Bài tập lớn Sức bền vật liệu số1 Tính đặc trưng hình học của hình phẳng

ờng Đại Học Giao Thông Vận Tải Khoa Công Trình Bộ môn Sức Bền Vật Liệu Bài tập lớn số 1 Tính đặc trng hình học của hình phẳng Số hiệu: 9-9 Giáo viên hớng dẫn: Lơng Xuân Bính Sinh viên th

ờng Đại Học Giao Thông Vận Tải

Khoa Công Trình

Bộ môn Sức Bền Vật Liệu

Bài tập lớn số 1

Tính đặc trng hình học của hình phẳng

Số hiệu: 9-9

Giáo viên hớng dẫn: Lơng Xuân Bính

Sinh viên thực hiện: Trần Mạnh Cờng

Lớp: Tự Động Hoá Thiết Kế Cầu Đờng Khoá: 40

Hà Nội 10/2001

phần 1

Hình loại 9

Kích thớc loại 9

1 Xác định trọng tâm:

- Hệ trục ban đầu OXY

- Chia hình thành các hình ghép sau:

+ Hình 1: Tam giác, trọng tâm C1

+ Hình 2: Chữ nhật, trọng tâm C2

+ Hình 3: Chữ nhật, trọng tâm C3( khuyết) + Hình 4: Chữ nhật, trọng tâm C4

+ Hình 5: 1/4 hình tròn, trọng tâm C5( khuyết)

H×nh 1: Tam gi¸c, träng t©m C1

- DiÖn tÝch: F1 = p(n p)

2

1 + = 170 cm2

- XC1 = - (m+

3

p ) = -29,3 cm

- YC1 = (n p)

3

1

+ = 11,3 cm

- Sy1 = F1.Xc1 = - 4981 cm3

- Sx1 = F1.Yc1 = 1921 cm3

H×nh 2: Ch÷ nhËt, träng t©m C2

- DiÖn tÝch: F2 = m(n+p) = 884 cm2

- Xc2 = -

2

m

= -13 cm

- Yc2 =

2

p

n+ = 17 cm

- Sy2 = F2.Xc2 = - 11492 cm3

- Sx2 = F2.Yc2 = 15028 cm3

H×nh 3: Ch÷ nhËt( khuyÕt), träng t©m C3

- DiÖn tÝch: F3 = (m-2p).n = 144 cm2

- Xc3 = - (m-2p)

2

1

= - 3 cm

- Yc3 =

2

n

p+ = 22 cm

- Sy3 F3.Xc3 = -432 cm3

- Sx3 = F3.Yc3 = 3168 cm3

Hình 4: Hình vuông, trọng tâm C4

- Diện tích: F4 = p2 = 100 cm2

- Xc4 = Yc4 =

2

p = 5 cm

- Sy4 = Sx4 = 500 cm3

Hình 5: 1/4 tròn( khuyết), trọng tâm C5

- Xét hình quạt với trục toạ độ nh sau:

Trọng tâm C5 của hình đối với trục x”O”y”

giả định có toạ độ:

X”c5 =Y”c5 =

3π

4R = 4,2 cm

 Toạ độ trọng tâm C5 đối với hệ trục toạ độ xOy đã chọn ban đầu là:

Xc5 = 10 – 4,2 = 5,8 cm

Yc5 = 10 – 4,2 = 5,8 cm

- Diện tích: F5 =

4

1 π.p2 = 78,5 cm2

- Sy5 = F5.Xc5 = 455,3 cm3

- Sx5 = F5.Yc5 = 455,3 cm3

B¶ng 1:

H×nh

DiÖn tÝch Fi(cm2)

Xci (cm2)

Yci (cm2)

Syi=FiXci (cm3)

Sxi=FiYci (cm3)

Xc =

∑

∑

i

i F

Sy

∑

∑

i

i F Sx = 15.5

2 Xác định các mô men quán tính đối với hệ trục trung tâm Cxy song song với

hệ trục OXY

Hình 1: Xét tam giác với hệ trục toạ độ nh hình vẽ ta có:

J’xc1 =

36

3

h

b = 944,4 cm4

J’yc1 =

36

h

3

b

= 10917,8 cm4

J’xc1yc1 = -

72

2

2h

b = -1605,6 cm4

áp dụng phép quay trục với góc quay α = 90o ta có:

Jxc1 = Cos2α -JxySin2α

2

Jy

-Jx 2

Jy

Jx

+

Jyc1 = Cos2α -JxySin2α

2

Jy

-Jx 2

Jy

Jxc1yc1 = Sin2α JxyCos2α

2

Jy

a1 = Xc1 – Xc = -11,2 cm

b1 = Yc1 – Yc = -4,2 cm

Hình 2: Hình chữ nhật có kích thớc: h = 34 cm và b = 26 cm

Ta có:

Jxc2 =

12

h

b 3 = 85159 cm4

Jyc2 =

12

h

b3 = 49799 cm4

Vì hình 2 là hình chữ nhật( có trục đối xứng ) nên Jxc2c2 = 0

a1 = Xc2 – Xc = 5,1 cm

b2 = Yc2 – Yc = 1,5 cm

Hình 3: Hình chữ nhật có kích thớc: h = 24 cm và b = 6 cm

Ta có: Jxc3 =

12

h

b 3 = 6912 cm4

Jyc3 =

12

h

b3 = 432 cm4 Vì hình 3 là hình chữ nhật( có trục đối xứng ) nên Jxc3yc3 = 0

a3 = Xc3 – Xc = 15,1 cm

b3 = Yc3 – Yc = 6,5 cm

Hình 4: Hình vuông có kích thớc: h = 10 cm và b = 10 cm

Ta có: Jxc4 = Jyc4 =

12

h

b 3 = 833 cm4 Vì hình 4 là hình vuông( có trục đối xứng ) nên Jxc4yc4 = 0

a4 = Xc4 – Xc = 23,1 cm

b4 = Yc4 – Yc = - 10,5 cm

Hình 5: Xét hình quạt với trục toạ độ nh hình vẽ :

J’x = J’y ≈ 0,0548R4 = 548 cm4

J’xy ≈ - 0,0165R4 = - 165 cm4

Sử dụng phép quay trục với góc α = 180o ta có:

Jxc5 = Cos2α -J'xySin2α

2

y J'

-x J' 2

y J'

x J'

+

Jyc5 = Cos2α -J'xySin2α

2

y J'

-x J' 2

y J'

x J'

−

Jxc5yc5 = Sin2α J'xyCos2α

2

y J' -x J'

+ = - 165 cm4

a5 = Xc5 – Xc = 23,9 cm

b5 = Yc5 – Yc = - 9,7 cm

Bảng 2:

Hình số Jxci Jyci Jxciyci Fi ai=

Xci-Xc

bi=

Yci-Yc ai

2 Fi bi 2 Fi aibiFi

1 10918 944,4 1605,6 170 -11,2 -4,2 21308,3 2942,1 7917,8

2 85159 49799 0 884 5,1 1,5 23031,9 2096,2 6948,4

3 -6912 -432 0 -144 15,1 6,5 -32852,3 -6158,9 -14224,4

4 -833 -833 0 -100 23,1 -10,5 -53381 -10941,4 24167,4

5 548 548 -165 78,5 23,9 -9,7 44856,2 7325,4 -18127,1

=

1 i

2 5

1

i i

Fi bi Jxc = 84143,5 cm4

=

1 i

2 5

1

i i

Fi ai Jyc = 52989,6 cm4

=

1 i

5 1

i i i

aibiFi yc

M« men qu¸n tÝnh chÝnh trung t©m vµ hÖ trôc qu¸n tÝnh chÝnh trung t©m:

Jmax = (Jxc -Jyc)2 4Jxcyc2

2

1 2

Jyc Jxc

+ +

Jmin = (Jxc -Jyc)2 4Jxcyc2

2

1 2

Jyc Jxc

+

−

α1 = Arctg Jyc -Jmax

Jxcyc

= - 13o 46’ 12”

α2 = Arctg Jyc -Jmin

Jxcyc

= 76o 13’ 48”

KÕt qu¶:

Xc = -18,1 cm

Yc = 15,5 cm

Jmax = 86134 cm4

Jmin = 50999 cm4

α1 = -13o 46’ 12”

α2 = 76o 13’ 48”

α2

α1

Phần II.

Hình loại 9

Kích thớc loại 9

1 Xác định trọng tâm

Đặt hệ trục toạ độ ban đầu: Oxy

Các hình thành phần bao gồm:

Hình 1: Mặt cắt thép góc không đều cánh, trọng tâm C1

Kích thớc: 9 x 5,6 x 0,6 cm

Hình 2: Mặt cắt thép bản, trọng tâm C2

Kích thớc: 27 x 14 cm

Hình 3: Mặt cắt thép chữ C, trọng tâm C3

Kích thớc: 27 x 9,5 x 0,6 x 1,05 cm

Hình 1: Mặt cắt thép góc không đều cánh, trọng tâm C1

- Diện tích: F1 = 8,54 cm2 (Tra bảng)

- Xc1 = 27- (5,6 - 1,28) = 22,68 cm

- Yc1 = 27 + 1,4 + 2,95 = 31,35 cm

- Sy1 = F1 x Xc1 = 193,69 cm3

- Sx1 = F1 x Yc1 = 267,73 cm3

H×nh 2: MÆt c¾t thÐp b¶n, träng t©m C2

- DiÖn tÝch: F2 = 27 x 1,4 = 37,8 cm2

- Xc2 =

2

27 = 13,5 cm

- Yc2 = 27 +

2

1,4 = 27,7 cm

- Sy2 = F2 x Xc2 = 510,3 cm3

- Sx2 = F2 x Yc2 = 1047,06 cm3

H×nh 3: MÆt c¾t thÐp ch÷ C, träng t©m C3

- DiÖn tÝch: F3 = 35,2 cm2 (Tra b¶ng)

- Xc3 = 2,47 cm (Tra b¶ng)

- Yc3 =

2

27 = 13,5 cm

- Sy3 = F3 x Xc3 = 86,94 cm3

- Sx3 = F3 x Yc3 = 475,2 cm3

B¶ng 1:

H×nh

DiÖn tÝch

Fi (cm2)

Xci

(cm)

Yci

(cm)

Syi = Fi.Xci

(cm3)

Sxi = Fi.Yci

(cm3)

1 8.54 22.68 31.35 193.69 267.73

Xc =

∑

∑

i

i F

Sy

∑

∑

i

i F

Sx = 21,95 cm

2 Xác định mô men quán tính đối với hệ trục trung tâm Cxy song song với hệ trục Oxy

Hình 1: Mặt cắt thép góc không đều cánh, trọng tâm C1

- Jxc1 = 70,6 cm4 (Tra bảng)

- Jyc1 = 21,2 cm4 (Tra bảng)

- Jmin = 12,7 cm4 (Tra bảng)

Tg α = 0,384

 Jxc1yc1 = 22,14 cm4

Hình 2: Mặt cắt thép bản, trọng tâm C2

Kích thớc: h = 1,4 cm; b = 27 cm

∑

Sxi

∑

Fi

- Jxc2 =

12

bh3 = 6,17 cm4

- Jyc2 =

12

h

b3 = 2296,35 cm4

- Jxcyc2 = 0 (Vì mặt cắt thép bản có trục đối xứng)

Hình 3: Mặt cắt thép chữ C, trọng tâm C3

- Jxc3 = 4160 cm4

- Jyc3 = 262 cm4

- Jxc3yc3 = 0 (Vì mặt cắt thép chữ C có trục đối xứng)

Bảng 2:

Hình số Jxci Jyci Jxciyci Fi ai=

Xci-Xc

bi=

Yci-Yc ai

2 Fi bi 2 Fi aibiFi

1 70,6 21,2 22,14 8,54 12,98 9,4 1438,84 754,23 1041,74

2 6,17 2296,35 0 37,8 3,8 5,75 545,86 1248,77 825,62

3 4160 262 0 35,2 -7,23 -8,45 1839,96 2514,73 2151,05 Tổng 4236,77 2579,55 22,14 3824,66 4517,72 4018,4

=

=

+ 3 1 i 2 3

1

i i

Fi bi Jxc = 8754,49 cm4

=

1 i 2 3

1

i i

Fi ai Jyc = 6404,21 cm4

∑

Sxi

∑

Fi

Jxcyc = ∑ ∑

=

1 i

3

1

i i i

aibiFi yc

M« men qu¸n tÝnh chÝnh trung t©m vµ hÖ trôc qu¸n tÝnh chÝnh trung t©m:

Jmax = (Jxc -Jyc)2 4Jxcyc2

2

1 2

Jyc

Jmin = (Jxc -Jyc)2 4Jxcyc2

2

1 2

Jyc Jxc

+

−

α1 = Arctg Jyc -Jmax

Jxcyc

= - 36o 53’ 24”

α2 = Arctg Jyc -Jmin

Jxcyc

= 53o 6’ 36”

KÕt qu¶:

Xc = 9,7 cm

Yc = 21,95 cm

Jmax = 111787,32 cm4

Jmin = 3371,39 cm4

α1 = - 36o 53’ 24”

α2 = 53o 6’ 36”

α2 α1