Sức bền vật liệu - Chương 8,9

Sức bền vật liệu (SBVL) là môn học kĩ thuật cơ sở của các ngành kĩ thuật (Xây dựng, Cơ khí, Cầu đường, Kiến trúc,...). Mục đích của SBVL là nghiên cứu các qui luật ứng xử, ứng suất và biến d

164 Chương 8 KHÁI NIỆM CHUNG VỀ TỪ BIẾN 8.1. MỞ ĐẦU. Trong giáo trình sức bền vật liệu, lí thuyết đàn hồi cũng như lí thuyết dẻo khi xác định ứng suất và biến dạng người ta chưa để ý đến yếu tố thời gian. Điều ấy có nghĩa là các biểu thức của ứng suất và biến dạng không chứa thời gian t, như vậy, người ta đã quan niệm rằng nếu tải trọng bên ngoài tác động lên vật thể không thay đổi thì ứng suất và biến dạng trong vật thể đó cũng không thay đổi theo thời gian. Nhưng trong thực tế ứng suất và biến dạng xuất hiện trong vật thể thay đổi theo thời gian ngay cả lúc tải trọng là không đổi và hiện tượng đó người ta gọi là hiện tượng từ biến của vật liệu. Có thể xét hiện tượng đó theo hai khía cạnh khác nhau: 1-Khi ứng suất không đổi nhưng biến dạng thay đổi theo thời gian thì gọi là hiện tượng bò hoặc là sau tác dụng. 2-Khi biến dạng là hằng số nhưng ứng suất thay đổi theo thời gian (thường là giảm theo thời gian) thì gọi là hiện tượng dão ứng suất. Hiện tượng từ biến không những xuất hiện trong vật rắn mà còn xảy ra đối với chất khí và chất lỏng nữa. Hiện tượng từ biến được nghiên cứu trong những điều kiện khác nhau về môi trường làm việc và tải trọng tác dụng lên vật thể. Đối với một số kim loại hiện tượng từ biến xảy ra rõ rệt khi chúng làm việc ở nhiệt độ cao như thép, hợp kim thép .Nhưng cũng có một số kim loại hiện tượng từ biến xuất hiện ngay ở nhiệt độ bình thường như nhôm, chì, ma-nhê .Nhưng cần chú ý rằng trong những điều kiện nhiệt độ đó, hiện tượng từ biến chỉ xảy ra khi ứng suất đạt một giá trị tối thiểu nào đó đối với mỗi vật liệu. Hiện tượng từ biến mới được nghiên cứu chưa lâu, nhưng việc nghiên cứu hiện tượng đó phát triển rất nhanh. Bởi vì ngày nay, trong các máy móc kĩ thuật nói chung đòi hỏi có nhiều chi tiết làm việc với tốc độ lớn nên tự nó sản sinh một lượng nhiệt lớn. Môi trường đó làm cho sự thay đổi của ứng suất và biến dạng theo thời gian là lớn. Đồng thời hiện nay xuất hiện nhiều vật liệu mới như chất dẻo, các chất tổng hợp hữu cơ .là những chất mà hiện tượng từ biến xảy ra ngay ở nhiệt độ bình thường và tốc độ biến dạng của nó khá lớn. Việc tính toán các chi tiết máy có kể đến ảnh hưởng của hiện tượng từ biến, hiện nay nó đóng một vai trò quan trọng trong lĩnh vực tính toán động lực học và độ bền của máy cũng như việc tính toán độ bền của các công trình kĩ thuật khác. Bởi vì hiện tượng từ biến cũng là nguyên nhân gây ra sự phá hỏng và gãy các chi tiết. Vì như sự phát triển của biến dạng theo thời gian quét cánh tuốc bin sẽ ảnh hưởng đến khe hở của chúng với vỏ tuốc bin. Vì vậy sẽ dẫn đến chỗ tuốc bin sẽ không làm việc được bình thường, thậm chí có khi còn gãy cánh tuốc bin. Thí dụ về hiện tượng dão có thể gặp ở một số trường hợp nối bằng bu lông, mới đầu mối nối còn chặt chẽ nhưng sau một thời gian làm việc giá trị ứng suất trong bu lông giảm đi theo thời gian (mặc dù biến dạng dài của bu lông là không đổi, vì khoảng cách từ ê-cu đến đầu bu lông là không đổi) cho nên mối nối bị lỏng ra. Cần nhấn mạnh rằng biến dạng do từ biến có thể là biến dạng đàn hồi hoặc là biến dạng dẻo. 8.2. NHỮNG ĐƯỜNG CONG TỪ BIẾN. Để tính toán về từ biến, người ta sử dụng những kết quả của sự nghiên cứu bằng thực nghiệm của vật liệu ở nhiệt độ cho sẵn nào đó. Dạng thí nghiệm cơ bản trong điều 165kiện từ biến vẫn là kéo đúng tâm tiến hành ở một nhiệt độ nhất định. Hiện tượng bò được xét khi ứng suất trong mẫu được giữ không đổi trong suốt thời gian bò. Dựa kết quả của thí nghiệm đó chúng ta có thể dựng biểu đồ về quan hệ giữa biến dạng tỉ đối ε và thời gian t trong hệ trục toạ độ Đề cát. Những đường cong này gọi là đường cong từ biến hay gọi là đường cong sau tác dụng. Trên hình 8.1 biểu diễn dạng đường cong sau tác dụng. Gía trị biến dạng ban đầu được biểu diễn bởi đoạn OA. Khi tải trọng tác dụng lên mẫu từ giá trị 0 đến một giá trị nào đó thì giá trị biến dạng trong mẫu cũng sẽ tăng từ 0 đến một giá trị ε0 nhất định. Biến dạng ε0 này có thể là biến dạng đàn hồi hoặc là biến dạng dẻo, giá trị này phụ thuộc vào ứng suất xuất hiện trong mẫu. Sau đó tải trọng không tăng cũng có nghĩa là ứng suất trong thanh không thay đổi, nhưng biến dạng của mẫu vẫn tăng với đường cong ABCD. Đường cong từ biến có thể chia làm 3 giai đoạn: 1. Giai đoạn 1: còn gọi là giai đoạn bò không ổn định. Trong giai đoạn này biến dạng tăng cùng với thời gian nhưng tốc độ biến dạng không đều nhau và xu hướng ngày càng giảm. Vì vậy AB là một đường cong. Tốc độ biến dạng dε/dt là đại lượng được xác định bởi tgα (góc nghiêng làm với tiếp tuyến đường cong với trục hoành). 2. Giai đoạn 2: còn gọi là giai đoạn từ biến ổn định, biểu diễn với đoạn BC. Giai đoạn này dài hơn nhiều so với giai đoạn một. Quan hệ giữa biến dạng và thời gian là hàm số bậc nhất, giai đoạn này tốc độ biến dạng là hằng số và có giá trị nhỏ nhất dtdminεε=. Tốc độ biến dạng này cũng phụ thuộc vào giá trị ứng suất ban đầu và nhiệt độ thí nghiệm. Đối với mỗi vật liệu khi nhiệt độ thí nghiệm đã xác định thì tốc độ biến dạng trong giai đoạn từ biến ổn định này phụ thuộc vào ứng suất. Người ta có thể chọn và biểu diễn quan hệ giữa tốc độ biến dạng trong giai đoạn này như sau: ( )nminaQσσε==& (8-1) Hay là: ()bexpKQminσσε==& (8-2) Trong đó: K, n, a và b là những hệ số phụ thuộc vào vật liệu, nhiệt độ thí nghiệm. Qua thực nghiệm người ta thấy rằng mối quan hệ hàm số (8-2) tương đôi phù hợp với thí nghiệm nhưng việc tính toán có phần phức tạp nên sau cùng người ta thường dùng biểu thức (8-1) để biểu diễn mối liên hệ giữa tốc độ biến dạng trong giai đoạn từ biến ổn định với giá trị ứng suất không đổi trong thanh. 3. Giai đoạn 3: thời kì này tốc độ biến dạng ngày một tăng lên. Trong giai đoạn này mẫu cũng có thể xuất hiện chổ thắt lại hoặc không có. En-đơ-rây bằng thực nghiệm chỉ rõ rằng: Nếu thí nghiệm kéo dài mà bảo đảm ứng suất trong mẫu là hằng số suốt quá trình thí nghiệm thì giai đoạn 3 này không xảy ra. Điều đó có nghĩa là bằng cách nào đó ta giữ được giá trị ứng suất trong thanh không thay đổi trong thí nghiệm bò thì mẫu thí nghiệm chỉ trải qua hai giai đoạn đầu. Tuy vậy việc tạo ra thí nghiệm để cho ứng suất là hằng số suốt quá trình thí nghiệm là rất khó, thường trong quá trình thí nghiệm ta giữ cho tải trọng tác dụng vào mẫu là hằng số, vì vậy giai đoạn ba này thường có thí nghiệm về từ biến. Oα ε0 t D C BAε Hình 8.1:Đường cong từ biến 166 Như ta đã nói ớ trên hiện tượng từ biến phụ thuộc rất nhiều vào nhiệt độ làm việc của chi tiết máy và giá trị ứng suất trong chi tiết đó. Vì vậy dạng của đường cong từ biến đối với mỗi vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ, ứng suất trong mẫu thí nghiệm. Trên hình 8.2 biểu diễn các dạng đường cong từ biến khi giá trị ứng suất trong thanh σ =const nhưng ở các nhiệt độ Tn thí nghiệm khác nhau. Những đường cong đó cho ta hình dung được ảnh hưởng của nhiệt độ, ứng suất đến quá trình từ biến. 8.3. PHÂN TÍCH QUÁ TRÌNH TỪ BIẾN CỦA VÂT LIỆU. Trên cơ sở những số liệu về thí nghiệm, nhiều nhà nghiên cứu về từ biến đã đưa ra những biểu thức toán học để mô tả quá trình từ biến của vật liệu nhưng các biểu thức đã có không hoàn toàn phù hợp với thực nghiệm. Cho đến nay người ta mới nghiên cứu được hoàn hảo đối với giai đoạn từ biến ổn định (giai đoạn 2). Người ta cho rằng tốc độ biến dạng từ biến trong giai đoạn hai Pε&dtdPε= là một hàm số đơn điệu đối với ứng suất σ: ( )σεfP= Như đã nêu ở trên, người ta thường sử dụng (8-1) vì nó vừa đơn giản vừa khá phù hợp với thực nghiệm nPaσε= . Để dễ khảo sát chúng ta biểu diễn phương trình này trên hệ toạ độ logarit: σεlgnalglgP+= (8-3) Rõ ràng trong hệ trục logarit thì quan hệ giữa tốc độ biến dạng từ biến và ứng suất là tuyến tính. Điều đó tương đối phù hợp với những số liệu thí nghiệm. Hình 8.4 biểu diễn những đồ thị quan hệ giữa ứng suất và tốc độ biến dạng của từ biến dεP/dt trong hệ toạ độ logarit theo (8-3) và những điểm thu được từ thực nghiệm bởi vì các điểm thí nghiệm không ở cách xa quá so với những đường thẳng theo phương trình (8-3) theo lí thuyết về thực nghiệm của quan hệ tốc độ biến dạng với ứng suất đối với thép Crôm-Molipden. Rõ ràng là kết quả thí nghiệm (biểu diễn bởi những “*” tương đối phù hợp với đường biểu diễn lí thuyết). Phương trình (8-1) hoặc (8-3) chỉ xác định hoàn toàn khi các hệ số a và n được xác định. Hình 8.2:Những đường cong từ biến khi ứng suất là hằng số và nhiệt độ T thay đổi T1>T2>T3>T4 t T1 T2T3 T4 ε t ε σ1σ2 σ3 σ4 Hình 8.3:Những đường cong từ biến khi nhiệt độ T =const σ1>σ2>σ3>σ4 Hình 8.4: Quan hệ từ biến trong hệ toạ độ logarit 5⋅10-8 10-7 5⋅10-7 10-6 5⋅10-6100 250 500 750 1000 lgσ KG/cm2 lgε 167 Dưới đây chúng ta trình bày phương pháp xác định các hệ số đó. Dựa vào một loạt đường cong từ biến ở cùng một nhiệt độ xác định với giá trị ứng suất khác nhau (như kiểu các đường cong biểu diễn như hình (8-3) của một vật liệu). Trên cơ sở những đường cong này chúng ta tìm được những đường cong tốc độ biến dạng cực tiểu dtdPε đối với các giá trị ứng suất tương ứng. Như vậy ta xác định được những điểm trong hệ toạ độ logarit lgεmin, lgσ (xem hình 8.5). Việc cuối cùng được tiến hành là vẽ một đường thẳng sao cho các điểm thí nghiệm nằm lân cận đường thẳng đó và ít nhất có hai điểm thực nghiệm trên đường thẳng này. Gỉa sử điểm 1 và 2 trên hình 8.5. Cách xác định các hệ số: Với điểm 1 và 2 trong hệ trục logarit chúng ta có các toạ độ của chúng là lgσ1, lgεPmin1 và lgσ2 , lgεpmin2. Như vậy theo công thức (8-3), chúng ta có : 11minPlgnalglgσε+= 22minPlgnalglgσε+= Từ hai phương trình này ta có thể xác định hằng số a và n theo các giá trị σ1, σ2, lgεPmin1, lgεPmin2 đã có trong bảng 8.1 giới thiệu giá trị của các hệ số đó đối với một số thép. Trên đây chúng ta căn bản đã trình bày sự phân tích giai đoạn từ biến ổn định. Việc nghiên cứu từ biến ở giai đoạn đầu (từ biến không ổn định) gặp rất nhiều khó khăn vì sự diễn biến khá phức tạp, những số liệu đáng tin cậy xác định giai đoạn này chưa đủ. Một phần vì giai đoạn này thưòng xuyên diễn ra quá ngắn so với giai đoạn 2. Nên trên thực tế có khi được bỏ qua hoặc thay đổi AB (trên hình 8.1) bằng đoạn thẳng kéo dài của đoạn BC cắt trục tung ở E để sử dụng trong việc tính toán sau này (xem hình 8.6). Sau một thời gian làm việc của chi tiết máy thì biến dạng toàn phần của nó là: Bảng 8.1 Loại thép Thành phầm hoá học % TC Gía trị ứng suất n a 1KGCMn2 12lgεP lgσHình 8.5: Cách xác định các hệ số giờOα K t Bε ε Hình 8.6:Đường cong từ biếnεP ε0 E tk A 168Thép các bon Thép Molipden Thép Crom-Molipden Thép Crom -Niken 0,43C 0,68Mn 0,20Si 0,13C 0,49Mn 0,25Si 0,52Mo 0,48C 0,49Mn 0,62Si 0,52Mo 1,20Cr 0,06C 0,50Mn 0,61Si 17,75Cr 9,25Ni 427 538 427 538 427 538 538 693 1000-1690 210-630 910-1410 560-1606 1410-2110 320-1000 880-1340 560-1000 6 3,9 5,4 4,6 6,35 3,35 4,4 4,3 0,20⋅10-23 0,14⋅10-15 1,20⋅10-23 0,60⋅10-19 0,145⋅10-28 0,175⋅10-15 0,21⋅10-19 0,17⋅10-18 Pk0tεεε⋅+= (8-4) Để mô tả hiện tượng từ biến có tính đến giai đoạn từ biến không ổn định nhiều nhà nghiên cứu về từ biến đã đưa ra những biểu thức giải tích. Dưới đây là một biểu thức biểu diễn mối liên hệ giữa εP,σ, thời gian t và nhiệt độ. QtQ1P+=ψε (8-5) Trong đó: Q1 và Q là hàm số ứng suất và nhiệt độ. ψ là hàm số đơn điệu giảm của thời gian. Với thời gian làm việc nhỏ thì thành phần thứ hai có thể bỏ và thành phần thứ nhất còn lại thường ứng với thời kì từ biến không ổn định. Thời gian làm việc khá lớn thì có thể bỏ qua thành phần thứ nhất và quá trình từ biến thể hiện qua thành phần thứ hai. Và ta thấy rằng mối liên hệ giữa biến dạng dẻo và thời gian trong giai đoạn hai là tuyến tính. Hàm số Q chính là tốc độ cực tiểu của biến dạng dẻo trong giai đoạn này. Dạng các hàm số Q, Q1 và ψ được giới thiệu trong công trình của Malinhin. Tuy vậy công thức (8-5) cũng khá phức tạp và cũng không thuận lợi cho việc tính toán. Vì vậy người ta thường sử dụng biểu thức sau đây để tính toán biến dạng từ biến: ( ) ( )tQPΩ⋅=σε Ω(t) là hàm số thời gian và bằng không khi t=0. Như đã nói ở trên, mặt khác của hiện tượng từ biến là hiện tượng dão tức là biến dạng không đổi trong suốt quá trình làm việc của chi tiết, nhưng ứng suất trong chi tiết thì giảm theo thời gian. Dưới tác dụng của lực dọc trong thanh xuất hiện biến dạng đàn hồi dẻo và bằng cách đó ta giữ cho biến dạng không đổi thì ứng suất trong thanh sẽ giảm theo thời gian. Như vậy biến dạng toàn phần là không đổi: ( )constoPy==+=εεεε (8-6) 169 Trong đó: εy-Biến dạng đàn hồi;εP-Biến dạng dẻo. Trên hình 8.7 trình bày đường cong thay đổi ứng suất theo thời gian của hiện tượng dão. Đường cong này có tính đặc trưng cho hiện tượng dão nói chung, nhưng tuỳ thí nghiệm cụ thể ta nhận được những đường cong khác nhau cho từng vật liệu. Rất nhiều chi tiết máy quan trọng làm việc trong điều kiện nhiệt độ cao với một giá trị ứng suất tương đối lớn, xuất hiện biến dạng từ biến. Những biến dạng này không được vượt quá một giới hạn xác định đối với mỗi chi tiết. Bởi vì biến dạng lớn sẽ dẫn đến sự phá huỷ chi tiết hoặc ảnh hưởng đến điều kiện kĩ thuật của chi tiết. Cho nên khi tính toán về từ biến của một chi tiết làm việc ở một điều kiện nào đó thì người ta cho biết sau một thời gian nhất định biến dạng của chi tiết không được vượt quá một giới hạn nhất định. Gía trị ứng suất sao cho biến dạng của chi tiết làm việc ở nhiệt độ đã cho không được vượt quá một giới hạn xác định thì gọi là giới hạn từ biến theo biến dạng cho phép. Giới hạn từ biến đối với mỗi vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ và đại lượng biến dạng cho phép trong khoảng thời gian làm việc của chi tiết. Trong bảng 8.2 trình bày một vài số liệu về giá trị biến dạng cho phép [ε] đối với một số chi tiết. Bảng 8.2. CHI TIẾT THỜI GIAN LÀM VIỆC ×1000 GIỜ [ε] Cánh tuốc bin Cánh tuốc bin hơi nước Xi lanh tuốc bin hơi nước 100 100 100 0,0001 0,0003 0,001 Trong trường hợp chi tiết máy làm việc trong trạng thái ứng suất đơn thì phương trình tính toán trong trường hợp này có dạng: [ ]εεεε≤+=Pk0t Nếu chúng ta xét giai đoạn từ biến không ổn định một cách gần đúng: Ty0Eσεε=≈ ET- Mô đun đàn hồi, εy- Biến dạng đàn hồi được tính bằng biểu thức (8-1) và phương trình trên viết dưới dạng ứng suất cho phép (giới hạn từ biến) ta có dạng phương trình: [ ][] []εσσ=+knTtaE (8-7) Nếu bỏ qua biến dạng đàn hồi thì công thức tính toán với điều kiện từ biến là: [][]n1kat⎭⎬⎫⎩⎨⎧=≤εσσ (8-8) Trong trường hợp biến dạng đàn hồi và biến dạng trong giai đoạn từ biến ổn định thì chúng ta có thể tính toán từ biến từ điều kiện tốc độ biến dạng phải không được vượt Hình 8.7:Đường cong của hiện tượng dão O t σ 170quá một giá trị nào đó. Giá trị ứng suất lớn nhất có thể đạt được trong chi tiết máy để cho biến dạng của chi tiết máy làm việc ở nhiệt độ cho sẵn bằng giá trị tốc độ biến dạng cho phép của từ biến ổn định. Đối với mỗi vật liệu thì giá trị ứng suất đó phụ thuộc vào nhiệt độ và giá trị tốc độ biến dạng cho phép của từ biến ổn định [εP]. Một vài số liệu về giá trị tốc độ biến dạng cho phép từ biến ổn định đối với một số chi tiết được giới thiệu trong bảng 8.3. Bảng 8.3. CHI TIẾT [ε]/1giờ Các tuốc bin Các bu lông, xi lanh Tuốc bin hơi nước Các vùng dẫn khí 10-9 10-8 10-6-10-10 Chung quy việc tính toán theo các giới hạn từ biến đều dẫn đến việc tính toán độ bền của vật liệu chịu tải trọng ở một nhiệt độ nhất định phụ thuộc vào thời gian lâu dài mà chi tiết cần làm việc. Để đặc trưng cho nó người ta đưa ra khái niệm độ bền lâu của vật liệu. Giới hạn độ bền lâu của vật liệu là giá trị ứng suất [σ] mà chi tiết bị phá hỏng sau một thời gian làm việc định sẵn có nhiệt độ làm việc tương ứng. Giới hạn này phụ thuộc vào nhiệt độ và khoảng thời gian cần thiết làm việc của mỗi chi tiết. Nếu thời gian làm việc kéo dài và nhiệt độ tăng lên thì giới hạn bền lâu của chi tiết giảm xuống. Thường quan hệ giữa giới hạn độ bền lâu của chi tiết và thời gian phá huỷ ở nhiệt độ tương ứng được biểu diễn trong hệ toạ độ Logarit: lgσ và lgt. Trên hình 8.8 biểu diễn quan hệ giữa giới hạn độ bền lâu và thời gian. Quan hệ có thể là đường thẳng (đường 1) hoặc đường gãy khúc. Đường biểu diễn 1 hoặc 2 phụ thuộc vào cấu tạo, dạng phá hỏng (giòn, dẻo, hoặc là vừa giòn vừa dẻo) của vật liệu. Vấn đề này qúa phức tạp ta không xét ở đây. 8.4. PHƯƠNG PHÁP MÔ HÌNH HOÁ TRONG TỪ BIẾN. Tính chất cơ lí của vật liệu rất phức tạp trong quá trình chịu lực, ở môi trường nhiệt độ lớn cũng như thời gian chịu tải kéo dài. Bởi vì trong những điều kiện đó cần tạo tình thể của vật liệu thay đổi cả về hình dạng và cách sắp xếp. Sự thay đổi đó sẽ dẫn đến sự thay đổi bản chất vật lí và cơ học của vật liệu. Quan hệ giữa ứng suất, biến dạng, tốc độ biến dạng và thời gian biến dạng của vật liệu trở nên khá phức tạp. Nói chung là mỗi vật liệu có thể có những tính chất cơ bản là đàn hồi, dẻo và chảy nhớt, những tính chất này phụ thuộc vào tải trọng và nhiệt độ mà chi tiết đang làm việc. Để mô tả tính chất đàn hồi của vật liệu, người ta biểu diễn bằng một lò xo (hình 8.9) gọi là vật thể của Hooke. lgσ lgt 1 2 O Hình 8.8: Giới hạn độ bền lâu P P Hình 8.9: Vật thể Hooke (Vật thể đàn hồi) 171Nếu xem lò xo có tính đàn hồi tuyệt đối thì tải trọng và độ dịch chuyển của lò xo tỉ lệ với nhau. Khi tải trọng không còn nữa thì độ dịch chuyển cũng hết. Tính chất chảy nhớt của vật liệu được diễn tả bởi vật thể của Newton (hình 8.10). Tốc độ dịch chyển của piston tỉ lệ với lực tác dụng nhưng tỉ lệ nghịch với độ nhớt của nước trong xylanh. Tính chất chảy dẻo của vật liệu được biểu diễn bởi vật thể Xanh -vơ- năng (hình 8.11). Vật thể này được thể hiện bởi một vật rắn trượt trên một mặt phẳng khi lực kéo thắng được lực ma sát thì vật thể chuyển động và khi bỏ tải thì vật thể không tự chạy về vị trí cũ được, tương tự như khái niệm biến dạng dẻo của vật liệu người ta còn gọi là vật thể ma sát khô. Với những vật thể cơ học này trong phương pháp mô hình hoá người ta có thể tiến hành ghép song song, nối tiếp hoặc hỗn hợp các vật thể này để mô tả tính chất cơ học của vật liệu, biểu diễn quan hệ giữa tải trọng, biến dạng, tốc độ biến dạng và thời gian khi chi tiết làm việc ở một nhiệt độ nhất định ứng với các trạng thái ứng suất khác nhau. Dưới đây chúng ta hãy xét một vài mô hình đơn giản nhất hiện nay. 8.5. NHỮNG MÔ HÌNH CƠ BẢN. 8.5.1. Mô hình Mác-Xoăn. Để mô tả tính chất vật liệu và quan hệ giữa các đại lượng biến dạng, ứng suất, tốc độ biến dạng và thời gian trong trạng thái ứng suất đơn, Mác -Xoăn đã đưa ra một mô hình đơn giản bằng cách mắc nối tiếp hai vật thể đàn hồi và chảy nhớt (hình 8.12). Như đã nói ở trên vật thể đàn hồi mô tả đại lượng dịch chuyển các điểm đặt lực tỉ lệ với giá trị lực tương ứng: KPy=δ (8-9) Trong đó: δy là độ dịch chuyển vật thể đàn hồi; P là lực tác dụng vào vật thể đàn hồi. Đối với vật thể chảy nhớt thì tốc độ dịch chuyển của điểm đặt lực tỉ lệ với lực đặt và tỉ lệ nghịch với độ nhớt: ηδPdtdy= (8-10) dtdyδ- Tốc độ dịch chuyển của điểm đặt lực tại vật thể chảy nhớt (Vật thể Newton); P- Lực tác dụng vào vật thể; η- Hệ số nhớt trong xi lanh. Với cách mắc của Mác-Xoăn thì do dịch chuyển khoảng cách các điểm đặt lực, δ sẽ là tổng cộng các dịch Hình 8.10: Vật thể Newton P P Lực ma sát P Hình 8.11: Vật thể Xanh -vơ- năng Hình 8.12: Mô hình Mác-Xoăn P P 172chuyển lò xo và piston trong hai vật thể đàn hồi và chảy nhớt nói trên. byδδδ+= (8-11) Chúng ta tiến hành vi phân phương trình (8-11) theo thời gian t, ta sẽ có: dtddtddtdbyδδδ+= (8-12) Thay (8-9) và (8-10) vào (8-12) chúng ta sẽ có : ηδPEdtKdPdtd+= (8-13) Chúng ta chuyển từ chuyển vị sang biến dạng, từ lực sang ứng suất và thay K=1/E (E là mô đun đàn hồi) thì (8-13) có dạng: ησσε+=dtdE1dtd (8-14) Biểu thức (8-14) là phương trình trạng thái theo mô hình Mác -Xoăn. Chúng ta hãy xét một vài tính chất của mô hình Mác-Xoăn. Từ phương trình (8-14) chúng ta thấy nếu ứng suất là hằng số thì biến dạng sẽ tăng với tốc độ biến dạng là không đổi và vật liệu sẽ chảy tương tự như chất lỏng nhớt. Thật vậy nếu ứng suất không đổi thì dσ=0 và từ (8-14) chúng ta có: ησε=dtd (8-15) là không đổi cho mỗi vật liệu. Vậy: constdtd=ε Khi giá trị biến dạng là không đổi từ phương trình (8-14), chúng ta có : 0dtdPE1=+ησ (8-16) Nếu ta sử dụng điều kiện ban đầu thì t=0, σ =σ(0), chúng ta có: ()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⋅=00ttexpσσ (8-17) Et0η= (8-18) t0 chính là giá trị thời gian mà sau thời gian đó ứng suất σ trong chi tiết sẽ giảm đi một lượng e=2,718 lần so với giá trị ứng suất ban đầu. Và giá trị này gọi là thời gian dão ứng suất thay đổi tính bằng biểu thức (8-17) theo thời gian sẽ tiến đến giới hạn số không. 8.5.2. Mô hình Fôi-tơ: Để mô tả tính chất vật liệu và quan hệ giữa các đại lượng biến dạng ứng suất, tốc độ biến dạng với thời gian, Fôi- tơ đã đưa ra một mô hình biến dạng bằng cách nối song song hai vật thể đàn hồi và chảy nhớt với nhau (hình 8.13). Khác với mô hình của Mác-Xoăn ở chỗ, theo cách này thì dịch chuyển của hai điểm đặt lực không phải bằng tổng chuyển dịch của hai vật thể đàn hồi và chảy nhớt mà giá trị lực tác dụng vào điểm đặt chính bằng tổng lực tác dụng lên hai vật thể đó: ByPPP += Sử dụng các biểu thức (8-9) và (8-11), ta có: 173 dtdKPb1yδηδ+= (8-19) Biểu thức tương tự đối với ứng suất σ và biến dạng tỷ đối sẽ là: εηεσddtE +⋅= (8-20) Phương trình này chính là phương trình trạng thái vật liệu theo mô hình Fôi-tơ. Giải phương trình vi phân (8-20) với điều kiện giá trị ứng suất là hằng số và thời điểm ban đầu t0=0 thì biến dạng cũng bằng không, ε=0. Chúng ta có: ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−= t2Eexp1Eσε (8-21) Từ biểu thức (8-21) chúng ta thấy biến dạng sẽ tăng theo quy luật hàm số mũ (hình 8.14). Đường cong biểu diễn trên hình (8.14) gọi là đường cong bò (sau tác dụng). Theo Fôi -tơ đường cong này nhận đường nằm ngang:Eσε= làm đường tiệm cận Nhìn vào biểu thức (8-21) chúng ta thấy rằng khi biến dạng là hằng số ε=const thì giá trị của ứng suất σ cũng là một hằng số không đổi. Như vậy biểu thức này không mô tả được hiện tượng dão và điều đó có nghĩa là mô hìmh của Fôi -tơ không áp dụng cho hiện tượng dão. Những nhà nghiên cứu về từ biến chỉ rõ rằng: Những mô hình của Mác-Xoăn, Fôi -tơ ít phù hợp với mô hình thí nghiệm. Những mô hình này có tính chất mô tả, tượng trưng cho quá trình cơ học của một loại vật liệu. Vì vậy để mô tả quá trình cơ học của vật liệu hiện nay, người ta có xu hướng ghép nhiều các vật thể với nhau cũng có thể ghép nối tiếp hay song song với mô hình Mác-Xoăn và Fôi -tơ. Xem các hình 8.15 và hình 8.16 Trên cơ sở cấu tạo mô hình và tính chất của các vật thể đơn giản đã biết, chúng ta thiết lập những phương trình ban đầu đối với mỗi mô hình mới thiết lập. Từ đó ta tiến hành giải các phương trình đó để tìm các quy luật cơ học tương ứng. Thế nhưng trên thực tế việc giải các phương trình đó gặp nhiều khó khăn về mặt toán học. Vì vậy đây mới chỉ là phương hướng phát triển của lĩnh vực mô hình hoá nói chung và lĩnh vực từ biến nói riêng. Cần nói thêm rằng mặc dù gặp nhiều khó khăn về mặt toán học, nhưng có những mô hình phức tạp có thể mô tả tính chất vật liệu tương đối đúng nên đây vẫn là phương hướng đang được nghiên cứu ngày càng nhiều cùng với sự phát triển của toán học. Hình 8.13: Mô hình Fôi -tơ P P Hình 8.14: Đường cong biến dạng theo mô hình Fôi-tơ Eσε t [...]... z )dz ( 9-5 3) g Trong đó: F=F(z) là diện tích của mặt cắt thay đổi; a-là khoảng cách của mép trong cánh tuốc bin đến trục quay (xem hình 9.7); z- là khoảng cách ở mặt đang tính đến mép trong; ω-là tốc độ góc; γ/g- là khối lượng của vật thể Trên cơ sở công thức ( 9-5 3) chúng ta tính ứng suất gần điểm đặt lực ly tâm P: l P γ ω2 ( 9-5 4) σ= + ⋅ F(ξ )(a + ξ )dξ F g F ∫ o Thay biểu thức ( 9-5 4) vào ( 9-5 2) chúng... được tính: 181 ( 9-3 2) 1 & γ = φ⋅rn Điều kiện cân bằng nội lực và ngoại lực với bài toán xoắn là: ( 9-3 3) R M = 2π ∫ r 2τdr ( 9-3 4) 0 Chúng ta đưa giá trị τ theo biểu thức ( 9-3 3) vào ( 9-3 4), chúng ta có: R M = 2πφ∫ r 2+ 1 n ( 9-3 5) dr 0 R Chúng ta kí hiệu: 2πφ∫ r 2+ 1 n 0 2πn dr = ⋅R 3n + 1 (3 n +1) n = Jn M ( 9-3 6) Jn Đưa đại lượng φ này vào công thức ( 9-3 3), chúng ta có: 1 M τ = ⋅rn ( 9-3 7) Jn Như đã thấy... thức đối với ứng suất σ chúng ta viết dưới dạng: ( 9-3 8) 1 n σ = φy Từ điều kiện cân bằng mô men nội lực và ngoại lực chúng ta có: h h 0 0 M = 2 ∫ σb( y)ydy = 2φ ∫ b( y) y h Chúng ta kí hiệu: J n = 2 ∫ b( y)y 0 183 1+ 1 n dy 1+ 1 n dy ( 9-3 9) ( 9-4 0) M ( 9-4 1) Jn Biểu thức ( 9-3 9) bây giờ được viết dưới dạng mới nhờ ( 9-4 1): 1 M n σ = ⋅y ( 9-4 2) Jn Từ ( 9-4 2) chúng ta thấy sự phân bố ứng suất pháp theo chiều... củng cố là : σV & εP = α β ( 9-2 0) εP Trong đó: α, β, v là những hằng số phụ thuộc vào nhiệt độ đối với mỗi vật liệu Biểu thức ( 9-2 0) là do Devier đưa ra Cũng có khi các mối quan hệ đó sẽ được đưa & ε ⋅ε c σ = b ln P P ( 9-2 1) ra dưới dạng: a 178 Trong đó: a, b, c các hệ số này phụ thuộc vào nhiệt độ ứng suất với mỗi vật liệu; σ c & sẽ bằng 0 khi ε P ⋅ ε P = a Tích phân ( 9-2 1) khi σ = const, chúng ta... Phương trình ( 9-2 4) diễn tả quá trình sau tác dụng, nó cho ta dạng đường cong tương tự, dạng đương cong ϕ (ε ) = σ Viết lại phương trình ( 9-2 4) với σ(t): t σ (t ) = ϕ (ε ) − ∫ F(t − τ )ϕ (τ )dτ ( 9-2 5) 0 Trong đó F(t-τ) là giải thức của k(t-τ) Nhân k(t-τ) có thể tìm được theo phương trình thực nghiệm của hiện tượng sau tác dụng Đối với hiện tượng sau tác dụng (σ=const), từ phương trình ( 9-2 4) chúng ta... biến: σ ε dε P = ρ b dt c P ( 9-2 2) Sau khi tích phân ( 9-2 2) với điều kiện σ=0 khi t=0, chúng ta có được: mσ b m ⎛a⎞ ⎟ ρ ⎝m⎠ εP = ⎜ ⋅ tm ( 9-2 3) 1 1+ c Phương trình ( 9-2 3) biểu diễn những đường cong sau biến dạng đơn giản và những đường cong này đồng dạng về hình học Để có quy luật dão ứng suất chúng ta thay εP từ công thức ( 9-2 3): σ (t ) σ 0 = + εP E E Và dựa vào công thức ( 9-2 2) Sau đó tiến hành tích... )dε ( 9-2 4) 0 Trong đó: ϕ(ε) là hàm số biến dạng đặc trưng bằng biểu đồ kéo đúng tâm vật liệu; σ(t) là hàm số ứng suất phụ thuộc vào thời gian; K(t-τ) là nhân (hoặc lõi) của phương trình tích phân; τ là biến số thời gian thay đổi từ 0 đến t Đối với σ(t) thì phương trình ( 9-2 4) là phương trinhg tích phân VonTer loại hai Biểu thức liên hệ giữa ứng suất, biến dạng và thời gian trong công thức ( 9-2 3) cho... = 2 ρ dz Lấy vi phân theo thời gian, chúng ta viết: d ⎛ 1 ⎞ d 2 ⎛ dy ⎞ ⎜ ⎟= ( 9-4 5) ⎜ ⎟ dt ⎜ ρ ⎟ dz 2 ⎝ dt ⎠ ⎝ ⎠ Từ phương trinh ( 9-3 8) và ( 9-4 1), chúng ta có: σ= ⎛M⎞ d ⎛1⎞ ⎜ ⎟ = a⎜ ⎟ ⎜J ⎟ dt ⎜ ρ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ n⎠ Đưa biểu thức này vào ( 9-4 5), chúng ta có: n n ⎛M⎞ d 2 ⎛ dy ⎞ ⋅ ( 9-4 6) ⎟ = a⎜ ⎟ 2 ⎜ ⎜J ⎟ dz ⎝ dt ⎠ ⎝ n⎠ Phương trình ( 9-4 6) cho phép xác định tốc độ phát triển độ võng và từ đó có thể tính được độ... , t ) ( 9-1 ) Khi kể đến thành phần biến dạng đàn hồi chung ta có: σ + f (σ , t ) ( 9-2 ) E Hiện nay có nhiều biểu thức giải tích biểu diễn mối liên hệ giữa biến dạng dẻo, ứng suất và thời gian Một trong các biểu thức đó là: ε P = Q(σ ) ⋅ Ω(t ) ( 9-3 ) Trong đó: Q(σ ) - Hàm ứng suất; Ω(t ) - Hàm thời gian Việc chọn hàm số Q(σ ) ở dạng hàm số mũ là được sử dụng rộng rãi hơn cả: ε P = σ n ⋅ Ω (t ) ( 9-4 ) ε=... lí thuyết t theo ( 9-1 ) Hình 9.1: Quan hệ giữa Chúng ta thấy giữa lí thuyết và thực nghiệm biến dạng với thời sai khác nhau rất nhiều gian từ biến Để khắc phục một phần sai lệch nói trên, H H.Malinhine đề nghị thay biểu thức ( 9-8 ) đối với t hàm số ψ có dạng: ψ = σ ∫ B(t ) n −1 ⋅ dt σ ( 9-1 1) 0 Trong đó B(t) là hàm số giảm dần về thời gian Chúng ta đưa biểu thức ( 9-1 1) vào biểu thức ( 9-7 ) thì nhận được . 100 0-1 690 21 0-6 30 91 0-1 410 56 0-1 606 141 0-2 110 32 0-1 000 88 0-1 340 56 0-1 000 6 3,9 5,4 4,6 6,35 3,35 4,4 4,3 0,20⋅1 0-2 3 0,14⋅1 0-1 5 1,20⋅1 0-2 3. của Hooke, Newton và Xanh -vơ -năng. 8.5. Cách mô hình hoá và các phương trình rút ra từ chúng. -- - -- - Chương 9 NHỮNG LÍ THUYẾT