Ổn định của thanh thẳng chịu uốn dọc

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC DÂN LẬP HẢI PHÒNG - NGUYỄN THANH TÙNG ỔN ĐỊNH CỦA THANH THẲNG CHỊU UỐN DỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT CHUYÊN NGÀNH: KỸ THUẬT XÂY DỰNG CÔNG TRÌNH DÂN DỤNG & CÔNG NGHIỆP MÃ SỐ: 14.82.20.80.24 NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TS TRẦN HỮU NGHỊ Hải Phòng, 2017 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỞ ĐẦU Sự cần thiết vấn đề nghiên cứu Đối tƣợng, phƣơng pháp phạm vi nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Nội dung nghiên cứu CHƢƠNG TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH CÔNG TRÌNH 1.1 Khái niệm ổn định ổn định công trình 1.1.1 Khái niệm ổn định ổn định 1.1.1.1 Định nghĩa vể ổn định 1.1.1.2 Các trường hợp ổn định 1.2 Lịch sử phát triển lý thuyết ổn định công trình 13 1.3 Các phƣơng pháp xây dựng toán ổn định công trình 14 1.3.1 Phƣơng pháp tĩnh 14 1.3.2 Phƣơng pháp lƣợng 15 1.3.3 Phƣơng pháp động lực học 16 1.4 Bài toán ổn định uốn dọc phƣơng pháp giải 16 1.5 Nhận xét chƣơng 1: 19 CHƢƠNG 20 PHƢƠNG PHÁP NGUYÊN LÝ CỰC TRỊ GAUSS 20 2.1 Nguyên lí cực trị Gauss 20 2.2 Phƣơng pháp nguyên lý cực trị Gauss 22 2.3 Cơ hệ môi trƣờng liên tục: ứng suất biến dạng 29 2.4 Cơ học kết cấu 37 2.5 Phƣơng pháp nguyên lý cực trị Gauss phƣơng trình cân hệ 41 2.5.1 Phƣơng trình cân tĩnh môi trƣờng đàn hồi, đồng nhất, đẳng hƣớng 41 2.5.2 Phƣơng trình vi phân mặt võng chịu uốn 44 CHƢƠNG 47 PHƢƠNG PHÁP NGUYÊN LÝ CỰC TRỊ GAUSS 47 ĐỐI VỚI CÁC BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH UỐN DỌC CỦA THANH 47 3.1 Phƣơng pháp nguyên lý cực trị Gauss để giải toán ổn định công trình 47 3.1.1 Bài toán chịu nén uốn đồng thời 47 3.1.2 Bài toán chịu nén uốn cắt đồng thời 48 3.2 Bài toán ổn định chịu nén 48 3.3 Phƣơng pháp chuyển vị cƣỡng 50 3.4 Các bƣớc thực tìm lực tới hạn phƣơng pháp nguyên lý cực trị Gauss 51 3.5 Xác định lực tới hạn chịu nén có điều kiện biên khác 52 KẾT LUẬN 68 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 69 LỜI CẢM ƠN Tác giả xin trân trọng cảm ơn GS TS NGƢT Trần Hữu Nghị, hƣớng dẫn tạo điều kiện tốt cho tác giả hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn toàn thể quý Thầy Cô Khoa xây dựng Trƣờng Đại Học Dân lập Hải Phòng tận tình truyền đạt kiến thức quý báu nhƣ tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập, nghiên cứu thực đề tài luận văn Cuối cùng, xin chân thành bày tỏ lòng cảm ơn đến anh chị bạn đồng nghiệp hỗ trợ cho nhiều suốt trình học tập, nghiên cứu cung cấp tài liệu nhƣ góp ý quý báu để hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn! Hải Phòng, tháng năm 2017 Tác giả Nguyễn Thanh Tùng LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn công trình nghiên cứu thân tôi, số liệu nêu Luận văn trung thực Những kiến nghị đề xuất Luận văn cá nhân không chép tác giả Nguyễn Thanh Tùng MỞ ĐẦU Sự cần thiết vấn đề nghiên cứu Hiện nay, yêu cầu phát triển kinh tế đòi hỏi phải xây dựng công trình lớn nhẹ, thƣờng dùng chịu nén chiều dài lớn dễ bị ổn định Mặt khác thiết kế công trình, kiểm tra điều kiện bền điều kiện cứng không chƣa đủ để phán đoán khả làm việc công trình Trong nhiều trƣờng hợp, đặc biệt kết cấu chịu nén nén với uốn, tải trọng chƣa đạt đến giá trị phá hoại có nhỏ giá trị cho phép điều kiện bền điều kiện cứng nhƣng kết cấu khả bảo toàn dạng cân ban đầu Do đó, việc nghiên cứu ổn định công trình cần thiết có ý nghĩa thực tiễn Bài toán ổn định kết cấu đƣợc giải theo nhiều hƣớng khác nhau, phần lớn xuất phát từ nguyên lý lƣợng mà theo kết phụ thuộc nhiều vào cách chọn dạng hệ trạng thái lệch khỏi dạng cân ban đầu Phƣơng pháp nguyên lý cực trị Gauss GS TSKH Hà Huy Cƣơng đề xuất phƣơng pháp cho phép áp dụng nguyên lý cực trị Gauss - vốn đƣợc phát biểu cho hệ chất điểm - để giải toán học vật rắn biến dạng nói riêng toán học môi trƣờng liên tục nói chung Đặc điểm phƣơng pháp cách nhìn đơn giản cho phép tìm đƣợc kết xác toán Đối tƣợng, phƣơng pháp phạm vi nghiên cứu Trong đề tài này, tác giả áp dụng phƣơng pháp nguyên lý cực trị Gauss để giải toán ổn định đàn hồi thẳng đàn hồi tuyến tính, chịu tác dụng tải trọng tĩnh Mục đích nghiên cứu Xác định lực tới hạn thẳng chịu tác dụng tải trọng tĩnh Nội dung nghiên cứu  Trình bày tổng quan lý thuyết ổn định công trình  Trình bày phƣơng pháp nguyên lý cực trị Gauss  Áp dụng phƣơng pháp nguyên lý cực trị gauss để xây dựng giải toán ổn định đàn hồi chịu uốn dọc, chịu tác dụng tải trọng tĩnh CHƢƠNG TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH CÔNG TRÌNH 1.1 Khái niệm ổn định ổn định công trình 1.1.1 Khái niệm ổn định ổn định 1.1.1.1 Định nghĩa vể ổn định  Theo Euler - Lagrange: Ổn định khả công trình bảo toàn đƣợc vị trí ban đầu nhƣ dạng cân ban đầu tƣơng ứng với tải trọng trạng thái biến dạng, luôn giữ, có nhiễu loạn tuỳ ý từ bên gần với trạng thái không biến dạng ban đầu hoàn toàn trở trạng thái giai đoạn đàn hồi, giai đoạn đàn dẻo theo thƣờng lệ, trở trạng thái cách phần, nhƣ nguyên nhân ngẫu nhiên gây nhiễu loạn công trình bị triệt tiêu [10] Nói cách khác, ổn định tính chất công trình chống lại tác nhân ngẫu nhiên từ bên tự khôi phục hoàn toàn phần vị trí ban đầu dạng cân trạng thái biến dạng, tác nhân ngẫu nhiên bị đi[10]  Theo Liapunov [54] “Trạng thái cân hệ ổn định hệ trở lại hình dạng sau nhiễu loạn nhỏ tạm thời Nhiễu loạn nhƣ sinh lực nhỏ tác động lên hệ thời gian ngắn bỏ sau đó” Định nghĩa đƣợc hiểu ý nghĩa động lực : Điều ám dao động hệ tắt dần động đƣa vào nhờ nhiễu loạn tiêu tán nhanh Bởi sau thời gian ngắn chuyển động dừng lại cân tĩnh ban đầu đƣợc phục hồi Nhƣ theo hai định nghĩa ta đến kết luận: Vị trí công trình hay dạng cân ban đầu trạng thái biến dạng công trình đƣợc gọi ổn định hay không ổn định dƣới tác dụng tải trọng nhƣ sau gây cho công trình độ lệch nhỏ khỏi vị trí ban đâù dạng cân ban đầu nguyên nhân tải trọng có (còn gọi nhiễu) bỏ nguyên-nhân công trình có hay khuynh hƣớng quay trở trạng thái ban đầu Bƣớc độ công trình từ trạng thái ổn định sang trạng thái không ổn định gọi ổn định Giới hạn đầu bƣớc độ gọi trạng thái tới hạn công trình Tải trọng tƣơng ứng với trạng thái tới hạn gọi tải trọng tới hạn 1.1.1.2 Các trường hợp ổn định  Trƣờng hợp 1: Mất ổn định vị trí [31] Hiện tƣợng ổn định vị trí xảy toàn công trình đƣợc xem tuyệt đối cúng, không giữ nguyên đƣợc vị trí ban đầu mà buộc phải chuyển sang vị trí cân khác vị trí ban đầu (c) (a) Hình 1.1 (b) Xét viên bi cứng bề mặt cứng, Hình 1.1 Rõ ràng trƣờng hợp (a) cân viên bi ổn định Sau nhiễu loạn nhỏ cuối trở đáy cốc, suy giảm nhỏ xảy Trong trƣờng hợp (b) cân không ổn định, sau nhiễu loạn nhỏ viên bi không phục hồi vị trí ban đầu Trong trƣờng hợp (c), kích viên bi khỏi vị trí cân ban đầu lăn mặt phẳng ngang đến ngừng chuyển động, có vị trí cân khác với trạng thái cân ban đầu Trong trƣờng hợp ta nói trạng thái cân ban đầu phiếm định (không phân biệt) • Trƣờng hợp 2: Mất ổn định dạng cân [l ] Hiện tƣợng ổn định dạng cân trạng thái biến dạng xảy dạng biến dạng ban đầu vật thể biến dạng tƣơng ứng với tải trọng nhỏ, buộc phải chuyển sang dạng biến dạng khác trƣớc tính chất tải trọng đạt đến giá trị xảy biến dạng vật thể phát triển nhanh mà không xuất dạng biến dạng khác trƣớc tính chất tải trọng đạt đến giá trị Trong trƣờng hợp này, cân ngoại lực nội lực thực đƣợc tƣơng ứng với dạng biến dạng ban đầu mà thực đƣợc tƣơng ứng với dạng biến dạng khác dạng ban đầu tính chất thực đƣợc giảm tải trọng Hiện tƣợng khác với tƣợng ổn định vị trí điểm sau: Đối tƣợng nghiên cứu vật thể biến dạng tuyệt đối cứng, cân cần đƣợc xét với ngoại lực nội lực Mất ổn định dạng cân gồm hai loại: Mất ổn định loại (mất ổn định Euler), có đặc trƣng sau: Dạng cân có khả phân nhánh - Phát sinh dạng cân khác dạng cân ban đầu tính chất Trƣớc trạng thái tói hạn dạng cân ban đầu ổn định; sau trạng thái tới hạn dạng cân không ổn định Sự minh hoạ trƣờng hợp thể qua ví dụ sau: 10 Lƣợng cƣỡng theo (3.3) đƣợc viết nhƣ Z   M x1  M P1 1 dx   M x  M P  dx  l1 l2 0 sau: (b2) với điều kiện ràng buộc:  d y1   dy   dy  g1  EJ     0; g         dx  x l1  dx  x 0  dx  x 0 g  y1 x l1  y x 0  d2y   0; g  EJ   22   0; g  y  dx  x l x l g  y1 x l1  y        0     (c2) Ta đƣa toán tìm cực trị (b2) có điều kiện ràng buộc (c2) toán cực trị ràng buộc cách đƣa thừa số Lagrange vào phiếm hàm mở rộng nhƣ sau:    l1 l2 Hay :  M x1  M P1 1 dx   M x  M P  dx   0   g11  g 2  g 33  g 4  g 55  g 6  min  F  Z   g k k  k 1 (d2) Trong đó: 6 thừa số Lagrange ẩn toán lực để giữ cho hệ trạng thái lệch Bài toán có 45 ẩn số a1, a2, a3, , a9, b0, b1, b2, , b9, c0, c1, c2, c3, , c9, d0, d1, d2, , d9và 1, 2, 6 Phƣơng pháp nguyên lý cực trị Gauss xem biến dạng uốn độc lập với mômen tác dụng điều kiện cực trị phiếm hàm mở rộng F là:    ( 1 )dx   ( g k k )  0; (i  1, 2, 3, , 9)  ai ai k 1  l1    k i   M x  M P  (  )dx  ( g k k )  0; bi (i  0, 1, 2, , 9)  bi bi    ui  k  1, 2, 3, 4, 5,6   ( g k k )  0; k k 1  hi   M x1  M P1  l1 (e2) 57 Nhƣ vậy, từ điều kiện cực trị phiếm hàm mở rộng F ta nhận đƣợc 25 phƣơng trình đại số tuyến tính để xác định ẩn số Có thể giải toán cách sử dụng phần mềm Symbolic Matlab Khi giải phƣơng trình xong thấy thông số a1, a2, a3, , a9, b0, b1, b2, , b9, 6, 2, 6 hàm lực P đƣa giá trị thừa số Lagrange 6, ta có: 6=.27778x109EJy0(.250291073EJ16+.72390x1016P16l32+.16909x1030EJ2P14l28.44612x1044EJ5P11l22+.20784x1067EJ12P4l8+.60434x1048EJ6P10l20-.41454 x1052EJ7P9l18+.15560x1071EJ14P2l4+.14130x1056EJ8P8l16-.8765x1064EJ11P5l10x1059EJ9P7l14+.19792 23564 x1062EJ10P6l12-.38395 x1072EJ15Pl2-.69992 x1023EJxP15l30.27914 x1035EJ3P13l26+.16447 x1040EJ4P12l24-.25802 x1069EJ13P3l6)=0 (f2) Ta thấy trƣờng hợp này, 6 đa thức bậc 16 P Giải (f2) theo P ta nhận đƣợc 16 nghiệm Cách giải phƣơng trình (f2) nhƣ trình bày chƣơng 1, ta dùng phƣơng pháp lặp Newton phƣơng pháp Cát tuyến để giải ta dùng chƣơng trình sẵn có Matlab để giải Giải phƣơng trình (6=0) theo P ta nhận đƣợc 16 nghiệm 16 lực tới hạn Pth hệ, đƣa ba nghiệm lần lƣợt là:P1th= 9.8696 EJ ; l2 P2th= 88.8341 39.4784 EJ l2 ;P3th= Hình 3.4Ba đƣờng độ võng EJ ; l2 Dạng trục võng (véc tơ riêng) tƣơng ứng với lực tới hạn xác (3 trị riêng xác) nhƣ hình 3.4 58 Ví dụ 3: Thanh đầu ngàm - đầu khớp: Xác định lực tới hạn cho chịu lực nhƣ (hình 3.5a) Lời giải: Chia thành đoạn nhƣ hình 3.5 Đoạn (0  x  l1 ) , đoạn (0  x  l ) Nếu nhƣ điểm (x=l1) cho lệch đoạn y0 bị cong theo đƣờng đàn hồi y1(x) y2(x) nhƣ hình 3.5b tác dụng lực mômen uốn Hình 3.5 Thanh ngàm - khớp Py1 Py2 Gọi M1x , M2x mômen uốn lần lƣợt lúc trạng thái cân trạng thái cân nén uốn (hình 3.5b) Viết biểu thức đƣờng độ võng cho đoạn dƣới dạng đa thức nhƣ sau:    (a3) i y   bi x  b0  b1 x  b2 x  b3 x  b4 x  b5 x  b6 x  b7 x  b8 x  b9 x ;  i 0 y1   x i  a1 x  a2 x  a3 x  a4 x  a5 x  a6 x  a7 x  a8 x  a9 x ; i 1 ai, bi, hệ số cần xác định Biến dạng uốn  đoạn d y1 d y2 1   ;    dx dx Nhƣ có nội lực mômen uốn Mx M x1  EJ ; M x  EJ lực P gây mômen uốn M P1  Py1 ; M P  Py góc xoay momen uốn sinh 1  dy1 dy ; 2  dx dx 59 Lƣợng cƣỡng theo (3.3) đƣợc viết nhƣ Z   M x1  M P1 1 dx   M x  M P  dx  l1 l2 0 sau: (b3) với điều kiện ràng buộc:  dy   dy   dy  g1     0; g        0; g  y1 x l1  y  dx  x 0  dx  x l1  dx  x 0  d y2  g  EJ    0; g  y  dx  x l x l  0; g  y1 x l1  y  x 0   0;      (c3) Ta đƣa toán tìm cực trị (b3) có điều kiện ràng buộc (c3) toán cực trị ràng buộc cách đƣa thừa số Lagrange vào phiếm hàm mở rộng nhƣ sau:   k 1  l1 l2 Hay :  M x1  M P1 1 dx   M x  M P  dx   0   g11  g 2  g 33  g 4  g 55  g 6  min  F  Z   g k k  (d3) Trong đó: 6 thừa số Lagrange ẩn toán lực để giữ cho hệ trạng thái lệch Bài toán có 45 ẩn số a1, a2, a3, , a9, b0, b1, b2, , b9, c0, 1, 2, 6 Phƣơng pháp nguyên lý cực trị Gauss xem biến dạng uốn độc lập với mômen tác dụng điều kiện cực trị phiếm hàm mở rộng F là:    ( 1 )dx   ( g k k )  0; (i  1, 2, 3, , 9)  ai ai k 1  l1    k i   M x  M P  (  )dx  ( g k k )  0; bi (i  0, 1, 2, , 9)  bi bi    ui  k  1, 2, 3, 4, 5,6   ( g k k )  0; k k 1  hi   M x1  M P1  l1 (e3) Nhƣ vậy, từ điều kiện cực trị phiếm hàm mở rộng F ta nhận đƣợc 25 phƣơng trình đại số tuyến tính để xác định ẩn số Có thể giải 60 toán cách sử dụng phần mềm Symbolic Matlab Khi giải phƣơng trình xong thấy thông số a1, a2, a3, , a9, b0, b1, b2, , b9, 6, 2, 6 hàm lực P đƣa giá trị thừa số Lagrange 6 6=2777.8(.91761x1015P17l34-.88868x1025EJP16l32+.14502x1033EJ2P15l30- 53676x 1039EJ3P14l28+.11596x1045EJ4P13l26-.91910x1049EJ5P12l24+.33502x1054EJ6P11l22.61348x1058EJ7P10l20+.57778x1062EJ8P9l18-.27586x1066EJ9P8l16+.64944x 1069EJ10P7l14-.75431x1072EJ11P6l12+.45183x1075EJ12P5l10-.14389 x1078EJ13P4l8+ 24221 x1080EJ14P3l6-.2045 x1082EJ15P2l4+.7581x1083EJ16Pl2-.8740 x1084EJ17) =0 (f3) Ta thấy trƣờng hợp này, 6 đa thức bậc 17 P Giải (f3) theo P ta nhận đƣợc 17 nghiệm Đó lực tới hạn Pth cần tìm hệ, đƣa ba nghiệm lần lƣợt là: P1th= 20.1907 EJ EJ ;P2th= 59.6795 2 l l ;P3th= 118.9907 EJ ; l2 Dạng trục võng (véc tơ riêng) tƣơng ứng với lực tới hạn xác (3 trị riêng xác) nhƣ hình 3.6 Hình 3.6 Đƣờng độ võng 61 Ví dụ 4: Thanh hai đầu ngàm Xác định lực tới hạn cho chịu nén tâm hai đầu liên kết ngàm chịu lực P, hình 3.7a Tƣơng tự nhƣ ví dụ trên, ta viết đƣợc biểu thức đƣờng độ võng cho đoạn dƣới dạng đa thức nhƣ sau: Hình 3.7 Thanh hai đầu ngàm y1   x i  a1 x  a x  a3 x  a x  a5 x  a6 x  a7 x  a8 x  a9 x ;   i 1  (a4) i y   bi x  b0  b1 x  b2 x  b3 x  b4 x  b5 x  b6 x  b7 x  b8 x  b9 x ;  i 0 ai, bj, ci, di hệ số cần xác định Lƣợng cƣỡng theo (3.3) đƣợc viết Z   M x1  M P1 1 dx   M x  M P  dx  l1 l2 0 nhƣ sau: (b4) với điều kiện ràng buộc:  dy   dy   dy  g1     0; g      0  dx  x 0  dx  x l1  dx  x 0 g  y1 x l1  y x 0  dy   0; g     0; g  y  dx  x l g  y1 x l1  y  x l      0     (c4) Ta đƣa toán tìm cực trị (b4) có điều kiện ràng buộc (c4) toán cực trị ràng buộc cách đƣa thừa số Lagrange vào phiếm hàm mở rộng nhƣ sau: 62    l1 l2 Hay :  M x1  M P1 1 dx   M x  M P  dx  0   g11  g 2  g 33  g 4  g 55  g 6  min  F  Z   g k k  k 1 (d4) Trong đó: 6 thừa số Lagrange ẩn toán lực để giữ cho hệ trạng thái lệch Bài toán có 25 ẩn số a1, a2, a3, , a9, b0, b1, b2, , b9và 1, 2, 6 Phƣơng pháp nguyên lý cực trị Gauss xem biến dạng uốn độc lập với mômen tác dụng điều kiện cực trị phiếm hàm mở rộng F là:    ( 1 )dx   ( g k k )  0; (i  1, 2, 3, , 9)  ai ai k 1  l1    k i   M x  M P  (  )dx  ( g k k )  0; bi (i  0, 1, 2, , 9)  bi bi    ui  k  1, 2, 3, 4, 5,6   ( g k k )  0; k k 1  hi   M x1  M P1  l1 (e4) Nhƣ vậy, từ điều kiện cực trị phiếm hàm mở rộng F ta nhận đƣợc 25 phƣơng trình đại số tuyến tính để xác định ẩn số Có thể giải toán cách sử dụng phần mềm Symbolic Matlab Khi giải phƣơng trình xong thấy thông số a1, a2, a3, , a9, b0, b1, b2, , b9, 6, 2, 6 hàm lực P đƣa giá trị thừa số Lagrange 6 6=-.27778x109(.21741x1020xl32P16-.65451 x1027xl30P15EJ+.44161 x1034xl28P14EJ2-.97663e39xl26P13EJ3+.78445 x1044xl24P12EJ4-.29005 x1049xl22P11EJ5+.54209 x1057xl18P9EJ7+.26715 x1061xl16P8EJ8-.69703 x1053xl20P10EJ6-.52785 x1064xl14P7EJ9+.95246x 1067xl12P6EJ10- 70260x1070xl10P5EJ11+.28323x1073xl8EJ12P4-.61903x1075xl6EJ13P3+ 70298x1077xl4EJ14P2-.37198x1079xl2EJ15P+.69135x1080EJ16)=0 (f4) 63 Ta thấy trƣờng hợp này, 6 đa thức bậc 16 P Giải (f4) theo P ta nhận đƣợc 16 nghiệm Đó lực tới hạn Pth cần tìm hệ, đƣa ba nghiệm lần lƣợt là: P1th= 39.4784 80.7637 EJ l2 ;P2th= EJ EJ ;P3th= 158.3106 ; l l Dạng trục võng (véc tơ riêng) tƣơng ứng với lực tới hạn xác (3 trị riêng xác) nhƣ hình 3.8 Hình 3.8.Đƣờng độ võng Ví dụ 5: Thanh ngàm - ngàm trượt Xác định lực tới hạn cho chịu lực nhƣ (hình 3.9a) Chia thành đoạn (1 2) nhƣ (hình 3.9b) Tƣơng tự nhƣ ví dụ trên, ta viết đƣợc biểu thức đƣờng độ Hình 3.9 Thanh ngàm - ngàm trƣợt võng cho đoạn dƣới dạng đa thức nhƣ sau:    (a5) i y2   ci x  c0  c1 x  c2 x  c3 x  c4 x  c5 x  c6 x  c7 x  c8 x  c9 x ;  i 0 y1   x i  a1 x  a2 x  a3 x  a4 x  a5 x  a6 x  a7 x  a8 x  a9 x ; i 2 ai, bi, ci, di hệsố cần xác định Biến dạng uốn  đoạn 64 d y1 d y2 1   ;    dx dx Nhƣ có nội lực mômen uốn Mx M x1  EJ1 ; M x  EJ lực P gây mômen uốn M P1  Py1  y2 xl ; M P  Py2  y2 xl  góc xoay momen uốn sinh 1  dy1 dy ; 2  dx dx Lƣợng cƣỡng theo (3.3) đƣợc viết nhƣ sau: Z   M x1  M P1 1 dx   M x  M P  dx  l1 l2 0 (b5) với điều kiện ràng buộc:  dy   dy   dy  g1     0; g         dx  x 0  dx  x l1  dx  x 0 g  y1 x l1  y x 0  dy   0; g     0; g  y  dx  x l x l      y  0   (c5) Ta đƣa toán tìm cực trị (b5) có điều kiện ràng buộc (c5) toán cực trị ràng buộc cách đƣa thừa số Lagrange vào phiếm hàm mở rộng nhƣ sau:    l1 l2 Hay :  M x1  M P1 1 dx   M x  M P  dx   0   g11  g 2  g 33  g 4  g 55    F  Z   g k k  k 1 (d5) Trong đó: 5 thừa số Lagrange ẩn toán lực để giữ cho hệ trạng thái lệch Bài toán có 24 ẩn số a1, a2, a3, , a9, b0, b1, b2, , b9, 1, 2, 5 Phƣơng pháp nguyên lý cực trị Gauss xem biến 65 dạng uốn độc lập với mômen tác dụng điều kiện cực trị phiếm hàm mở rộng F là:    (  )dx   ( g k k )  0; a i (i  1, 2, 3, , 9)  a i a i k 1  l1    k i   M x  M P  (  )dx  ( g k k )  0; bi (i  0, 1, 2, , 9)  bi bi    ui  k  1, 2, 3, 4,   ( g k k )  0; k k 1  hi   M x1  M P1  l1 (e5) Nhƣ vậy, từ điều kiện cực trị phiếm hàm mở rộng F ta nhận đƣợc 24 phƣơng trình đại số tuyến tính để xác định ẩn số Có thể giải toán cách sử dụng phần mềm Symbolic Matlab Khi giải phƣơng trình xong thấy thông số a1, a2, a3, , a9, b0, b1, b2, , b9, 5, 2, 5 hàm lực P đƣa giá trị thừa số Lagrange 5 5=22500.y0(-.43998x1035l28P14EJ3+.91761 x1015l34P17+.19859 x1030l30P15EJ2+ 35406x1040l26P13EJ4-.24065x1053l20P10EJ7+.24601x1049l22P11EJ6.28846x1023l32P16EJ+ 14076x1069l10P5EJ12-.23149E75l4P2EJ15-.33887x1066l12P6EJ11+.44936 x1063l14P7EJ10-.32360x1060l16P8EJ9+.38919x1073l6P3EJ14+.56711x1076l2PEJ16.32100x1071l8P4EJ13-.13122 x1045l24P12EJ5+.12266 x1057l18P9EJ8-.36872 x1077EJ17)=0(f5) Ta thấy trƣờng hợp này, 5 đa thức bậc 17 P Giải (f5) theo P ta nhận đƣợc 17 nghiệm Đó lực tới hạn Pth cần tìm hệ, đƣa ba nghiệm lần lƣợt là: 66 P1th= 9.8696 EJ EJ ;P2th= 39.4784 2 l l ; P3th= 88.8285 EJ ; l2 Dạng trục võng (véc tơ riêng) tƣơng ứng với lực tới hạn xác (3 trị riêng xác) đầu Hình 3.10 Đƣờng độ võng tiên nhƣ hình 3.10 67 KẾT LUẬN Sử dụng thành công phƣơng pháp nguyên lý cực trị Gauss toán ổn định uốn dọc thẳng đàn hồi tuyến tính, chịu tác dụng tải trọng tĩnh Các kết tính toán hoàn toàn trùng khớp với kết nhận đƣợc phƣơng pháp khác Phƣơng pháp dùng chuyển vị cƣỡng để giải toán ổn định cho ta phƣơng trình đa thức xác định lực tới hạn mà thông qua phép biến đổi phức tạp để đƣa ma trận ma trận đƣờng chéo Về mặt toán học, dùng chuyển vị cƣỡng nên toán ổn định toán có vế phải nên dùng phƣơng pháp giải phƣơng trình vi phân trình bày chƣơng 68 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO I TIẾNG VIỆT [1] Hà Huy Cƣơng (2005), Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss, Tạp chí Khoa học kỹ thuật, IV/ Tr 112 118 [2] Nguyễn Văn Liên, Nguyễn Phƣơng Thành, Đinh Trọng Bằng (2003), Giáo trình Sức bền vật liệu, Nhà xuất xây dựng, tái lần thứ 3, 330 trang [3] Nguyễn Phƣơng Thành(2002), Nghiên cứu trạng thái ứng suất – biến dạng nhiều lớp chịu tải trọng động có xét lực ma sát mặt tiếp xúc, Luận án tiến sỹ kỹ thuật [4] Vƣơng Ngọc Lƣu(2002), Nghiên cứu trạng thái ứng suất – biến dạng sàn Sandwich chịu tải trọng tĩnh động, Luận án tiến sỹ kỹ thuật [5] Trần Hữu Hà(2006), Nghiên cứu toán tương tác cọc tác dụng tải trọng, Luận án tiến sỹ kỹ thuật [6] Phạm Văn Trung (2006), Phương pháp Tính toán hệ dây mái treo, Luận án Tiến sỹ kỹ thuật [7] Vũ Hoàng Hiệp (2007), Nghiên cứu trạng thái ứng suất - biến dạng dầm nhiều lớp chịu tải tĩnh động, Luận án tiến sỹ kỹ thuật, Hà nội [8] Nguyễn Văn Đạo (2001), Cơ học giải tích, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội, 337 trang [9] Nguyễn Văn Đạo, Trần Kim Chi, Nguyễn Dũng (2005), Nhập môn Động lực học phi tuyến chuyển động hỗn độn Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội [10] Lều Thọ Trình, Đỗ Văn Bình (2006), Giáo trình ổn định công trình, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật 69 [11] Vũ Hoàng Hiệp (2008), Tính kết cấu có xét biến dạng trượt, Tạp chí xây dựng số7 [12] Đoàn Văn Duẩn, Nguyễn Phƣơng Thành (2007), Phương pháp tính toán ổn định thanh, Tạp chí Xây dựng số 12 (Tr41-Tr44) [13] Đoàn Văn Duẩn (2007), Phương pháp nguyên lý Cực trị Gauss toán ổn định công trình, Luận văn thạc sỹ kỹ thuật [14] Đoàn Văn Duẩn (2008), Phương pháp tính toán ổn định khung, Tạp chí Xây dựng số 01 (Tr35-Tr37) [15] Đoàn Văn Duẩn (2008), Nghiên cứu ổn định uốn dọc có xét biến dạng trượt, Tạp chí Xây dựng số 12 (Tr33-Tr37) [16] Đoàn Văn Duẩn (2009), Phương pháp nghiên cứu ổn định tổng thể dàn, Tạp chí Xây dựng số 03 (Tr86-Tr89) [17] Đoàn Văn Duẩn (2010), Phƣơng pháp phần tử hữu hạn nghiên cứu ổn định uốn dọc thanh, Tạp chí kết cấu Công nghệ xây dựng, số 05, Qúy IV(Tr30-Tr36) [18] Đoàn Văn Duẩn (2011), Nghiên cứu ổn định đàn hồi kết cấu hệ có xét đến biến dạng trƣợt, Luận án Tiến sỹ kỹ thuật [19] Đoàn Văn Duẩn (2012), Phƣơng pháp tính toán dây mềm, Tạp chí kết cấu công nghệ Xây dựng số 09, Qúy II (Tr56-Tr61) [20] Đoàn Văn Duẩn (2014), Phƣơng pháp chuyển vị cƣỡng giải toán trị riêng véc tơ riêng,Tạp chí Xây dựng số 11 (Tr82-Tr84) [21] Đoàn Văn Duẩn (2015), Phƣơng pháp nghiên cứu ổn định động lực học thanh,Tạp chí Xây dựng số 01 (Tr86-Tr88) [22] Đoàn Văn Duẩn (2015), Bài toán học kết cấu dƣới dạng tổng quát,Tạp chí Xây dựng số 02 (Tr59-Tr61) [23] Đoàn Văn Duẩn (2015), Phƣơng pháp so sánh nghiên cứu nội lực chuyển vị hệ dầm,Tạp chí Xây dựng số 11 (Tr56-Tr58) 70 [24] Đoàn Văn Duẩn (2015),Tính toán kết cấu khung chịu uốn phƣơng pháp so sánh,Tạp chí Xây dựng số 12 (Tr62-Tr64) [25] Trần Thị Kim Huế (2005), Phương pháp nguyên lý Cực trị Gauss toán học kết cấu, Luận văn thạc sỹ kỹ thuật [26] Nguyễn Thị Liên (2006), Phương pháp nguyên lý Cực trị Gauss toán động lực học công trình, Luận văn thạc sỹ kỹ thuật [27] Vũ Thanh Thủy (2009), Xây dựng toán dầm xét đầy đủ hai thành phần nội lực momen lực cắt Tạp chí Xây dựngsố [28] Vũ Thanh Thủy (2009), Dao động tự dầm xét ảnh hưởng lực cắt Tạp chí Xây dựng, số [29] Timoshenko C.P, Voinópki- Krige X, (1971), Tấm Vỏ Ngƣời dịch, Phạm Hồng Giang, Vũ Thành Hải, Đoàn Hữu Quang, Nxb Khoa học kỹ thuật, Hà Nội 71 ... tĩnh CHƢƠNG TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH CÔNG TRÌNH 1.1 Khái niệm ổn định ổn định công trình 1.1.1 Khái niệm ổn định ổn định 1.1.1.1 Định nghĩa vể ổn định  Theo Euler - Lagrange: Ổn định khả công... CHƢƠNG TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH CÔNG TRÌNH 1.1 Khái niệm ổn định ổn định công trình 1.1.1 Khái niệm ổn định ổn định 1.1.1.1 Định nghĩa vể ổn định 1.1.1.2... võng chịu uốn 44 CHƢƠNG 47 PHƢƠNG PHÁP NGUYÊN LÝ CỰC TRỊ GAUSS 47 ĐỐI VỚI CÁC BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH UỐN DỌC CỦA THANH 47 3.1 Phƣơng pháp nguyên lý cực trị Gauss để giải toán ổn định