Tính ổn định của các phương pháp runge kutta ẩn (LV01634)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ====== ĐỖ VĂN LỄ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG PHÁP RUNGE- KUTTA ẨN Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS.Nguyễn Văn Khải Hà Nội -2015 LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới T.S Nguyễn Văn Khải, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, giảng viên dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình bạn bè động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 12 năm 2015 Tác giả Đỗ Văn Lễ LỜI CAM ĐOAN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS Nguyễn Văn Khải Tôi xin cam đoan luận văn “Tính ổn định phương pháp Runge-Kutta ẩn” không trùng với luận văn khác Nếu sai xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng 12 năm 2015 Tác giả Đỗ Văn Lễ MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: PHƯƠNG PHÁP RUNGE - KUTTA 1.1 Bài toán giá trị ban đầu 1.2 Phương pháp Euler 1.3 Phương pháp bước 1.4 Phương pháp Runge - Kutta 16 1.4.1 Khái niệm phân loại 16 1.4.2 Tính phù hợp phương pháp Runge - Kutta 18 1.4.3 Bậc phương pháp Runge - Kutta 19 1.4.4 Sự hội tụ phương pháp Runge - Kutta 20 1.4.5 Tính ổn định phương pháp Runge - Kutta 22 CHƯƠNG 2:TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG PHÁP RUNGE - KUTTA ẨN 27 2.1 Kiến thức chuẩn bị 27 2.2 Các khái niệm ổn định 52 2.3 Điều kiện đủ B-, BS- BS- ổn định 57 2.3.1 BS- BSI- ổn định 57 2.3.2 B- ổn định 62 2.4 Các kết ổn định với số lược đồ Runge - Kutta 65 2.4.1 Các phương pháp Gauss Radau IA 65 2.4.2 Công thức Radau IIA 74 2.4.3 Các phương pháp Lobatto IIIC 77 KẾT LUẬN 79 TÀI LIỆU THAM KHẢO 80 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương trình vi phân mô hình mô tả tốt trình chuyển động tự nhiên kĩ thuật Để nghiên cứu phương trình vi phân, người ta thường tiếp cận theo hai hướng: nghiên cứu định tính giải số Mặc dù có lịch sử phát triển hàng trăm năm, nhiều toán cần giải quyết, giải số phương trình vi phân thường thu hút quan tâm mạnh mẽ nhà toán học nhà nghiên cứu ứng dụng Trong giải số phương trình vi phân, người ta thường cố gắng tìm phương pháp hữu hiệu bảo đảm hội tụ, tính ổn định tính xác cao Một phương pháp phương pháp Runge-Kutta ẩn, có nhiều ứng dụng chọn đề tài: “Tính ổn định phương pháp Runge - Kutta ẩn” Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu tính ổn định phương pháp Runge - Kutta ẩn Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp Runge-Kutta, tính phù hợp, tính ổn định, tính hội tụ phương pháp Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương trình vi phân; Phương pháp Runge-Kutta ẩn Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích tổng hợp tài liệu có từ hệ thống lại vấn đề liên quan tới đề tài Dự kiến đóng góp đề tài - Trình bày cách hệ thống phương pháp Runge-Kutta; - Trình bày tính ổn định phương pháp Runge-Kutta ẩn CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP RUNGE - KUTTA 1.1 Bài toán giá trị ban đầu Định nghĩa 1.1.1 Giả sử G miền R hàm f :G  R , hàm khả vi liên tục y :  a, b   R gọi nghiệm phương trình vi phân thường phân bậc y '  f  x, y  nếu:  x, y ( x)   G   y '( x)  f ( x, y ( x)) x   a, b  Định nghĩa 1.1.2 Giả sử G miền R n 1 f : G  R n , hàm khả vi liên tục y :  a, b   R n gọi nghiệm phương trình vi phân thường y '  f ( x, y) nếu:  x, y ( x)   G   y '( x)  f ( x, y ( x)) x   a, b  Bài toán giá trị ban đầu: Cho hàm số y :  a, b   R n hàm f : R  R n  R n Giải toán giá trị ban đầu:  y '  f  x, y    y (a)  y0 Định lí 1.1.1 ( Định lí tồn nghiệm) Cho hàm số f : R  R n  R n xác định liên tục miền: (1.1) D  x, y  : a  x  b,   y  , t  1, n với a,b hữu hạn Giả sử tồn t số L cho: f  x , y   f  x, y *   L y  y * ,   x , y  ,  x , y *   D , với y0  R n tồn nghiệm toán giá trị ban đầu (1.1) cho y liên tục, khả vi   x, y   D 1.2 Phương pháp Euler Định nghĩa 1.2.1 Phương pháp Euler để tìm nghiệm toán Cauchy  y '  f ( x, y )   y  x0   y0 , (1.2) việc tính xấp xỉ y j thay cho giá trị nghiệm y  x j  mốc cách với bước lưới h là:  x j  x0  h,   y j 1  y j  hf ( x j , y j ), j  1,2,3 j  1, 2,3 Có cách giải thích khác cho công thức xấp xỉ phương pháp Euler là: +) Thay đạo hàm tỉ số sai phân: y  x1   y ( x0 )  y '( x0 )  f ( x0 , y0 ) h +) Từ phương trình tích phân tương đương có: x1 y ( x1 )  y ( x0 )   f  , y ( ) d , x0 xấp xỉ quy tắc hình chữ nhật: x1  f ( , y  d  hf  x , y  0 x0 +) Sử dụng công thức Taylor: y ( x1 )  y ( x0  h)  y  x0   hy '( x0 )  h2 n y  x0   h  , với    bỏ qua số hạng lại , nghĩa xấp xỉ: y ( x1 )  y  x0   hy '  x0  Mỗi cách giải thích mở khả cải tiến phương pháp Euler Chẳng hạn thay sử dụng công thức hình chữ nhật, ta sử dụng công thức hình thang xác hơn: x1 h  f  , y   d   f  x , y  x    f  x , y  x    0 1 x0 y1  y0  h  f  x0 , y0   f  x1 , y1   (1.3) Quá trình lặp lại ta có định nghĩa sau đây: Định nghĩa 1.2.2 Phương pháp Euler ẩn việc tìm nghiệm số toán Cauchy (1.2) xấp xỉ y j tới nghiệm y ( x j ) mốc cách x j  x0  jh, j  công thức: y j 1  y j  h f  x j , y j   f  x j 1 , y j 1  , j  (1.4)   Chú ý: Phương trình không tuyến tính (1.4) phương pháp Euler ẩn giải dãy xấp xỉ liên tiếp với giả thiết hẳng số Lipschitz L f bước h thỏa mãn Lh < Chứng minh Ta phải giải phương trình (1.3) y1 Đặt g ( y )  y0  h  f  x0 , y0    f  x1 , y )  , suy (1.3) viết lại là: y1  g  y1  , hàm g co g  y  g  z  h hL f  x1 , y   f  x1 ,z   yz  yz, 2 theo nguyên lí ánh xạ co ta có y1 tồn Định nghĩa 1.2.3 Phương pháp Euler cải tiến để tìm nghiệm toán Cauchy (1.2) việc xấp xỉ y j tới nghiệm y  x j  mốc cách đều: x j  x0  jh, j  1,2,3 công thức sau: h y j 1  y j   f  x j , y j   f  x j 1 , y j  hf ( x j , y j )   , j  1.3 Phương pháp bước Định nghĩa 1.3.1 Phương pháp bước để tìm nghiệm số toán giá trị ban đầu:  y '  f ( x, y )   y ( x0 )  y0 66 2.4.1 Các phương pháp Gauss Radau IA Trước tiên ta thiết lập BS- ổn định BSI- ổn định lớp phương pháp cách áp dụng định lý 2.3.1 với họ tham số đặc biệt ma trận: D  D( ) : diag (b   AT b) (2.57) R  R( ) :  diag (b),   R,   (2.58) Tham số  sử dụng cho tối ưu hóa  ,  q  q R  suy từ tất phép cầu phương Gauss Radau với trọng bi dương Tính xác định dương D hệ (2.16e) Phần lại (2.32) thỏa mãn, tức kiểm tra rằng: Q  diag (b   AT b) A  AT diag (b   AT b)  bbT   AT diag  b  A  M    diag ( AT b) A  AT diag ( AT b)  AT diag (b) A (2.59) xác định không âm Từ: M  diag (b) A  AT diag (b)  bbT xác định không âm nên kết mong muốn đạt từ bổ đề sau đây: Bổ đề 2.4.1 Với công thức Gauss Radau IA ta có: diag ( AT b) A  AT diag ( AT b)  AT diag (b) A  Chứng minh *) Công thức Gauss: (2.60) 67 Thay cho việc nghiên cứu ma trận (2.60) ta tính xác định ma trận đồng dư: G : U T  diag ( AT b) A  AT diag ( AT b)  AT diag (b) A U (2.61) U ma trận Vandermonde (2.16c) Theo (2.16b) G viết là: G  U T diag ( AT b)C C T diag ( AT b) U  C T diag (b)C (2.62) vậy: G  kl  ( k  l )bT Ac k l 1  bT c k l ) kl (2.63) Bây ta rằng: G  kl  với  k , l    s, s  Từ (2.16e) ta có: bT A  bT  bT diag (c) ta có: bT Ac k l 1  bT c k l 1  bT ck l Vì B(2s) (xem (2.16a)) nên điều tương đương với: k  l b T Ac k l 1  với  k , l    s, s  k  l 1 Sử dụng B(2s ) ta có:  bT c k  l k  l 1 (2.64) 68 điều với (2.63) (2.64) Công thức (2.65) cho  k, l    s, s  theo B(2s ) ta có: bT Ac s 1   bT c s 2s với (2.18a) ta có: G  ss 2sbT Ac s 1  bT c s   s  1   s  1 bT c s  s 1   1   s  1 (  1 )  s  2s   2s   1  s  *) Công thức Radau IA: Trong trường hợp C ( s  1) (xem (2.17b)) (2.16b) không áp dụng Ta khảo sát tính xác định của: H : U T AT  diag ( AT b) A  AT diag ( AT b)  AT diag (b) A A1U (2.66) để thay cho việc khảo sát ma trận (2.60) (điều hợp lý không suy biến A1U ) Do c1  nên: U  11  c10  00 (2.67) ta định nghĩa U 11 : Sử dụng quy ước cột  A1U .1 ma trận A1U đưa bởi: 69 T    A U .1   b1 ,0, ,0    1 (2.68) Quan hệ D  s  với j  1, c1  đưa ra: T 1  U diag (b)a.1  b1  1, , ,  s  T (2.69) s phương trình B(2s  1) cho ta: T 1  U diag (b)e  1, , ,  s  T (2.70) Phương trình (2.69) (2.70) dẫn tới: T b1e  a.1  A 1,0, ,0  điều tương ứng với: T 1  A e   ,0, ,0   b1  1 tức (2.68) xác minh Các cột lại A1U tức là: A U 1 l  (l  1)c l  suy từ C ( s  1) : Ac l 1  điều tương đương với: cl , l  1, s  l (2.71) 70  l  1 c l 2  A1cl 1 , l  2, s Từ (2.68), (2.71), (2.16e) với j  1, c1  kéo theo: H kl víi (k,l) =(1,1) 1  k  l 3 T k  l 2 víi (k,l)  (1,1) (k  l  2)Ac  b c Lập luận tương tự trường hợp công thức Gauss ta  H kl  víi(k,l)  1,1 Bây ta chứng minh phần tử tập hợp ma trận (2.57), (2.58):  D    , R     ,   0 (2.72) thỏa mãn điều kiện định lý 2.3.1 Trong thực tế ta chọn bước lưới: l  hm  q     q    (2.73) tối ưu hóa  Theo chứng minh định lý 2.3.1: q    : sup l : R (l ;  )  R ( )  2lD ( )    Theo (2.57) (2.58) thì: R   diag (b)  2ldiag (b   AT b)  tương đương với: bi  2l (bi   ( AT b)i )  0, i  1, s (2.74) 71 có điều kiện chọn bước lưới là: l  hm  bi , 2(bi   ( AT b)i ) i  1, s Với (2.16e) điều viết lại là: q     i 1, ,s b i 2(b i  (A T b)i )   víi ph­¬ng ph¸p Gauss (2.75)    2(1  (1  c i ))   i 1, ,s 2(1  (1  c i ))   víi ph­¬ng ph¸p Radau IA  2(1   ) Cho    ta có đánh giá tốt cho bước lưới là:   1  c  víi ph­¬ng ph¸p Gauss q     q      1 víi ph­¬ng ph¸p Radau IA  (2.76) Ta thấy (2.76) kết tốt tập hợp (2.72), loại trừ đại lượng q, q đạt từ ma trận khác nhỏ ma trận (2.57) (2.58) Từ (2.47) (2.49) hàm   l;     l;   tương ứng đạt Từ họ hàm ổn định này, hàm ổn định (tốt nhất) xác định:   l  : inf   l ;   ,   l  : inf   l;     l với: l (2.77) 72  l :  : q     l   q    xác định (2.75) Từ ta có định lý: Định lý 2.4.2 Tất công thức Gauss Radau IA BS- ổn định BSI- ổn định với bước lưới thỏa mãn:   1  c  víi ph­¬ng ph¸p Gauss hm  l  q  q   1 víi ph­¬ng ph¸p Radau IA  (2.78) Bây ta xét tính B- ổn định phương pháp Gauss Radau IA Lớp phương pháp Runge-Kutta phủ kết dạng:      (2.79) tức kết B-ổn định đạt toán mà m=0 Vì ta hạn chế trường hợp: l  hm  (2.80) Chú ý giả thiết không tính tổng quát cho toán mà m[...]... ), như vậy mọi phương pháp Runge- Kutta (1.12) phù hợp đều có bậc p  1 1.4.4 Sự hội tụ của phương pháp Runge- Kutta Định nghĩa 1.4.4 Phương pháp Runge- Kutta (1.12) hội tụ khi và chỉ khi phương pháp Runge Kutta (1.12) là phù hợp và thỏa mãn điều kiện nghiệm Đa thức đặc trưng của phương pháp Runge- Kutta (1.12) là: p( )    1, luôn thỏa mãn điều kiện nghiệm Vì vậy phương pháp Runge- Kutta (1.12) hội... hay A là tam giác dưới chặt thì phương pháp Rune -Kutta (1.12) gọi là phương pháp Runge- Kutta nửa ẩn + Trong trường hợp còn lại thì phương pháp Runge – Kutta (1.12) được gọi là phương pháp Runge- Kutta ẩn A không là ma trận tam giác dưới 1.4.2 Tính phù hợp của phương pháp Runge- Kutta  y '  f ( x, y ), Xét bài toán giá trị ban đầu:   y (a)  y 0 , Xét lớp phương pháp tổng quát: k  j 0 j yn j ... đó phương i 1 pháp số hội tụ 1.4.5 Tính ổn định của phương pháp Runge- Kutta Cho bài toán vô hướng: yn 1   y ,   , Re( )  0 Áp dụng phương pháp Runge- Kutta (1.12) cho bài toán vô hướng ta có phương trình sai phân cấp 1 dạng: yn1  R  z  yn , trong đó z   h Ta gọi hàm R( z ) là hàm ổn định của phương pháp RungeKutta (1.12) Ta thấy yn  0 khi n   khi và chỉ khi R ( z )  1 Phương pháp Runge- Kutta. .. giải phương trình vi phân và được mở rộng hệ phương trình vi phân bởi Kutta năm 1901 Phương pháp này được gọi là phương pháp Runge- Kutta Đây là phương pháp thành công nhất của lớp các phương pháp một bước và ngày nay được sử dụng rộng rãi Định nghĩa 1.3.12 Phương pháp Runge- Kutta để tính nghiệm bằng số của bài toán Cauchy (1.2) xây dựng bởi sự xấp xỉ y j tới nghiệm chính xác y  x j  tại các mốc cách... Runge- Kutta (1.12) hội tụ khi và chỉ khi phương pháp Runge- Kutta (1.12) thỏa mãn điều kiện phù hợp Nghĩa là phương pháp s Runge- Kutta (1.12) hội tụ khi và chỉ khi b i i 1 Ví dụ 1 21 Ví dụ 1: Phương pháp Runge – Kutta hiển 2 nấc cho bởi bảng Buttcher: 0 0 0 1 2 1 2 0 0 1 (Phương pháp Euler cải tiến: b1  0, b2  1, c2  1 ) 2 Ví dụ 2: Phương pháp Runge – Kutta nửa ẩn với bảng Butcher: 0 1 2 0 1 2 1 2... địa phương của phương pháp Runge- Kutta (1.12) tại xn 1 tại Tn 1 được xác định bởi công thức: Tn 1 : y  xn 1   yn 1 với giả thiết yn  y  xn  , Y j  y  xn  c j h  , j  1, s s hay là Tn 1 : yn 1  yn  h bi ki i 1 20 Định nghĩa 1.4.3 Bậc của phương pháp Runge- Kutta (1.12) là số nguyên p lớn nhất sao cho Tn1  0  h p 1  Gọi y n 1 là giá trị tính theo phương pháp Runge- Kutta. .. 1    thì ta có phương pháp Runge- Kutta dạng (1.12) Khi đó điều kiện cần và đủ để phương pháp Runge- Kutta (1.12) phù hợp là:  1  0 j  j 0   f  y  xn  , xn ;0   f  xn , y  xn    1 j j   j 0    f ( y  xn  , xn ;0)  f  xn , y  xn   a   bi  1 i 1 s Vậy với b i  1 thì phương pháp Runge- Kutta là phù hợp i 1 1.4.3 Bậc của phương pháp Runge- Kutta Định nghĩa 1.4.2 Sai... khác của phương pháp Runge- Kutta Thay công thức trên vào phương trình y '   y ta được: Yn   I  zA1 eyn Yn  eyn  zAYn   T T 1  yn 1  yn  zb Yn  yn 1  yn  [1  zb ( I  zA) e]y n Với I là ma trận đơn vị cấp s, khi đó ta có: R ( z )  1  zbT (1  zA) 1 e Vậy hàm ổn định của phương pháp Runge- Kutta (1.12) là: R ( z )  1  zbT (1  zA) 1 e 24 Định lí 1.4.5 Hàm ổn định R(z) của. .. h, Yi  , i  1, s i 1 Khi đó phương pháp Runge- Kutta có thể viết dưới dạng:  y  y  h s b f ( x  c h, Y )  n i n i i  n 1 i 1  s Yi  yn  h aij f ( xn  c j h, Y j ) ,i  1, s  j 1 (1.13) Phân loại: + Nếu aij  0, j  i, i  1, s hay A là tam giác dưới chặt thì phương pháp Runge- Kutta (1.12) gọi là phương pháp Runge- Kutta hiển (hay phương pháp Runge- Kutta cổ điển) + Nếu aij  0, j... được tính toán 1 cách đệ quy và dãy xấp xỉ được xác định bởi: m y j 1  y j  h i ki i 1 16 Phương pháp Euler được mô tả bởi m=1, 1  1 Phương pháp Euler được mô tả bởi m=1, s2  1, c21  1,1   2  1 2 Mục đích cơ bản trong việc xây dựng phương pháp bậc cao hơn là cho 1 số m, xác định các hệ số cao cho bậc của tính phù hợp và hội tụ là lớn nhất có thể Năm 1895, Runge giới thiệu phương pháp