn ρ

Từ (a) và (b) ,

suy ra τρ ϕ ρ

dz

d G

Trong đó:

dz

dϕ

- hằng số đối với từng mặt cắt

Thứ nguyên của G là:

lực/ (chiều dài )2

Do đó τρ phân bố bậc nhất

theo ρ

Bây giờ để xác định công

thức tính ứng suất tiếp ta còn phải

xem mối quan hệ của nó với mô men

xoắn nội lực Mz tại điểm A ta sẽ có τρ

tác dụng τρ phân bố trên diện tích dF quanh điểm A (cách tâm một đoạn ρ) hình 6.9

Hợp lực τρ và dF, gây ra một mô men xoắn đối với trục z:

dMz = ρτρdF

Hợp lực các mô men vi phân dMz, chính là mô men

xoắn nội lực Mz

dz

d G dF dM

M

F F

F z

Z =∫ = ∫ ρτρ =∫ ρ ϕρ = ϕ ∫ ρ = ϕ

dz

d G dF dz

d G

p

z J

M dz

d

Cuối cùng ta có công thức tính ứng suất tiếp tại một

điểm cách ρ bằng:

τρ ρ

p

z J

M

=

Trong đó: τρ- Ứng suất tiếp tại điểm đang xét; ρ - Khoảng cách từ điểm tính ứng suất tiếp đến tâm O của mặt cắt ngang; Mz- Mô men xoắn nội lực của mặt cắt ngang đang xét; Jp - Mô men quán tính độc cực của mặt cắt ngang đang xét

Trong công thức trên ρ và Jp đều dương, nên chiều của τρ cùng chiều quay của Mz

trên mặt cắt ngang đó

6.5 BIỂU ĐỒ ỨNG SUẤT TIẾP TRÊN MẶT CẮT NGANG

- Qui luật phân bố của ứng suất tiếp đọc theo bán kính của mặt cắt là bật 1

- Những điểm nằm trên cùng một đường tròn thì có cùng ứng suất tiếp

- Khi ρ = 0, tại tâm mặt cắt ngang: τρ = 0

ρ = ρmax=R ; thì τρ = τmax = R

J

M J

M

p

z max

p

z ρ =

Hình 6.8: Bi n d ng c a phân t

A

B

C G

H

D′

A′ dϕ

dα

γρ

dz

C′

B ’

E

1

1

2

2

Hình 6.9: Xác nh

ng su t ti p

ρ A

dF

τρ

M z

Trong đó R: bán kính mặt cắt ngang tròn

Có thể viết lại:

p

z p

z max

W M R J

M =

=

τ (6-4)

Trong đó

max

p p p

J R

J w

ρ

=

= gọi là mô men chống xoắn của mặt cắt ngang

Thứ nguyên [WP]=[(chiều dài)3]

* Đối với mặt cắt tròn đặc:

p 3 3

p 0,2D

16

D 2 D

J

w = = π ≈ (6-5) Trong đó: D - Đường kính

* Đối với mặt cắt vành khăn

2 D

J J

max

p

ρ

=

( )

( 4)

3

4 3

1 D 2 , 0

1 16 D

η

−

≈

η

−

π

=

với d D=η

d = 2r: đường kính nhỏ

D = 2R: đường kính

lớn

Đồ thị phân bố của τρ theo bán kính của mặt cắt ngang được biểu diễn như hình

vẽ 6.10a,b

Ví dụ 3 :Trên mặt cắt ngang của một thanh tròn đặc chịu Mz = 2.104 Nm

Tính ứng suất tiếp τρ tại điểm A ứng với ρ = 0,03m và τmax ? Cho D = 0,1m

τρ = ρ

p

z J

M

p 0,1D 10 m

5

4

m / N 10 6 03 , 0 10

10 2

=

=

5

4 max 0,05 10 N/m 10

10

τ

6.6.BIẾN DẠNG CỦA THANH TRÒN CHỊU XOẮN

Khi thanh tròn chịu xoắn, biến dạng xoắn của thanh được thể hiện bằng sự xoay tương đối giữa các mặt cắt ngang quanh trục của nó Góc xoay giữa hai mặt cắt được gọi

là góc xoắn của đoạn thanh giới hạn bởi các mặt cắt đó Ta hãy thiết lập công thức tính góc xoắn của một đoạn thanh nào đó có chiều dài là l

O D=0,1m

M z

A

Hình 6.11: Tính

ng su t ti p

Hình 6.10: Bi u ng su t ti p

τp

τma x

ρ

M z

ρ

M z

τp

τmax

Đã có : dz

GJ

M d

GJ

M dz

d

p

z p

z ⇒ =

ϕ

= ∫l

0 p

z dz GJ

M

ϕ (6-6)

- Trên suốt chiều dài l, nếu

p

z p

z

GJ

l M const

GJ

M

=

⇒

= ϕ (6-7)

- Nếu

pi

zi GJ

M thay đổi dọc theo chiều dài thanh thì ta chia thanh ra nhiều đoạn li

=

=

⇒

1

i i pi

i zi pi

zi

J G

l M const

GJ

-Tổng hợp : ∑∫

=

= n 1 i

l

0 i pi zi

i

dz J G

M

(ϕ có đơn vị Radian )

* Tỷ số

dz

dϕ

gọi là góc xoắn trên một đơn vị chiều dài và được gọi là góc xoắn

tỉ đối

Ký hiêụ: θ =

p

z J G

M dz

Đơn vị của θ là:

cm

1

; m

1

; cm

Rad

; m Rad

* Tích số GJp được gọi là độ cứng chống xoắn, ý nghĩa vật lý của nó là: Khi độ cứng GJp tăng thì góc xoắn tỉ đối θ giảm và ngược lại

Ví dụ 4: Một trục bậc chịu tác dụng của mô

men phân bố có cường dộ m = 2 KNm/m và mô

men tập trung M = 2,5KNm

Tính :1 Góc xoắn tuyệt đối tại A (ϕAE)

2 Góc xoắn của đoạn BD (ϕBD)

Biết D1 = 2cm, D2 = 3cm, G = 8.103 KN

/cm2

Bài giải:

Trước hết vẽ biểu đồ Mz (xem hình 6.12)

1) ϕA =ϕAE

ϕ =20∫ + +

2 z

pl 1 AE

1

2

J G

l M dz J G

mz

2 2

z

2 2

3 2

J G

M J

G

l

+ +

⋅

⋅

= 20

2 4

3 8 10 0,1 2

40 10 4 , 0 2

1 , 0 10 , 8

2

dz

4 3

2 4

3

2

3 1 , 0 10 8

40 10 8 , 1 3

1 , 0 10 8

20 10 4 , 0

⋅

⋅

⋅

⋅

− +

⋅

⋅

⋅

⋅ +

ϕA =ϕAE = 0,057 (Rad)

Hình 6.12:Bi u mô men xo n

0,4m 0,2m 0,2m 0,4m

0,4KNm

1,8KNm

A

B

C D E

m

2)

2 3 1

2

p 2

3 z

p 1

2 z BD

J G

l M J

G

l M

+

= ϕ

3 1 , 0 10 8

20 10 4 , 0 2 1 , 0 10 8

40 10 4 , 0

4 3

2 4

3

2

⋅

⋅

⋅

⋅ +

⋅

⋅

⋅

⋅

=

ϕ

Qua ví dụ trên, ta nhận thấy cần chú ý đến dấu của Mz và J mô men quán tính của mặt cắt ngang trong đoạn cần tính

6.7 TÍNH THANH CHỊU XOẮN

Một thanh chịu xoắn thường phải bảo đảm hai điều kiện: bền và cứng

6.7.1 Điều kiện bền

Muốn bền thì: τ = ≤[ ]τ

p

z max

W

M max

(6-11)

Trong đó: [τ] =

n

0 τ

Đối với vật liệu dẻo τ0=τch ; đối với vật liệu giòn τ0=τb

Từ điều kiện bền, ta suy ra 3 bài toán cơ bản: kiểm tra bền, xác định tải trọng cho phép và chọn kích thước mặt cắt ngang

6.7.2.Điều kiện cứng Muốn cho một thanh chịu xoắn không bị biến dạng lớn thì:

≤

= θ

p

z max

GJ

M max

[θ] được cho trong các sổ tay kỹ thuật [θ] = (0,15 → 2)0/m

Từ điều kiện cứng ta cũng suy ra được ba bài toán cơ bản: Kiểm tra cứng, xác định tải trọng cho phép và xác định kích thước mặt cắt ngang

* Chú ý: Nếu đơn vị của [θ] (0/m) thì khi tính các bài toán theo điều kiện cứng

phải đổi ra: rad/m hoặc rad/cm

Ví dụ 5: Chọn kính thước của mặt cắt ngang thanh tròn chịu xoắn như hình vẽ

6.13 trong hai trường hợp:

- Khi thanh là tròn đặc

- Khi thanh là tròn rỗng 0,7

Dd =

=

Cho biết :

; Nm 256 M

; m / MN 10 8

G

; m 4

1

; m / N 10 5 , 4

1 2 4

0 2

7

=

=

= θ

=

τ

M2 = 3M1

Bài giải: Biểu đồ Mz như trên hình vẽ

6.13 Những mặt cắt trên BC:

max |Mz| = 2M1 = 2⋅256 = 512 (Nm)

* Trường hợp thanh tròn đặc

- Điều kiện bền: τmax = [ ]

GJ

| M

| max p

z ≤ τ

A

B C

Hình 6.13:Bi u mô men xo n

2M 1

M 1

(Mz)

=> wp ≥ z max 7

10 5 , 4

512 ]

[

| M

|

= τ 0,2D3 ≥ 7

10 5 , 4

512

⋅ => D ≥ 3,84 10

-2 m (a)

- Điều kiện cứng :

θmax =

m

rad 180 4

1 m / 4

1 ] [ ];

[ GJ

| M

p

max

z ≤ θ θ = = ⋅ π ⋅

=> Jp = 0,1D4 ≥ 4

10 max

z

1 , 0 14 , 3 10 8

180 4 512 D

] [ G

| M

|

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

≥

=>

θ

=> D ≥ 6,189.10-2m (b)

Từ (a) và (b) , chọn [D] = 6,2 cm (kích thước lớn hơn để thỏa mãn cả 2 điều kiện)

* Trường hợp thanh tròn rỗng: Jp = 0,1D4 (1-η4); Wp = 0,2D3 (1-η4)

- Từ điều kiện bền: D ≥ 4,21 10 (m)

) 7 , 0 1 ( 10 5 , 4 2 , 0

3

4 7

−

⋅

≈

−

⋅

- Từ điều kiện cứng: D ≥ 6,63 10 (m)

) 7 , 0 1 ( 14 , 3 10 8 1 , 0

4 150

4

4 9

−

⋅

≈

−

⋅

⋅

Từ (c) và (d) chọn: [D] = 6,63cm và [d] = 6,63⋅0,7= 4,64 cm

6.8 XOẮN THUẦN TÚY THANH CÓ MẶT CẮT NGANG KHÔNG TRÒN

Thí nghiệm xoắn các thanh có mặt cắt ngang không tròn cho thấy giả thuyết mặt cắt ngang phẳng không còn đúng nữa Sức bền vật liệu không giải quyết các bài toán này Sau đây ta công nhận một số kết quả đã

chứng minh trong lý thuyết đàn hồi

* Thanh có mặt cắt ngang chữ nhật: Trên

mặt cắt ngang của thanh bị xoắn thuần túy chỉ có

ứng suất tiếp

Hình 6.14 biểu diễn luật phân bố của τ dọc

theo các trục đối xứng, các đường chéo và các

cạnh của mặt cắt ngang τmax phát sinh tại điểm

giữa của các cạnh dài và tính theo công thức:

τ1 = τmax= z2

ab

M

a: Cạnh dài, b: Cạnh ngắn

α: Hệ số tra bảng phụ thuộc

b

a

Viết lại τ1 = τmax =

W

Mz , với Wxoắn = αab2

Ứng suất tiếp tại điểm giữa các cạnh ngắn

có giá trị lớn thứ 2 và được tính: τ2= γτ1 (6-14)

Hình 6.14: Lu t phân b τ d c theo tr c i x ng

τ2

τ1=τmax

Mz

b

x

y

xo n

131

Trong đó: γ - hệ số , tra bảng phụ thuộc

b

a Trong câc tính toân sau năy của Sức Bền Vật Liệu thường chỉ cần biết τ1, τ2.

Góc xoắn tỉ đối θ được tính theo công thức:

θ = z 3

b a G

M

β ; β: hệ số tra bảng phụ thuộc ba (6-15) Viết lại: θ = 3

xoắn xoắn

z với J ab J

G

Bảng 6.1: Bảng hệ số α, β, γ

α 0,208 0,239 0,239 0,246 0,258 0,267 0,282 0,299 0,307 0,313 0,333

β 0,141 0,196 0,214 0,229 0,249 0,263 0,281 0,299 0,307 0,313 0,333

γ 1 0,859 0,820 0,795 0,766 0,753 0,745 0,743 0,742 0,742 0,742

Từ bảng trín ta thấy khi

b

a ≥ 10 (tức hình chữ nhật hẹp), thì ta lấy α = β =

3

1

* Ví dụ 6: Cho một thanh bằng thĩp dăi 1m, mặt cắt ngang lă hình chữ nhật có

chiều rộng a=0,22m, chiều cao b = 0,1m, mô men xoắn tâc dụng lín thanh lă M=2,5.106Nm Xâc định ứng suất ở câc điểm giữa của câc cạnh vă góc xoắn ϕ của thanh

; cho biết G = 8.1010N/m2

Giải : 2,2

1 , 0

22 , 0 b

a

=

= ; dùng phương phâp nội suy giữa 2

b

a = vă 2,5

b

a =

Trong bảng để tìm giâ trị α,β,γ vă ứng với 2,2

b

a = của băi toân:

2

6 2

z 4,53 10 N/m

) 1 , 0 ( 22 , 0 251 , 0

10 5 , 2 ab

M

⋅

=

⋅

⋅

=

α

τ2= γ τ1 = 0,783⋅4,53⋅107 = 3,55⋅107N/m2

) 1 , 0 ( 22 , 0 237 , 0 10 8

1 10 5 , 2 b

a G

l M

6 3

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

=

⋅

⋅

⋅

=

⋅

=

β θ

ϕ

6.9 NGUYÍN TẮC CHUNG ĐỂ GIẢI BĂI TOÂN SIÍU TÍNH

Ngoăi câc phương trình cđn bằng tĩnh học độc lập ta cần phải lập thím phương

trình biến dạng nữa mới giải được

* Ví dụ 7: Hêy vẽ biểu đồ Mz của thanh chịu xoắn như hình ve 6.15 Cho biết a, b, M

Giải: Bỏ ngăm tại A,B vă thay văo đó

mô men phản lực MA, MB.Phương trình cđn bằng tĩnh học độc lập :Σmz = 0, suy ra

MA + MB = M (1)

Để hệ mới tương đương với hệ cũ ta

có phương trình biến dạng: ϕAB = 0

M

M

a b

a b

M-M B

M A

M B