Sức bền vật liệu - Chương 1,2

Sức bền vật liệu (SBVL) là môn học kĩ thuật cơ sở của các ngành kĩ thuật (Xây dựng, Cơ khí, Cầu đường, Kiến trúc,...). Mục đích của SBVL là nghiên cứu các qui luật ứng xử, ứng suất và biến d

Chương mở đầu NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN 0.1.KHÁI QUÁT 0.1.1 Nhiệm vụ môn học Môn học sức bền vật liệu có nhiệm vụ cung cấp kiến thức phương pháp tính tốn độ bền (nghĩa kết cấu, chi tiết máy không bị phá hủy tác dụng tải trọng) Xác định độ cứng vững (nghĩa thay đổi kích thước hình học kết cấu, chi tiết không vượt q giới hạn cho phép) Tính tốn độ ổn định (nghĩa tính tốn cho kết cấu, chi tiết có khả bảo tồn trạng thái cân ban đầu), điều rõ gặp tóan ổn định Mơn học đề cập đến số kiến thức để tính tốn cho hệ thanh, cho tấm, vỏ, thành mỏng Mơn học cịn đề cập đến toán ứng suất tiếp xúc, ống v.v Điều có nghĩa giáo trình bao gồm kiến thức mơn học có liên quan "sức bền vật liệu", "cơ học kết cấu" "lý thuyết đàn hồi" Ngày nay, mà khoa học phát triển mơn học đan xen nhau, khơng cịn ranh giới rõ rệt Các môn học học vậy, nên vấn đề trình bày chúng tơi theo xu hướng đó, nhằm cung cấp kiến thức học có liên quan đến tính độ bền, độ cứng vững độ ổn định nói trên, lại phải tiết kiệm nhất, có lợi Nói cách khác phải giải vấn đề tối ưu sản xuất phải chọn kết cấu, chọn phương pháp tính, phải chọn vật liệu cho có lợi Trong chất tốn này, rõ ràng có mâu thuẫn ví chi tiết có kích thước lớn bền, cứng vững ổn định lại không kinh tế không thỏa mãn u cầu khác Chính mâu thuẫn chắn yếu tố thúc đẩy phát triển kỹ thuật tính tốn, chế tạo vật liệu Môn sức bền vật liệu phải phát triển để đưa mơ hình tính tốn, phương pháp tính tốn hợp lý, để thỏa mãn điều kiện 0.1.2 Đối tượng nghiên cứu môn học Môn sức bền vật liệu môn học nằm ngành Cơ học vật rắn biến dạng Khác với Cơ lý thuyết, nhằm khảo sát cân chuyển động vật rắn tuyệt đối, môn Sức bền vật liệu khảo sát vật thể thực, tức vật rắn có biến dạng + Hình dạng vật thể nghiên cứu Sức bên vật liệu: Vật thể thực có kích thước theo ba phương phân làm ba loại: - Khối: Kích thước theo ba phương khơng nhiều (hình 0.1a) - Tấm, vỏ: Kích thước theo hai phương lớn kich thước theo phương cịn lại nhiều (hình 0.1b, 0.1c) - Thanh: Kích thước theo phương lớn kích thước theo hai phương nhiều Sức bền vật liệu chủ yếu nghiên cứu hệ + Định nghĩa thanh: Một diện tích F hữu hạn di động cho trọng tâm O trượt đường cong (C) thẳng góc (C), F qt khơng gian hình khối gọi có diện tích mặt cắt ngang F Trong đó: (C)- Trục thanh; F- Diện tích mặt cắt ngang + Các loại thanh: Thanh có trục (C) thẳng ta gọi thẳng, trục (C) cong ta gọi cong Mặt cắt khơng đổi suốt chiều dài thanh, mặt cắt thay đổi + Khung: Hệ gồm nhiều ghép lại, có hai loại: khung phẳng khung b) a) c) d′ ) d) e′) e) f) h) i) VA g) R k) VA j) VA MA HA m) VA HA n) o) Hình 0.1: i t ng nghiên c u c a S c b n v t li u a-Kh i; b, c-T m v ;d- d ′ ,e- e′ -Thanh cách bi u di n tính tóan; f,h,i,g- Khung; j,k-G i di ng;m,n-Kh p c nh;o-Ngàm khơng gian Trong tính tốn thường biểu diễn trục (hình 0.1d', hình 0.1e') Từ nhiệm vụ đối tượng nghiên cứu nói ta thấy sức bền vật liệu có tốn sau: a) Kiểm tra điều kiện độ bền, độ cứng vững, độ ổn định b) Xác định kích thước mặt cắt ngang, hình dáng hợp lý cơng trình hay chi tiết c) Xác định giá trị tải trọng cho phép tác dụng lên vật thể 10 0.1.3 Đặc điểm - Môn Sức bền vật liệu khảo sát nội lực biến dạng vật thực, áp dụng kết Cơ học lý thuyết (sử dụng phương trình cân bằng) - Mơn Sức bền vật liệu môn khoa học thực nghiệm với phương pháp nghiên cứu sau: + Quan sát thực tế + Đề giả thuyết tính tốn + Thí nghiệm kiểm tra 0.2 Các ngun nhân bên ngồi tác dụng lên vật thể 0.2.1 Ngoại lực Định nghĩa: Ngoại lực lực tác dụng môi trường bên hay vật thể khác lên vật thể xét * Phân loại ngoại lực Ngoại lực gồm: - Tải trọng: Trị số, vị trí tính chất lực biết trước - Phản lực: Lực phát sinh nơi tiếp xúc vật thể xét với vật thể khác tùy thuộc vào tải trọng Tải trọng bao gồm lực phân bố tác dụng liên tục thể tích hay bề mặt (có cường độ giá trị lực/đơn vị thể tích hay diện tích, thứ nguyên [lực/(chiều dài)3], [lực/(chiều dài)2] lực phân bố theo chiều dài [lực/chiều dài] Ngồi cịn có lực tập trung, mô men tập trung, mô men phân bố * Tính chất tải trọng - Tải trọng tĩnh: Giá trị lực tăng từ từ xem không gây lực quán tính - Tải trọng động: Giá trị lực tăng đột ngột (va chạm) hay kể đến lực qn tính (dao động, chuyển động có gia tốc) 0.2.2 Các nguyên nhân khác Bao gồm gia tăng nhiệt độ, chế tạo khơng xác chi tiết máy hay lún gối tựa cơng trình 0.2.3 Các loại liên kết phẳng phản lực liên kết a) Gối di động (khớp di động, lăn): Liên kết cho phép quay xung quanh điểm chuyển động tịnh tiến theo phương Liên kết hạn chế di chuyển theo phương vng góc với phương chuyển động tịnh tiến, nên theo phương liên kết phát sinh phản lực VA: (hình 0.1j) hay (hình 0.1k) b) Gối cố định (khớp, lề): Liên kết cho phép quay xung quanh điểm hạn chế chuyển động tịnh tiến mặt phẳng Liên kết phát sinh phản lực theo phương mặt phẳng Trong tính tốn ta thường phân lực hai thành phần vng góc HA VA (xem hình 0.1m 01 n) c) Ngàm: Liên kết hạn chế chuyển động mặt phẳng Tại ngàm phát sinh mô men phản lực phản lực theo phương bất kỳ, phản lực thường phân hai thành phần vng góc (xem hình 0.1o) Để xác định phản lực, ta xem vật rắn tuyệt đối xét cân vật rắn tác động phản lực tải trọng 0.3 Các giả thuyết Vì đối tượng khảo sát vật thực, xét đến tính chất thực tốn phức tạp Do để q trình suy luận hay tính tốn đơn giản mà đảm bảo độ xác cần thiết, ta cần phải lược bỏ tính chất khơng giữ lại tính chất định đến phẩm chất cơng trình hay chi tiết Tức ta đưa giả thuyết Môn Sức bền vật liệu sử dụng ba giả thuyết sau: 11 * Giả thuyết 1: Vật liệu có tính liên tục, đồng chất đẳng hướng - Vật liệu liên tục nghĩa vật liệu chiếm đầy không gian vật thể - Vật liệu đồng tính chất học vật lý điểm giống - Vật liệu đẳng hướng nghĩa tính chất lý xung quanh điểm theo hướng * Giả thuyết II: Vật liệu đàn hồi tuyệt đối tuân theo định luật Hooke Dưới tác dụng nguyên nhân bên ngoài, vật thể bị thay đổi hình dạng, kích thước ban đầu Tuy nhiên bỏ nguyên nhân vật thể có khuynh hướng trở hình dạng kích thước ban đầu Đó tính đàn hồi vật liệu vật thể tương ứng gọi vật thể đàn hồi Nếu vật thể có khả trở ngun hình dạng kích thước ban đầu ta gọi vật thể đàn hồi tuyệt đối Vật liệu làm việc tuân theo định luật Hooke tương quan lực biến dạng tương quan bậc I Vật liệu thỏa mãn giả thuyết II gọi vật liệu đàn hồi tuyến tính Đối với loại vật liệu thép, gang lực tác dụng nhỏ trị số giới hạn xác định đó, xem thỏa mãn giả thuyết * Giả thuyết III: Biến dạng vật thể bé Hệ giả thuyết: Trong q trình tính tốn ta có thể: - Sử dụng phép tính vi phân, tích phân, tức nghiên cứu phân tố bé để suy rộng cho vật thể lớn - Sử dụng sơ đồ không biến dạng, tức xem điểm đặt ngoại lực không đổi vật thể bị biến dạng - Áp dụng nguyên lý độc lập tác dụng (hay gọi nguyên lý cộng tác dụng): "Tác dụng gây đồng thời nhiều yếu tố tổng tác dụng yếu tố riêng rẽ gây ra" 0.4 Lịch sử phát triển môn học Sức bền vật liệu môn khoa học thực nghiệm, xây dựng số kết giả thuyết rút từ thí nghiệm tương ứng với toán cụ thể, lập luận sở thực nghiệm vừa mang tính khoa học vừa giúp cho việc thiết lập cơng thức tính tốn phức tạp mặt toán học Vào kỷ 17 Nhà bác học Galiles làm thí nghiệm chịu lực dầm Côngxon để làm sở cho thiết kế đóng tàu biển phục vụ cho phát triển hàng hải Nhưng thực tế kỷ 17 chưa có cơng trình tầm cỡ Sự phát triển môn học Sức bền môn học học thực phát triển từ kỷ 18 đến Năm 1729 Buynphighe đưa lý thuyết quan hệ phi tuyến ứng suất biến dạng Sau năm 1768 Hooke cho giai đoạn quan hệ ứng suất biến dạng quan hệ tỷ lệ thuận Và toán Sức bền vật liệu chủ yếu vật liệu làm việc tuân theo định luật Hooke Các nhà bác học Poisson, Euler, Lomorovsov, Ortrografski có nhiều đóng góp cho phát triển học nói chung cho mơn học Sức bền vật liệu nói riêng Nhà bác học Người Pháp Navie cho đời giáo trình Sức bền vật liệu vào cuối kỷ 18 Sự phát triển môn học Sức bền vật liệu gắn liền với phát triển lý thuyết đàn hồi tuyến tính đàn hồi phi tuyến Một số tốn khơng thể chứng minh qua đường lập luận từ khoa học thực nghiệm mà cần phải giải Lý thuyết đàn hồi Vào cuối kỷ 19 đầu kỷ 20, Ngành học biến dạng phát triển rộng lớn, 12 với đời phát triển công nghệ thông tin, thành tựu Toán học Vật liệu yêu cầu tạo điều kiện cho ngành học vật rắn biến dạng phát triển Người ta ứng dụng phương pháp sai phân, biến phân, phần tử hữu hạn việc giải toán mà trước chưa giải giải khó khăn Cũng từ nhiều lý thuyết vật liệu dị hướng, vật liệu có độ bền lớn, vật liệu làm việc điều kiện nhiệt độ cao môi trường ăn mòn khác phát triển Trong kỷ 20 xuất lý thuyết dẻo, đàn nhớt, đàn dẻo, lý thuyết từ biến, lưu biến, lý thuyết phá hủy giúp nghiên cứu sâu toàn diện làm việc, đồ bền, độ cứng vững, độ ổn định toàn thực tế, phát triển khoa học kỹ thuật ngày đòi hỏi Cơ học lĩnh vực rộng lớn, mơi trường liên tục, mơi trường rời rạc, mơi trường thủy, khí, mơi trường nhiệt Vì phương trình cân giống nhau, tùy theo môi trường cụ thể mà thay đổi số thông số hệ số, phương trình phương trình vi phân đạo hàm riêng Có thể nói điều quan tâm trước tiên học vật rắn biến dạng quan hệ ứng suất biến dạng xuất vật liệu trình tác động tải trọng Về mặt toán học ứng suất hàm số biến dạng: σ = f(ε) (0-1) Trong đó:σ-Ứng suất; ε-Biến dạng - Nếu vật liệu làm việc tuân theo định luật Hooke phương trình tuyến tính hay cịn gọi đàn hồi tuyến tính σ B - Nếu quan hệ khơng phải tuyến tính A bậc thỏa mãn điều kiện trình đặt tải cất tải thuận nghịch Nghĩa đặt tải, quan hệ ứng suất σ biến dạng ε đường cong OAB, cất tải tương quan ε giảm theo đường BAO (đường không liên O tục BAO thực tế trùng với đường liên tục BAOtrên hình BAO vẽ tách để dễ nhìn) biến dạng hồn tồn khơng cịn tải (xem Hình 0.2: Quan hệ hình 0.2) ứng suất Ta xem toán đàn hồi biến dạng khơng phải tuyến tính mà đàn hồi phi tuyến biểu thức (0.1) phù hợp Chúng ta xét thí nghiệm kéo mẫu thép (đại diện cho vật liệu dẻo), quan hệ giưã ứng suất biến dạng trình bày hình 0.3 Rõ ràng giai đoạn đầu OA đàn hồi tuyến tính vận liệu làm việc tuân theo định luật Hooke, tức ứng suất biến dạng quan hệ bậc Đến điểm B đó, ta cất tải khơng theo đường cũ mà theo đường song song với OA Khi tải trọng σ B A C ε ∆l O P Hình 0.3: Quan hệ ứng suất biến dạng kéo Hình 13 0.4: Hiện tượng sau tác dụng (dão) Hình 0.5: Hiện tượng nới khơng cịn nữa, vật thể cịn có lượng biến dạng thể đoạn OC Biến dạng gọi biến dạng dẻo (hay biến dạng dư) Lý thuyết nghiên cứu quy luật hình thành biến dạng dẻo trạng thái ứng suất tương ứng gọi lý thuyết dẻo Chúng ta lưu ý tính chất sau vật liệu: Một thép treo chịu tác dụng lực kéo (hình 0.4), đặt tải P gây nên độ giãn dài ∆l Nếu để lực P không đổi tồn lâu dài độ giãn tiếp tục tăng lên tăng chậm, tượng rõ rệt vật liệu làm việc môi trường nhiệt độ cao Hiện tượng gọi tượng sau tác dụng hay tượng dão Một ví dụ khác: ta siết chặt êcu để ghép thép với (hình 0.5) lực đó, nghĩa tạo cho bulông giá trị ứng suất định Nhưng đến thời gian đủ dài ta nhận thấy êcu lỏng ra, nghĩa ứng suất bulơng giảm Hiện tượng gọi tượng nới Hiện tượng sau tác dụng tượng nới thể chất vật liệu biến dạng tiếp tục thay đổi ứng suất P sinh không đổi hay ứng suất giảm (mối nối lỏng ra), biến dạng không thay đổi (khoảng cách ban đầu thép xác định) gọi chung tượng từ biến Hiện tượng từ biến xuất giai đoạn đàn hồi giai đoạn chảy dẻo Vì lý thuyết từ biến ứng dụng lý thuyết đàn hồi lý thuyết dẻo Gần phát sinh ngành lý thuyết cảm biến Nó nghiên cứu quy luật chung phát sinh phát triển biến dạng theo thời gian vật liệu nguyên nhân khác điều kiện nhiệt động hóa lý khác Lý thuyết cảm biến giúp cho ta xác định biến dạng ứng suất điểm vật thể thời điểm biết thông số yếu tố tác động bên ngồi q trình biến đổi thơng số CÂU HỎI TỰ HỌC : 0.1 Những nhiệm vụ môn sức bền vật liệu ? 0.2 Những nhân tố thúc đẩy phát triển môn học ? 0.3 Đối tượng nghiên cứu môn học? 0.4 Các giả thuyết bản, giải thích giả thuyết 0.5 Những nét mơn học khác liên quan đến môn Sức bền vật liệu - - ♣♣♣♣♣- - 14 Chương LÝ THUYẾT VỀ NỘI LỰC 1.1 NỘI LỰC - PHƯƠNG PHÁP MẶT CẮT (PPMC) 1.1.1 Định nghĩa nội lực Trong vật thể, phần tử có lực liên kết để giữ cho vật thể có hình dáng định Khi có ngoại lực tác dụng, vật thể bị biến dạng, lực liên kết thay đổi để chống lại biến dạng ngoại lực gây Lượng thay đổi lực liên kết gọi nội lực 1.1.2 Phương pháp mặt cắt (ppmc) Để xác định nội lực mặt cắt ngang chứa điểm K vật thể chịu lực hình1.1, ta dùng ppmc sau: Tưởng tượng P5 P1 dùng mặt phẳng (π) qua điểm K thẳng góc với trục thanh, cắt vật thể hai phần (A) P4 K (B), (hình1.2) Xét cân phần, ví P2 dụ phần (A), (hình 1.3) Phần (A) cân P6 P3 nhờ nội lực phần (B) tác dụng lên phần (A) Nội lực phân bố diện tích Hình 1.1:Một vật thể P5 mặt cắt phần (A) hợp lực chúng cân chịu lực π với ngoại lực thuộc phần xét (A) P1 Ngược lại ta xét cân phần B, P4 A B K phần A tác dụng lên B nội lực tương tự P2 có chiều ngược lại P3 P6 1.1.3 Khái niệm ứng suất Chung quanh điểm K (trên mặt cắt Hình1.2: Phương pháp thuộc phần A), ta lấy phân tố điện tích vơ bé ∆F, hợp lực nội lực tác dụng lên P1 mặt cắt ∆F ∆P , (hình 1.4; 1.5) A K P2 ∆P Ta có : // ∆P ∆F P3 ∆P ứng suất trung bình Ta gọi p tb = Hình 1.3: Sự cân ∆F lực phần A K ∆P : ứng suất toàn phần ứng suất thực (gọi tắt ứng p = lim p tb = lim ∆F→0 ∆F→0 ∆F suất) K ⎡ læûc ⎤ Thứ nguyên ứng suất ⎢ , đơn vị thường dùng KN/cm2, MN/m2 2⎥ di ⎣ (chiãưu ) ⎦ Thường người ta phân ứng suất hai thành phầ: - Thành phần vng góc với mặt cắt gọi ứng suất pháp, ký hiệu σ - Thành phần nằm mặt cắt gọi ứng suất tiếp, kí hiệu τ Như P = σ + τ , P: Độ lớn ứng suất K 15 P1 P1 ∆P (A) K ∆F P2 P3 Hình 4:Hợp lực nội a) τ (A) K P2 P3 lực σ>0 b) n τ>0 r P r σ Hình 1.5: Ứng suất σ có khuynh hướng quay mặt cắt xét theo chiều kim đồng hồ (hoặc dấu Qy giống dấu τ) 17 Mx > làm căng thớ phía y > (phía dưới).Ngược lại nội lực âm P5 P2 P4 m MX>0 MX>0 m Nz>0 P1 x n Qy>0 P3 Nz> Qy>0 n y y Hình1.9:Các thành phần nội lực chiều dương phần bên trái mặt Hình 1.10: Các thành phần nội lực chiều dương phần bên phải mặt cắt m-n * Ví dụ 1: Cho chịu lực hình 1.11a Hãy xác định nội lực vẽ biểu đồ nội lực O z x y Mx a) P z z b) l Qy P (Qy) c) (Mx) d) Ta sử dụng phương pháp mặt cắt: Tưởng tượng có mặt cắt [11] vng góc với Hình 1.11 Vẽ biểu đồ xét lực: a- Một dầm chịu trục cách đầu tự đoạn z Ta nộisự cân phần trái (hình 1.11b), để lực; cân lực phần dầm, c- mô đoạn xétb-Xét cân mặt cắt [11] xuất nội lực Qy Biểu men đồ lực cắt Q ; d- Biểu đồ mô men y xoay quanh trục x Mx Ban đầu chúngyta giả định Qy Mx tác dụngMở mặt cắt [11] dương theo quy định Nếu kết tính tóan mà Qy, Mx có dấu + coi giả định ban đầu ta Qy, Mx dương theo quy định Nếu kết qủa tính tốn mà Qy, Mx mang dấu -, ta phải đổi chiều Qy Mx trở lại, có nghĩa nội lực âm theo quy định Bây ta sử dụng phương trình cân tĩnh học thơng thường lý thuyết hay phương trình trình bày để xác định Qy Mx Chú ý: - Khi chiếu lên trục mơ men ngẫu lực khơng có phương trình 18 Chương KÉO, NÉN ĐÚNG TÂM 2.1.KHÁI NIỆM Trong sức bền vật liệu, toán kéo tâm toán đơn giản trước tiên nghiên cứu 2.1.1 Định nghĩa: Thanh chịu kéo (hoặc nén) tâm mặt cắt ngang có thành phần nội lực lực dọc Nz Nếu NZ > 0: ta nói chịu kéo tâm Nếu NZ < 0: ta nói chịu nén tâm Hình 2.1a: Thanh chịu nén tâm Hình 2.1b: Thanh chịu kéo tâm P P a) b) P P c) P NZ d) e) f) Hình 2.1: Ví dụ chịu kéo, nén tâm Người ta dùng phương pháp mặt cắt để xét cân phần bên trái, chẳng hạn hình 2.1c.Từ điều kiện cân bằng, ta có phương trình: Σz = 0; Nz - P = => Nz = P > 2.1.2 Ví dụ:Trong thực tế thường gặp cấu kiện chịu nén, kéo tâm (hình 2.1): - Dây cáp nâng vật cần cẩu (hình 2.1d) - Ống khói (hình 2.1e) - Các giàn (hình 2.1f) v.v 2.2 ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGANG 2.2.1 Quan sát biến dạng Như biết, môn học sức bền vật liệu môn khoa học thực nghiệm, vừa dựa vào cơng cụ toán học, vừa dựa vào kết rút từ thí nghiệm để xây dựng cơng thức tính ứng suất, biến dạng Việc xem xét thực nghiệm cần thiết, giúp cho ta bỏ qua số đại lượng không cần thiết trình xét ứng suất biến dạng Như toán trở nên đơn giản hơn, đảm bảo độ xác 31 cần thiết hợp lý cơng thức thiết lập Vì toán quan sát thí nghiệm xây dựng giả thuyết để làm tảng cho việc thiết lập công thức ứng suất biến dạng sau Ta kẻ bề mặt đường song song với trục (tượng trưng cho thớ dọc) đường vng góc với trục (tượng trưng cho mặt cắt ngang) chúng tạo thành lưới ô vng (hình 2.2a) Sau chịu lực, bị biến dạng lưới ô vuông trở thành lưới ô chữ nhật (hình 2.2b) 2.2.2 Các giả thuyết P P Ơ ch nh t b) Ơ vng a) 2’ NZ O dF x O1 NZ O2 A dz y c) NZ z σZ A d) σZ δ(dz) 2’ 2’ e) Hình 2.2: Quan sát biến dạng: a- Đường kẻ ô vuông trước chịu lực bng k ô vuông sau ch u l c; c d e- N i l c Căn vào quan sát biến dạng trên, giả thuyết chương mở đầu, chương người ta đưa hai giả thuyết * Giả thuyết I mặt cắt ngang: Trong trình biến dạng mặt cắt ngang ln ln phẳng vng góc với trục * Giả thuyết II thớ dọc: Trong qúa trình biến dạng thớ dọc không ép lên khơng đẩy xa 2.2.3 Cơng thức tính ứng suất Xét mặt cắt ngang bất kỳ, chọn hệ trục Oxyz (hình 2.2c), O trọng tâm mặt cắt ngang Nội lực có NZ Tách điểm A thuộc mặt cắt ngang phân tố hình hình hộp bé (hình 2.2d) * Dựa vào giả thuyết I, mặt cắt ngang có ứng suất pháp σz mà khơng có ứng suất tiếp Thật có ứng suất tiếp mặt cắt ngang bị vênh khơng cịn phẳng vng góc với trục (với giả thiết I) * Dựa vào giả thuyết II, mặt cắt dọc khơng có ứng suất Vậy trường hợp kéo, nén tâm, mặt cắt ngang có ứng suất pháp σz thơi Nội lực tác dụng lên phân tố diện tích dF bao quanh A σz dF Tổng nội lực tồn diện tích F mặt cắt ngang là: Nz = ∫ σ z dF (a) F 32 * Ta xét thêm điều kiện biến dạng: Xét phân tố chiều dài dz (hình 2.2e) Giả sử cố định mặt cắt 1-1, có Nz tác dụng, mặt cắt 2-2 di chuyển đến 2'-2' Do giả thuyết I nên điểm thuộc mặt cắt 2'-2' thẳng góc trục thanh, nên thớ dọc giãn dài δ (dz) δ(dz) Gọi εz biến dạng dọc tỷ đối, ta có: ε z = (b) = const dz σ * Theo định luật Hooke: (c) εz = z E Với E: số tỉ lệ, gọi mođuyn đàn hồi, phụ thuộc vào vật liệu, nhiệt độ có thứ nguyên [lực/(chiều dài)2] Đơn vị thường dùng KN/cm2, MN/m2,.E xác định thí nghiệm (bảng 2.1) Từ (b) (c) => σz = E εz = const điểm mặt cắt ngang N từ (a) => Nz = σz ∫ dF = σzF => σz = z (2-1) F F Trong F: Diện tích mặt cắt ngang, dấu σz giống dấu Nz qui ước mục 1.3 chương Bảng 2.1: Giá trị E số vật liệu Vật liệu E (N/m2) 20.1010 Thép (0,15 ÷0,20%) C Thép lò xo 22.1010 Thép Niken 19.1010 Gang xám 11,5.1010 Đồng 12.1010 Đồng thau (10 ÷12).1010 Nhơm (7 ÷8).1010 Gỗ thớ dọc (0,8÷1,2).1010 Như kéo (nén) tâm, mặt cắt ngang, ứng suất pháp phân bố 2.3 BIẾN DẠNG - HỆ SỐ POISSON (POÁT XƠNG) µ 2.3.1 Biến dạng dọc Ta có biến dạng dz δ(dz) = εzdz Vậy độ biến dạng dài tuyệt đối đoạn l ∆l = ∫ δ(dz) = ∫ ε z dz l Hay ∆l = ∫ l l σz N dz = ∫ z dz EF E l - Nếu suốt l: E = const, F = const, Nz = const, ∆l = (2-2) Nzl EF - Trường hợp chia làm n đoạn cho tích số (2-3) Ni số Ei Fi N zi ⋅ l i i =1 E i Fi Tích số EF: Gọi độ cứng kéo hay nén tâm đoạn, ∆l là: n ∆l = ∑ 33 (2-4) - Trường hợp có đoạn li, mà đoạn N zi hàm số liên Ei Fi tục, biến dạng dài đoạn tính: n li ∆l = ∑ ∫ i =1 N zi ⋅ dz E i Fi 2.3.2 Biến dạng ngang Ta nhận thấy chịu kéo, chiều dài giãn ra, cịn bề ngang co lại, trái lại chịu nén chiều dài co lại, chiều ngang phình Như kéo, nén phương ngang bị biến dạng Giữa biến dạng ngang tỷ đối εng biến dạng dọc tỷ đối εd có mối liên hệ: ε ng = −µ ⋅ ε d Trong đó: µ - hệ số Poisson, xác định thí nghiệm Hệ số µ phụ thuộc vào tng loi vt liu, tr s = ữ0,5 Dấu − chứng tỏ εng luôn ngược dấu với d Thộp: = 0,25 ữ 0,33; Gang: = 0,23 ữ 0,27; Nhụm: = 0,32ữ 0,36; Bờ tụng: µ = 0,08 ÷ 0,18; Cao su : µ = 0,47 Ví dụ1:Vẽ biểu đồ lực dọc Nz tính ứng suất, biến dạng toàn phần Vẽ biểu đồ biến dạng (chuyển vị) chịu lực hình 2.3a, biết E = 2.104 KN/cm2 Mặt cắt ngang có diện tích F = 1cm2 a) Vẽ NZ: Dùng phương pháp mặt cắt: 1-1, 2-2, 3-3 xét cân phần có N1, N2, N3 Phản lực ngàm : Σ z = => VA (hướng lên) Trên AB: Dùng mặt cắt 1-1 xét cân phần :Σz = => N1 = VA = 10KN Tương tự BC: N2 = -10 KN, N3 = 30KN b) Tính ứng suất: N 10 Đoạn 1: σ1 = = = 10KN / cm F N − 10 Đoạn 2: σ2 = = = −10KN / cm F N 30 Đoạn 3: σ3 = = = 30KN / cm F Biểu đồ biến dạng diễn tả biến dạng mặt cắt ngang theo vị trí chúng gốc cố định Ở gốc đầu ngàm tính từ ngàm với công thức: z N dz ∆l = ∑ ∫ EF Đoạn 1: ≤ z ≤ 20 (cm): z 10 × 20 −2 ∆l = ∫ N1dz = 2.10 × = +10 EF 34 c) Vẽ biểu đồ biến dạng (Chuyển vị): VA=10KN B 200 A 10 10- 10 40KN 400 20KN 10- 10 3 30 400 C D 30 5.10- 30KN NZ(KN) a) z ∆l(cm) b) c) Hình 2.3: Vẽ biểu đồ nội lực biến dạng toàn phần Đoạn 2: 20 (cm) ≤ z ≤ 60 (cm) : 20 z ⎞ ⎛ 10 × 40 ⎞ −2 ⎜ ∫ N 1dz + ∫ N dz ⎟ = ⎛100 ⋅ 10 − + ∆l = ⎟ = −10 cm ⎜ ⎟ ⎜ EF ⎝ ⋅ 10 × ⎠ 20 ⎠ ⎝ Đoạn 3: 60 (cm) ≤ z ≤ 100 (cm) : 20 60 100 ⎞ ⎛ ⎜ ∫ N1dz + ∫ N dz + ∫ N dz ⎟ = ⋅ 10 − cm ∆l = ⎟ EF ⎜ 20 60 ⎝ ⎠ d) Biến dạng toàn phần: Nl 10 × 20 10 × 40 30 × 40 ∆l = ∑ i i = = 500 × 10-4 cm − + 4 2.10 × 2.10 × 2.10 × i =1 EF Biểu đồ (Nz) ,(∆l) hình 2.3b,c 2.4 ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGHIÊNG Trên tìm quy luật phân bố cơng thức để tính ứng suất pháp mặt cắt ngang chịu kéo nén tâm Bây nghiên cứu quy luật giá trị ứng suất mặt cắt nghiêng có pháp tuyến làm với trục góc α a) 2 Để làm điều đó, ta tưởng P P tượng tách khỏi phân tố mặt cắt 1-1, 2-2 3-3 hình 2.4a u B σU Phân tố chịu tác dụng α ứng suất biểu diễn hình 2.4b σz b) α Nếu gọi diện tích AB dF, ứng τUV suất mặt cắt vng góc với trục A C σz, diện tích mặt cắt nghiêng V Hình 2.4: Tính ứng suất ặt hiê 35 dF mặt cắt nghiêng có ứng suất pháp σu hay σα ứng suất cos α tiếp τuv hay τα tác dụng Chúng ta xem σα, τα phân bố mặt nghiêng BC Để xác định σu, τuv ta xét cân phân tố Để có giá trị σu, ta chiếu tất dF lực lên trục u: (1) ∑ P(u ) = σ u cosα − σ z ⋅ dF ⋅ cosα = Ta tiếp tục chiếu lực lên trục V để xác định τuv dF (2) ∑ P(v) = τ uv cosα − σ z ⋅ dF ⋅ sin α = ⎛ + cos2α ⎞ Từ (1) (2) ta có: σu = σz cos2α = σz ⎜ ⎟ (2-6) ⎝ ⎠ σ τuv = σz sinα cosα = z sin 2α Từ công thức (2-6) ta thấy ứng suất pháp σu đạt giá trị lớn cos2α = tức α = α = 1800, có nghĩa mặt cắt nghiêng trở thành mặt cắt ngang có giá trị nhỏ cos2α = -1 hay α = 900, tức mặt cắt nghiêng trở thành mặt cắt dọc Giá trị ứng suất pháp lớn nhỏ là: max σα = σ z =Nz/F ; σα = Ứng suất tiếp τα đạt giá trị lớn sin2α = hay α = 450, tức mặt σ cắt nghiêng có pháp tuyến ngồi u hợp với trục góc 450: max τα = z Chúng ta thử tìm ứng suất mặt cắt vng góc với mặt cắt nghiêng vừa rồi, để xem ứng suất mặt vng góc với có mối liên hệ khơng ? Có thể tiến hành theo bước vừa rồi, cách thay mặt cắt [3-3] thành mặt cắt vng góc với nó, sau sử dụng phương trình cân tĩnh học thơng thường làm trên, cuối ta có biểu thức giá trị ứng suất mặt cắt vng góc với mặt nghiêng vừa Thế có cách làm đơn giản π thay góc α góc β = α + vào cơng thức (2-6) Ta có kết : σ ⎡ π ⎤ σ σβ = Z ⎢1 + cos(α + )⎥ = Z (1 − cos 2α ) ⎣ ⎦ (2-7) σZ π ⎞ − σz ⎛ τβ = sin 2⎜ α + ⎟ = sin 2α 2⎠ ⎝ Qua công thức (2-6), (2-7), rút kết luận sau: 1- Mặt cắt có giá trị ứng suất lớn kéo, nén tâm mặt cắt ngang N mặt cắt nguy hiểm : σz = Z F 2- Tổng giá trị ứng suất pháp mặt cắt nghiêng vng góc đó: σ σ σα + σβ = Z (1 + cos2α ) + Z (1 − cos2α ) = σ Z = const (2-8) 2 Như tổng giá trị ứng suất pháp mặt cắt vng góc với số, khơng phụ thuộc vào giá trị α β Tổng số gọi lượng bất biến bậc nhất, có ý nghĩa tốn học sau Đồng thời giúp ta tìm giá trị BC 36 d1 d0 ứng suất mặt cắt nghiêng biết giá trị ứng suất mặt cắt ngang mặt vng góc với 3- Giá trị ứng suất tiếp hai mặt vng góc với : σ τα = - τβ = Z sin 2α Nghĩa ứng suất tiếp hai mặt cắt vng góc với có giá trị ngược dấu Theo quy ước dấu ứng suất tiếp biết, ứng suất tiếp τ τ>0 τ gọi hệ số an tồn Trong đó: [σ] = n σk σn b ; [ σ] n = b ta có: Với vật liệu giòn: [ σ] k = n n σ vật liệu dẻo: [ σ] k = [ σ] n = [ σ] = ch n - Hệ số an toàn n>1 chọn phụ thuộc vào: + Tiêu chuẩn vật liệu + Điều kiện làm việc công trình, chi tiết máy, ngun nhân ngồi chưa xác định xác + Tầm quan trọng cơng trình, tính lâu dài cơng trình + Phương pháp cơng cụ tính tốn + Trình độ người thiết kế, thi công Như để đảm bảo điều kiện bền ta cần có: max N z max ⎢σz ⎢ = ≤ [ σ] F 2.6.2 Từ bất phương trình ta có ba tốn a) Kiểm tra bền: Biết [σ], F, Nz ta cần kiểm tra: max N z ≤ [ σ] (±5%) max ⎢σz ⎢ = F (1) b) Chọn kích thước mặt cắt ngang: Biết [σ], P, xác định [F] Ta xác định [F] biết [σ], tải trọng : max N z (2) F≥= [σ] c) Xác định tải trọng cho phép: Biết [σ], F, xác định [P] Ta xác định [P] từ max |Nz| ≤ [σ] F (3) Ta chọn F nhỏ để có kích thước theo tiêu chuẩn để dễ chế tạo (không thỏa mãn bất phương trình (2) P lớn (khơng thỏa mãn (3)) Thế lúc phải kiểm tra lại xem (1) có thỏa mãn khơng với chênh lệch khơng q 5% 40 Ví dụ : Cho hệ chịu lực hình 2.11 a) Kiểm tra bền AB b) Định số hiệu thép dùng cho BC ? Cho biết [σ] = 14KN/cm2; d = 2,2cm, P = 20KN y A d=2,2 cm cm NAB C P Giải : a) Tách nút B: B 12cm NBC P a) b) Hình 2.11: Kiểm tra bền xác định kích thước x B P − 20 = ⇒ N AB = 52kN 13 12 ∑ x = ⇒ N AB 13 + N BC = ⇒ N BC = −48kN ∑y = ⇒ N AB b) Tính ứng suất: σ AB = N AB 52 = = 13,8kN / cm < [σ] ,Thanh AB đủ bền F 3,14.(1,1) N BC 48 = 3,43cm2 [σ] 14 Tra bảng thép L chọn hai L25 × 25 ×4 có F = × 1,86 = 3,72 cm2 Khơng thể chọn thép L 25×25×3 lúc diện tích ghép 1,43×2 = 2,86 cm2 nhỏ q nhiều so với kết tính tốn (F = 3,43cm2), nên phải chọn số hiệu lớn L 25×25×4 làm Ví dụ 3: Một trục bậc chịu lực hình vẽ 2.12 Hãy tiến hành tính tốn theo ba trường hợp : a) Trục làm gang (vật liệu giịn) có [σ]k = KN/cm2, [σ]n= 15 KN/cm2, P=30 kN, F1=10 cm2, F2 = cm2 Dựa vào phương pháp mặt cắt, ta xác định vẽ biểu đồ lực dọc hình 2.12b N1= 4P = 120 KN σ1 = 12 KN/cm2 N2= -2P = -60 KN => σ2 = -15 KN/cm2 N3= P = 30 KN σ3 = 7,5kKN/cm2 |σ2| ≤ [σ]n = 15KN/cm2 σ3 < [σ]k σ1 > [σ]k: Đoạn I không bền Vậy trục không bền b) Trục làm vật liệu dẻo có [σ] = 16KN/cm2, P = 30KN, chọn kích thước mặt cắt ngang F1, F2 = ? c/ Xác định diện tích FBc: FBC ≥ 41 = 4P (1) F1 2P 4P P1= 6P (2) P2= 3P (3) 2P P F2 P P3=P (Nz) a) b) Hình 2.12: Tính độ bền trục a cho trường hợp vật liệu khác Theo công thức xác dịnh diện tích mặt cắt ngang : N 120 F1 ≥ = = 7,5cm [σ] 16 N 60 F2 ≥ = = 3,75cm [σ ] 16 N 30 F3 ≥ = = 1,85cm [σ] 16 Từ (1), (2), (3) chọn [F1] = 7,5cm2, [F2] = 3,75 cm2 c) Trục làm vật liệu dẻo có [σ] = 16KN/cm2, F1=10cm2, F2 = 4cm2 Xác định tải trọng cho phép [P] Từ điều kiện bền ta có: N1 = [σ] F1= 16.10 = 160KN => 4P ≤ 160 => P ≤ 40KN |N2| = 2P ≤ [σ] F2 = 16.4 = 64KN => P ≤ 32KN => P ≤ 64KN N3 = P ≤ [σ] F2 = 16.4 = 64KN Từ (4), (5), (6) chọn [P] =32kN (Giá trị nhỏ nhất) (1) (2) (3) (4) (5) (6) 2.7 BÀI TỐN SIÊU TĨNH 2.7.1 Bài tốn tĩnh định: Để tìm ẩn phản lực, nội lực mặt cắt ngang Nếu dùng phương trình cân tĩnh học độc lập thơi, ta gọi tốn tĩnh định Số phương trình cần tĩnh học độc lập = số ẩn số (các đại lượng cần xác định) 2.7.2 Bài tóan siêu tĩnh: Là toán mà dùng phương trình cân tĩnh học độc lập không giải tất phản lực, nội lực mặt cắt ngang (số ẩn số lớn số phương trình cân tĩnh học độc lập) Bậc siêu tĩnh n = số ẩn số - số phương trình cân tĩnh học độc lập 2.7.3 Cách giải tốn siêu tĩnh bậc n Ngồi phương trình cân tĩnh học độc lập, ta phải lập thêm n phương trình 42 biến dạng Ví dụ 4: Xác định phản lực A, B (xem hình 2.13) Thay ngàm A, B phản lực, ta có phương trình: a) P A a B b b) VA VB P P-VB P-VB c) VB VB Hình 2.13: Phương pháp giải toán siêu tĩnh VA + VB-P = (1) Để hệ cũ tương đương hệ mới, ta phải có biến dạng ∆l=0 + VA a (P − VA ) ⋅ b ⇔ − = ∆l = (2) Và từ EF EF P⋅a P⋅b Giải (1) (2), ta được: VB = từ (1) ta có VA = a+b a+b Khi có VA, VB việc vẽ biểu đồ lực dọc đơn giản (xem hình 2.13c) * Ví dụ 5: Tìm ứng suất hai (2 vật liệu có F1=F2= 12cm2) Giả sử AD tuyệt đối cứng (xem hình 2.14) Cắt xem hình 2.14b, xét cân phần ta có: ΣmA = => P.3a - N1.a - N2.2a = Vậy N1 + 2N2 = 3P (1) Chú ý: Ngoài phương trình mơ men lấy với điểm A, ta khơng thể tìm phương trình cân độc lập cả, nên phải xét thêm điều kiện biến dạng hệ: ∆1 a = = , với ∆1; ∆2 biến dạng dài ∆ 2a N l Nl ∆2 = 2∆1 => 2 = 1 (2) hình 2.14a.Ta có: EF EF N2 = 2N1 (3) mà l1 = l2 , suy ra: Thế (3) vào (1) => N1 = 96 (KN) (3) => N2 = 192 (KN) 43 a) a a N1 b) a N2 P A ∆1 P D ∆2 A D’ Hình 2.14: Tính ứng suất ủ dàng Từ giá trị Nà, N2 , ta dễ dầ tính ứng suất 2.8.THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI Thế biến dạng đàn hồi vấn đề lớn học vật rắn biến dạng, giúp ta giải số vấn đề học quan trọng Trong mục ta trình bày vấn đề xác định biến dạng đàn hồi chịu kéo nén tâm Từ kết suy luận tương tự cho dạng chịu lực khác Chúng ta xét chịu kéo hình 2.15a Lực P tăng từ đến giá trị P đó, q trình điểm đặt lực P di chuyển xuống lực sinh cơng A, cơng ngoại lực Công gây nên biến dạng có nghĩa tạo nên cho gọi biến dạng đàn hồi Ta tăng lực P thêm lượng P+dP biến dạng tăng lượng d∆l (hình 2.5b) Vậy lượng công tăng lên dA sinh lực P+dP tính: P P+dP P d∆l ∆l l A a) O P b) ∆l C ∆l d∆l Hình 2.15: Tính biến dạng đàn hồi chịu kéo nén tâm dA = (P+dP) d∆l =Pd∆l + dPd∆l Bỏ qua vô bé bậc cao dPd∆l, ta có: dA =Pd∆l Cơng biểu diễn phần có gạch chéo hình 2.15b Với lý luận công biến dạng đàn hồi lực kéo tăng từ đến giá trị P : A= ∫ P P dA = ∫ P ⋅ d∆l l Pl ∆l = , nên d∆l = dP Như ta biết EF EF Thay giá trị vào A ta có: 44 l P2 l P∆l dP = ⋅ = ∫0 EF EF Biểu thức diện tích tam giác OAC hình 2.15b Nếu bỏ qua mát lượng cơng nói biến dạng đàn hồi U : P2 l A=U= (2-11) 2EF A= P P⋅ CÂU HỎI TỰ HỌC: 2.1 Cho số ví dụ chịu kéo nén tâm 2.2 Cách thiết lập cơng thức tính ứng suất pháp mặt cắt ngang mặt cắt xiên ? 2.3 Cơng thức tính biến dạng, trường hợp thực tế gặp ? 2.4 Tóm tắt trình xác định đại lượng đặc trưng học vật liệu ? 2.5 Thế ứng suất nguy hiểm, σ0, ứng suất cho phép ? 3.6 Điều kiện bền dạng toán kéo nén tâm ? 2.7 Bài toán siêu tĩnh, cách giải toán siêu tĩnh ? - - 45 ... thuyết Môn Sức bền vật liệu sử dụng ba giả thuyết sau: 11 * Giả thuyết 1: Vật liệu có tính liên tục, đồng chất đẳng hướng - Vật liệu liên tục nghĩa vật liệu chiếm đầy không gian vật thể - Vật liệu. .. tác dụng lên vật thể 10 0.1.3 Đặc điểm - Môn Sức bền vật liệu khảo sát nội lực biến dạng vật thực, áp dụng kết Cơ học lý thuyết (sử dụng phương trình cân bằng) - Mơn Sức bền vật liệu môn khoa... đến môn Sức bền vật liệu - - ♣♣♣♣? ?- - 14 Chương LÝ THUYẾT VỀ NỘI LỰC 1.1 NỘI LỰC - PHƯƠNG PHÁP MẶT CẮT (PPMC) 1.1.1 Định nghĩa nội lực Trong vật thể, phần tử có lực liên kết để giữ cho vật thể