Sức bền vật liệu Chương 5 Uốn phẳng thanh thẳng

8 UỐN THUẦN TÚY PHẲNG Một dầm chịu uốn thuần túy phẳng khi trên mọi mặt cắt ngang của dầm chỉ tồn tại một thành phần nội lực đó làmômen uốn nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm.

Trang 1

BÀI GiẢNG MÔN HỌC

SỨC BỀN VẬT LiỆU

GV: TRẦN HỮU HUYTp.HCM, tháng 10 năm 2009 (Lưu hành nội bộ)

2

UỐN PHẲNG THANH THẲNG CHUYỂN VỊ DẦM CHỊU UỐN

CHƯƠNG 5:

PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN KHÔNG ĐỊNH HẠN

Trang 2

KHÁI NIỆM CHUNG

Nếu trục của một thanh bị uốn cong dưới tác dụng của ngoại lực thì ta gọi thanh đó chịu uốn Những thanh chủyếu chịu uốn được gọi là dầm

L

P A

q(z) M

4

KHÁI NIỆM CHUNG

Ngoại lực gây ra uốn có thể là lực tập trung hay lực phân

bố có phương vuông góc với trục dầm, hoặc các mômen nằm trong mặt phẳng chứa trục dầm

Nếu ngoại lực cùng tác dụng trên một mặt phẳng chứa

trục dầm thì mặt phẳng đó được gọi là mặt phẳng tải

trọng Giao tuyến của mặt phẳng tải trọng và mặt cắt

ngang là đường tải trọng.

Trang 3

KHÁI NIỆM CHUNG

P q(z) Mặt phẳng tải trọng

Đường tải trọng

6

KHÁI NIỆM CHUNG

Trong chương này ta chỉ xét đến những dầm mà mặt cắt ngang cĩ ít nhất một trục đối xứng Ngồi ra ta cũng giả thiết rằng ngoại lực tác dụng trong mặt phẳng chứa trục dầm

và trục đối xứng của mặt cắt ngang

Nếu mặt phẳng quán tính chính trung tâm cũng là mặt phẳng tải trọng Thì các phản lực của các gối tựa cũng phải nằm trong mặt phẳng tải trọng

Mặt phẳng tải trọng

Trang 4

KHÁI NIỆM CHUNG

Khi tất cả các tải trọng đều nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm thì nội lực cũng nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm đó Cho nên, trục thanh

bị cong cũng nằm trong mặt phẳng này

Nếu trục dầm sau khi bị uốn cong vẫn nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm thì sự uốn đó được gọi

là uốn phẳng: uốn thuần túy phẳng và uốn ngang phẳng

8

UỐN THUẦN TÚY PHẲNG

Một dầm chịu uốn thuần túy phẳng khi trên mọi mặt cắt ngang của dầm chỉ tồn tại một thành phần nội lực đó làmômen uốn nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm

Mo Mo

L

Khái niệm:

Trang 5

Để quan sát biến dạng của dầm, trước khi cho dầm chịu lực ta kẻ những đường thẳng song song với trục để biểu diễn những thớ dọc và những đường thẳng vuông góc với trục dầm để biểu diễn mặt cắt ngang

Biến dạng của dầm chịu uốn thuần túy phẳng

M

Sau khi chịu uốn, ta nhận thấy các đường thẳng song song với trục dầm trở thành những đường cong nhưng vẫn song song với trục dầm Những đường thẳng vuông góc với trục dầm vẫn vuông góc với trục dầm

10

Với những nhận xét trên ta đề ra các giả thiết sau để là

cơ sở tính toán cho dầm chịu uốn thuần túy phẳng:

- Giả thiết về mặt cắt ngang phẳng: Trước và sau khi biến dạng, mặt cắt ngang của dầm là phẳng và vuông góc với trục dầm

- Giả thiết về thớ dọc Trong quá trình biến dạng, các thớdọc không ép lên nhau và không xô đẩy nhau

- Vật liệu làm việc trong giai đoạn đàn hồi và tuân theo định luật Hooke

Trang 6

- Quan sát biến dạng của dầm chịu uốn thuần túy phẳng

ta nhận thấy các thớ dọc ở phía trên trục dầm bị co lại vàcác thớ dọc ở phía dưới trục dầm bị giãn ra Như vậy, từthớ bị co sang thớ bị giãn chắc chắn cĩ một thớ khơng co cũng khơng giãn, tức là thớ khơng biến dạng Thớ đĩ

được gọi là thớ trung hịa Các thớ trung hịa tạo thành

lớp trung hịa Giao tuyến giữa lớp trung hịa và mặt cắt

ngang được gọi là đường trung hịa.

- Đường trung hịa chia mặt cắt ngang làm hai miền: một miền gồm các thớ bị co và một miền gồm các thớ bị giãn

12

Xét một đoạn dầm dz được cắt bởi hai mặt cắt 1-1 và 2-2 như hình vẽ:

- Ta cĩ:

x y

trung hòa

O' O

d ϕ 1

Trang 7

Xét mặt cắt ngang 1-1, trục ox là đường trung hòa, trục

oy là trục đối xứng, trục oz vuông góc với mặt cắt ngang

Liên hệ giữa ứng suất và biến dạng

- Vì trước và sau biến dạng các góc vuông của phân tố được bảo toàn nên trên các mặt của phân tố không có ứng suất tiếp

x

z Mx

y

- Mặt khác theo giả thiết về các thớ dọc trên các mặt cắt song song với trục z sẽ không cóứng suất pháp

Quan hệ giữa lực dọc và ứng suất pháp:

Công thức tính ứng suất pháp trên mặt cắt ngang

Trang 8

Công thức tính mômen uốn quanh trục trung hòa x:

ρ

16

z x

MyI

σ =

- Mxlà mômen uốn trên mặt cắt ngang đối với trục trung hòa và được coi là dương nếu làm căng phần dương của trục y

- Ixlà mômen quán tính của mặt cắt ngang đối với trục trung hòa

- y là tung độ của điểm cần tính ứng suất đến trục trung hòa

(*)

Trang 9

Để thuận lợi trong tính toán người ta đưa ra công thức kỹthuật được viết dưới dạng sau:

x z

x

MyI

σ = ±

Với dấu (+) được lấy nếu điểm đang xét nằm trong thớ bịkéo và dấu (-) được lấy nếu điểm đang xét nằm trong vùng nén

18

Biểu đồ phân bố ứng suất pháp

Những điểm cùng nằm trên một đường thẳng song song với trục trung hòa (tức là có cùng khoảng cách y) thì cócùng giá trị ứng suất pháp

Do đó, các ứng suất pháp sẽ có giá trị cực đại đối với các điểm ở xa trục trung hòa nhất

Do đó chúng ta cần vẽ biểu đồ ứng suất pháp theo chiều cao mặt cắt ngang Mặt khác, từ công thức (5.2) ta thấy

rõ đường biểu diễn ứng suất pháp (biểu đồ ứng suất pháp) là đường thẳng đi qua gốc tọa độ

x z x

MyI

σ =

Trang 10

Gọi ymax_kvà ymax_nlà các khoảng cách từ thớ chịu kéo vàchịu nén ở mép mặt cắt đến trục trung hòa

Đối với tiết diện có 1 trục đối xứng

Ta có:

uốn đối với trục trung hòa

Đối với tiết diện có 2 trục đối xứng

Trang 11

Mômen chống uốn của một số hình đơn giảnHình chữ nhật

2 x

bhW

Đối với mặt cắt ngang dạng định hình như dạng chữ I…

mômen chống uốn được cho sẵn trong bảng số liệu

3

4 x

Điều kiện bền – Ba bài toán cơ bản

Đối với dầm bằng vật liệu dẻo Vì ta có: [ ] [ ] [ ]σ = σ = σk n

Nên ta có điều kiện bền: Max(σmax;σmin )≤ σ[ ]

Đối với dầm bằng vật liệu giòn ứng suất cho phép khi kéo và khi nén là khác nhau

Nên ta có điều kiện bền: σmax ≤ σ[ ]k;σmin ≤ σ[ ]n

Ba bài toán cơ bản: bài toán kiểm tra bền, bài toán xác định tải trọng cho phép và bài toán chọn kích thước cho mặt cắt ngang

Trang 12

Hình dạng hợp lý của tiết diện ngang

Hình dạng hợp lý của mặt cắt ngang là hình dáng sao cho khả năng chịu lực của dầm là lớn nhất đồng thời ít tốn vật liệu nhất

Mặt cắt ngang sẽ hợp lý nếu như các ứng suất pháp cực trị trên mặt cắt ngang đó thỏa mãn các điều kiện

k max kn

max n

yy

σ

=σ

24

Hình dạng hợp lý của tiết diện ngang

- Đối với vật liệu dẻo, do [σ]k= [σ]nnên tiết diện hợp lý làtiết diện có dạng đối xứng qua trục trung hòa Ox

Vì càng gần đường trung hòa các ứng suất pháp càng nhỏnghĩa là ở các nơi đó vật liệu làm việc ít hơn ở những điểm

ở xa trục trung hòa nên người ta phải cấu tạo hình dáng mặt cắt sao cho vật liệu được phân phối xa trục trung hòa

Đối với vật liệu giòn mặt cắt ngang thường có dạng chữ T

Đối với vật liệu dẻo mặt cắt ngang thường có dạng chữ I

- Đối với vật liệu giòn hình dạng hợp lý của mặt cắt ngang là dạng mặt cắt không đối xứng qua trục trung hòa

Ox và phải bố trí sao cho thỏa mãn công thức trên

Trang 13

UỐN NGANG PHẲNG

Khái niệm chung

Một dầm chịu uốn ngang phẳng khi trên các mặt cắt ngang

cắt Qy Các thành phần lực đó nằm trong mặt phẳng đối xứng của dầm

Nếu trên bề mặt ngoài của thanh, trước khi chịu lực ta vạch những đường thẳng song song và vuông góc với trục thanh thì sau khi biến dạng những đường song song vẫn giữ song song, nhưng những đường vuông góc thì không còn thẳng nữa, chúng trở thành những đường cong

x x

Khái niệm chung

Nếu tại điểm B trên mặt cắt ta tách một phân tố hình hộp bằng các mặt cắt song song với mặt phẳng tọa độ thì ta nhận thấy phân tố bị biến dạng trượt vì các góc vuông không còn vuông Như vậy trên mặt cắt ngang của thanh không những có ứng suất pháp mà còn có ứng suất tiếp

Trong phần uốn thuần túy phẳng, từ giả thuyết mặt cắt

z x

MyI

σ =

Ta vẫn có thể dùng công thức này đối với trường hợp uốn ngang phẳng mặt dù trong trường hợp này mặt cắt ngang không còn phẳng nữa

Trang 14

UỐN NGANG PHẲNG

Ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang:

Ta xét dầm có mặt cắt ngang hình chữ nhật Coi ứng suất tiếp τzycó phương song song với và phân bố đều trên phương ngang Để tính ta tách khỏi thanh một đoạn dz vô cùng bé bằng hai mặt cắt 1-1 và 2-2

Dùng một mặt cắt thứ ba song song với Oz chia đoạn dầm làm hai phần Xét phần dưới, do định luật đối ứng, trên mặt phẳng song song với trục Oz đó phải có thành phần τyz

2 1

1

dz

y

z x

dA

y

σz1dA

zy τ

τyz

dA

z2 σ

F

G A B

Trang 15

UỐN NGANG PHẲNG

Ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang

Xét phương trình hình chiếu của các lực lên phương trục z

ta có:

Trong đóσz1, σz2là ứng suất pháp trên mặt cắt 1-1 và 2-2

do mômen uốn gây ra

Ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang

Từ hai phương trình trên ta được:

Trang 16

- bCbề rộng của mặt cắt tại điểm tính ứng suất

- SxCmômen tỉnh của phần diện tích mặt cắt lấy từ điểm cần tính ứng suất tiếp đến mép của mặt cắt lấy đối với trục trung hòa (mômen tĩnh của phần diện tích ABCD lấy đối với trục trung hòa)

- Ixmômen quán tính của mặt cắt ngang đối với trục trung hòa Ox

32

UỐN NGANG PHẲNG

Ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang của một số hình đơn giản

Thay vào phương trình tính ứng suất tiếp:

y2I 4

Trang 17

UỐN NGANG PHẲNG

Sxlà mômen tĩnh của nữa tiết diện

τ max zx

τ y

Phần cánh chữ I theo phương song song với trục x:

Hình chữ I:

2 y

τ y

Ứng suất tiếp xúc giữa lòng và đế

Ở đây bC=t là chiều dày bản cánh:

Trang 18

Tính SxCcủa hình viên phân ABC.

Ta chuyển sang tọa độ cực:

Lấy phân tố diện tích dA=adη

Trang 19

2 y max

x

Q r3I

Tại các điểm đầu và cuối với y=R Biểu đồ bằng không

Kiểm tra bền của uốn ngang phẳng

Để kiểm tra các trạng thái ứng suất của dầm chịu uốn ngang phẳng ta cần xét ba trường hợp sau:

- Các điểm ở mép trên cùng và dưới cùng mặt cắt Tại các điểm này τzy=0 do đó trạng thái ứng suất là trạng thái ứng suất đơn

- Các điểm trên trục trung hòa: tại các điểm này σz do đótrạng thái ứng suất là trạng thái ứng suất trượt thuần túy

- Đối với những điểm trên mặt cắt tồn tại cả szvà tzyvới giátrị đáng kể thì ta kiểm tra trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt

Trang 20

UỐN NGANG PHẲNG

phải chọn mặt cắt có mômen uốn lớn nhất

- Điều kiện bền đối với vật liệu dẻo:

- Điều kiện bền đối với vật liệu giòn:

Đối với phân tố ở trạng thái ứng suất đơn

Tìm ứng suất pháp lớn nhất tại các điểm ở hai biên tiết diện

Trị số ứng suất tiếp phụ thuộc vào lực cắt nên ta phải chọn mặt cắt có lực cắt lớn nhất

Tính ứng suất chính tại các điểm này, áp dụng công thức tính ứng suất chính đối với phân tố ở TTƯS phẳng, ta được

Đối với phân tố trượt thuần túy

Tìm ứng suất tiếp lớn nhất tại các điểm ở trục trung hòa:

Trang 21

UỐN NGANG PHẲNG

- Đối với vật liệu giòn:

Đối với phân tố trượt thuần túy

[ ] [ ]k [ ] [ ] [ ]k [ ]

Áp dụng thuyết bền TTƯS tới hạn (thuyết bền Mohr)

- Đối với vật liệu dẻo:

Trước tiên ta phải chọn mặt cắt ngang nguy hiểm nhất, tức

là phải tìm mặt cắt có cả Mxvà Qycùng lớn (có thể có nhiều mặt cắt nguy hiểm thỏa mãn điều kiện này)

Đối với phân tố phẳng đặc biệt

y

Tìm ứng suất pháp và ứng suất tiếp nguy hiểm

Ta phải chọn được điểm nguy hiểm nhất trên mặt cắt, nghĩa

là phải chọn điểm mà tại đóσzvàτzy tương đối lớn Đối với tiết diện chữ I, U, T, điểm nguy hiểm trên mặt cắt là điểm tiếp giáp giữa phần bụng và đế

Trang 22

UỐN NGANG PHẲNG

Tính ứng suất chính của phân tố:

Đối với phân tố phẳng đặc biệt

Trang 23

UỐN NGANG PHẲNG

Ba bài toán cơ bản:

Từ các điều kiện bền bên trên, ta có 03 bài toán cơ bản sau

-Bài toán kiểm tra bền

-Bài toán xác định kích thước tiết diện

-Bài toán xác định tải trọng cho phép

Đối với hai loại bài toán sau, vì ảnh hưởng của ứng suất pháp lớn hơn nhiều so với ảnh hưởng của ứng suất tiếp nên đầu tiên ta bỏ qua lực cắt và sơ bộ chọn kích thước mặt cắt ngang hay tải trọng cho phép theo điều kiện bền của phân tố

ở trạng thái ứng suất đơn Sau đó tiến hành kiểm tra bền phân tố ở trạng thái trượt thuần túy và trạng thái ứng suất phẳng

Định dạng
Số trang	23
Dung lượng	348,77 KB