Bài tập sức bền vật liệu- chương 3 Thanh chịu kéo nén đúng tâm

Bài tập sức bền vật liệu,chương 3, Thanh chịu kéo nén đúng tâm

Chương 3: Thanh chòu kéo-nén đúng tâm Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu Trang 1 TTT_03/2013 Chương 03 THANH CHỊU KÉO-NÉN ĐÚNG TÂM I) TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1) Tồn tại duy nhất một thành phần nội lực, lực dọc Z N trên mặt cắt ngang. 2) Qui ước dấu của nội lực: 0 Z N  khi hướng ra mặt cắt (kéo) . 3) Vẽ biểu đồ nội lực lực dọc Z N : o Biểu đồ lực dọc hơn biểu đồ tải phân bố một bậc. o Nếu trên sơ đồ tính có lực tập trung biểu đồ Z N có bước nhảy, giá trò bước nhảy bằng giá trò lực tập trung, nhảy về dương khi lực gây kéo, nhảy về âm khi lực gây nén. o Z N cuối đoạn bằng Z N đầu đoạn cộng hợp lực phân bố trên đoạn đó (hợp lực phân bố kéo dương, nén âm). 4) Đònh luật Hooke: . Z Z E    ( z  : ứng suất pháp dọc trục, E : môđun đàn hồi của vật liệu, z  : biến dạng dài dọc trục) 5) Z N sinh ra ứng suất pháp dọc trục phân bố đều trên mặt cắt ngang: Z Z N F   o Z N : nội lực tại mặt cắt có điểm tính ứng suất. o F : diện tích mặt cắt ngang có điểm tính ứng suất. 6) ng suất trên mặt cắt nghiêng Z X Y Z N 1 P 2 P N P Z  A dz dz  Z  2 cos sin 2 2 u Z Z uv              Chương 3: Thanh chòu kéo-nén đúng tâm Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu Trang 2 TTT_03/2013 7) Biến dạng dài dọc trục: Z L N L dz EF    ;   % Z L L    Khi EF const  trên từng đoạn chiều dài i L : 1 Z n N i i S L EF           Trong đó: z N S _Diện tích biểu đồ lực dọc z N E _Môđun đàn hồi của vật liệu F _Diện tích mặt cắt ngang Z  u  uv  u v  1  u Z  Z  1 1 1 u  uv  0 90  0 90 0 45 0 45   x  0,5 x  0,5 x   0 u  uv  x  x  2 x  2 x  2 x  2 x  2 x  2 x  0 45 x  x  2 x  2 x  2 x  2 x  2 x  2 x  0 45 Chương 3: Thanh chòu kéo-nén đúng tâm Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu Trang 3 TTT_03/2013 Hình 3.1a 2 a a A B C 0 60 , E F q 8) Quan hệ giữa biến dạng dài dọc trục và biến dạng: . n z      (  là hệ số Poisson) 9) Thế năng biến dạng đàn hồi: 2 2 z L N U dz EF   10) Biểu đồ kéo-nén vật liệu: 11) Điều kiện bền: o Vật liệu dẻo:     max max z z N F     ;   ch n    o Vật liệu dòn:         max min ; ; k b k k n b n n n n                    12) Điều kiện cứng:   L L    hoặc L L L L          II) VÍ DỤ 3.1. Ví dụ 1: Thanh AB tuyệt đối cứng chòu liên kết gối cố đònh tại A, đầu B được giữ bởi thanh BC như hình 3.1a. Thanh BC làm bằng vật liệu có môđun đàn hồi E , ứng suất cho phép    và có diện tích mặt cắt ngang F . Biết   2 4 2 250 / ; 1,5 ; 25 / ; 2.10 / q kN m a m kN cm E kN cm      a) Xác đònh phản lực liên kết tại gối A và ứng lực trong O l  P A B C D E tl P b P n b P k b P P P l  l  O O 0 b b b P P F    0 ch ch ch P P F    0 tl tl tl P P F    0 n n n b b b P P F    0 k k k b b b P P F    ch P Chương 3: Thanh chòu kéo-nén đúng tâm Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu Trang 4 TTT_03/2013 Hình 3.1b 2 a A B 0 60 q A Y A X B N Hình 3. 1 a A B C 0 60 q ' B I BC theo q và a . b) Xác đònh diện tích mặt cắt ngang F để thanh BC bền. c) Tính biến dạng dài dọc trục của thanh BC theo , , , q a E F . d) Tính chuyển vò thẳng đứng tại B . a) Xác đònh phản lực: xét cân bằng thanh AC như hình 2 .2 . 0 B A m Y a q a a     A Y qa   0 2 sin 60 0 y A B F Y qa N      2 / 3 B N qa  0 cos 60 0 x A B F X N      / 3 A X qa  b) Theo điều kiện bền:     2 3 B z N qa F F          2 2 2.250.1,5 17,32 3 3.25 qa F cm      Chọn 2 17,4 F cm  c) Biến dạng của thanh BC:     2 2 3 0 4 2 4 4.250.1,5 . 2,115.10 2,115 EF cos30 3 3.2.10 .17, 4 3 B BC BC N L qa a qa L m mm EF EF         d) Chuyển vò thẳng đứng tại B : Thanh AB tuyệt đối cứng (không biến dạng) nên khi thanh CB biến dạng, thanh AB quay quanh gối cố đònh A đến vò trí ' AB . Vì biến dạng bé nên có thể xem ' BB AB  , từ ' B kẻ ' B I BC  . Vì biến dạng bé ta có thể xem ' CB CI  nên BC BI L   . Trong tam giác vuông ' BIB ta có chuyển vò thẳng đứng tại B :   ' 0 2 2 2,115 2, 442 cos30 3 3 BC BI BB L mm      3.2. Ví dụ 2: Hai thanh AB và AC làm cùng một loại vật liệu có ứng suất cho phép    , môđun đàn hồi E , diện tích mặt cắt ngang của hai thanh lần lượt là F và F 2 . Hai thanh chòu liên kết khớp tại B và C, được nối với nhau bởi khớp A. Kích thước và tải trọng tác dụng lên kết cấu như hình 3.2a. Biết:   2 cm KN 12  ; KN 150 P  ; a m 2  ; 4 2 2.10 / E kN cm  a) Xác đònh ứng lực trong hai thanh AB và AC. b) Xác đònh diện tích mặt cắt ngang (F) để hai thanh AB và AC cùng bền. c) Tính biến dạng dài dọc trục của hai thanh AB và AC. Chương 3: Thanh chòu kéo-nén đúng tâm Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu Trang 5 TTT_03/2013 a) Tách nút tại A , đặt các ứng lực của hai thanh như hình 3.2b. Xét cân bằng tại khớp A. 0 0 cos30 cos60 0 AB AC X N N      3 AC AB N N   (1). 0 0 sin 30 sin 60 0 AB AC Y N N P      3 2 AB AC N N P    (2). Thay (1) vào (2): 3 2 AB AB N N P   1 2 AB N P   , 3 2 AC N P  b) ng suất phát sinh trong hai thanh AB và AC 1 2 AB AB N P F F    (thanh AB chòu kéo) 3 2 4 AC AC N P F F      (thanh AC chòu nén) ng suất lớn nhất phát sinh trong kết cấu: max 2 z AB P F     Theo điều kiện bền:   2 AB P F       22 cm25,6cm 12.2 150 2 P F   . Chọn 2 cm3,6F  . c) Biến dạng dài dọc trục của hai thanh: 4 1 4 . 2 2.150.200 2 3 0,275 EF 3EF 3.2.10 .6,3 B AB AB a P N L Pa L cm EF       4 3 .2 3 3.150.200 2 0,206 E.2F .2 2EF 2.2.10 .6,3 C AC AC P a N L Pa L cm E F       3.3. Ví dụ 3: Cột AC mặt cắt ngang không đổi hình tròn đường kính d , liên kết chòu lực và có kích thước như hình 3. Cột làm bằng vật liệu có môđun đàn hồi E , ứng suất cho phép    . Biết:   2 25 / kN cm   ; 4 2 2.10 / E kN cm  ; 20 d cm  ; 2, 5 a m  . a) Vẽ biểu đồ nội lực phát sinh trong cột. b) Xác đònh tải trọng cho phép   q tác dụng lên cột theo điều kiện bền. Hình 3.2b . 0 30 0 60 P AB N AC N Hình 3.2a . EF 2 E F A B C a a P 0 30 0 60 Chương 3: Thanh chòu kéo-nén đúng tâm Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu Trang 6 TTT_03/2013 c) Với tải trọng tìm được, tính chuyển vò thẳng đứng của mặt cắt qua C. a) Biểu đồ nội lực phát sinh trong cột như hình 3. b) Theo điều kiện bền:   max max z z z N F         2 2 2 9 .20 .25 349,065 / 36 36.2,5 4 z z d qa q kN m d a            Chọn 349 / q kN m  c) Chuyển vò thẳng đứng của mặy cắt tại C :     2 2 2 3 2 2 4 2 1 1 1 3 4 6 9 3 104 104.349.2,5 2 2 9,02.10 2.10 . .20 4 z N AC i i qa qa a qa qa a S qa L m d EF E d E                          3.4. Ví dụ 4: Trục bậc AC mặt cắt ngang hình tròn đường kính 2 , d d , liên kết chòu lực và có kích thước như hình 3.4. Trục làm bằng vật liệu có môđun đàn hồi E , ứng suất cho phép    . Biết:   2 21 / kN cm   ; 4 2 2.10 / E kN cm  ; 750 / q kN m  ; 1, 2 a m  . a) Vẽ biểu đồ nội lực phát sinh trong trục. b) Xác đònh đường kính trục   d theo điều kiện bền. c) Với d tìm được, tính chuyển vò thẳng đứng của mặt cắt qua C. P qa  P q 3 a a A B C Hình 3.3 3 P l l 3 qa 4 qa 6 qa 9 qa N z d Chương 3: Thanh chòu kéo-nén đúng tâm Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu Trang 7 TTT_03/2013 a) Biểu đồ nội lực phát sinh trong cột như hình 3.4. b) ng suất lớn nhất phát sinh trong các đoạn , AB BC   2 max 2 2 max 2 4 4 2 4 2 8 4 AB z BC z qa qa d d qa qa d d                    , vì max max BC AB z z    nên chọn đoạn BC khảo sát. Theo điều kiện bền:     2 max 8 8 8.750.1,2 10,45 .21 BC z z z qa qa d cm d             Chọn 11 d cm  c) Chuyển vò thẳng đứng của mặy cắt tại C :     2 2 2 3 2 2 4 2 1 1 1 2 4 3 24 24.750.1, 2 2 2 3,4.10 2.10 . .11 4 z N AC i i qa qa a qa qa a S qa L m dEF E d E                         3.5. Ví dụ 5: Cho trục bậc mặt cắt ngang hình tròn, liên kết và chòu lực như hình 3. Biết:   2 21 / kN cm   ; 4 2 2.10 / E kN cm  ; 2 15 F cm  ; 1, 4 a m  . a) Vẽ biểu đồ nội lực phát sinh trong cột. b) Xác đònh tải trọng cho phép q tác dụng lên cột theo điều kiện bền. c) Với tải trọng tìm được, tính chuyển vò thẳng đứng của mặt cắt qua B. P qa  P q 3 a a A B C Hình 3.4 2 P l l 2 qa qa 4 qa N z 2 d d qa Chương 3: Thanh chòu kéo-nén đúng tâm Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu Trang 8 TTT_03/2013 a) Xác đònh phản lực tại A và vẽ biểu đồ nội lực. Giải phóng liên kết tại A , đặt phản lực và vẽ các biểu đồ nội lực phát sinh trong cột do phản lực A N và tải trọng sinh ra như hình 3.5b. Phương trình biến dạng:     0 0 A N q AC AC AC L L L        . .2 1 8 .2 0 2 .2 2 .2 A A A N a N a qa a N qa EF E F E F      b) Xác đònh q theo điều kiện bền.     max max 2 3 2 AB BC qa F qa F                max max 2 AB qa F          . 15.21 11, 25 / 2 2.1, 4 F q kN m a      . Chọn   11 / q kN m  c) Tính chuyển vò của mặt cắt qua B. 2 -4 4 2 . 2.11.1, 4 1,4.10 m 2.10 .15 BA qa a L EF     3.6. Ví dụ 6: Thanh AD tuyệt đối cứng chòu liên kết khớp xoay tại B và được giữ bởi hai thanh AF và DE . Các thanh AF và DE làm cùng vật liệu có môđun đàn hồi E , ứng suất cho phép    . Hệ chòu lực 450 P kN  và có kích thước như hình 3.6a. Cho   4 2 2 2.10 / ; 25 / E kN cm kN cm    a) Xác đònh ứng lực phát sinh trong hai thanh AF và DE . b) Xác đònh diện tích mặt cắt ngang F để hai thanh AF và DE cùng bền. c) Với F tìm được, tính chuyển vò thẳng đứng của điểm đặt lực P . 3 P qa  q a 2 a A B C A N A N 3 qa 5 qa 2 qa qa 3 qa A N z N q z N z N Hình 3.5b F 2 F 3 P qa  q a 2 a A B C Hình 3.5a Chương 3: Thanh chòu kéo-nén đúng tâm Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu Trang 9 TTT_03/2013 a) Thanh AD tuyệt đối cứng (không biến dạng) khi chòu tác dụng của lực sẽ quay quanh B theo chiều kim đồng hồ như hình 3.6b. Vì vậy các thanh AF và DE cùng chòu kéo. Do đó ta đặt các ứng lực trong các thanh theo chiều như hình3.6c. Phương trình cân bằng: 0 .400 .200 .400 0 (1) 2 B A D A D P m N P N N N         Phương trình tương thích biến dạng của hai thanh AF và DE : AF DE L L    400 300 8 (2) 2 2 3 A AF D DE A D D A N L N L N N N N EF E F EF E F       Từ (1) và (2) ta có: 3 4 ; 22 11 A D N P N P   b) Kiểm tra bền hai thanh AF và DE : ng suất lớn nhất phát sinh trong hai thanh AF và DE : P 400 mm 200 mm 200 mm 300 .2 L mm E F  A B C D E F 400 . L mm E F  Hình 3.6a P 400 mm 200 mm 200 mm A B C D 400 mm 200 mm 200 mm A B C D AF L  DE L  A N D N B R Hình 3.6b Hình 3.6c C  Chương 3: Thanh chòu kéo-nén đúng tâm Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu Trang 10 TTT_03/2013 max 3 2 22 4 11 11.2 AF A z DE z DE D z N P P F F N P F F F                   Theo điều kiện bền:       2 max 2 2 2.450 3, 27 11 11 11.25 z P P F cm F            Chọn 2 3, 3 F cm  . c) Chuyển vò thẳng đứng tại điểm đặt lực: 4 1 1 1 4.450.300 0,186 2 2 2 2 11.2.10 .2.3, 3 D DE C DE N L L mm E F       Ví dụ7: Cho cột bêtông cốt thép chiều cao 3 h m  có mặt cắt ngang hình vuông cạnh 0, 6 b m  được gia cường bởi 4 thanh thép, mỗi thanh có đường kính 28 d mm  và được nén bởi lực P như hình 3.7a. Xem ứng xử của vật liệu là đàn hồi tuyến tính, tính lực P lớn nhất mà cột có thể chòu được nếu ứng suất cho phép trong thép và bêtông lần lượt là     MPaMPa CS 8,70   . Môđun đàn hồi của thép và bêtông lần lượt là GPaEGPaE CS 25,200  . Khi tính bỏ qua trọng lượng bản thân bêtông và cốt thép. Để phân tích kết cấu này bằng phương pháp độ cứng, ta xét cân bằng đóa cứng B . Gọi , s c P P lần lượt là ứng lực phát sinh trong cốt thép và bêtông. Đóa B cân bằng dưới tác dụng của tải trọng P và hai ứng lực phát sinh trong cốt thép và bêtông , s c P P . Ta có phương trình cân bằng: s c P P P   (1) Vì bêtông và thép liên kết với nhau nên ta có phương trình tương thích biến dạng: biến dạng của bêtông và cốt thép là như nhau: . . s c c s s s c c P h P h L L E F E F      (2)(với , s c A A lần lượt là diện tích của cốt thép và bêtông). Hình 3.7a 0,6 m 0,6 m 3 m P A A AA O B P s P c P 3 m O c P s P Hình 3.7b B [...]... thanh BC bền Bài tập sức bền vật liệu Trang 14 TTT_ 03/ 20 13 Chương 3: Thanh chòu kéo- nén đúng tâm Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng C 30 0 F E G B 15 kN / m 3m a P  25 kN D C B 4m A P 15kN a a a Hình 3. 8 A Hình 3. 7 3, 5 m 3. 9 Các thanh AB, DG tuyệt đối cứng chòu liên kết khớp xoay tại A, D và được giữ bởi các thanh thanh giằng BC , HG như hình 3. 9 Các Thanh giằng BC , HG làm bằng vật liệu có mô đun đàn... ứng lực trong các thanh BC , HG b) Xác đònh diện tích mặt cắt ngang, F , để các thanh BC , HG cùng bền c) Với F tìm được, tính chuyển vò thẳng của điểm đặt lực E và điểm B q B 2a E, F A 7kN P  3qa 2a q 7kN H 7kN C G 60 0 F D E F 7kN G 30 0 E, 2 F a A H a C a D a E a 2a Hình 3. 10 Hình 3. 9 Bài tập sức bền vật liệu 30 0 B a 7kN Trang 15 TTT_ 03/ 20 13 Chương 3: Thanh chòu kéo- nén đúng tâm Khoa Xây Dựng... B 0 30 0 45 E, F B A E, F E, F 2a P  qa E C 2a A a 3a / 2 D C a Hình 3. 4 Hình 3. 5 3. 4 Cho hệ thanh chòu lực như hình 3. 4 Các thanh trong dàn làm cùng vật liệu có mô đun đàn hồi E và ứng suất cho phép   và diện tích mặt cắt ngang F Cho:    50kN / cm 2 ; E  2.104 kN / cm2 ; P  150kN ; a  1m a) Xác đònh ứng lực trong các thanh AB, BC theo P Bài tập sức bền vật liệu Trang 13 TTT_ 03/ 20 13 Chương. .. hình 3. 2 Trục làm bằng vật liệu có môđun đàn hồi E , ứng suất cho phép   Biết:    6kN / cm 2 ; E  2.104 kN / cm 2 ; q  35 kN / m ; a  1, 5m a) Vẽ biểu đồ nội lực phát sinh trong cột b) Xác đònh đường kính cột , d1 , d 2 , theo điều kiện bền c) Với d1 , d 2 tìm được, tính biến dạng dài dọc trục của cột AC Bài tập sức bền vật liệu Trang 12 TTT_ 03/ 20 13 Chương 3: Thanh chòu kéo- nén đúng tâm. .. 3m 2m 0 C d1 d1 3m 2m  C Hình B .3. 20 Hình B .3. 21 A D Hình B .3. 22 3. 21 Trục bậc AC , liên kết, chòu lực và có kích thước như hình B .3. 21 Khe hở giữa đầu C của trục và ngàm D là  Xác đònh P cần thiết để đầu C vừa chạm D Trong trường hợp tác dụng lên trục lực P1  2 P , xác đònh phản lực tại C , vẽ biểu đồ nội lực phát sinh trong Bài tập sức bền vật liệu Trang 18 TTT_ 03/ 20 13 Chương 3: Thanh chòu kéo- nén. .. làm bằng vật liệu có môđun đàn hồi E , ứng suất cho phép   Biết:    6, 5kN / cm 2 ; E  2.104 kN / cm 2 ; a  1, 5m a) Vẽ biểu đồ nội lực phát sinh trong cột b) Xác đònh đường kính trục , d , theo điều kiện bền Bài tập sức bền vật liệu Trang 16 TTT_ 03/ 20 13 Chương 3: Thanh chòu kéo- nén đúng tâm Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng c) Với d tìm được, tính biến dạng dài dọc trục của trục AC 3. 16 Trục... Trang 11 TTT_ 03/ 20 13 Chương 3: Thanh chòu kéo- nén đúng tâm Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Ví dụ 9: Cho thanh thẳng, mặt cắt ngang không đổi có diện tích F  968mm 2 gồm hai đoạn được dán với nhau bằng keo tại mặt cắt 1  1 , mặt cắt 1  1 tạo với phương đứng một góc   30 0 như hình 3. 9 Hệ chòu kéo bởi lực P  16kN ở hai đầu Biết rằng keo dán có độ bền chòu kéo    137 80kN / m 2 và độ bền chòu cắt... bêtông và bò nén giữa hai tấm cứng như hình 3. 19, tính lực P lớn nhất mà kết cấu có thể chòu được nếu ứng suất cho phép trong thép và bêtông lần lượt là  S   70 MPa,  C   8 MPa Môđun đàn hồi của thép và bêtông lần lượt là E S  200GPa, E C  25GPa Khi tính bỏ qua trọng lượng bản thân bêtông và cốt thép Bài tập sức bền vật liệu Trang 17 TTT_ 03/ 20 13 Chương 3: Thanh chòu kéo- nén đúng tâm Khoa Xây... tập sức bền vật liệu Trang 13 TTT_ 03/ 20 13 Chương 3: Thanh chòu kéo- nén đúng tâm Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng b) Xác đònh diện tích mặt cắt ngang, F , để hai thanh cùng bền c) Với F tìm được, tính biến dạng dài dọc trục của hai thanh 3. 5 Thanh ABCD tuyệt đối cứng chòu liên kết khớp xoay tại A và được giữ bởi thanh EB như hình 3. 5 Thanh EB làm bằng vật liệu có mô đun đàn hồi E và ứng suất cho phép...  2463mm 2  Fs  4 Diện tích của thép và bêtông:  4  F  b 2  F  6002  24 63  35 7 537 mm 2  c s E 200 Ta có tỉ số: s  8 Ec 25   Ec  1   Fc   s    24 63  35 7 537  70  3, 3MN  P   Fs  Es  8     Từ phương trình (4) ta tính được:   P   F  Es F    35 7 537  8.24 63 8  3, 0 MN    c s   c  Ec    Vậy lực lớn nhất cột có thể chòu được: P  3MN Ví dụ 8: Cho thanh . Chương 3: Thanh chòu kéo- nén đúng tâm Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu Trang 1 TTT_ 03/ 20 13 Chương 03 THANH CHỊU KÉO-NÉN ĐÚNG TÂM I). của cột AC . Hình 3. 9 P 1 1 P  Chương 3: Thanh chòu kéo- nén đúng tâm Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu Trang 13 TTT_ 03/ 20 13 3. 3. Trục bậc AC mặt. F Hình 3. 5 0 30 0 45 A B C a 3 / 2 a P , E F , E F Hình 3. 4 Chương 3: Thanh chòu kéo- nén đúng tâm Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu Trang 14 TTT_ 03/ 20 13 b)