Sức bền vật liệu nghiên cứu vật thể thực (công trình, chi tiết máy...). Vật thể thực có biến dạng dưới tác dụng của nguyên nhân ngoài (tải trọng, nhiệt độ, lắp ráp các chi tiết chế tạo không
Chơng 4. Đặc trng hình học của mặt cắt ngang Các thuyết bền 27Chơng 4. đặc trng hình học của mặt cắt ngang - Các thuyết bền A. Đặc trng hình học của mặt cắt ngang I. Khái niệm Thí nghiệm kéo (nén): khả năng chịu tải của thanh phụ thuộc vo diện tích mặt cắt ngang (MCN). Thí nghiệm uốn, xoắn, .: khả năng chịu lực của thanh không những phụ thuộc vo diện tích MCN, m còn hình dạng v sự bố trí MCN. Ví dụ thanh tròn rỗng (hình 4.1a) chịu đợc Mz gấp 2 lần thanh tròn đặc cùng diện tích MCN. Thanh hình chữ nhật đặt đứng (hình 4.1b) ứng suất nhỏ hơn 4 lần khi đặt ngang (hình 4.1c) với cùng diện tích MCN. Do đó, ngoi diện tích MCN, ta cần xét đến những đại lợng khác đặc trng cho hình dạng MCN về mặt hình học, đó l mômen tĩnh v mômen quán tính. II. Mômen tĩnh của mặt cắt ngang Hình phẳng F nằm trong mặt phẳng toạ độ Oxy (hình 4.2). Ngời ta gọi tích phân: mnFx y dF (4.1) l mômen diện tích hỗn hợp cấp (m+n) của hình phẳng F đối với hệ Oxy. Khi m = 0, n = 1 tích phân (4.1) có dạng: =xFSydF (m3) (4.2) Hình 4.2Hình 4.1 a)c)b)4a4a a 0,7D D da PP Chơng 4. Đặc trng hình học của mặt cắt ngang Các thuyết bền 28 Khi m = 1, n = 0 tích phân (4.1) có dạng: =yFSxdF (m3) (4.3) Sx v Sy đợc gọi l mômen diện tích cấp một hay mômen tĩnh của hình phẳng đối với trục x v trục y. Khi SX = SY = 0 thì trục X, Y đợc gọi l trục trung tâm. Giao điểm của hai trục trung tâm l trọng tâm của hình phẳng. (hình 4.3). Công thức xác định toạ độ của trọng tâm C cũng tơng tự nh công thức xác định toạ độ của khối tâm: yCSxF=; xCSyF= (4.4) Nếu diện tích F bao gồm nhiều diện tích đơn giản Fi: ==niii1CxFxF; ==niii1CyFyF (4.5) trong đó xi, yi l toạ độ trọng tâm của diện tích Fi. III. Mômen quán tính (diện tích cấp hai) Khi m = n = 1, tích phân (4.1) có dạng: xyFJxydF= (m4) (4.6) đợc gọi l mômen diện tích hỗn hợp cấp hai, hay mômen quán tính li tâm của hình phẳng đối với hệ trục Oxy. Khi m = 0, n = 2 hoặc m = 2, n = 0, các tích phân: 2xFJydF= v 2yFJxdF= (4.7) đợc gọi l mômen quán tính (hay mômen diện tích cấp hai) của hình phẳng F đối với trục x hoặc trục y. Jxy có thể dơng hoặc âm, còn các Jx, Jy luôn luôn dơng. Tổng: ( )+= + = =22 2xy pFFJ J y x dF dF J (4.8) đợc gọi l mômen quán tính độc cực đối với gốc toạ độ O. Nếu Jxy = 0 thì hệ trục đợc gọi l hệ trục quán tính chính. Hình 4.3 Chơng 4. Đặc trng hình học của mặt cắt ngang Các thuyết bền 29Nếu Jxy=0, Sx=Sy=0 thì ta có hệ trục quán tính chính trung tâm. IV. Công thức chuyển trục song song của mômen quán tính Công thức chuyển trục song song mômen quán tính của hệ trục OXY với hệ trục trung tâm oxy (hình 4.4): JX = Jx + Fb2 JY = Jy + Fa2 (4.9) JXY = Jxy + Fab Chứng minh các công thức (4.9) nh sau: ta có, X = x + a ; Y = y + b (a) Theo định nghĩa: == = 22XYXYFF FJ Y dF, J X dF, J XYdF (b) Thay (a) vo (b) suy ra: JX = Jx+2bSx+Fb2; JY = Jy+2aSy+Fa2; JXY = Jxy+aSx+bSy+Fab Khi x v y l các trục trung tâm thì Sx = Sy = 0 (4.9). V. Công thức xoay trục của mômen quán tính Cho biết Jx, Jy, Jxy của hình phẳng F đối với hệ trục Oxy. Hãy tính Ju, Jv, Juv của hình phẳng F đối với hệ trục Ouv (hình 4.5). Ta có: u = xcos + ysin v = ycos xsin =2uFJvdF; =2vFJudF; =uvFJuvdF Thay u, v ở trên v khai triển các tích phân ny, ta đợc: +=+ += +=+xy xyuxyxy xyvxyxyuv xyJJ JJJcos2Jsin222JJ JJJcos2Jsin222JJJsin2Jcos22 (4.10) Nếu hệ trục Ouv l hệ trục quán tính chính (Juv = 0) thì phơng các trục quán tính chính rút ra từ công thức thứ ba của (4.10): Hình 4.4 Hình 4.5 Chơng 4. Đặc trng hình học của mặt cắt ngang Các thuyết bền 30 =xyxy2JtgJJ (4.11) VI. Mômen quán tính của một số mặt cắt ngang 1. Hình chữ nhật (hình 4.6) Hệ trục đối xứng Oxy l hệ trục quán tính chính trung tâm. Ta có: Jx = hh2222 3hhF221ydF ybdy by3+== hay: 3xbhJ12= 3yhbJ12= (4.14) 2. Hình tam giác (hình 4.7) Chọn dải phân tố diện tích dF song song với trục đáy x1 v cách trục x1 một khoảng y. Chiều di b(y) của dải phân tố diện tích ny suy ra từ điều kiện đồng dạng: b(y) h ybh=b(h y)b(y)h= Nh vậy, đối với trục đáy x1: ()1hh3422xFoobh ybhy yJydFy dyhh34 == = 13xbhJ12= (4.15) Nếu x l trục trung tâm thì theo công thức (4.9): Jx = 2332bh h bh bh hF.12 3 12 2 9= hay =3xbhJ36 (4.16) 3. Hình tròn (hình 4.8) Đối với hệ trục trung tâm Oxy: Jx = Jy = pJ2 trong đó: =44pRJ0,1D2 nên: == = 444xyRDJJ 0,05D464 (4.17) Hình 4.8Hình 4.6Hình 4.7 Chơng 4. Đặc trng hình học của mặt cắt ngang Các thuyết bền 314. Hình vnh khăn Đối với hình vnh khăn có đờng kính ngoi D v đờng kính trong d: () ()== = 4444xy p1DJJ J 1 0,05D1264; = d/D (4.18) VII. Ví dụ áp dụng Ví dụ 4.1. Xác định vị trí trọng tâm Co v các mômen diện tích cấp hai Jx, Jy của mặt cắt cho trên hình 4.9 (đơn vị l cm). Giải Coi mặt cắt đã cho l hiệu của hai hình chữ nhật ABCD (kí hiệu l 1) v EFGH (kí hiệu l 2). Ta có: Sx = 12xxSS trong đó: ()113x1C60S F y 100 60 180.000cm2==ì = ()223x2C40S F y 30 40 20 48.000cm2==ì += Do đó: Sx = 180.000 48.000 = 132.000cm3 ; 12yyySSS= trong đó: ()113y1C100S F x 100 60 300.000cm2==ì = ()223y2C30S F x 30 40 50 78.000cm2==ì += Vậy: Sy = 300.000 78.000 = 222.000cm3 Toạ độ trọng tâm Co của mặt cắt l: ()()== =ììoyCS222.000x46,25cmF 100 60 30 40; oxCS132.000y27,5cmF 4800== = 12xxxJJJ= trong đó: 3315411xbh 100 60J7210cm33ì== =ì ()23322 222x2Cbh 30 40JFy 3040.4012 12ì=+ = +ì= 20,8 ì 105cm4 Hình 4.9 Chơng 4. Đặc trng hình học của mặt cắt ngang Các thuyết bền 32Do đó: Jx = (72 20,8)105 = 51,2 ì 105cm4 ; 12yxyJJJ= trong đó: 3316411yhb60 100J2010cm33ì== =ì ()23322 222y2Chb40 30JFx 3040.6512 12ì=+ = +ì= 5,16 ì 106cm4 Vậy Jy = (20 5,16)106 = 14,84 ì 106cm4. B. Các thuyết bền I. Khái niệm Đối với các chi tiết máy đợc bền an ton thì trạng thái ứng suất ở mọi điểm không đợc vợt quá trạng thái ứng suất nguy hiểm của vật liệu (trạng thái ứng suất giới hạn - 0 v 0). ứng suất giới hạn của trạng thái ứng suất đơn dễ dng đợc xác định bằng thực nghiệm. Ví dụ, đối với vật liệu dẻo ứng suất giới hạn l giới hạn chảy ch (hoặc ch), đối với vật liệu giòn l B (hay B). Tuy nhiên, thực tế ngời ta hay tính theo ứng suất cho phép [] (hay []). Kiểm tra bền ở trạng thái ứng suất đơn, trợt thuần tuý: [ ] [ ] [ ]= = max 1 min 3 maxkn; ; (4.19) Khi kiểm tra bền ở trạng thái ứng suất phức tạp (phẳng, khối), cần lm các thí nghiệm phá hỏng ở trạng thái ứng suất. Việc xác định trạng thái ứng suất giới hạn bằng thực nghiệm rất khó khăn thực tế có khi không thực hiện đợc, vì: Số lợng thí nghiệm phát rất nhiều, đáp ứng tỷ lệ 1, 2 v 3 Trình độ kỹ thuật v thiết bị cha cho phép thí nghiệm trạng thái ứng suất phức tạp. Do đó ngời ta đa ra các thuyết bền, nhằm đa trạng thái ứng suất phức tạp về trạng thái ứng suất đơn tơng đơng. Gọi ứng suất chính của trạng thái ứng suất đơn tơng đơng l tđ (tđ liên hệ với các ứng suất chính 1, 2 v 3). Điều kiện bền có dạng: tđ [] (4.20) Thuyết bền cho phép thiết lập mối quan hệ giữa ứng suất tơng đơng với các ứng suất chính. Nói một cách khác, thuyết bền Chơng 4. Đặc trng hình học của mặt cắt ngang Các thuyết bền 33l những giả thuyết về nguyên nhân phá hoại của vật liệu, trên cơ sở đó cho phép ta xác định đợc độ bền của vật liệu ở mọi trạng thái ứng suất khi ta chỉ biết độ bền của vật liệu ở trạng thái ứng suất đơn. Dới đây chúng ta sẽ nghiên cứu những thuyết bền cơ bản nhất v phổ biến nhất. II. Các thuyết bền 1. Thuyết bền thứ nhất (thuyết bền ứng suất pháp lớn nhất) Thuyết bền thứ nhất do Galilê đa ra năm 1638. Thuyết ny cho rằng, vật liệu bị phá hỏng l do ứng suất pháp lớn nhất gây ra. Thuyết bền ny phát biểu nh sau: Hai trạng thái ứng suất phức tạp v đơn có độ bền tơng đơng nếu ứng suất pháp lớn nhất của chúng nh nhau. Điều kiện bền theo thuyết ny: [ ][]= == =tđ max 1ktđ min 3n (4.21) Đối với vật liệu dẻo []k = []n Thiếu sót lớn nhất l thuyết bền ny l không kể đến ảnh hởng của hai ứng suất chính còn lại. Ngoi ra, thực nghiệm cho thấy thuyết ny không thích hợp với vật liệu dẻo. Còn đối với vật liệu giòn chỉ cho những kết quả phù hợp khi có một ứng suất chính rất lớn so với các ứng suất chính còn lại. Thuyết ny hiện nay hầu nh không dùng nữa. 2. Thuyết bền thứ hai (thuyết bền biến dạng tỷ đối lớn nhất) Thuyt bn th hai do Marit a ra nm 1682. Thuyt ny cho rng: vt liu b phỏ hu l do bin dng di tng i cc i ca phõn t trng thỏi ng sut phc tp t n bin dng di tng i trng thỏi nguy him ca phõn t trng thỏi ng sut n. Hai trng thỏi ng sut phc tp v n s cú bn tng ng nu bin dng t i ln nht do chỳng gõy ra bng nhau. éiu kin bn c vit l: Chơng 4. Đặc trng hình học của mặt cắt ngang Các thuyết bền 34 ( )[ ]()[]=+=+ tđ 1 2 3ktđ 3 1 2n (4.21) u im ca thuyt bn th hai l cú k n nh hng ca ba ng sut chớnh 1, 2 v 3. Song cng nh thuyt bn th nht, thuyt ny cng khụng thớch hp i vi vt liu do. Cũn i vi vt liu giũn thỡ nú ch cho kt qu phự hp khi 1> 0 v 3 < 0. Thuyt ny hin nay hu nh khụng cũn c dựng na. 3. Thuyết bền thứ ba (thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất) Thuyt bn th ba do Culông (Coulomb) a ra nm 1773. Thuyt ny cho rng: vt liu b phỏ hoi l do ng sut tip cc i ca phõn t trng thỏi ng sut phc tp t n ng sut tip nguy him ca phõn t trng thỏi ng sut n. Hai trng thỏi ng sut phc tp v n s cú bn tng ng nu ng sut tip ln nht ca chỳng bng nhau. Điều kiện bền l: [ ]max đơn (a) Ta biết 13max2=(chơng 3),[][]= =đơnmaxđơn,22(chơng 2) Do đó điều kiện bền theo giả thuyết ứng suất tiếp lớn nhất: tđ = 1 3 []k (4.22) Trong trờng hợp ứng suất phẳng đặc biệt (hình 4.10), ta có: 221max11422= = + + ; 223min11422 = = + (4.23) Điều kiện bền theo giả thuyết ứng suất tiếp lớn nhất: []=+22tđ4 (4.24) Thuyt bn ng sut tip ln nht rt phự hp vi vt liu do nhng li khụng thớch hp i vi vt liu giũn. Thiu sút ca thuyt ny l khụng k n ng sut chớnh 2. Thuyt th 3 cho phộp gii thớch vỡ sao vt liu b nộn u theo tt c cỏc phng cú th chu c nhng ỏp sut rt cao, vỡ trong trng hp ny thỡ 1=3=-p dự ỏp sut p cú ln ti õu t cng luụn luụn bng khụng. 4. Thuyết bền thứ t (thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng) Hình 4.10 Chơng 4. Đặc trng hình học của mặt cắt ngang Các thuyết bền 35 Thuyt bn th nng bin i hỡnh dng do Huybe a ra nm 1904. Thuyt ny cho rng: vt liu b phỏ hoi l do th nng bin i hỡnh dng ca phõn t trng thỏi ng sut phc tp t n th nng bin i hỡnh dng trng thỏi ng sut nguy him ca phõn t trng thỏi ng sut n. Hai trng thỏi ng sut phc tp v n s cú bn tng ng nu th nng riờng bin i hỡnh dng ca chỳng bng nhau. Trng thỏi ng sut khi:()+= ++222hd 1231223311u3E Trng thỏi ng sut n: += 2hd tđ1u3E Điều kiện bền có dạng: [] = ++222tđ 123122331k (4.25) Trong trờng hợp trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt: []=+22tđk3 (4.26) Thuyt bn th t phự hp i vi vt liu do, nhng i vi vt liu giũn thỡ cng khụng thớch hp. Mt khỏc thuyt ny vn cha gii thớch c s phỏ hoi ca vt liu khi b kộo u theo 3 phng. 5. Thuyết bền thứ năm (thuyết bền Mo) Thuyt bn Mo a ra ln u tiờn vo nm 1882 v sau ú phỏt trin chi tit vo nm 1990. Thuyt ny cho rng: vt liu b phỏ hoi l do trng thỏi ng sut ang xột vt quỏ trng thỏi ng sut gii hn tng ng trong h vũng trũn ng sut gii hn. Thuyt bn Mo da vo ng bao ca h vũng trũn ng sut gii hn xỏc nh trng thỏi ng sut gii hn cho tng trng hp ca trng thỏi ng sut. Nu lm nhiu ln thớ nghim vi cỏc ng sut chớnh khỏc nhau thỡ ta c mt tp hp cỏc vũng trũn gii hn (hỡnh 4.13). Ngi ta ó chng minh iu kin bn theo thuyt bn ny l: [ ]=tđ 1 3k vi k0n0= (4.27) Thuyt bn Mo vit cho trng thỏi ng sut phng c bit: () ()== + + +2222tđ 1 3114422 22 éiu kin bn: [] = + +22tđk11422 (4.28) Chơng 4. Đặc trng hình học của mặt cắt ngang Các thuyết bền 36 Thuyt bn Mo cú nhc im l b qua nh hng ca ng sut chớnh 2 v n gin ng cong gii hn thnh ng thng nhng cng cú u im hn nhng thuyt trờn vỡ cú xột n trng thỏi ng sut ca vt liu b phỏ hoi. Mt khỏc, thuyt ny cng khụng cn ra nhng gi thuyt m cn c trc tip vo cỏc trng thỏi ng sut khi nguy him biu th bng nhng vũng trũn gii hn. III. áp dụng các thuyết bền Cho n nay ngi ta ó xõy dng nhiu thuyt bn khỏc nhau, mi thuyt bn ra mt quan im v nguyờn nhõn phỏ hoi ca vt liu. Trong thc t tớnh toỏn, vic chn thuyt bn no l ph thuc vo loi vt liu s dng v trng thỏi ng sut ca im kim tra. Nu l vt liu do ta dựng thuyt th ba hoc th t. Nu l vt liu giũn ta dựng thuyt th hai hoc th nm (Mo). Gn õy xut hin nhiu thuyt mi liờn quan ch yu n cỏc loi vt liu mi nh cht do, si thu tinh, cht do nhiu lp, Cỏc nghiờn cu thc nghim v lý thuyt cho thy rng cu trỳc ca tinh th vt rn bin dng cú nh hng ln n bin dng v phỏ hng ca vt liu ú. Nu b qua nh hng ú thỡ kt qu tớnh toỏn theo cỏc thuyt bn s b sai lch. Do ú hin nay, ngi ta ang tip tc nghiờn cu v cỏc vn ny. Ví dụ. Kiểm tra bền của phân tố vật thể chịu các ứng suất: x = -4kN/cm2, y = -6 kN/cm2, z = 3 kN/cm2, xy= yx=2 kN/cm2, zx = xz = yz = zy = 0. Cho biết [] = 12 kN/cm2. Giải Nếu coi z = 3 kN/cm2 l một ứng suất chính của phân tố thì hai ứng suất chính còn lại: + += += +22xy xy22max xymin46 46222 22 max = -2,764 kN/cm2 ; min = -7,236 kN/cm2 Hỡnh 4.13 [...]...Chơng 4 Đặc trng hình học của mặt cắt ngang Các thuyết bền Nh vậy: 1 = 3 kN/cm2 ; 2 = -2 ,7 64 kN/cm2 ; 3 = -7 ,236 kN/cm2 Theo thuyết bền thứ ba: tđ = 1 3 = 3 (- 7,236) = 10,236 [] Theo thuyết bền thứ t: 2 2 2 tđ = 1 + 2 + 3 1 2 2 3 3 1 = 8,888 [ ] Nh vậy phân tố đủ bền theo cả hai thuyết bền 37 . =3xbhJ36 (4. 16) 3. Hình tròn (hình 4. 8) Đối với hệ trục trung tâm Oxy: Jx = Jy = pJ2 trong đó: =44 pRJ0,1D2 nên: == = 44 4xyRDJJ 0,05D4 64 (4. 17) Hình 4. 8Hình. (m3) (4. 2) Hình 4. 2Hình 4. 1 a)c)b)4a4a a 0,7D D da PP Chơng 4. Đặc trng hình học của mặt cắt ngang Các thuyết bền 28 Khi m = 1, n = 0 tích phân (4. 1)