Sức bền vật liệu (SBVL) là môn học kĩ thuật cơ sở của các ngành kĩ thuật (Xây dựng, Cơ khí, Cầu đường, Kiến trúc,...). Mục đích của SBVL là nghiên cứu các qui luật ứng xử, ứng suất và biến d
84Chương 5 UỐN NGANG PHẲNG NHỮNG THANH THẲNG 5.1.KHÁI NIỆM. Một thanh chịu uốn là một thanh có trục bị uốn cong dưới tác dụng của ngoại lực. Những thanh chủ yếu chịu uốn gọi là dầm. Ví dụ: Dầm chính của một cái cầu (hình 5.1), trục bánh xe lửa (hình 5.2), xà nhà . Ngoại lực gây ra uốn có thể là lực tập trung hay lực phân bố có phương vuông góc với trục dầm, hay là những mô men nằm trong mặt phẳng chứa trục dầm. Một số định nghĩa : - Nếu ngoại lực cùng tác dụng trong một mặt phẳng chứa trục dầm thì mặt phẳng đó gọi là mặt phẳng tải trọng. - Giao tuyến giữa mặt phẳng tải trọng và mặt cắt ngang của dầm gọi là đường tải trọng. - Mặt phẳng quán tính chính trung tâm là một mặt phẳng tạo bởi một trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang và trục dầm. Trên hình 5.3, giả sử y là trục đối xứng của dầm, z là trục dầm, thì mặt phẳng Oyz là mặt phẳng quán tính chính trung tâm. Nếu trục dầm khi bị uốn cong vẫn nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm thì sự uốn đó được gọi là uốn phẳng Trong thực tế, những dầm bị uốn thường là những dầm có mặt cắt ngang là hình đối xứng qua một trục. Vì vậy, trong chương này ta chỉ xét các loại dầm có tính chất đó, nghĩa là các loại dầm có ít nhất một mặt đối xứng đi qua trục của dầm (hình 5.3). Ngoài ra, ta cũng giả thiết thêm rằng, ngoại lực tác dụng trong mặt phẳng chứa trục dầm và trục đối xứng của mặt cắt ngang, tức là ngoại lực tác dụng trong một mặt phẳng đối xứng đi qua trục của dầm. Như vậy, trong trường hợp uốn phẳng đang xét, mặt phẳng đối xứng là mặt phẳng tải trọng và đồng thời là mặt phẳng quán tính chính trung tâm. Vì tính chất đối xứng, nên trục dầm sau khi bị uốn là một đường cong phẳng nằm trong mặt phẳng đối xứng đó. Trục đối xứng của mặt cắt là đường tải trọng. Ta chia uốn phẳng làm hai loại: a) Uốn thuần túy phẳng. b) Uốn ngang phẳng. Hình 5.3:Một dầm chịu uốn phẳngVxyzM0Pq(z) OHình 5.1: Dầm chính ầHình 5.2: Trục á ửBP q 85 A. DẦM CHỊU UỐN THUẦN TÚY PHẲNG Một dầm chịu uốn thuần túy phẳng là một dầm chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang của dầm chỉ có một thành phần mô men uốn nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm. Trên hình 5.4, hình 5.5: P, Mo nằm trong mặt phẳng đối xứng. Rõ ràng tất cả mọi mặt cắt ngang thuộc đoạn AB của hai dầm chỉ có một thành phần mô men uốn nằm trong mặt phẳng đối xứng của dầm (mặt phẳng quán tính chính trung tâm). Do đó, đoạn AB chịu uốn thuần túy. 5.2. ỨNG SUẤT PHÁP TRÊN MẶT CẮT NGANG CỦA DẦM CHỊU UỐN THUẦN TÚY PHẲNG. Để tính ứng suất trong dầm chịu uốn thuần túy phẳng, trước hết ta xét biến dạng của dầm. 5.2.1. Quan sát biến dạng: Quan sát một dầm chịu uốn thuần túy phẳng có mặt cắt ngang hình chữ nhật. Trước khi cho dầm chịu lực, ta kẻ những đường thẳng song song với trục để biểu diễn các thớ dọc và những đường thẳng vuông góc với trục để biểu diễn các mặt cắt ngang (hình 5.6a). Khi có mô men uốn tác dụng vào hai đầu dầm, ta nhận thấy rằng những đường thẳng trước kia song song với trục dầm thì bây giờ trở thành những đường cong và vẫn song song với trục dầm Những đường thẳng trước kia vuông góc với trục dầm, bây giờ vẫn vuông góc với trục dầm. Như vậy, những góc vuông vẽ trước khi biến dạng, thì sau biến dạng vẫn là góc vuông (hình 5.6b). 5.2.2. Giả thuyết. Từ các nhận xét trên, ta đưa ra hai giả thuyết sau để làm cơ sở tính tóan cho một thanh chịu uốn thuần túy: aaA Hình 5.4: Dầm chịu uốn thuần tuý phẳng MO MO(Mx) MOBlHình 5.5: Dầm chịu uốn thuần tuý phẳngPPCAB DPPPP(Qy) (Mx) Hình 5.6: Biến dạng của dầm chịu uốn phẳng thuần tuýa)bMx Mx a bcd 86 a) Giả thuyết về mặt cắt ngang phẳng (Bemili): Trước khi biến dạng mặt cắt ngang của dầm là phẳng thì sau biến đạng vẫn phẳng và vuông góc với trục dầm. b) Giả thuyết về các thớ dọc: Trong quá trình biến dạng, các thớ dọc không ép lên nhau và cũng không đẩy xa nhau. Ngoài hai giả thuyết trên, ta còn giả thuyết rằng vật liệu làm việc trong giới hạn đàn hồi, tức là vật liệu tuân theo định luật Hooke. 5.2.3. Công thức tính ứng suất pháp: * Quan hệ biến dạng. Khi quan sát biến dạng của dầm chịu uốn thuần túy như trên hình 5.6a, ta nhận thấy: Các thớ dọc phía trên trục dầm bị co lại (thớ ab), các thớ dọc phía dưới trục dầm bị giãn ra (thớ cd). Như vậy, từ thớ bị co sang thớ bị giãn, chắc chắn sẽ có các thớ không bị co cũng không bị giãn, tức là thớ không biến dạng. Các thớ đó gọi là thớ trung hòa (hình 5.7a). Các thớ trung hòa tạo thành một lớp được gọi là lớp trung hòa. Giao tuyến của lớp trung hòa với mặt cắt ngang gọi là đường trung hòa. Vì các thớ trên bị nén, nên bề rộng của mặt cắt ở phía trên phình ra, còn các thớ phía dưới chịu kéo nên bề rộng của mặt cắt ở phía dưới thu hẹp lại (hình 5.7b). Mặt cắt ngang không còn nguyên dạng hình chữ nhật như trước khi bị biến dạng. Đường trung hòa là một đường cong nhưng vì biến dạng nhỏ, nên có thể coi mặt cắt sau khi biến dạng vẫn không đổi (vẫn hình chữ nhật) và coi đường trung hòa là đường thẳng và biến dạng của dầm chịu uốn thuần túy là sự quay của các mặt cắt xung quanh đường trung hòa. Bây giờ, ta xét một đoạn dầm dz được cắt ra bởi hai mặt cắt 1-1 và 2-2 (hình 5.8a). Sau biến dạng, theo giả thuyết mặt cắt ngang phẳng thì hai mặt cắt 1-1 và 2-2 vẫn phẳng và vuông góc với trục dầm, đồng thời quay với nhau một góc dϕ. Gọi ρ là bán kính cong của thớ trung hòa O1O2 (hình 5.8b). Vì thớ trung hòa không bị biến dạng nên: Hình 5.7: Biến dạng của dầm chịu uốn thuần tuý ẳThớ trung hoà Đường trunghàyxMx Mx Lớp trung hoàOa) b) Trục đối xứngĐường trung hoàa) Thớ trung hàydz 12O2 O1 21m nHình 5.8: Xét sự biến dạng của một thớ ρydϕThớ trung hoàm12nO1O212b) 87 O1O2ϕρ=== dOOdz21 Bây giờ, tính biến dạng dài của một thớ mn cách thớ trung hòa một khoảng cách y. Chiều dài của thớ này trước khi bị biến dạng: ϕρddzmn == và sau khi biến dạng : mn= (ρ + y) dϕ Vậy, độ biến dạng dài tỉ đối của thớ mn bằng: ρ=ϕρϕρ−ϕ+ρ=εyddd)y(z Trong đó, giá trị của y và ρ đều chưa biết, vì vị trí của đường trung hòa còn chưa xác định. * Quan hệ vật lý: Ta hãy xét một mặt cắt nào đó, chẳng hạn mặt cắt 2-2. Mặt cắt đó được biểu diễn như trên hình 5.9. Trên mặt cắt đó ta lập hệ tọa độ Oxyz với Ox là đường trung hòa, Oy là trục đối xứng của mặt cắt, Oz song song với trục của dầm. Chiều của các trục như hình vẽ (hình 5.9a). Bây giờ, ta tách ra một phân tố hình hộp bằng các mặt cắt song song với các mặt tọa độ. Phân tố đó được biểu diễn trên hình 5.9b. Theo giả thuyết về mặt cắt ngang phẳng và với nhận xét các ô vuông sau khi biến dạng vẫn giữ góc vuông, nghĩa là trên các mặt cắt của phân tố không thể có ứng suất tiếp. Nói cách khác, trên mặt cắt ngang của thanh chỉ có ứng suất pháp σz Theo giả thuyết về các thớ dọc thì σx= σy = 0. Như vậy, trạng thái ứng suất của một phân tố tách ra ở một điểm A nào đó trên mặt cắt ngang là trạng thái ứng suất đơn. Định luật Hooke cho phép ta biểu diễn quan hệ giữa σz và εZ như sau : ρεσyEEzz== (b) * Quan hệ ứng suất và nội lực: Xét một phân tố diện tích dF bao quanh điểm A. Phân tố nội lực tác dụng lên phân tố diện tích đó là σzdF. Nếu quy về gốc tọa độ O của hệ trục trên mặt cắt ngang đang xét, thì chúng ta được các thành phần phân tố nội lực: dNz = σzdF dMy = (σzdF)⋅x dMx = (σzdF)⋅y Vì chúng ta nghiên cứu dầm chịu uốn thuần túy phẳng, cho nên trên mọi mặt cắt ngang của dầm chỉ có mô men uốn Mx; còn My = 0 và Nz = 0. Do đó : Nz = 0dFFz=∫σ (c) yσzdF dF zxxyOMxFa)σzσzb)Hình 5.9: Xác định ứng suất của dầm chịu uốn thuần tuý phẳng 88 My = 0xdFFz=∫σ (d) Mx = ∫FzydFσ (e) Trong đó các tích phân lấy trên toàn bộ diện tích F của mặt cắt ngang. a) Lực trục NZ: Mang (b) vào (c) và chú ý tỉ số ρE là một hằng số ở trên mọi điểm của mặt cắt ngang nên có thể đưa ra ngoài dấu tích phân : Nz = ∫∫==FF0ydFEydFEρρ Rút ra Sx = ∫=F0ydF Trong đó, Sx là mô men tĩnh của mặt cắt ngang đối với đường trung hòa Ox. Điều đó chứng tỏ đường trung hòa Ox trùng với trục trung tâm của mặt cắt ngang. b) Mô men uốn My: Mang (b) vào (d) ta có : My = ∫∫==FF0xydFpExydFpE Rút ra : Jxy = ∫=F0xydF Trong đó Jxy là mô men quán tính li tâm của mặt cắt ngang đối với hệ trục Oxy. Vậy, hệ trục Oxy là hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang. c) Mô men uốn Mx: Sau khi xác định vị trí đường trung hòa Ox, ta thiết lập công thức ứng suất pháp. Mang (b) vào (e) ta có: Mx = ∫∫ρ=ρ=ρFFx22JEdFyEdFyE Rút ra : xxEJM1=ρ (5-1) Trong đó EJx: Độ cứng của dầm khi uốn. Khi thay (5-1) vào (b) ta được: yJMxxz=σ (5-2) Trong đó, Mx: Mô men uốn trên mặt cắt ngang đối với trục trung hòa Ox và được coi là dương nếu làm căng các thớ ở về phía dương của trục y. Jx: Mô men quán tính của mặt cắt ngang đối với trục trung hòa Ox . y: Tung độ của điểm đang xét đến trục trung hòa Ox. Ứng suất pháp tính được mang dấu cộng là ứng suất kéo, mang dấu trừ là ứng suất nén .Để thuận tiện cho việc tính toán, chúng ta có thể viết (5-2) dưới dạng công thức kĩ thuật : |y|JMxxz±=σ (5-3) Trong đó, ta lấy dấu (+) khi σz là ứng suất kéo và dấu (-) khi σz là ứng suất nén ở điểm chúng ta tính ứng suất. 5.3. BIỂU ĐỒ ỨNG SUẤT PHÁP - ỨNG SUẤT PHÁP LỚN NHẤT. 5.3.1. Biểu đồ ứng suất pháp. 89Theo công thức (5-2), biểu đồ ứng xuất pháp trên mặt cắt ngang là một mặt phẳng (thường gọi là mặt phẳng ứng suất), hình 5.10a. Giao tuyến của mặt phẳng ứng suất với mặt cắt ngang là đường trung hòa. Theo công thức (5-2), ta thấy những điểm cùng nằm trên một đường thẳng song song với đường trung hòa (tức có cùng khoảng cách y) thì có cùng trị số ứng suất pháp. Do đó, ta chỉ cần biểu diễn sự biến thiên của ứng suất pháp σz theo chiều cao của mặt cắt ngang (hình 5.10b). Như vậy, ứng suất pháp ở những điểm nằm trên đường thẳng AB song song với đường trung hòa được biểu diễn bằng đoạn thẳng ab trên biểu đồ phẳng (hình 5.10a, b). Trên biểu đồ phẳng (hình 5.10b), dấu (+) chỉ ứng suất pháp kéo, dấu (-) chỉ ứng suất pháp nén. 5.3.2. Ứng suất pháp lớn nhất. Từ biểu đồ ứng suất pháp, ta thấy ở những điểm cách xa đường trung hòa nhất thì ứng suất pháp σz có giá trị lớn nhất. Kí hiệu: |ykmax| là khoảng cách từ điểm chịu kéo cách xa đường trung hòa nhất, |ynma x| là khoảng cách từ điểm chịu nén cách xa đường trung hòa nhất. Thay các trị số này vào (5-3), ta được các ứng suất pháp cực trị như sau: ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=−==+=nxxnmaxxxminkxxkmaxxxmaxW|M||y|J|M|W|M||y|J|M|σσ (5-4) Trong đó, ta đặt: |y|JW;|y|JWnmaxxnxkmaxxkx== Những đại lượng Wkx, Wnx được gọi là mô men chống uốn của mặt cắt ngang; thứ nguyên của nó là (chiều dài)3, đơn vị m3, cm3 v.v . Mô men chống uốn là một đại lượng hình học, ý nghĩa của nó thể hiện trong công thức (5-4); tức Wx càng lớn thì dầm có thể chịu Mx càng lớn. Như vậy, mô men chống uốn đặc trưng cho ảnh hưởng của hình dáng và kích thước của mặt cắt a) xzyA BMxOĐường trung hoà abσma x σmin y kma x y nma x b)Hình 5.10: Biểu đồ ứng suất pháp yHình 5.11: Xác định mô men chống uốn của hình chữ hyxO b 90ngang đối với độ bền của dầm khi ứng suất pháp chưa vượt quá giới hạn tỉ lệ. Dưới đây, ta tính mô men chống uốn của một vài mặt cắt ngang có dạng hình học đơn giản. - Mặt cắt ngang hình chữ nhật (hình 5.11). Mô men quán tính của mặt cắt ngang đối với đường trung hòa Ox: Jx = 12bh3 Ở đây |y2h|y||nmaxkmax== Vậy, mô men chống uốn của mặt cắt ngang hình chữ nhật là: 6bhWWW2xnxkx=== (5-5) - Mặt cắt ngang hình tròn (hình 5.12). Mô men quán tính của mặt ngang hình tròn đối với đường trung hòa Ox: Jx = 64D4R44ππ= Ở đây |y2DR|y||nmaxkmax=== Vậy, mô men chống uốn của mặt cắt ngang hình tròn: W ===xnxkxWW32D4R33ππ= (5-6) hay: W3xnxkxD1,0WW === (5-7) - Mặt cắt ngang hình vành khăn (hình 5.12b) . Nếu gọi α là tỉ số giữa đường kính trong d và đường kính ngoài D, thì mô men quán tính của mặt cắt ngang vành khăn là: )1(64D)1(4RJ4444xαπαπ−=−= với RrDd==α Ơ đây: 2DR|y|ynmaxkmax=== Vậy, mô men chống uốn của mặt cắt ngang hình vành khăn là: WxnxkxWW == )1(4R43α−π= )1(32D43α−π= (5-8) hay : W ≈==xnxkxWW0,1D3 (1-α4) (5-9) 5.4. ĐIỀU KIỆN BỀN CỦA DẦM CHỊU UỐN THUẦN TÚY PHẲNG. a) D R rR D db) Hình 5.12: Xác định mô men chống của hình vành khăn 91Muốn dầm làm việc được bền thì ứng suất lớn nhất khi kéo và nén ở mặt cắt ngang nguy hiểm (nói chung mặt cắt nguy hiểm có max |Mx| không vượt quá ứng suất pháp cho phép của vật liệu), đó là điều kiện bền. Đối với vật liệu dẻo, ứng suất pháp cho phép khi kéo bằng khi nén, nhưng đối với vật liệu giòn thì ứng suất pháp cho phép khi kéo khác khi nén, nên ta phải viết điều kiện bền cho cả hai trường hợp: - Dầm bằng vật liệu dẻo. Vì ứng suất pháp cho phép khi kéo và khi nén bằng nhau: [σ]k = [σ]n = [σ] Nên trong hai giá trị σmax, σmin ta sẽ chọn ứng suất pháp có giá trị tuyệt đối lớn nhất để so sánh với ứng suất pháp cho phép. Điều kiện bền la: max |σ| ≤ [σ] (5-10) Trong đó [σ] - ứng suất pháp cho phép của vật liệu dẻo. - Dầm bằng vật liệu giòn: Vì ứng suất pháp cho phép khi kéo và khi nén khác nhau, nên ta phải có hai điều kiện bền: σmax ≤ [ σ]k ; |σmin| ≤ [ σ]n (5-11) Trong đó [σ]k và [σ]n - ứng suất pháp cho phép khi kéo và khi nén. * Ví dụ 1: Một dầm bằng vật liệu giòn có ứng suất pháp cho phép khi kéo |σ|k = 3,5KN/cm2 và khi nén [σ]n = 11KN/cm2 chịu lực như hình vẽ (hình 5.13). Kiểm tra độ bền của dầm : Bài giải :Trước hết ta phải tìm trọng tâm và mô men quán tính của mặt cắt ngang (xem chương đặc trưng hình học của mặt cắt ngang phẳng): Jx = 362,6667cm4 Biểu đồ nội lực được biểu diễn trên hình 5.13b. Vì mô men uốn là một hằng nên ở bất kì một mặt cắt ngang: Mx = 4,5 KNm Qua biểu đồ mô men ta thấy phía trên bị kéo và phía dưới chịu nén. Tức là những điểm phía trên trục x chịu kéo (điểm A chịu kéo lớn nhất), các điểm phía dưới trục x chịu nén (điểm B chịu nén lớn nhất). Ứng suất pháp kéo lớn nhất trên mặt cắt ngang đó bằng: max σk = σA = 22kxxcm/KN31,367,26667,362105,4WM≈⋅⋅= Ứng suất pháp nén lớn nhất trên mặt cắt ngang đó bằng: Hình 5.13: Kiểm tra độ bền của dầm Mx 4,5KN4,5KNm4,5KNm a)b)yc)101401010020267733xO3,31KN/cm2 9,1KN/cm2 d)AB 92 |max σn | = σB = 22nxxcm/KN11,933,76667,362105,4WM≈⋅⋅= Dầm đủ bền vì max σk < [σ]k và max| σn| < [σ]n * Ví dụ 2: Xác định đường kính đoạn trục bánh xe hỏa nằm giữa hai bánh, chịu lực như trên hình 5.14a. Cho P = 63KN; a = 22,8 cm. Vật liệu có giới hạn bền bằng 26KN/cm2. Lấy hệ số an toàn n = 6,3. Bài giải : Mô men uốn ở mặt cắt ngang trong đoạn nằm giữa hai bánh xe bằng: Mx = Pa = 63×22,8 = 1.436 KNcm Mô men chống uốn của mặt cắt ngang hình tròn : Wx ≈ 0,1 d3cm3 Vì trục làm bằng vật liệu dẻo, nên theo điều kiện bền : []3,626d1,04,1436WM3xx=σ≤= Rút ra: cm2,15261,03,64,1436d3≅××≥ 5.5. KHÁI NIỆM VỀ HÌNH DẠNG HỢP LÍ CỦA MẶT CẮT NGANG Hình dạng hợp lý của mặt cắt ngang là hình dạng sao cho khả năng chịu lực của dầm là lớn nhất nhưng đồng thời tốn ít vật liệu nhất. a) Dầm bằng vật liệu giòn: Mặt cắt của dầm sẽ hợp lí nhất khi ứng suất cực trị thỏa mãn các điều kiện: [ ] [ ]nminkmax; σ=σσ=σ Trong đó [σ]k là ứng suất cho phép khi kéo và [σ]n là ứng suất cho phép khi nén. Thay các trị số σmax và σmin được tính theo công thức (5-7) vào các đẳng thức trên, ta sẽ được: nnmaxxxkkmaxxx][|y|J|M|;][|y|J|M|σ=σ= Chia các vế của đẳng thức trên cho nhau, ta được: nknmaxkmax][][|y||y|σσ= (5-12) Vì đối với vật liệu giòn [σ]k< [σ]n nên: |y||y|hay1|y||y|nmaxkmaxnmaxkmax<< Vậy, đối với dầm bằng vật liệu giòn, hình dạng hợp lí của mặt cắt ngang là dạng mặt cắt không đối xứng qua trục trung hòa Ox và phải Hình 5.15: Xác định hình á íyzxykmax ynmax Mx O Hình 5.14: Kiểm tra bền PPPaPPPa(Qy)(Mx)b)a) 93bố trí sao cho tỉ số giữa |y|vaì|y|nmaxkmax thỏa mãn (5-12). Ví dụ mặt cắt hình chữ T (hình 5.15). b) Dầm bằng vật liệu dẻo: Vì với vật liệu dẻo [σ]k = [σ]n nên: |y||y|nmaxkmax= Tức là mặt cắt ngang có dạng đối xứng qua đường trung hòa Ox, ví dụ như mặt cắt ngang hình chữ nhật, chữ I, tròn . Ngoài ra, qua biểu đồ ứng suất pháp như trên (hình 5.10), ta nhận thấy ở những điểm càng gần trục trung hòa thì trị số ứng suất pháp càng nhỏ, nghĩa là những nơi đó vật liệu làm việc ít hơn ở những điểm xa đường trung hòa. Vì vậy, để tận lượng khả năng làm việc của vật liệu, nên người ta có khuynh hướng bố trí vật liệu ra xa trục trung hòa, ví dụ mặt cắt ngang dạng chữ T, I, . Việc bố trí mặt cắt cũng có một ý nghĩa rất lớn. Đó chính là định hướng của mặt cắt ngang đối với mặt phẳng tải trọng. Ví dụ mặt cắt ngang hình chữ I được bố trí hợp lý nhất là làm sao cho trục trung hòa trùng với trục mà đối với trục đó Jx = Jmax. B. DẦM CHỊU UỐN NGANG PHẲNG Một dầm chịu uốn ngang phẳng là một dầm chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang của nó có hai thành phần nội lực là lực cắt và mô men uốn. Các thành phần nội lực này nằm trong mặt phẳng đối xứng của dầm. Ví dụ : Dầm có mặt cắt ngang là hình chữ nhật chịu lực như trên hình vẽ (hình 5.16). Xét một mặt cắt 1-1 nào đó của dầm, thì trên mặt cắt đó có hai thành phần nội lực là lực cắt Qy và mô men uốn Mx. Hai thành phần nội lực này đều nằm trong mặt phẳng đối xứng của dầm là Oyz (hình 5.17). 5.6. ỨNG SUẤT PHÁP TRÊN MẶT NGANG CỦA DẦM CHỊU UỐN NGANG PHẲNG . Công thức tính ứng suất pháp σz (5-2) được suy ra cho trường hợp Mx = const. Nếu mô men uốn Mx là một hàm số theo z thì trên mặt cắt ngang sẽ có lực cắt: dzdMQxy= xyzMxQyHình 5.17: Nội lực trên mặt cắt ngang của dầm chịuuốn ngang phẳngHình 5.16: Dầm chịu lực có mặt cắt ngang hình chữ nhậtbdz yxPl1122PPl [...]... dụ ở điểm O trên hình 5. 24 Ứng suất chính của phân tố có trị số: σ1= - 3= τmax ; σ2 = 0 (xem ở chương 3: Trạng thái ứng suất trượt) - Nếu dầm bằng vật liệu dẻo, ta có điều kiện bền của phân tố: [σ ] ( 5- 2 0) τmax ≤ 2 [σ ] - Theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng: τmax ≤ ( 5- 2 1) 3 Nếu dầm bằng vật liệu giòn, ta có thể dùng thuyết bền Mohr để kiểm tra c) Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt : Vì ứng suất... điểm Avà D trên hình 5. 24) Điều kiện bền của các phân tố : - Đối với dầm bằng vật liệu dẻo: max|σ| ≤ |σ| ( 5- 1 8) - Đối với dầm bằng vật liệu giòn: σmax ≤[σ]k ; σmin ≤ [σ]n ( 5- 1 9) b) Trạng thái trượt thuần túy:Vì ứng suất pháp ở những điểm trên trục trung hòa bằng không, nên trạng thái ứng suất của các phân tố ở những điểm này là trạng thái trượt thuần túy, ví dụ ở điểm O trên hình 5. 24 Ứng suất chính... trên hình 5. 24 Ứng suất chính của phân tố này là (xem chương 3: Trạng thái ứng suất): 2 σ ⎛σ ⎞ σ1 = + ⎜ ⎟ +τ 2 2 ⎝2⎠ σ 2 ⎛σ ⎞ σ 3 = − ⎜ ⎟ + τ 2 ; σ2 = 0 2 ⎝2⎠ Nếu dầm bằng vật liệu dẻo, điều kiện bền của phân tố trên là : - Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất: σ 2 + 4 τ 2 ≤ [σ] - Theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng: σ 2 + 3τ 2 ≤ [σ] - Đối với dầm bằng vật liệu giòn, có thể dùng thuyết bền Mohr... 4,2.10 4 yk = (0,18 − 0,0123) = 52 ,6MN / m 2 σk = −8 Jx 13380.10 Q ySc x 20,8.10 4 ⋅ 317 ,5. 10 −6 = 65, 8 MN / m 2 Jxd 13380.10 −8 ⋅ 0, 75. 10 − 2 y 16,77 Trong đó: S c = S x − y x d k = 423 − 16,77 ⋅ 0, 75 ⋅ = 317,5cm 3 x 2 2 Sử dụng thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng lớn nhất, ta xác đinh ứng suất tương đương là: τk = = σtd = σ 2 + 3τ 2 = 52 ,62 + 3( 65, 8) 2 = 1 25 MN / m 2 < 150 MN / m 2 = [ σ] k k Ứng suất... 0; ∆ M = 0; ∆Q = R = 2 ∆q = (-q) - 0= -q; ∆q' = 0 Tại z = 1, ta có: ∆y = y1 = 0; ∆ϕ = ϕ1 ≠ 0; ∆M = ∆Q = ∆q = ∆q' = 0 Kết quả được ghi lại trong bảng 5. 3 : Bảng 5. 3 z ∆y ∆y' ∆M ∆Q ∆q ∆q' 0 0 0 ql/2 -q 0 ϕ0 1 0 0 0 0 0 ϕ1 Theo phương trình ( 5- 2 9) ; ( 5- 3 2) ,ta viết được: ⎡ ⎛ ql ⎞ ⎤ ⎢⎜ 2 ⎟ 1 ⎝ ⎠ 3 q 4⎥ ⎢ y1 = ϕoz z − z ⎥ , với (0 ≤ z ≤ l) EI ⎢ 12 24 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ y2 = y1 + ∆ϕ1(z-l) , với (l ≤ z ≤ 4l) Các thông... 15 1 ql 2 Khi z = (Q = 0) ⇒ M = Mmax = (cực trị) 5 15 5 Biểu đồ mô men uốn vẽ trên hình 5. 43b CÂU HỎI TỰ HỌC 5. 1 Thế nào là mặt phẳng tải trọng, đường tải trọng? Định nghĩa uốn phẳng ? 5. 2 Nội lực khi uốn thuần túy ? 5. 3 Các giả thuyết khi thiết lập công thức tính ứng suất trong uốn thuần túy ? 5. 4 Viết và giải thích cách sử dụng của các công thức tính ứng suất pháp và ứng suất tiếp trong uốn ? 5. 5... ứng suất tiếp, cho nên quá trình chứng minh ở mục 5- 2 không còn phù hợp Nhưng "Lý thuyết đàn hồi" đã chứng minh rằng, công thức ( 5- 2 ) có thể dùng được trong trường hợp uốn ngang phẳng mà sai số mắc phải không lớn Vì vậy, chúng ta thừa nhận công thức ( 5- 2 ) để tính ứng suất pháp trên mặt cắt ngang trong trường hợp uốn ngang phẳng: M σz = x y ( 5- 1 3) Jx 5. 7 ỨNG SUẤT TIẾP TRÊN MẶT CẮT NGANG CỦA DẦM CHỊU... cho trên hình 5. 43a Bài giải: Gọi phản lực gối tựa trái là R Dầm có một đoạn với các điều kiện tại đầu trái (z=0) : q ∆y = y0 = 0 ∆ϕ = ϕ0 ≠ 0 ∆M=0 ∆Q = R; l ∆q = q0 = 0; q ∆q' = q'0= − ql l 10 1 ⎡ R 3 (q / l) 5 ⎤ z − z ⎥ y = ϕ0.z l 2 EJ ⎢ 3! 5! ql ⎣ ⎦ 5 5 với (0 ≤ z ≤ l) ql 2 Điều kiện biên ở mút phải: 15 z = l: y = y'=0, cho ta hệ ql 2 M max = phương trình để tìm ϕ0 và R: 15 5 ϕ0 l Hình 5. 43 Xác định... mặt cắt chữ I số hiệu 22a với Wx = 251 cm3; Jx = 2760cm4; Sx = 141cm3; d = 0 ,53 cm; t = 0,88cm; h = 22cm Ta phải kiểm tra bền cho toàn dầm với giả thiết dầm có mặt cắt ngang với số hiệu là 22a - Kiểm tra bền đối với phân tố trượt thuần túy: Trị số ứng suất tiếp trên phân tố: 13000141.10−6 τmax = = 12,5MN / m 2 −8 276010 0 ,53 .10− 2 - Nếu kiểm tra dầm theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng lớn... diễn trên hình 5. 25b, c Chúng ta nhận thấy: - Mặt cắt ngang ở giữa dầm có mô men uốn lớn nhất: Mmax = 4 ,5. 104Nm - Mặt cắt ngang ở A và B có lực cắt lớn nhất: Qmax = 21.104N - Mặt cắt ngang ở C, D có mô men uốn Mx và lực cắt Qy đều lớn: Qy = 20,8.104N; Mx = 4,2.104Nm Số liệu và kích thước của mặt cắt ngang chữ I số 36 (cho theo bảng) như sau: Jx = 13380cm4; Wx = 743cm3; Sx = 423cm3, d = 0,75cm; h = 36cm . ( 5- 8 ) hay : W ≈==xnxkxWW0,1D3 ( 1- 4) ( 5- 9 ) 5. 4. ĐIỀU KIỆN BỀN CỦA DẦM CHỊU UỐN THUẦN TÚY PHẲNG. a) D R rR D db) Hình 5. 12: Xác định. ( 5- 2 0) - Theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng: τmax ≤ 3][σ ( 5- 2 1) Nếu dầm bằng vật liệu giòn, ta có