Luận văn tính ổn định của các phương pháp runge kutta ẩn

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐAI • HOC • s PHAM • HÀ NÔI • = = m = = Đ ổ VĂN LẼ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG PHÁP RUNGE- KUTTA ẨN Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC • • • Người hướng dẫn khoa học: TS.Nguyễn Văn K hải Hà Nội -2015 L Ờ I CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới T.s Nguyễn Văn Khải, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để hoàn thành luận vãn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, giảng viên dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình bạn bè động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 12 năm 2015 Tác giả Đỗ Văn Lễ LỜ I CAM ĐOAN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS Nguyễn Văn Khải Tôi xin cam đoan luận văn “Tính ổn định phương pháp R unge-K utta ẩn” không trùng với luận văn khác Nếu sai xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng 12 năm 2015 Tác giả ĐỖ Văn Lễ MỤC LỤC T rang M Ở ĐẦU CHƯƠNG 1: PHƯƠNG PHÁP RUNGE - KUTTA 1.1 Bài toán giá trị ban đầu 1.2 Phương pháp Euler 1.3 Phương pháp bước 1.4 Phương pháp Runge - Kutta 16 1.4.1 Khái niệm phân loại 16 1.4.2 Tính phù hợp phương pháp Runge - Kutta 18 1.4.3 Bậc phương pháp Runge - Kutta 19 1.4.4 Sự hội tụ phương pháp Runge - Kutta 20 1.4.5 Tính ổn định phương pháp Runge - Kutta 22 CHƯƠNG 2:TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG PHÁP RUNGE - KUTTA ẨN 27 2.1 Kiến thức chuẩn bị 27 2.2 Các khái niệm ổn định 52 2.3 Điều kiện đủ B-, BS- BS- ổn định 57 2.3.1 BS- BSI- ổn định 57 2.3.2 B -ổn định 62 2.4 Các kết ổn định YỚi số lược đồ Runge - Kutta 65 2.4.1 Các phương pháp Gauss Radau IA 65 2.4.2 Công thức Radau IIA 74 2.4.3 Các phương pháp Lobatto IIIC 77 KẾT LUẬN 79 TÀI LIỆU THAM KHẢO 80 M Ở ĐẦU Lý chọn đề tài Phương trình vi phân mô hình mô tả tốt trình chuyển động tự nhiên kĩ thuật Đe nghiên cứu phương trình vi phân, người ta thường tiếp cận theo hai hướng: nghiên cứu định tính giải số Mặc dù có lịch sử phát triển hàng trăm năm, nhiều toán cần giải quyết, giải số phương trình vi phân thường thu hút quan tâm mạnh mẽ nhà toán học nhà nghiên cứu ứng dụng Trong giải số phương trình vi phân, người ta thường cố gắng tìm phương pháp hữu hiệu bảo đảm hội tụ, tính ổn định tính xác cao Một phương pháp phương pháp Runge-Kutta ẩn, có nhiều ứng dụng chọn đề tài: “Tính ổn định phương pháp Runge - K utta ẩn” Mục đích nghiên cứu Luận vãn nghiên cứu tính ổn định phương pháp Runge - Kutta ẩn Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp Runge-Kutta, tính phù họp, tính ổn định, tính hội tụ phương pháp Đối tượng phạm vỉ nghiền cứu Phương trình vi phân; Phương pháp Runge-Kutta ẩn Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích tổng hợp tài liệu có từ hệ thống lại vấn đề liên quan tới đề tài D ự kiến đóng góp đề tài - Trình bày cách hệ thống phương pháp Runge-Kutta; - Trình bày tính ổn định phương pháp Runge-Kutta ẩn CHƯƠNG1 PHƯƠNG PHÁP RUNGE - KUTTA 1.1 Bài toán giá trị ban đầu Định nghĩa 1.1.1 Giả sử G miền R hàm f :G —»R , hàm khả vi liên tục y : \a,b\ —> R gọi nghiệm phương trình vi phân thường phân bậc y = / ( * , ) nếu: ■{x: A x ) \ e G „ y ) = /0 ,;K * ) ) v « k i] Định nghĩa 1.1.2 Giả sử G miền R n+l f : G ^ > R n, hàm khả vi liên tục y : ịa,b]—>Rn gọi nghiệm phương trình vi phân thường y ' = f { x , y ) nếu: \ (x: y ( x ) ] * G „ V ,6 k ] Bài toán giá trị ban đầu: Cho hàm số y :[a,b] —> R n hàm / : R x R ” Giải toán giá trị ban đầu: ị y' = f ( vx , y ); \y(a) = y Định lí 1.1.1 ( Định lỉ tồn nghiệm) Cho hàm số f : R x R n —»R n xác định liên tục miền: (1.1) R" D = |(x , y ) : a < x < ố ,-0 < y t < +00, Vi = l,w j vớz' Aữí/ hạn Giả sử tồn số L cho: ||/ ( * > j) - / ( * > / ) ! ^ V ( x ,.y ) ,( x ,/) e D , khỉ với y ữ e R" tồn nghiệm toán giá trị ban đầu (1.1) cho y liên tục, khả vi v (x , e D 1.2 Phương pháp Euler Định nghĩa 1.2.1 Phương pháp Euler đế tìm nghiệm toán Cauchy ( 1.2) 'y' = f ( x , y ) y { x°) = y ° ’ việc tỉnh xấp xỉ y thay cho giá trị nghiệm ,y(* ) mốc cách với bước lưới h là: X = x a + h , yj+1= y j +hf ( x j , yj ), j = 1,2,3 j = 1,2,3 Có cách giải thích khác cho công thức xấp xỉ phương pháp Euler là: +) Thay đạo hàm tỉ số sai phân: h +) Từ phương trình tích phân tương đương có: ^ 0 ® ;y(*o) +1 *0 xấp xỉ quy tắc hình chữ nhật: ] f ( ỉ , y ( ỉ ) d ệ ~ h f ( x 0, y0)*0 +) Sử dụng công thức Taylor: yCO=y ( x0+ h ) = y(*o) + h2 +2 y' (*0 +ỡh) ’ với < < bỏ qua số hạng lạ i, nghĩa xấp xỉ: >>(*„)+ Ạy'(*„) Mỗi cách giải thích mở khả cải tiến phương pháp Euler Chẳng hạn thay sử dụng công thức hình chữ nhật, ta sử dụng công thức hình thang xác hơn: Ì f ( ậ , y ( ậ ) ) d ậ * ( / ( w ( * o ) ) + / ( * :Kxi))) *0 ^ J 'i = J 'o + |( / C W o ) + / ( W i ) ) - (1-3) Quá trình lặp lại ta có định nghĩa sau đây: Định nghĩa 1.2.2 Phương pháp Euler ẩn đổi với việc tìm nghiệm sổ toán Cauchy (1.2) xấp xỉ y tới nghiệm y ( x ) mốc cách X = x0 + j h , j > công thức: y j+í= y j + 1^ { f { x , y ]) + f { x +ỉ,y.+ỉ)), j > (1.4) Chú ỷ: Phương trình không tuyến tính (1.4) phương pháp Euler ẩn giải dãy xấp xỉ liên tiếp với giả thiết hẳng số Lipschitz L f bước h thỏa mãn Lh < Chứng minh Ta phải giải phương trình (1.3) y ì Đặt g(y) = y + | ( / ( W o ) ) + / ( w ) ) > suy (1-3) viết lại là: = g ( j 1) ,h m g co YÌ 1^00 - g ( z ) I= / ( w ) - f ( xr>z )\ ^ ^ - \ y - z \ < \ y - z \> theo nguyên lí ánh xạ co ta có yì tồn Định nghĩa 1.2.3 Phương pháp Euler cải tiến để tìm nghiệm toán Cauchy (1.2) việc xấp xỉ y tới nghiệm ) mốc cách đều:X —xữ+ j h , j = 1,2,3 công thức sau: y J+1 =yj + Ừ ( xJ’y J)+ + hf(X],yj))\ J > 1.3 Phương pháp bước Định nghĩa 1.3.1 Phương pháp bước để tìm nghiệm sổ toán giá trị ban đầu: ịy ' =f(x,y) ^ ) = y0 65 M xác định bởi: M := diag(b)A + ATdỉagịtí) - bbT Do giả thiết tính ổn định đại số: M > Yầdiag(b) > 0, do: | | v | f < Mặt khác chọn I I # - +2lVT(diag(tí I)V ỵ tjf+ ) X < - | | к | | Y,z е Я cho: \ = F lg(Y-,Tj) = AZ = Faie(Z ’7l) = eX( Ç - Îî ) ’ cho ta bất đẳng thức BSI- ổn định có dạng: \\v\\ 78 Y Từ:Ẩ~1e = t ,0,0 kéo theo: vỏ y 2d: (2.97) (F í = (k + l-2 )d * Tck+1_3 với(k,l) ^ (1,1) F xác định dương tất định thức dương Với c = ( ,l/ ,l ) T định thức thứ bên phải phía là: V (2d*T c)(4 d * T c3) - ( d * T c2)2 = - không dương V4 (2.98) 79 KÉT LUẬN Nội dung luận văn nghiên cứu tính ổn định phương pháp Runge - Kutta ẩn Luận văn trình bày số kết sau: Trình bày hệ thống hóa lại nội dung phương pháp Runge - Kutta Trình bày hệ thống hóa lại nội dung khái niệm ổn định, điều kiện đủ B-, BS- BS- ổn định, kết ổn định với số lược đồ Runge-Kutta Nội dung luận văn chủ yếu trích dẫn theo tài liệu [2], [3], phần tài liệu tham khảo Phần đóng góp luận văn hệ thống hóa số vấn đề tính ổn định phương pháp Runge - Kutta ẩn Tác giả xin chân thành cảm ơn [...]... đó phương pháp Runge- Kutta có thể viết dưới dạng: r Phân loai: + Nếu a = 0, V/ > ỉ,ỉ = 1,5 hay A là tam giác dưới chặt thì phương pháp Runge- Kutta (1.12) gọi là phương pháp Runge- Kutta hiển (hay phương pháp Runge- Kutta cổ điển) + Nếu a = 0, V/ > ỉ,ỉ = 1,5 hay A là tam giác dưới chặt thì phương pháp Rune -Kutta (1.12) gọi là phương pháp Runge- Kutta nửa ẩn + Trong trường hợp còn lại thì phương pháp Runge. .. (h2), như vậy mọi phương pháp Runge- Kutta (1.12) phù hợp đều có bậc p > 1 1.4.4 Sự hội tụ của phương pháp Runge- K utta Định nghĩa 1.4.4 Phương pháp Runge- Kutta (1.12) hội tụ khỉ và chỉ khỉ phương pháp Runge Kutta (1.12) là phù hợp và thỏa mãn điều kiện nghiệm Đa thức đặc trưng của phương pháp Runge- Kutta (1.12) là: p(ệ) = z - h luôn thỏa mãn điều kiện nghiệm Vì vậy phương pháp Runge- Kutta (1.12) hội... ' thì ta có phương pháp Runge- Kutta dạng (1.12) Khi đó điều kiện cần và đủ để phương pháp Runge- Kutta (1.12) phù hợp là: 2 > ;= ° j= 0 o 0/ừ(* ),* ;0) = f { \ , y { x j ) ° ẳ i=*l ' =1 Vậy với 2^ ồ = 1 thì phương pháp Runge- Kutta là phù hợp j=l 1.4.3 Bậc của phương pháp Runge- K utta Định nghĩa 1.4.2 Sai số chặt cụt địa phương của phương pháp Runge- Kutta (1.12) tại X J tại T J được xác định bởi công... phương i= 1 pháp số hội tụ 1.4.5 Tính ổn định của phương pháp Runge- K utta Cho bài toán vô hướng: )'„+1 = ^ ^ e C , R e ( Ẩ ) < 0 Áp dụng phương pháp Runge- Kutta (1.12) cho bài toán vô hướng ta có phương trình sai phân cấp 1 dạng: y ^ = R(z)y„’ trong đó z = Ằh Ta gọi hàm R(z) là hàm ổn định của phương pháp RungeKutta (1.12) Ta thấy y -» 0 khi n - > 0o khi và chỉ khi |i?(z)| < 1 Phương pháp Runge- Kutta (1.12)... vi phân và được mở rộng hệ phương trình vi phân bởi Kutta năm 1901 Phương pháp này được gọi là phương pháp Runge- Kutta Đây là phương pháp thành công nhất của lớp các phương pháp một bước và ngày nay được sử dụng rộng rãi Định nghĩa 1.3.12 Phương pháp Runge- Kutta để tỉnh nghiệm bằng số của bài toán Cauchy (1.2) xây dựng bởi sự xấp xỉ y tới nghiệm chỉnh xác ,y(* ) tại các mốc cách đều:X = x0 + jh với j... khác của phương pháp Runge- Kutta Thay công thức trên vào phương trình y ' = Ăy ta được: rYn - ey +ZẤYn s n J n+l = y n + zbTYn Yn = [ l - z A ] l eyn = y n+íỉ + zỉjTự - zA)~leì y„■ Với I là ma trận đơn vị cấp s, khi đó ta có: R(z) = ỉ + zbTạ - z A Ỵ le Vậy hàm ổn định của phương pháp Runge- Kutta (1.12) là: R(z) = l + zbT( l - z A ) - le 24 Định lí 1.4.5 Hàm ổn định R(z) của phương pháp Runge- Kutta. .. Runge- Kutta (1.12) hội tụ khi và chỉ khi phương pháp Runge- Kutta (1.12) thỏa mãn điều kiện phù hợp Nghĩa là phương pháp Runge- Kutta (1.12) hội tụ khi và chỉ khi Ỳ^b - l i Ví du =1 21 Ví dụ 1: Phương pháp Runge - Ku tta hiển 2 nấc cho bởi bảng Buttcher: 0 0 0 1 2 ỉ 2 0 0 1 (Phương pháp Euler cải tiến: ỏ, = 0 A =1>C2 = | ) Ví dụ 2: Phương pháp Runge - Ku tta nửa ẩn với bảng Butcher: 0 1 2 1 2 0 1 2 0... dãy xấp xỉ được xác định bởi: m y j+i = y j + h l l a ik r i=1 16 Phương pháp Euler được mô tả bởi m =l, «! = 1 Phương pháp Euler được mô tả bởi m =l, s2 = 1,c21 = 1,a 1= a 2 = — Mục đích cơ bản trong việc xây dựng phương pháp bậc cao hơn là cho 1 số m, xác định các hệ số cao cho bậc của tính phù hợp và hội tụ là lớn nhất có thể Năm 1895, Runge giới thiệu phương pháp 1 bước để giải phương trình vi phân... zebT) det(/ - z A + zebT) \det(/~ - z^4) ^ ^ ^ * ( z)= det(/ - Z Ẩ ) Vậy định lí được chứng minh 27 CHƯƠNG 2 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG PHÁP RUNGE- KUTTA ẨN 2.1 Kiến thức chuẩn bỉ Ta xét bài toán giá trị ban đầu của phương trình vi phân thường: y = f (v> t,yịtz[0,Tịf-.[0,T}xR -^R - ' (2 1 ) }’{) = y, trong đó / (t,y) được giả định là thỏa mãn điều kiện Lipschitz một phía: f { t , y 2) , y - y ^ m... tại 1 nghiệm duy nhất của (2.1) hay điều kiện ước lượng liên quan đến sự nhiễu lọa của y ữ và / Điều kiện ước lượng dựa trên m thường thực tế so với điều kiện ước lượng dựa trên L Tùy theo 28 mục đích của cấp chính xác của các kết quả nhận được đối YỚi phép lấy sai số rời rạc của các phương pháp Runge- Kutta mà tính khả vi phù hợp của / được giả định M ột số quy ước: Tích Kronecker của ma trận Ả(r,s)