sức bền vật liệu chương 3

Chương ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG 3.1 Khái niệm 3.2 Momen tĩnh momen quán tính 3.3 Công thức chuyển trục song song c mômen quán tính 3.4 Công thức xoay trục mômen quán tính KHÁI NIỆM P P P y a a) x 2a x a 4a x y y 4a b) 2a c) MÔMEN TĨNH S x = ∫ ydF y y dF F S y = ∫ xdF F F O x x • Mômen tĩnh hình phẳng diện tích F trục x, y • Thứ nguyên: (chiều dài)3 Nhận xét •  S x = truc x truc trung tâm S = ⇒  truc y truc trung tâm  y • Giao điểm trục trung tâm gọi trọng tâm mặt cắt • Hệ trục qua trọng tâm mc gọi hệ trục trung tâm • Vậy momen tĩnh hình phẳng trục qua trọng tâm không Trọng tâm mặt cắt S x = ∫ ( yC + y0 )dF = yC ∫ dF + ∫ y0 dF = yC F + S x ⇒ S x = yC F S x = S y = xC F S y = Sy Sx xC = , yC = F F F y y0 M dF F y0 F C yC F x O xC x0 x0 x Tính chất mômen tĩnh Mômen tĩnh hình phức tạp tổng mômen tĩnh hình đơn giản MÔMEN QUÁN TÍNH-JX, JY , JXY , J0 Mômen quán tính hình phẳng trục  JX, JY dương  Thứ nguyên: (chiều dài)4 Mômen quán tính độc cực J = ∫ ρ dF F J X = y dF ∫F   J y = ∫ x dF  F ρ =x +y ⇒ Jρ = Jx + J y  J0 dương  Thứ nguyên: (chiều dài)4 2 Mômen quán tính ly tâm J XY = ∫ xydF F – – – – – Jxy âm hay dương Thứ nguyên: (chiều dài)4 Jxy=0 hệ trục xy gọi hệ trục quán tính Một trục đối xứng hình phẳng hợp với trục vuông góc tạo thành hệ trục quán tính hình phẳng Hệ trục quán tính qua trọng tâm mặt cắt hệ trục gọi hệ trục quán tính trung tâm Tính chất mômen quán tính Mômen quán tính hình phức tạp tổng mômen quán tính hình đơn giản Jx+Jy=Ju+Jv=const Mômen quán tính số hình đơn giản Hình chữ nhật h bh J x = ∫ y dF = ∫ y bdy = 12 h F − Tương tự hb Jy = 12 2 Ví dụ 3.2 • Tính mômen quán tính trung tâm N0 20 N0 24 y h z0 N0 20 C2 x b b=76mm h=200mm F=23,4cm2 Jx=1520cm4 Jy=113cm4 Z0=2,07cm h y C1 x b=115mm h=240mm F=34,8cm2 Jx=3460cm4 Jy=198cm4 b Y C2 x2 C yC C1 X x1 CÔNG THỨC XOAY TRỤC u = x cos α + y sin α  v = y cos α − x sin α Jx + Jy Jx − Jy  + cos 2α − J xy sin 2α J u = 2  Jx + Jy Jx − Jy  − cos 2α + J xy sin 2α J v = 2  Jx − Jy  sin 2α + J xy cos 2α  J uv =  Hệ • Jx+Jy=Ju+Jv=const • Hệ trục quán tính Jxy=0 tan 2α = − J xy Jx − Jy • Mômen quán tính cực trị J max = Jx + Jy ± (J − J y ) + 4J x xy Ví dụ 3.3 Xác định mômen quán tính phương hệ trục quán tính trung tâm mặt cắt Xác định trọng tâm mặt cắt  xC = 1,217cm   yC = 2,13cm J X = 2133cm J Y = 330cm 4 Xoay trục x0C2y0 đến hệ trục x2C2y2 J x2 y = J x0 − J y sin 2α + J x0 y0 = 33,45cm J XY = J x1 y1 + J x2 y2 = 271cm • Phương hệ trục quán tính trung tâm  α = − 36' J XY  y tan 2α = − = −0,301 ⇒  y J X − JY α = 810 24' J max = Jx + Jy = 2171,5cm J = Jx + Jy = 292,5cm + (J ) − J + J x y xy y2 C2 C − (J − J y ) + 4J x xy C1 x2 x x1 max Ví dụ 3.4 Xác định momen quán tính trung tâm trục quán tính trung tâm mặt cắt  xC = 1,5a   yC = a  J X = 32a   J Y = 17 a  J = 12 a XY  y Phương hệ trục quán tính trung tâm J = Jx + Jy = 10,85a = J v − (J ) − J + J x y xy v y1 x1 C1 X 29°  α = − 29 J XY  tan 2α = − = −1,6 ⇒  J X − JY α = 61 Jx + Jy ( J x − J y ) + J xy2 J max = + 2 = 38,65a = J u Y y2 C u x2 C2 O x [...]... 3. 3 Xác định các mômen quán tính chính và phương của hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt Xác định trọng tâm mặt cắt  xC = 1,217cm   yC = 2,13cm J X = 2 133 cm J Y = 33 0cm 4 4 Xoay trục x0C2y0 đến hệ trục x2C2y2 J x2 y 2 = J x0 − J y 0 2 sin 2α + J x0 y0 = 33 ,45cm 4 J XY = J x1 y1 + J x2 y2 = 271cm 4 • Phương hệ trục quán tính chính trung tâm 0  α = − 8 36 ' 2 J XY  1 y tan 2α = − = −0 ,30 1... y b → by = ( h − y ) h h 3   ( ) b h − y b hy y bh J x = ∫ y 2 dF = ∫ y 2 dy =  −  = h h 3 4  0 12 F 0 h 3 4 h Mặt cắt hình tròn dF=2πρdρ R 4 π D J ρ = ∫ ρ 2dF = ∫ 2πρ 3dρ = 32 F 0 1 πD 4 ⇒ J X = J Y= J ρ = 2 64 CÔNG THỨC CHUYỂN TRỤC SONG SONG Biết Jx, Jy, Jxy Tìm JX, JY, JXY J X = J x + 2bS x + b F 2 J Y = J y + 2aS y + a F 2 J XY = J xy + bS y + aS x + abF Ví dụ 3. 1 Xác định mômen quán tính... 2aS y + a F 2 J XY = J xy + bS y + aS x + abF Ví dụ 3. 1 Xác định mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt Ví dụ 3. 2 • Tính mômen quán tính chính trung tâm N0 20 N0 24 y h z0 N0 20 C2 x b b=76mm h=200mm F= 23, 4cm2 Jx=1520cm4 Jy=113cm4 Z0=2,07cm h y C1 x b=115mm h=240mm F =34 ,8cm2 Jx =34 60cm4 Jy=198cm4 b Y C2 x2 C yC C1 X x1 CÔNG THỨC XOAY TRỤC u = x cos α + y sin α  v = y cos α − x sin α Jx + Jy... = 2171,5cm 4 J min = Jx + Jy 2 = 292,5cm 4 1 + 2 (J 2 ) − J + 4 J x y xy min y2 2 C2 C 1 − 2 (J − J y ) + 4J 2 x 2 xy C1 x2 x x1 max Ví dụ 3. 4 Xác định momen quán tính chính trung tâm và trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt  xC = 1,5a   yC = 4 a  J X = 32 a  4  J Y = 17 a  4 J = 12 a XY  4 y Phương hệ trục quán tính chính trung tâm J min = Jx + Jy 2 = 10,85a 4 = J v 1 − 2 (J 2 ) − J +... min = Jx + Jy 2 = 10,85a 4 = J v 1 − 2 (J 2 ) − J + 4 J x y xy v y1 x1 C1 X 29° 0  α = − 29 2 J XY  1 tan 2α = − = −1,6 ⇒  0 J X − JY α 2 = 61 Jx + Jy 1 ( J x − J y ) 2 + 4 J xy2 J max = + 2 2 = 38 ,65a 4 = J u Y y2 C u x2 C2 2 O x