ỔN ĐỊNH CỦA THANH THẲNG CHỊU NÉN ppt

BÀI GIẢNG SỐ : 10 ỔN ĐỊNH CỦA THANH THẲNG CHỊU NÉN 1 - MỤC ĐÍCH: Giới thiệu kháí niệm về ổn định, phương pháp tính tốn lực tới hạn củathanh chịu nén dọc.. Ta có thể xét sự chịu lực né

BÀI GIẢNG SỐ : 10

ỔN ĐỊNH CỦA THANH THẲNG CHỊU NÉN

1 - MỤC ĐÍCH:

Giới thiệu kháí niệm về ổn định, phương pháp tính tốn lực tới hạn củathanh chịu nén dọc

2 - YÊU CẦU:

Nắm khái niệm, xây dựng bài tốn Ơ-le, cơng thức Iasinki áp dụng để giải những bài tốn cụ thể

3 - THỜI GIAN:

04 Tiết ( Lý thuyết: 02 tiết, Bài tập: 02 tiết)

4 - VẬT CHẤT ĐẢM BẢO:

• Phòng học và các thiết bị giảng dạy kèm theo

• Bài giảng, bảng biểu nếu có

• Tài liệu tham khảo :

[1] Lê Hoàng Tuấn- Bùi Công Thành Sức bền vật liệu T1, T2 NXB KH&KT-1998

[2] Bùi Trọng Lựu- Nguyễn Văn Vượng Bài tập SBVL NXB Giáo dục-1996

5 - PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN:

a) Giờ lý thuyết :

• Giảng viên : Chỉ dẩn tài liệu nghiên cứu và diễn đạt những điều cần chú ý

• Học viên : Chú ý nghe và ghi những điều cần thiết

b) Giờ bài tập :

Giảng viên : Tổ chức kiểm tra 15 phút, gợi ý, giải đáp thắc mắc, ra bài tập Học viên : Làm bài kiểm tra và tự giải quyết bài tập.

c) Giờ thực hành :

Giảng viên : Hướng dẫn tóm tắt, làm thí nghiệm mẩu, phân nhóm.

Học viên : Nghiên cứu phương pháp, thực hành thí nghiệm dưới sự giám sát

của TNV, viết báo cáo thu hoạch

d) Nội dung – phương pháp cụ thể :

I KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH

Thời gian: 15 phút

Phương pháp: Thuyết trình

Trong bài mở đầu, chúng ta đã nói đến nhiệm vụ của môn Sức bền vật liệu là tính toán độ bền, độ cứng và độ ổn định của bộ phận công trình hay chi tiết máy dưới tác dụng của các nguyên nhân bên ngoài Các bài trước chúng ta đã khảo sát cách tính độ bền và độ cứng của thanh (hay hệ thanh) với các dạng chịu lực khác nhau Bài này chúng ta sẽ nghiên cứu lý thuyết về sự ổn định của thanh thẳng chịu nén đúng tâm

Ta có thể xét sự chịu lực nén đúng tâm của một thanh dài và mảnh (Hình10-1)để

có khái niệm về sự ổn định của một hệ đàn hồi Trên thanh tăng dần giá trị của lực P

ta thấy hiện tượng sau:

− Khi P còn nhỏ thanh chịu nén đúng tâm; nếu ta tác dụng một lực R rất nhỏ thì thanh bị cong đi một chút Nhưng nếu bỏ lực R đi thì thanh chở về vị trí ban đầu,

nó vẫn chịu nén đúng tâm Thanh ở trạng thái cân bằng ổn định.(Hình 10 -1c)

− Nếu tăng dần P lên đến một giá trị nào đó thanh vẫn thẳng Nhưng nếu ta tác dụng lực ngang R thì khi bỏ lực R đi thanh bị cong về một phía mà không trở về trạng thái ban đầu được Khi đó thanh ở trạng thái tới hạn Trị số lực P ứng với trạng thái tới hạn gọi là lực tới hạn Pth.(Hình 10 -1d)

− Nếu tăng P lớn hơn Pth thì thanh cong rất nhanh và rễ bị phá hoại đột ngột Khi đó thanh ở trạng thái mất ổn định, biến dạng tăng khá nhanh.(Hình10 -1e) Qua thực nghiệm ta thấy khi:

P = 1,010 Pth thì f = 9 % L

P = 1,015 Pth thì f = 22% L

Sự phân tích trên đối với thanh có thể so sánh với sự cân bằng của vật rắn hình cầu đặt trên mặt lõm hay mặt lồi (Hình 10 -2)

Hình 10-1

P

a)

P R

b)

P<Pth R

c)

P=Pth R

d)

P>Pth f

e)

− Nếu hình cầu được đặt trên mặt lõm ở vị trí thấp nhất (Hình 10-2a) thì nếu đẩy nó ra khỏi vị trí cân bằng này nó lại trở về ngay vị trí cân bằng khi bỏ lực đẩy đi Hình cầu ở vị trí cân bằng ổn định (như thanh chịu lực P < Pth)

− Nếu để hình cầu trên mặt lồi ở vị trí cao nhất thì nếu không có lực đẩy

ngang nó sẽ cân bằng tại vị trí này, nhưng nếu có lực đẩy ngang nó rời khỏi vị trí cân bằng và không thể trở về vị trí ban đầu được nữa Hình cầu ở vị trí cân bằng không ổn định (như thanh chịu lực P≥ Pth)

Trong thực tế ta thấy một số hiện tượng mất ổn định khác của hệ đàn hồi như dầm công son chịu lực, ống tròn chịu áp lực phân bố đều vv… Như vậy khi tính toán, thiết

kế ta phải tính đến cả sự mất ổn định của công trình hay chi tiết máy, tức là tải trọng tính toán phải nhỏ hơn tải trọng cho phép về mặt ổn định Cụ thể:

P ≤

od

th

K P

Ở đây: Pth là lực tới hạn được tính toán theo các kêt cấu cụ thể

Kođ là hệ số an toàn về ổn định

P là lực tác dụng lên kết cấu

Như vậy để giải được bài toán về ổn định, cơ bản là xác định được lực tới hạn

II BÀI TOÁN Ơ-LE

Thời gian: 35 phút Phương pháp: Thuyết trình, diễn giải

1 - Xác định lực giới hạn của thanh chịu nén đúng tâm

Bây giờ ta xác định lực tới hạn của thanh chịu nén đúng tâm Đây là trường hợp mất ổn định thường gặp nhất trong kỹ thuật Bài toán này được Ơ-le giải năm 1774 Xét thanh thẳng mặt cắt ngang không đổi liên kết khớp với 2 đầu, chịu lực nén đúng tâm P (Hình 10-3) Khi đạt đến lực tới hạn Pth thanh sẽ có dạng cong nào đó Thực tế cho thấy nếu liên kết ở 2 đầu là khớp cầu thì thanh sẽ cong trong mặt phẳng

có độ cứng bé nhất Bây giờ ta xác định lực tới hạn đó

Với hệ trục (như hình vẽ) trong mặt phẳng có độ cứng nhỏ, tại mặt cắt có toạ độ z thanh có độ cong là y(z) Bỏ qua trọng lượng bản thân của thanh thì nội lực trên mặt cắt là Mômen uốn:

a)

b)

Hình 10-2

Mz = Pth × y(z) (a)

Ta giả thiết rằng khi mất ổn định thanh vẫn làm việc trong giới hạn đàn hồi Do đó

ta sử dụng được phương trình vi phân gần đúng đường đàn hồi Ở đây thanh bị uốn trong mặt phẳng có độ cứng nhỏ nhất, nên phương trình có dạng:

min

J E

) z ( M )

z ( y

⋅

−

=

′′ (b)

Thay (a) vào (b) ta có:

min

th

J E

) z ( y P )

z ( y

⋅

⋅

−

=

hay: y (z) E.PJ y(z) 0

min

+

Ta đặt : α2 =

min

th

J E

p (d) thì phương trình (c) sẽ có dạng: y”(z) + α2.y(z) = 0 Đây là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 2; nghiệm của nó có dạng: y(z) = C1sinα.z + C2cosα.z (*)

Khi mất ổn định thanh bị cong đi nên y(z) không thể đồng nhất bằng 0 và dựa vào điều kiện biên: Khi z = 0 thì y(z) = 0 (1)

Khi z = L thì y(L) = 0 (2)

Từ điều kiện (1) ta tìm được C2 = 0, lúc này phương trình có dạng:

y(z) = C1sinα.z = 0

Từ điều kiện (2) ta có: y(L) = C1sinα.L = 0

Nếu C1 = 0 thì y(z) = 0 thanh luôn luôn thẳng Điều này trái với giả thiết

Vì vậy: sinα.L = 0 => α.L = n.π (n = 1, 2, 3,…) => α =

L

nπ

(**) Như vậy đường đàn hồi có dạng với phương trình:

L

n sin C )

z (

y = 1 π⋅ (10 -1) Thay (**) vào (d) ta tính được lực tới hạn sau:

2 2 2 min

th

L

J E n

P = π (10 -2)

L

y(z )

y

z z

P

Hình 10-4

Với những trị số n khác nhau thì lực tới hạn có những trị số khác nhau ứng với các dạng đường đàn hồi khác nhau Bảng 10-1 giới thiệu một số trường hợp với n = 1, 2, 3

Bảng 10-1

n

Hình dáng thanh khi mất ổn định Số nửa bướcsóng Lực tới hạn

1

1

2 min 2

L

J E

π

2

2

2 2 2 min

L

J E

2 π

3

3

2 2 2 min

L

J E

3 π

Trong thực tế bao giờ lực cũng tăng dần từ 0 đến một giá trị nhất định; nên chỉ cần P đạt tới giá trị nhỏ nhất trong bảng 10-1 (ứng với n = 1) là thanh đã mất ổn định Như vậy lực tới hạn đối với thanh chịu nén đúng tâm có liên kết khớp ở hai đầu là:

2 2min

th

L

J E

P = π (10 -3)

Công thức (10 -3) gọi là công thức Ơ-le cho trường hợp thanh có gối tựa ở 2 đầu

và lực tới hạn Pth còn được gọi là lực Ơ-le

Qua bảng 10-1 ta cũng thấy nếu lấy n > 1 thì đường đàn hồi sẽ gồm một số nửa bước sóng của đường hình sin (bằng n) Ta thấy rằng khi n > 1 dạng cân bằng cong của thanh sẽ không ổn định Hơn nữa dạng đó không có trong thực tế vì thanh đã bị phá hỏng trước khi đạt đến Pth ứng với n = 1 Tuy nhiên tại các điểm uốn của đường đàn hồi ứng với các Pth này ta đặt các gối tựa (Hình 10 -5) thì sự cân bằng sẽ trở nên

ổn định và thanh chịu được lực nén tăng lên rất nhiều Điều này đã được các nhà thiết

kế để ý đến khi tiến hành công việc của mình

Với những thanh có hai đầu liên kết khác nhau, bằng cách tính toán tương tự ta cũng có thể tìm được công thức tính lực tới hạn tương ứng Công thức có thể viết dưới dạng:

L

Pth

L/2

Pth

L/2

L/3

Pth

min2

2 th

) L (

J E P

µ

π

= (10 -4)

Ở đây µ là hệ số phụ thuộc vào liên kết ở hai đầu thanh Xem hình 10 –6

2 - Ứng suất tới hạn:

Khi lực P đạt tới Pth thì thanh vẫn còn thẳng nên thanh vẫn chịu nén thuần tuý, vì thế ta có thể tính ứng suất tới hạn:

2 min 2 2

min

2 th

th

) L (

i

E F

) L (

J E F

P

µ

π

= µ

π

=

=

Với

F

J

min = gọi là bán kính quán tính cực tiểu của mặt cắt ngang

Nếu ta đặt λ =

min

i

L

µ

( 10 -5) thì công thức tính ứng suất tới hạn có dạng:

σth = 2

2E

λ

π ( 10 – 6 )

L/2

P

L/2

L/3

P

Hình 10-5

µ=1

µ=2

P

µ=0,7

P

µ=0,5

P

µ=2

Hình 10-6

Ở đây ta thấy nếu σth càng lớn thì tính ổn định của thanh càng cao và ngược lại. Ứng suất tới hạn lại phụ thuộc E và λ Từ (10 -5)ta thấy λ phụ thuộc vào đặc trưng hình học của mặt cắt ngang, chiều dài và liên kết của thanh Thanh càng mảnh, càng dài và liên kết càng kém vững chắc thì hệ số λ càng lớn, thanh càng dễ mất ổn định

Vì thế ta gọi λ là độ mảnh của thanh

3 - Giới hạn áp dụng công thức Ơ-le

Công thức tính lực tới hạn và ứng suất tới hạn do Ơ-le tìm được trên dựa vào giả thuyết vật liệu còn làm việc trong gia đoạn đàn hồi Vì vậy nó chỉ đúng khi ứng suất trong thanh nhỏ hơn hoặc bằng giới hạn tỷ lệ σtl Như vậy điều kiện để áp dụng công thức Ơ-le là: σth ≤ σtl

Hay:

tl

2 tl

2

σ

π

≥ λ

⇒ σ

≤ λ

π

(10 -7)

Ta đặt : λ0 =

tl

2E

σ

π

(10 - 8)

Vậy điều kiện để áp dụng công thức Ơ-le là: λ ≥ λ0 (10 - 9) Theo (10- 8) ta thấy λ0 chỉ phụ thuộc vào vật liệu ( E, σtl ) và là hằng số với mỗi loại vật liệu Ví dụ: với thép CT3 thì λ0 = 100; gang có λ0 = 80; gỗ thông λ0 = 75 Những thanh thoả mãn (10 - 9) được gọi là thanh có độ có độ mảnh lớn

4 - Tính ổn định của thanh ngoài miền đàn hồi

Với những thanh có λ < λ0 ta gọi là thanh có độ mảnh vừa và bé, khi mất ổn định thì vật liệu làm việc ngoài miền đàn hồi nên không thể áp dụng công thức Ơ-le Trong trường hợp này, bằng thực nghiệm các nhà khoa học đã đưa ra nhiều công thức khác nhau để tính σth Được sử dụng nhiều hơn cả là công thức của Iasinki Công thức này áp dụng cho thanh có độ mảnh vừa ( λ1 ≤ λ ≤ λ0 ) Đó là công thức:

σth = a – b.λ ( 10 - 10)

Ở đây a, b là các hằng số phụ thuộc vào vật liệu (xem bảng 10 – 2) sau:

Bảng 10 – 2

Thép CT3

Thép CT5

Gang xám

Gỗ

31,0 34,5 77,6 2,93

0,114 0,124 1,200 0,0194 Với những thanh có độ mảnh bé λ ≤ λ1 thì ta coi như sự phá hỏng do mất ổn định đồng thời với sự phá hỏng do không đủ độ bền nên ta lấy:

σth = σ0 (10 - 11)

Ở đây σ0 là ứng suất nguy hiểm: σ0 = σc nếu vật liệu dẻo

σ0 = σB nếu là vật liệu dòn

Từ (10 -10) và (10 - 11) ta tìm được trị số độ mảnh giới hạn đối với các loại vật liệu khác nhau Ví dụ: với thép CT3 có σC = 24 kN / cm 2; theo bảng 9 –2 ta tính được:

σth = 31 – 0,114.λ1 = 24 => 61,4

114 , 0

24

31

λ

Như vậy với thép CT3 thì công thức (10- 10) được áp dụng khi 61,4 ≤ λ ≤ 100 Với những thanh có λ < 61,4 thì σth = 24 kN / cm 2

Mối quan hệ giữa σth và độ mảnh λ được

biểu diễn trên hình 10 –7

Nếu thanh có λ ≤ λ1 thì σth = σ0

Nếu thanh có λ1 ≤ λ ≤ λ0 thì đồ thị là

đường thẳng theo công thức Iasinki

Nếu λ ≥ λ0 thì đồ thị là đường Hypebon

theo công thức Ơ-le

Ví dụ 10-1: Thanh thép chữ IN 014

làm bằng thép CT3 có E = 2,1.104 kN / cm2, chiều dài L = 1,8 m Tính tải trọng cho phép trên thanh trong 2 trường hợp liên kết khác nhau như hình 10 –8 Lấy Kod = 3

BÀI LÀM

Thép IN014 co:











=

=

=

=

=

4 y

min

y min

2

cm 2 , 58 J

J

cm 75 , 1 i i

cm 9 , 18 F

• Với (Hình 10 -8a) ta có µ = 1 vậy:

λ = i .L 11.,18075 103 0 100

min

= λ

>

=

= µ

Vì vậy lực tới hạn được tính theo công thức Ơ-le:

) 180 1 (

2 , 58 10 1 , 2 14 , 3 )

L (

J E

4 2

2 min 2

µ

π

=

Tải trọng cho phép là: [ P ] = 126kN.

3

378 K

P

od

• Với (Hình 10 – 8b) ta có µ = 0,7 vậy:

0

100 72

75 , 1

180 7 , 0

λ

=

<

=

= λ

Vì vậy lực tới hạn được tính theo công thức Iasinki:

Hình10-7

σth

σ0

σtl

Đường Iasinki

Đường Ơ-le

Hình 10-8

a)

b)

Pth = F.σth = F.( a – b.λ ) = 18,9.( 31 – 0,114.72 ) = 431 kN.

Tải trọng cho phép: [ P ] = KP 4313 143,7kN.

od

Chú ý: Ở trên ta coi liên kết ở hai đầu thanh là tương đương theo mọi phía nên khi

mất ổn định thanh sẽ cong trong mặt phẳng có độ cứng nhỏ nhất và trong các công thức tính lực tới hạn ta lấy Jmin và imin để tính Nhiều trường hợp liên kết không như nhau theo mọi phía Ví dụ: một phía là ngàm trượt, phía kia lại tự do; khi đó ta phải tính độ mảnh theo các phương tương ứng và thanh sẽ mất ổn định trong mặt phẳng có

λ lớn nhất và phải dùng các thông số trong mặt phẳng này để tính toán

Ví dụ 10-2: Thanh thép CT3 có diện tích ngang hình chữ nhật a×b = 5×10(cm2), chiều dài h = 3 m Thanh được liên kết với nhau theo hai mặt phẳng đối xứng như hình 10 –10 Tính lực tới hạn trên thanh

BÀI LÀM

• Trên mặt phẳng xoz: ta có:

µ = 0,7 và Iy được tính như sau:

43 , 1 12

b b

a 12

b a F

J

i

3 y

=> i.h 0,17,.43300 147

y

λ

•Trên mặt phẳng yoz ta có:

µ = 1 và Ix được tính như sau:

2,86

12

a a

b 12

a b F

J i

3 x

86 , 2

300 1 i

h

x

λ Ở đây ta thấy λx < λy vì vậy thanh sẽ mất ổn

định trong mặt phẳng xoz Từ đó ta tính được lực tới hạn như sau:

147

10 1 , 2 14 , 3 10 5 E

b a

F

4 2

2 y

2 th

λ

π

⋅

= σ

=

III TÍNH KIỂM TRA THANH CHỊU NÉN

Thời gian: 20 phút

Phương pháp: Thuyết trình, diễn giải

• Với một thanh chịu nén bởi lực P thì trước hết nó phải thoả mãn độ bền

Có nghĩa là: [ ]

n F

n

σ

= σ

≤

Trong đó: σ0 là ứng suất nguy hiểm, n là hệ số an toàn theo điều kiện bền.

• Mặt khác nó còn phải thoả mãn điều kiện ổn định sau:

Hình 10-10

x

y

b

[ ]

od

th od

K F

Trong đó: [σ]ođ là ứng suất cho phép ổn định

[σ]th là ứng suất tới hạn tính như đã nói trên

Kođ là hệ số an toàn về ổn định, thường lấy lớn hơn hệ số an toàn

về bền

• Để tiện tính toán ta tìm mối quan hệ giữa [σ]ođ và [σ]n thông qua tỷ số ϕ :

[ ] [ ]0 od

th n

od

K

n

= σ

σ

= σ

σ

= ϕ

Ta thấy σth ≤ σ0 và Kođ ≥ n vì vậy ϕ luôn luôn nhỏ hơn hay = 1; ϕ được gọi là

hệ số giảm ứng suất cho phép Khi đó: [σ]ođ = ϕ.[σ]n

Hệ số ϕ phụ thuộc vào vật liệu, độ mảnh của thanh và hệ số an toàn về bền và ổn định Dựa các công thức trên ta tính được giá trị của ϕ qua bảng 10 – 3

Như vậy ta có công thức để kiểm tra thanh chịu nén theo ổn định là:

.[ ]n

F

P ≤ ϕ σ (10 - 12)

Bảng 10 – 3

Độ mảnh

λ

Giá trị hệ số ϕ đối với các loại vật liệu ThépCT2,CT3

190 0,21 0,17 0,14 0,09

• Từ công thức 10 –12 ta cũng có ba bài toán cơ bản Bài toán kiểm tra

và tìm tải trọng cho phép làm bình thường Riêng bài toán tìm kích thước mặt cắt ngang ta phải tiến hành theo cách đúng dần, vì trong phương trình có 2 ẩn số là ϕ và

F Trình tự giải bài toán này như sau:

1 Giả thiết ϕ0 = 0,5 để tính F theo công thức 10 – 12.

2 Từ F vừa có tính độ mảnh λ theo công thức 10 – 5

3 Từ λ tính được ta tra bảng 10 – 3 tìm được ϕ1 Nếu ϕ1 khác ϕ0 thì phải tính lại bước 1 với ϕ2 bằng trung bình cộng nhỏ của ϕ0 và ϕ1 Nếu ϕ1 gần bằng ϕ0 thì tiến hành kiểm tra theo điều kiện ổn định 10 – 12 Nếu 2 vế của biểu thức không sai khác nhau quá 5% thì dùng mặt cắt đã tính được

Ví dụ 9 – 3: Kiểm tra tính ổn định của thanh gỗ

chịu lực nén như hình 10 –11 Biết [σ]n = 1 kN/ cm2

BÀI LÀM

12 12

12 F

J i

4

Ta tính được: λ = i .h 0,35,.46400 58

min

=

=

µ

Tra bảng 10 –3 được ϕ = 0,73 ( dùng phép nội suy )

Vậy: σ = 0,7(kN/cm )

12

100 F

=

Ta cũng tính được: ϕ.[σ]n = 0,73×1 = 0,73 kN/cm2 Như vậy: σ =

F

P < ϕ.[σ]n Điều kiện ổn định đảm bảo

Ví dụ 9 – 4: Chọn kích thước mặt cắt ngang cho thanh chữ I bằng thép CT3 chịu

nén như hình 10 – 12 Biết thép có [σ] = 16 kN/ cm2

BÀI LÀM Theo sơ đồ ta có µ = 0,5

1 Chọn ϕ0 = 0,5 => F ≥ [ ] 0,5.16 40cm2

320

P

=

= σ

bảng thép ta chọn IN027 có: F = 40,2 cm2; imin= iy = 2,54 cm

2 Tính : λ = i .h 0,25,.54500 98,5

min

=

= µ

3 Tra bảng 10 –3 được:

Hình 10-11

P= 100kN

(12×12)cm

P=320kN

Hình 10-12