Sức bền vật liệu - Chương 3

Bài giảng: Sức bền vật liệu Chơng 3 Trạng thái ứng suất và thuyết bền Bài 1 Bài 2 Bài 3 Bài 4 Bài5 Bài6 Bài 7 3.1. Khái niệm chung 3.1.1 Khái niệm. Trong chơng kéo nén, ta đã biết: Qua 1 điểm, nếu dùng mặt cắt ngang cắt qua điểm đó thì xuất hiện 1 thành phần ứng suất pháp, nếu dùng mặt cắt song song với trục thanh thì không có ứng suất, dùng mắt cắt xiên bất kỳ thì xuất hiện cả ứng suất pháp và tiếp. Điều đó chứng tỏ, ứng suất tại 1 điểm phụ thuộc vào vị trí mặt cắt đi qua 1 điểm. Xét một vật thể chịu lực bất kỳ. Dới tác dụng của ngoại lực, qua một điểm K bất kỳ trên vật thể, nếu ta dùng các mặt cắt khác nhau đi qua điểm này thì ta sẽ thu đợc các giá trị ứng suất pháp và tiếp khác nhau. Điều đó chứng tỏ ứng suất không những phụ thuộc vào vị trí của một điểm mà còn phụ thuộc vào vị trí của mặt cắt ngang đi qua điểm đó. Vậy ta có định nghĩa: Trạng thái ứng suất tại một điểm là tập hợp tất cả các ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên các mặt cắt khác nhau đi qua điểm đó. 3.1. 2. Trạng thái ứng suất của một phân tố. Để nghiên cứu trạng thái ứng suất tại một điểm A nào đó bên trong vật thể, ta tởng tợng xung quanh điểm A ta tách ra một phân tố hình hộp vô cùng bé có kích thớc là: dx, dy, dz. Vì các cạnh của phân tố là vô cùng bé nên ta có thể coi phân tố là điểm đang xét và ứng suất trên các mặt của phân tố đợc xem nh ứng suất trên các mặt cắt đi qua điểm đó. Trong trờng hợp tổng quát, trên các mặt của phân tố sẽ có 3 thành phần ứng suất. Vậy trên toàn bộ phân tố có 9 thành phần ứng suất (vì phân tố là vô cùng bé nên ứng suất pháp trên các mặt song song ta coi là nh nhau). Lý thuyết đàn hồi đã chứng minh đợc rằng ứng suất tiếp trên hai mặt cắt vuông góc với nhau có cùng chỉ số thì có giá trị bằng nhau( zyyzzxxzyxxy === ;; ). Nh vậy chỉ có 6 thành phần ứng suất độc lập (3 thành phần ứng suất pháp và 3 thành phần ứng suất tiếp). 36 K Bài giảng: Sức bền vật liệu ứng suất pháp có kèm theo chỉ số x, y, z ở bên cạnh để chỉ phơng của ứng suất. Nó mang dấu dơng (+) khi hớng ra ngoài mặt cắt và ngợc lại thì mang dấu âm (-). ứng suất tiếp có kèm theo 2 chỉ số, chỉ số thứ nhất chỉ pháp tuyến của mặt chứa ứng suất đó và chỉ số thứ hai chỉ phơng song song với nó. Dấu của ứng suất tiếp đợc quy ớc nh sau: Nhìn theo chiều trục không chứa trong tên gọi (2 chỉ số) thấy pháp tuyến ngoài của mặt cắt quay 90 0 theo chiều kim đồng hồ đến trùng chiều với nó thì mang dấu dơng (+) và ngợc lại. 3.1.3.Phân tố chính. Lý thuyết đàn hồi đã chứng minh đợc rằng tại một điểm bất kỳ trong vật thể đàn hồi luôn tồn tại một phân tố mà trên các mặt của nó chỉ có ứng suất pháp mà không có ứng suất tiếp ( = 0). Phân tố đó đợc gọi là phân tố chính, các mặt của phân tố chính đợc gọi là các mặt chính, phơng pháp tuyến của mặt chính đợc gọi là phơng chính và các ứng suất pháp trên các mặt chính đợc gọi là ứng suất chính. Ký hiệu của các ứng suất chính là 1 , 2 , 3 . Quy ớc tên gọi theo quy luật nh sau: 1 > 2 > 3 về mặt trị đại số (có kể cả dấu). 3.1.4. Phân loại trạng thái ứng suất: Trong thực tế tuỳ theo lực tác dụng và dạng vật thể mà trên phân tố chính có thể có cả 3 hoặc 2 hoặc 1 ứng suất chính. Tuỳ theo tồn tại số lợng các ứng suất chính mà ta phân 3 loại trạng thái ứng suất: - Trạng thái ứng suất khối (không gian) là trạng thái ứng suất có đủ cả 3 ứng suất chính 1 , 2 , 3 . - Trạng thái ứng suất phẳng (ứng suất mặt) là trạng thái ứng suất chỉ tồn tại 2 ứng suất chính. - Trạng thái ứng suất đơn (đờng) là trạng thái ứng suất chỉ tồn tại 1 ứng suất chính. 37 y y z x x yx zx yz zy xz xy x A z y Bài giảng: Sức bền vật liệu Vấn đề chủ yếu ở đây là ta phải xác định đợc phơng chính (mặt chính) và ứng suất chính. ở đây ta chỉ xét trạng thái ứng suất phẳng và từ đó ta có thể suy ra trạng thái ứng suất đơn. Ngoài ra ta sẽ nghiên cứu một số trờng hợp đặc biệt của trạng thái ứng suất khối. 3.2. Trạng thái ứng suất phẳng. 3.2.1. ứng suất trên mặt cắt xiên. Xét phân tố có các ứng suất trên hình vẽ, phân tố này có các mặt song song với mặt phẳng toạ độ, trên mặt vuông góc với trục z không có ứng suất, còn trên các mặt còn lại tồn tại cả ứng suất pháp và tiếp. Trạng thái ứng suất mà ta biểu diễn trên hình vẽ là trạng thái ứng suất phẳng. Ta xét ứng suất trên một mặt cắt xiên có pháp tuyến tạo với trục x một góc . Tởng tợng dùng một mặt cắt xiên song song với trục z và có phơng pháp tuyến ngoài của mặt cắt tạo với chiều dơng của trục x một góc để cắt phân tố. Xét một phần ta thấy trên mặt cắt xiên xuất hiện ứng suất pháp và ứng suất tiếp là và . Xét sự cân bằng của phân tố hình lăng trụ có mặt bên là mặt xiên đang xét. Vì các mặt của phân tố là vô cùng bé nên có thể coi ứng suất trên đó là phân bố đều. 38 1 3 2 1 1 2 (khối) (phẳng) 3 = 0 (đơn) 2 = 3 = 0 y y x x yx yx xy xy x z y x z y x x u v y xy yx Bài giảng: Sức bền vật liệu Để đơn giản ta biểu diễn trạng thái ứng suất phẳng bằng hình chiếu của nó (hình vẽ). Để tìm ứng suất pháp trên mặt cắt xiên, ta chiếu các véc tơ lên phơng của (phơng v), ta có: 0cos.sin.sin.cos. sin.sin.cos.cos =++ + dFdF dFdFdF yxxy yx Ta đã biết: 2 2cos1 cos 2 2cos1 sin 2 2 + = = Thay vào biểu thức trên và biến đổi, thay xy = yx ta đợc: 2sin2cos 22 xy yxyx + + = Tơng tự chiếu lên phơng của (phơng u) ta đợc: 0sinsincoscos cossinsincos =+ + dF dF dF dF.dF yxxy yx 39 x x y xy yx x y xy yx x y xy yx dF u v Bài giảng: Sức bền vật liệu 2cos2sin 2 xy yx + = Vậy cuối cùng ta có: + = + + = (*)'2cos2sin 2 (*)2sin2cos 22 xy yx xy yxyx Đây là công thức xác định ứng suất trên mặt cắt xiên. * Luật bất biến của ứng suất pháp và luật đối ứng ứng suất tiếp. Ta khảo sát ứng suất trên mặt cắt vuông góc với mặt cắt xiên, khi đó góc xiên là + 90 0 . Ta có: 2sin2cos 22 90 xy yxyx o + + = + Ta thấy: + +90 = x + y = const. Vậy ta có luật bất biến của ứng suất pháp: Tổng ứng suất pháp trên 2 mặt vuông góc với nhau luôn là hằng số. Ta lại có: = = + 2cos2sin 2 xy yx 90 o Ta có luật đối ứng của ứng suất tiếp: ứng suất tiếp trên 2 mặt vuông góc với nhau thì có giá trị bằng nhau và có chiều cùng hớng vào cạnh chung hoặc cùng hớng ra xa cạnh chung. Đối với trạng thái ứng suất đơn có y = xy = 0 nên ta có: 2sin. 2 cos. 2 x x = = Trong chơng kéo nén thì x đóng vai trò giống nh z . 3.2.2. ứng suất chính và phơng chính. Nh ta đã biết, theo định nghĩa thì trên mặt chính của phân tố không có ứng suất tiếp. Vậy để xác định đợc phơng chính thì ta cho ứng suất tiếp = 0, từ đó ta sẽ xác định đợc góc nghiêng của phơng chính với trục x. Tức là: (**)2 2 2 02cos2sin 2 0 tgtg yx xy xy yx = = =+ = 40 Bài giảng: Sức bền vật liệu Giải ra ta có: 2 0 k= Trong đó k là một số nguyên dơng. Từ biểu thức trên ta thấy rằng luôn có 2 nghiệm chênh nhau một góc 90 0 (ứng với k = 0 và k = 1), tức là ta luôn tìm đợc 2 phơng vuông góc với nhau, đó là 2 phơng chính cần tìm. Nh vậy, ta luôn tìm đợc 2 phơng chính của hai mặt chính vuông góc với nhau và với mặt chính không có ứng suất tạo nên 1 phân tố chính. Thay các giá trị nghiệm vào (*) ta sẽ tìm đợc giá trị của ứng suất chính. Ta cũng nhận thấy rằng ứng suất chính cũng chính là ứng suất pháp cực trị. Thực vậy, ta đạo hàm bậc nhất trong công thức (*) theo và cho bằng không (= 0), ta sẽ tìm đợc góc của mặt có ứng suất cực trị cũng chính là góc phơng chính. yx xy xy yx tg d d = = + = 2 2 02cos.2sin. 2 2 Thay (**) vào (*) và chú ý một số biến đổi lợng giác: 21 1 2cos; 21 2 2sin 22 tgtg tg + = + = Ta sẽ tìm đợc các giá trị cực trị là: 2 2 22 min max xy yxyx + + = 3.2. 3. ứng suất tiếp cực trị và phơng của mặt chứa nó. Đạo hàm bậc nhất của ứng suất tiếp trong công thức ( ) '* theo và cho bằng 0, ta có: 02sin.2cos. 2 2 = = xy yx d d Gọi 1 là góc hợp bởi phơng của mặt có ứng suất tiếp cực trị với trục x. Ta có: 4 2cot 2 2 01 01 k gtg xy yx += = = Nh vậy phơng chính luôn nghiêng một góc 45 0 so với phơng của mặt có ứng suất tiếp cực trị. Tơng tự ta có thể tìm đợc ứng suất tiếp cực trị nh sau: 2 2 2 min max xy yx + = 3.2. 4. Vòng tròn Mo ứng suất. 41 Bài giảng: Sức bền vật liệu a. Phơng trình và cách vẽ. Mọi trạng thái ứng suất phẳng cũng nh trạng thái ứng suất khối đều có thể biểu diễn bằng đồ thị theo nhiều cách khác nhau, mà một trong những cách biểu diễn thuận tiện nhất và có nhiều ứng dụng trong kỹ thuật là cách biểu diễn bằng vòng tròn Mo. Do vậy mà ta sẽ đi nghiên cứu cách biểu diễn trạng thái ứng suất phẳng bằng vòng tròn Mo. Ta đã có công thức xác định ứng suất trên mặt cắt xiên của phân tố là: + = + + = 2cos2sin 2 2sin2cos 22 xy yx xy yxyx Bình phơng 2 vế (sau khi đã biến đổi phơng trình đầu) ta có: + = = + 2 2 22 2cos2sin 2 2sin2cos 22 xy yx xy yxyx Cộng vế với vế 2 phơng trình trên có: 2 2 2 2 22 xy yxyx + =+ + Ta đã biết phơng trình chính tắc của đờng tròn có toạ độ tâm là (a, b) và bán kính R trong hình học giải tích là: ( ) ( ) 2 22 Rbyax =+ Nếu ta lập 1 hệ trục toạ độ - thì phơng trình trên chính là phơng trình của một đờng tròn có tâm là C + 0, 2 yx và có bán kính là: 2 2 2 xy yx R + = Đó chính là vòng tròn Mo ứng suất. Mỗi một điểm trên vòng tròn tơng ứng với một mặt cắt xiên và tọa độ của điểm đó chính là giá trị của ứng suất trên mặt cắt xiên đó. * Ta tiến hành dựng vòng tròn Mo nh sau: - Lập hệ trục tọa độ - trong đó trục là trục hoành và trục là trục tung. - Trên trục hoành lấy điểm E( x , 0) và điểm F( y , 0). - Dựng các đoạn ED = xy và F D' = yx vuông góc với trục . 42 Bài giảng: Sức bền vật liệu - Nối D D' đoạn D D' cắt trục tại C. - Vẽ vòng tròn tâm C bán kính CD ta đợc vòng tròn Mo ứng suất. b. Công dụng của vòng tròn Mo. Trên vòng tròn Mo ta xác định một điểm P( y , xy ) gọi là điểm cực của vòng tròn Mo. Trên vòng tròn Mo ta có thể: * Xác định đ ợc ứng suất trên mặt cắt xiên. Từ điểm cực P kẻ tia song song với phơng pháp tuyến của mặt cắt xiên, tia này cắt vòng tròn Mo tại điểm K. Tọa độ của điểm K chính là và . Chứng minh: Trên hình vẽ ta có: OG = OC + CG = ( ) 22cos 2 1 ++ + R yx 2sin2sin2cos2cos 2 11 RR yx + + = . Mặt khác ta có: xy yx EDR CER == == 1 1 2sin 2 2cos Vậy có: = + + = 2sin2cos 22 xy yxyx OG Tơng tự có: ( ) 22sin 1 += RGK 43 x y xy yx x y xy yx D' G F x 2 C K 1 y D E 1 B A P 0 2 2 1 Bài giảng: Sức bền vật liệu = += += 2sin 2 2cos 2sin2cos2cos2sin 11 yx xy RR Vậy ta có K( , ) điều phải chứng minh. * Xác định ứng suất chính và ph ơng chính. Vòng tròn Mo cắt trục tại 2 điểm A và B tơng ứng với giá trị ứng suất chính và cũng chính là ứng suất cực trị. Nh vậy 2 điểm A và B thể hiện ứng suất 2 mặt chính cần tìm. Nối các tia PA và PB ta có 2 phơng chính. Các ứng suất chính sẽ là 1 = B , 2 = A , 3 = 0. * Xác định ứng suất tiếp cực trị và ph ơng của mặt chứa nó. Qua tâm C của vòng tròn, kẻ một tia song song với trục cắt vòng tròn tại 2 điểm I và J. Hai điểm này thể hiện các mặt cắt có ứng suất tiếp cực đại và cực tiểu. Nối PI và PJ ta đợc phơng của mặt có ứng suất tiếp cực trị. Rõ ràng là các mặt này nghiêng so với mặt chính một góc 45 0 . Phân tố chính và ứng suất chính là duy nhất không phụ thuộc vào cách chọn hệ trục tọa độ. Tức là nếu ta xoay hệ trục tọa độ đi một góc 90 0 , nghĩa là ta chọn trục // y và trục // x thì điểm cực P phải lấy tọa độ là ( y , yx ). 3.3 Một số trạng thái ứng suất đặc biệt 3.3.1 Trạng thái ứng suất trợt thuần tuý Nếu trên mặt cắt của phân tố chỉ tồn tại các ứng suất tiếp còn ứng suất pháp bằng 0 thì ta nói rằng trạng thái ứng suất thể hiện bởi phân tố đó là trạng thái ứng suất trợt thuần tuý. Đây là một trờng hợp đặc biệt của trạng thái ứng suất phẳng. Khi nghiên cứu bài toán xoắn thuần tuý ta sẽ gặp bài toán này. Do ở trạng thái ứng suất trợt thuần tuý có x = y = 0 cho nên vòng tròn Mo ứng suất sẽ có tâm C trùng với gốc tọa độ 0. Vị trí của điểm P ở trên hay dới trục sẽ tuỳ thuộc vào dấu của ứng suất tiếp xy . 44 OC 3 1 A B P 1 xy yx 1 xy yx 3 3 Bài giảng: Sức bền vật liệu Trên hình vẽ ta thấy các phơng chính tạo với trục x các góc 45 0 và 135 0 . Phân tố chính đợc biểu diễn trên hình vẽ. Các ứng suất chính có giá trị: 0 2 31 = == xy 3.3.2. Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt là trạng thái ứng suất phẳng mà có một ứng suất pháp bằng không. Chẳng hạn nh x = 0, y = Trị số các ứng suất cực trị của nó là: 22 4 2 1 2 min max xy += 3.4. Trạng thái ứng suất khối. Ta sẽ khảo sát những mặt cắt xiên có tính chất đặc biệt, tức là ta sẽ khảo sát các mặt cắt song song với một phơng chính thứ 3. ứng suất trên mặt cắt xiên này gồm có 2 thành phần là và trong đó thành phần nằm trong mặt phẳng vuông góc với phơng chính thứ 3. 45 1 3 2 1 3 2 3 2 1 2 x y [...]... đã chứng minh đợc điều kiện bền theo thuyết bền Mo là: td = 1 3 [ ] k Trong đó: = bk [ ] k = bn [ ] n Đối với vật liệu dẻo thì = 1 Trở về thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất Đối với vật liệu dòn < 1 3. 7.5 Ưu nhợc điểm và phạm vi sử dụng 3 thuyết bền 54 Bài giảng: Sức bền vật liệu a Thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất - Ưu điểm: Kết cấu công thức đơn giản, dễ tính toán - Nhợc điểm: Bỏ qua ảnh hởng... của vật liệu khi kéo đều theo 3 phơng Phạm vi sử dụng: áp dụng cho vật liệu dẻo - c Thuyết bền Mo - Ưu điểm: Thuyết bền mo đa ra giả thuyết về nguyên nhân phá hỏng vật liệu có tính chất khoa học và hợp lý hơn 2 thuyết bền trên - Nhợc điểm: Bỏ qua ảnh hởng của 2 và việc thay thế đờng nội tại bằng đờng thẳng làm giảm độ chính xác Không giải thích đợc sự phá hỏng của vật liệu khi kéo đều theo 3 phơng vật. .. thái ứng suất là: 2 3 2 1 3 2 13 = max 1 3 max = 13 = 1 0 47 3 C1 2 C2 C3 1 Bài giảng: Sức bền vật liệu 3. 5 Liên hệ giữa ứng suất và biến dạng 3. 5.1 Định luật Húc tổng quát (biến dạng dài) Trong chơng kéo nén ta đã xây dựng công thức liên hệ biến dạng dọc tỷ đối giữa phơng dọc và phơng ngang là: z = z x = y = à z = à z E E Trong đó à là hệ số poátxông (hằng số của vật liệu) , nó là đại lợng... kéo đều theo 3 phơng - Phạm vi sử dụng: Thuyết bền này chủ yếu sử dụng cho vật liẹu dẻo vì vật liệu dẻo chịu kéo và nén tốt nh nhau nhng chịu cắt nói chung là kém (ứng suất tiếp là nguyên nhân gây nên hiện tợng cắt vật liệu) mà thuyết bền này lại cho rằng nguyên nhân phá hỏng vật liệu là do ứng suất tiếp b Thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng cực đại Ưu điểm: Có kể đến ảnh hởng của 2 - - Nhợc điểm:... dụng nguyên lý độc lập cộng tác dụng ta có biến dạng theo phơng 1 do 1, 2 và 3 gây ra là: 1 = 11 + 12 + 13 1 = Tơng tự có: 2 = 1 [ 1 à ( 2 + 3 ) ] E 1 [ 2 à ( 1 + 3 ) ] E 1 [ 3 à ( 2 + 1 ) ] E Trong đó 1 , 2 và 3 là biến dạng tỷ đối theo phơng 1, 2, 3 do cả 3 thành phần ứng suất gây ra 3 = 48 Bài giảng: Sức bền vật liệu Các biểu thức liên hệ giữa ứng suất và biến dạng nh trên đợc gọi là biểu... lập mối quan hệ trên đợc gọi là các thuyết bền Ngày nay có rất nhiều thuyết bền, mỗi thuyết bền đợc xây dựng trên các giả thuyết khác nhau về nguyên nhân phá hỏng của vật liệu Sau đây chúng ta sẽ đi nghiên cứu các thuyết bền thờng dùng 3. 7.2 Thuyết bền ứng suất tiếp cực đại Thuyết bền này do Culông đa ra năm 17 73 Thuyết bền này cho rằng nguyên nhân phá hỏng vật liệu của phân tố ở trạng thái ứng suất phức... 2 phân tố có độ bền tơng đơng khi: u' hd = u0 Từ các biểu thức trên ta có thể suy ra: td = 12 + 22 + 32 1 2 2 3 3 1 [ ] 3. 7.4 Thuyết bền Mo Thuyết bền Mo đa ra lần đầu tiên vào năm 1882 và sau đó phát triển chi tiết vào năm 1900 Thuyết bền này còn đợc gọi là thuyết bền về trạng thái ứng suất giới hạn, nó dựa vào việc khảo sát trạng thái ứng suất bên trong vật liệu, khi vật liệu làm việc ở... đều theo 3 phơng vật liệu dẻo - Phạm vi sử dụng: áp dụng cho cả vật liệu dẻo và dòn, nhng chủ yếu là áp dụng cho vật liệu dòn 3. 7 6 áp dụng các thuyết bền cho 1 số phân tố đặc biệt a Phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt Hình vẽ biểu diễn phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt Trên hình vẽ ta có: x = y =0 xy = B OF /2 C o 3 55 o P A 1 Bài giảng: Sức bền vật liệu Bằng vòng tròn... 1 3 = 2 + 4 2 2 2 Ta cũng có thể xác định đợc ứng suất chính bằng công thức 1 = Thay các giá trị trong biểu thức (*) vào các biểu thức tđ của 3 thuyết bền, ta có: * Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất tđ = 1 3 = 2 + 4 2 [ ] * Theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng cực đại 2 2 2 tđ = 1 + 2 + 3 1 2 2 3 3 1 = 2 + 3 2 [ ] * Theo thuyết bền Mo 1 1+ + 2 + 4 2 [ ] k tđ = 1 3. .. ứng suất trợt thuần tuý nh hình vẽ Phân tố có: Ta có: x = y = 0 ; xy = 1 = max = 2 = 0 3 = min = 3 * Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất tđ = 2 [ ] [ ] = [ ] 2 * Theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng cực đại 56 3 1 Bài giảng: Sức bền vật liệu tđ = 3 [ ] [ ] = [ ] 3 * Theo thuyết bền Mo tđ = (1 + ) [ ] k 57 [ ] k [ ] = 1+ . thái ứng suất là: 2 31 13max == 47 C 23 O 3 2 P J I 1 3 2 1 3 2 23 1 3 2 1 3 2 C 1 13 = max 1 C 2 C 3 3 2 0 Bài giảng: Sức bền vật liệu 3. 5 Liên hệ giữa ứng. 2 . 2 . 2 . 33 2211 ++=U . Thay các biểu thức 1 , 2 và 3 đã tính đợc (phần 2a) vào biểu thức trên ta có: 50 Bài giảng: Sức bền vật liệu ( ) [ ] 133 221 2 3 2 2 2 1 2 2 1 à ++++= E U (*) Vật. phá hỏng của vật liệu khi kéo đều theo 3 phơng. - Phạm vi sử dụng: áp dụng cho vật liệu dẻo. c. Thuyết bền Mo. - Ưu điểm: Thuyết bền mo đa ra giả thuyết về nguyên nhân phá hỏng vật liệu có tính