Sức bền vật liệu - Chương 4

Sức bền vật liệu (SBVL) là môn học kĩ thuật cơ sở của các ngành kĩ thuật (Xây dựng, Cơ khí, Cầu đường, Kiến trúc,...). Mục đích của SBVL là nghiên cứu các qui luật ứng xử, ứng suất và biến d

70Chương 4 ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG PHẲNG 4.1. KHÁI NIỆM CHUNG Khi nghiên cứu khả năng chịu lực của thanh chịu kéo, nén đúng tâm, ta nhận thấy với cùng một loại vật liệu, thanh nào có diện tích mặt cắt ngang lớn hơn thì chịu được tải trọng lớn hơn. Nhưng khi tính những thanh chịu xoắn, uốn . thì khả năng của chúng không những phụ thuộc vào diện tích của mặt cắt ngang mà còn phụ thuộc vào hình dạng và sự bố trí mặt cắt ngang. Ví dụ: Xét một dầm tiết diện chữ nhật b × h với h > b trong hai trường hợp: Tiết diện để đứng và tiết diện nằm ngang cùng chịu lực P như nhau như trên hình 4.1a, 4.1b. Kết quả thực nghiệm hoặc bằng trực giác ta cũng nhận ra là trường hợp (a) chịu lực tốt hơn trường hợp (b). Đối với trường hợp trục chịu xoắn ở hình 4.2, thì mặt cắt ngang vành khăn chịu xoắn tốt hơn. Chúng ta sẽ khảo sát những đặc trưng hình học của mặt cắt ngang có liên quan đến việc chịu lực của các thanh. 4.2. MÔ MEN TĨNH VÀ CÁC MÔ MEN QUÁN TÍNH Giả sử có mặt cắt ngang có diện tích F. Xác định trong mặt phẳng của mặt cắt một hệ trục tọa độ (Oxy) và ta gọi (x, y) là tọa độ của điểm A nào đấy thuộc F. Lấy chung quanh A một phân tố diện tích dF. 4.2.1. Mô men tĩnh. Ta gọi mô men tĩnh của diện tích F đối với trục x hay đối với trục y là các biểu thức tích phân sau: ;ydFSFx∫=∫=FyxdFS, đơn vị m3, cm3 . Trong đó: Sx, Sy có thể âm, dương, hay bằng không. d= 0,7071D D d= 0,7071D MHình 4.2: Dầm có tiết diện hình trụ(a) và hình vành khăn (b)P a) b h Hình 4.1: Dầm có tiết diện đứng (a) và nằm ngang (b) P b) b h a)b) 71 * Khi mô men tĩnh của diện tích F đối với một trục nào bằng không thì trục đó gọi là trục trung tâm. * Giao điểm của hai trục trung tâm gọi là trọng tâm của mặt cắt ngang. Xuất phát từ định nghĩa trên ta có thể thiết lập công thức tính tọa độ trọng tâm của diện tích F đối với hệ trục Oxy. Giả sử có hai trục trung tâm Cxo , Cy0 cắt nhau tại trọng tâm C của mặt cắt ngang và song song với Ox, Oy, hình 4.4. Theo định nghĩa ta có: Sxo = Syo = 0 (a) Gọi (xC,yC) là tọa độ của C trong hệ trục Oxy và (xo,yo) là tọa độ của A trong hệ trục Cxoyo thì: ⎩⎨⎧+=+=ococyyyxxx Từ định nghĩa có: ∫∫∫∫+=+==FoFcFocFxdFydFydF)yy(ydFS Sx = ycF + Sxo = ycF [Sxo = 0 theo (a)] Tương tự: Sy = xcF Vậy, ta có: ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇔⎩⎨⎧==FSxFSyFxSFySycxccycx (4-1) Tính chất cơ bản: Mọi trục đối xứng của mặt cắt ngang đều là trục trung tâm (hình 4.5). Thực vậy, nếu trục y là trục đối xứng của mặt cắt ngang thì: ∫∫∫−==2F2FFxdFdF|x|xdF1 Trong đó F1, F2 diện tích của hai nửa. 0xdFxdFxdFxdFS2121FFFFFy=−===∫∫∫∫+ Sy = 0 Vậy y là trục trung tâm. * Ví dụ 1: a) Tính mô men tĩnh và tọa độ trọng tâm của mặt cắt ngang chữ nhật đối với các trục đi qua các cạnh (hình 4.6). y Hình 4.5: Trục đối xứng của mặt cắt ngang là trục trung tâm-x x x B A dF dF F1 F2 y Hình 4.3 Xác định mô men tĩnh x A y x O dF F: Diện tích của bề mặt cắt ngangHình 4.4: Xác định toạ độ trọng tâm của mặt cắt ngangy yo xo x xC x0 x y yc yo O C A F 72Trên hình chữ nhật ta lấy dải phân tố diện tích dF = bdy, ta có: 2bhdyybydFS2h0Fx===∫∫ (4-2) Tương tự : Sy = 2hb2 (4-3)Tọa độ trọng tâm : 2hy;2bbh2bhFSxc2yc==== b) Tính mô men tĩnh Sx và tung độ trọng tâm yc của hình tam giác đối với trục x ≡ cạnh đáy (hình 4.7). Theo hình 4.7, ta có: dF = b(y)dy , mà hyhb)y(b −= => dF = dyh)yh(b − ∫∫=−==h02Fx6bhydy)yh(hbydFS (4-4) 3h2/bh6/bhFSy2xc=== c) Tính mô men tĩnh và tọa độ trọng tâm của mặt cắt ngang dạng nửa hình tròn đối với trục x đi qua đáy (hình 4.8). Từ hình 4.8, ta có: dF = b(y)dy nhưng y = Rsin ϕ=> dy= Rcosϕdϕ b(y) = 2Rcos ϕ => dF = 2R2cos2ϕ×dϕ =>Sx = ∫πϕϕϕ2/022dcosR2.sinR => Sx = 3R32 (4-5) R34FSyxcπ== y Hình 4.7: Tính mô men tĩnh và tung độ trọng tâm mặtcắty dy h b O x b(y) dFHình 4.6: Tính mô men tĩnh và toạ độ trọng tâm mặtcắt ngang chữ nhậth h/2 y dy dF y x b/2 b C O Hình 4.8 Tính mô men tĩnh và tung độ trọng tâm mặtcắt ngang dạngR R x y y dy b(y) dF A α O 73 d) Tính mô men tĩnh và tọa độ trọng tâm của mặt cắt ngang như hình vẽ 4.9 đối với trục x đi qua đáy. Từ hình 4.9, ta có: ∫∫∫∫∫−++==4321FFFFFxydFydFydFydFydFS 222x)a3(a326)a6(a322)a6(a4S−⋅+= Sx = 90a3 xC = 0 π−=⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛π−==984a180a2942a90FSy23xc 4.2.2. Mô men quán tính đối với một trục (gọi tắt mô men quán tính). Ta gọi mô men quán tính của diện tích F đối với trục x hay trục y là biểu thức tích phân sau: ∫=F2xdFyJ hay ∫=F2ydFxJ đơn vị m4, cm4 . Jx, Jy luôn luôn dương. 4.2.3. Mô men quán tính độc cực (đối với một điểm). Ta gọi mô men quán tính độc cực của diện tích F đối với gốc tọa độ O là biểu thức tích phân: ∫=F2PdFJρ, đơn vị m4, cm4 . Trong đó: ρ = OA vì ρ2 = x2 + y2 => ∫+=F22PdF)yx(J Jp = Jx + Jy cũng như mô men quán tính, mô men quán tính độc cực bao giờ cũng dương. 4.2.4. Mô men quán tính ly tâm. Ta gọi mô men quán tính ly tâm của diện tích F đối với hệ trục Oxy là biểu thức tích phân: ∫= xydFJxy đơn vị m4, cm4 . x, y có thể có dấu ngược nhau => Jxy có thể âm, dương, hay bằng không. Hình 4.9 Tính mô men tĩnh và tung độ trọng tâm mặt cắt ngang hình thangy x 2a 2a 3a 3a 5a 5a 6a 1 2 3 4 Hình 4.11: Xác định mô men quán tính li tâm -x x x y B A dF dF F1 F2 O y Hình 4.10: Xác định mô men quán tính x A y x O dF ρ Diện tích mặt cắt 74 Khi Jxy = 0, thì Oxoyo gọi là hệ trục quán tính chính (gọi tắt hệ trục chính). * Nếu hệ trục quán tính có gốc tại trọng tâm của mặt cắt ngang thì được gọi là hệ trục quán tính chính trung tâm. * Tính chất: Nếu mặt cắt có một trục đối xứng thì bất cứ trục nào vuông góc với trục đối xứng đó cũng lập với nó một hệ trục quán tính chính (có thể chứng minh tương tự như ở hình 4.5). 4.3. MÔ MEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ HÌNH ĐƠN GIẢN. Ví dụ 2: 1) Hình chữ nhật b×h: dF = bdy ∫∫===−F32/h2/h22x12bhbdyydFyJ 12hbJ12bhJ3y3x== (4-6) 2) Hình tam giác đáy b, cao h: )yh(hb)y(bhyhb)y(b−==>−= ∫∫−==Fh022xdy)yh(hbydFyJ 12bhJ3x= (4-7) Nếu trục x qua trọng tâm hình tam giác thì cũng thực hiện tương tự ta có: 36bhJ3x= 3) Hình tròn. Đối với hình tròn, hình vành khăn do đối xứng, ta có: Jx = Jy => Jp = Jx+ Jy = 2Jx= 2Jy nên ta có thể tính Jp trước rồi suy ra Jx, Jy Dùng tọa độ độc cực: dF = ρdϕdρ ∫∫∫ππ=ρϕρρ=ρ=20R042F2P2RdddFJ R là bán kính đường tròn. y Hình 4.13: Xác định mô men quá tính của hình tam giác y dy h b O x b(y) dF Hình 4.12: Xác định mô men quá tính của hình chữ nhậth h/2 −y dy dF y b/2 b C O x 75 4RJJ2RJJJ4yx4Pyxπ===>π==+ (4-8) hay 44PD1,032DJ ≈=π Jx=Jy ≈ 0,05D4 D- Đường kính đường tròn 4) Hình vành khăn: Tương tự, nhưng với r ≤ρ ≤R )1(D1,0)1(32DJ4444Pηηπ−≈−= )1(D05,0)1(64DJJ4444yxηηπ−≈−== Trong đó: Dd=η 4.4. CÔNG THỨC CHUYỂN TRỤC SONG SONG CỦA MÔ MEN QUÁN TÍNH Giả sử ta biết mô men quán tính của mặt cắt ngang có diện tích F đối với trục x, y.Tính mô men quán tính của mặt cắt ngang đó đối với các trục X, Y song song với các trục x, y.Ta có: ⎩⎨⎧+=+=bYyaXx Theo định nghĩa: ∫∫+==FF22xdF)bY(dFyJ = JX + b2F + 2bSX Tương tự: Jy = JY + a2F + 2aSY Jxy = JXY + abF + aSX + bSY Nếu X, Y là các trục trung tâm: SX = SY = 0 ; a = xC ; b = yC y Hình 4.14: Xác định mô men quá tính của hình trònD=2R ρ ρ+dρ x ϕ dϕ dF O y x Hình 4.15: Xác định mô men quán tính của hình vành khănd=2r D=2R O y Y Hình 4.16: Sơ đồ chuyển trục song song của mô men quán tính X x C O A dFb=yC Y y x a=xC X 76 Ta được: Ví dụ 3: Xác định mô men quán tính đối với trục trung tâm X của mặt cắt ngang hình 4.17. Trước hết ta phải xác đinh trọng tâm của mặt cắt ngang. Chia mặt cắt ngang thành 2 hình đơn giản (1) là hình chữ nhật chưa bị khoét và (2) là diện tích hình tam giác bị khoét. Chọn hệ trục ban đầu (x1, y) đi qua trọng tâm của hình (1). Vì y trục đối xứng , nên C ∈ trục y: XC = 0 21)2(1x)1(1xxlCFFSSFSY−−==a43,0a6a48a6a30222=−⋅−= Như vậy trọng tâm C của hình sẽ nằm trên trục x, cách trục x1 về phía dưới một đoạn bằng Yc= 0,43a. Bây giờ ta tính mô men quán tính đối với trục chính trung tâm x vừa mới xác dịnh.Ta có: )2(X)1(XXJJJ −= mà ()12c)1(X1xFyJJ11⋅+= 223a48)a43,0(12)a8(a6⋅+= 4a875,264= 22c)2(X)2(XFyJJ22+= 223a6)a43,3(36)a3(a4⋅+= 4a59,73= Vậy JX = 264,875a4 - 73,59a4 = 191,285a4 4.5. HỆ TRỤC QUÁN TÍNH CHÍNH - CÔNG THỨC XOAY TRỤC CỦA MÔ MEN QUÁN TÍNH. 4.5.1. Hệ trục quán tính chính. Đối với một hình phẳng có một trục đối xứng thì khi đã biết trọng tâm, ta có ngay một hệ trục quán tính chính trung tâm (hệ trục này có gốc ở trọng tâm, một trục là trục đối xứng và trục kia vuông góc với nó đi qua trọng tâm). Và việc xác định mô men quán tính chính của nó là đơn giản. Thế nhưng đối với một hình không có trục đối xứng nào thì khi đã biết trọng tâm của nó vẫn chưa thể xác định hệ trục quán tính chính trung tâm và cũng chưa thể xác định được các mô men quán tính chính đó được. Dưới đây ta hãy nghiên cứu vấn đề này, trước hết ta nhắc lại một số định nghĩa: Định nghĩa: Trong mặt phẳng chứa mặt cắt ngang, xác định một hệ trục vuông góc Oxy sao cho Jxy=0 và Sx=Sy=0, thì ta gọi hệ trục đó là hệ trục quán tính chính trung tâm. FyxJJFxJJFyJJccXYxy2cYy2cXx+=+=+= (4-9) Hình 4.17: Xác định mô men quán tính đối với trục trung tâm của mặt cắt ngangx x1 x2 2a 2a 6a 8a 3a 4a 1 2 C C1 C2 3a 0,43a y 77 Lúc đó mô men quán tính của mặt cắt ngang đối với các trục quán tính chính trung tâm được gọi là “mô men quán tính chính trung tâm”. Khi giải các bài toán sức bền vật liệu, ta thường sử dụng đến các hệ trục quán tính chính trung tâm và các mô men quán tính chính trung tâm. Bây giờ còn phải xác định vị trí của hệ trục chính. Muốn vậy, nói chung ta cần xét sự biến thiên của các mô men quán tính khi xoay trục. 4.5.2. Công thức xoay trục của mô men quán tính. Xét một mặt cắt ngang biểu diễn ở hình 4.18. Giả sử biết Jx, Jy, Jxy của mặt cắt ngang. Bây giờ chọn hệ trục toạ độ xoay quanh O một góc α, ta được hệ trục mới Ouv. Tìm sự liên hệ giữa Jx, Jy, Jxy với JU, JV, JUV. Ta có công thức chuyển trục: ⎩⎨⎧−=+=ααααsinxcosyvsinycosxu Nên: ()dFsinxcosyJ2u∫α−α= α−α+α= 2sinJxy2sinJcosJ22x Cuối cùng ta có: αα2sinJ2cos2JJ2JJJxyyxyxu−−++= Chú ý: Dùng công thức: 22cos1cos2α+=α va 22cos1sin2αα−= Tương tự: ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧α+α−=α+α−−+=α−α−++=2cosJ2sin2JJJ2sinJ2cos2JJ2JJJ2sinJ2cos2JJ2JJJxyyxUVxyyxyxVxyyxyxU (4-10) Đó là công thức xoay trục của mô men quán tính. Ta rút ra những nhận xét : * JU + JV = Jx + Jv * Các công thức trên giống công thức tính σU, σV, τUV * Điều kiện để xác định hệ trục chính là: JUV = 0 Hoàn toàn giống điều kiện xác định mặt chính trong trạng thái ứng suất τUV = 0. Vì vậy ở đây ta có thể sử dụng ngay các kết quả đã nghiên cứu ở chương trước để xác định hệ trục chính và mô men quán tính chính. (4-11) 2xy2yxyxminmax/J4)JJ(212JJJ +−±+= Hình 4.18: Sơ đồ xoay trục để tính mô men quán tínhx u v O u v x y α A dF F y 78 minmax/yxy2/1JJJtg−=α (4-12) 4.6. VÒNG TRÒN MOHR QUÁN TÍNH. Để xác định các trục chính, các ứng suất chính của một hình phẳng nào đó ta cũng có thể sử dụng phương pháp hoạ đồ như đối với việc xác định phương chính, ứng suất chính đối với bài toán trạng thái ứng suất. Thật vậy đối chiếu các công thức tính mô men quán tính chính, xác định phương chính bằng giải tích như (4-10), (4-11) và (4-12) với các biểu thức xác định các ứng suất chính và phương chính ở chương 3 vừa rồi ta thấy về mặt toán học tương tự nhau. Từ (4-10) với lập luận và thực hiện các phép biến đổi như đối với việc xây dựng vòng tròn Mohr ứng suất, ta sẽ có vòng tròn Mohr quán tính. Khi biết Jx, Jy và Jxy thì tâm C của vòng tròn quán tính có toạ đô: ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+0,2JJCyx và bán kính sẽ là: 2xy22yxJ2)JJ(R+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=. Cuối cùng ta có thể dựng vòng tròn quán tính và cách xác định các trục chính và giá trị các mô men quán tính chính như trên hình 4.19. Chú ý :Vòng tròn Mohr ứng suất có thể nằm cả 2 phía trục tung hoặc cắt trục tung, nhưng vòng tròn Mohr quán tính chỉ có thể nằm bên phải của trục trung mà thôi,vì giá trị mô men quán tính luôn luôn dương Từ hình vẽ vòng tròn Mohr quán tính (xem hình 4.19), ta có thể tìm vị trí các trục có mô men quán tính chính theo biểu thức: maxyxyymaxxy1JJJJJJ)180(tgtg−=−−=β−=α (4-13) minyxy2JJJtg−=α (4-14) 4.7. BÁN KÍNH QUÁN TÍNH. Bán kính quán tính cũng là một đại lượng có ý nghĩa và thường được sử dụng trong tính toán kết cấu, cũng như các đại lượng cơ học khác nó được ký hiệu và định nghĩa theo biểu thức: FJrxx= và FJryy= Trong đó: rx , ry là bán kính quán tính theo phương x và phương y. Tương tự đối với trục chính, ta cũng có: FJrvaìFJrminminmaxmax==. Hìmh 4.19: Vòng tròn Mohr quán tinhα1 O JminJy C Juv Jx Ju Jmax β α2Phương trục chính có Jmax Phương trục chính có Jmin cực D 79 Ví dụ 4: Xác định mô men quán tính chính, trọng tâm của mặt cắt như hình 4.20. Bài giải: Trước tiên ta phân tích mặt cắt thành 3 hình chữ nhật và được đánh dấu I, II, III (xem hình 4.20). Với các trọng tâm từng hình là O1, O2, O3 và kính thước được xác định. 1. Xác định trọng tâm C của toàn hình: Chúng ta biết vì trục y là trục đối xứng nên trọng tâm cả hình chắc phải nằm trên trục y. Vì vậy trước tiên ta chọn trục xo qua trọng tâm của hình III, nó cùng với trục y là hệ trục ban đầu. Gọi yc là tung độ của trọng tâm C trong hệ xoO3 y thì nó được xác định bởi: FSxyoc= Trong đó: Sxo- Mô men tĩnh toàn hình lấy đối với trục xo; F- Diện tích toàn hình : F = F1 + F2 + F3 = 2a × a + a × 4a + 6a × a = 12a2 và IIIxIIxIxxooooSSSS ++= Trong đó: 32311Ixa10a5a200FSo=×=×= 3322IIxa10a5,2a4a00FSo=××=×= 00aa600FS333IIIxo=××=×= Vậy: oxS = 10a3 + 10a3 + 0 = 20a3 Cuối cùng : a35a12a20FSy23xco+=+== Vậy trọng tâm C đã được xác định. Chú ý : Trục xo ban đầu chọn ở đâu cũng được nhưng tất nhiên chọn qua trọng tâm một hình nào đó thì đơn giản hơn. 2. Mô men quán tính chính trung tâm. a) Tính Jy: Vì y là trục qua trọng tâm của mọi hình nên ta sử dụng công thức tính mô men quán tính cho hình chữ nhật. IIIyIIyIyyJJJJ ++= mà 43Iya3212)a2(aJ== 3a12a.a4J43IIy== 43IIIya1812)a6(aJ== y Hình 4.20: Xác định mô men quán tính chính 2a6aa 5a 2,5a yC 3/5a 4a a a xo O1 O2 O3 IIIIIIC x [...]... 3268cm 4 J y = J (y1) + J (y2) = 316 + 371 = 687cm 4 1 2 J xy = J (xy) + J (xy) = 200 + 40 2,5 = 602,5cm 4 3 Xác định vị trí của hệ trục quán tính chính trung tâm: - Bằng vòng Mohr quán tính, ta đo được (tỷ lệ xích 2cm ứng với 1000cm4): Jmax = 3 .40 0cm4; Jmin=550cm4; α1 = -1 20; α2 = 780 - Bằng giải tích: Theo công thức ( 4- 1 0) và ( 4- 1 1) Jmax = 3268 + 687 1 (3268 − 687) 2 + 4 ⋅ (602,5) 2 = 340 7,5cm 4 + 2...Vậy Jy = 19a4 b Tính Jx: Vì trục x không đi qua trọng tâm của một hình chữ nhật nào nên phải dùng phép chuyển trục song song J x = J Ix + J II + J III x x 2 J Ix = Mà 2a × a 3 5 ⎞ 40 3a 4 ⎛ + (2a × a ) ⎜ 5a − a ⎟ = 12 3 ⎠ 18 ⎝ 2 a (4a ) 3 5 ⎞ 146 a 4 ⎛ J = + (4a × a ) ⎜ 2,5a − a ⎟ = 12 3 ⎠ 18 ⎝ II x 2 J III x 6a.a 3 309 4 ⎛5 ⎞ a = + (6a × a ) ⎜ a ⎟ = 12 18 ⎝3 ⎠ 40 3a 4 146 a 4 309a 4 858a 4 143 4 + + = =... α1(2) = -4 50 z02 Hình 4. 22: Xác định vị trí của hệ trục quán tính chính trung tâm 3268 + 687 1 − (3268 − 687) 2 + 4 ⋅ (602,5) 2 = 547 ,5cm 4 2 2 J xy 602,5 tgα1 = = = −0,222 J y − J mx 687 − 340 7,5 α1 = -1 2030' ; α2 = 900 - 12030' = 77030' CÂU HỎI TỰ HỌC: 4. 1 Các đại lượng nào được gọi là các đặc trưng hình học của diện tích phẳng? 4. 2 Cách xác định trọng tâm của một hình ghép từ các hình đơn giản ? 4. 3... (hình 4. 22) x c 2 = z 01 + z 02 − x 1 (C ) = 2 ,47 + 2,83 − 2,13 = 3,17cm h1 22 − z 02 − y1( c ) = − 2,83 − 3,28 = 4, 89cm 2 2 ) 2 = J (x222 + y c 2 F2 = 179 + (4, 89) 2 ⋅ 19,2 = 640 cm 4 y c2 = J (x2 ) 2 J (xy) = J (x22)y 2 + x c 2 y c 2 F2 = 105 + (3,17) ⋅ (4, 89) ⋅ 19,2 = 40 2,5cm 4 Như vậy mô men quán tính của mặt cắt ngang ghép đối với hệ trục trung tâm (x,y) sẽ là : J x = J (x1) + J (x2 ) = 2628 + 640 ... 28,6 = 2628cm 4 2 J (y1) = J (y11) + x c1 F1 = 186 + (−2,13) 2 28,6 = 316cm 4 1 J (xy) = J (x11)y1 + x c1 y c1 F1 = 0 + (−2,13)(−3,28).28,6 = 200cm 4 y y1 x 1(c) z02 Jmin y2 1 Juv(cm4) min 2 α2 C2 y1(c) C α2=780 x2 x α1 1000 x1 C1 Jy O Jmax C α1=120 Jma x= 340 0 cm4 z01 b) 81 Ju(cm4) 1000 2000 3000 Jmin=550cm2 a) M1 max Hình 4. 21: Xác định trọng tâm và mô men quán tính chính của hình ghép - Đối với thép... đều cạnh như trên hình 4. 19, thì α 1 2) = − 45 0 nên: tg ( 45 ) = J (x22)y 2 0 179 − 2 84 J (x22)y 2 = − 1 × (179 − 2 84) = 105cm 4 Rút ra: (1) thể tính J x 2 y 2 Đặc biệt đối với thép có góc đều cạnh, ta có một cách đơn giản.Vì J x 2 = J y 2 , nên theo vòng Mohr quán tính ta được : J xy (max) = J max − J min = 2 84 − 74, 1 ≈ 105cm4 2 80 2 Sau khi đã có đủ số liệu, ta sẽ tiến hành tính toán theo trình tự... 179cm 4 ; J (max = 284cm 4 ; J (min = 74, 1cm 4 Gọi C2 là trọng tâm của thép góc đều cạnh và hệ trục (x2, y2) là hệ trục trung tâm song song với các cạnh Hệ trục này không phải là hệ trục chính trung tâm của thép góc đều cạnh nên ta phải tính mô men quán tính ly tâm J (x22)y 2 của nó Theo công thức ( 4- 1 0)(1): ( tgα12 ) = J (x22)y 2 J (y22) − J max ( Với vị trí của thép góc đều cạnh như trên hình 4. 19,... ) = 19,2 (2 ,47 + 2,83) = 102cm 3 Diện tích của mặt cắt ngang: F = F1 + F2 = 28,6 + 19,2 = 47 ,8m2 Trọng tâm của mặt cắt ngang đối với hệ trục x1, y1 được tính theo công thức ( 4- 3 ) : x 1 ( c) = S y1 F S x1 = 102 = 2,13cm ; 47 ,8 157 = 3,28cm F 47 ,8 2 Tính các mô men quán tính của mặt cắt ngang đối với hệ trục trung tâm (x,y) của nó (hình 4. 18a) song song với hệ trục (x1, y1) và (x2, y2) - Đối với thép... chữ số 22a và thép góc đều cạnh 100×100×10 như trên hình 4. 21a Bài giải: Trước hết tra các số liệu cần thiết cho các thép định hình - Đối với thép chữ 22a (đánh dấu là hình I): Jx = Vậy h1 = 22cm; Z 01 = 2 ,47 cm; F1= 28,6cm2; J (x11) = 2320cm 4 ; J (yI1) = 186cm 4 Vì hệ trục trung tâm (x1, y1) của thép chữ có trục đối xứng, nên J (x11)y1 = 0 - Đối với thép góc đều cạnh 100 × 100 × 10 (đánh dấu là hình... điểm của nó ở đâu ? 4. 4 Cách xác định các trục quán tính chính trung tâm đối với một hình ghép từ các hình đơn giản 4. 5 Công thức chuyển trục song song ? 82 4. 6 Công thức xoay trục 4. 7 Sự giống nhau và khác nhau giữa việc xác định phương chính, ứng suất chính đối với trạng thái ứng suất và trục quán tính chính cũng như giá trị của mô men quán tính chính đối với hình phẳng ? - - 83 . )1(D1,0)1(32DJ 444 4Pηηπ−≈−= )1(D05,0)1(64DJJ 444 4yxηηπ−≈−== Trong đó: Dd=η 4. 4. CÔNG THỨC CHUYỂN. 4a59,73= Vậy JX = 2 64, 875a4 - 73,59a4 = 191,285a4 4. 5. HỆ TRỤC QUÁN TÍNH CHÍNH - CÔNG THỨC XOAY TRỤC CỦA MÔ MEN QUÁN TÍNH. 4. 5.1.