Ta xét 2 đa thức :
f (t) = t4 + 2t3 +t2 −4σ3 và g(t) = 2t6+ 6t5+ 5t4 −t2−12σ5 Hai đa thức này có nghiệm chung là t = n . Khi đó với mỗi n ta có :
R(σ3, σ5) = 1 2 1 0 −4σ3 0 0 0 0 0 0 1 2 1 0 −4σ3 0 0 0 0 0 0 1 2 1 0 −4σ3 0 0 0 0 0 0 1 2 1 0 −4σ3 0 0 0 0 0 0 1 2 1 0 −4σ3 0 0 0 0 0 0 1 2 1 0 −4σ3 2 6 5 0 −1 0 −12σ5 0 0 0 0 2 6 5 0 −1 0 −12σ5 0 0 0 0 2 6 5 0 −1 0 −12σ5 0 0 0 0 2 6 5 0 −1 0 −12σ5 và R(σ3, σ5) = 0.
Tính kết thức trên ta thu được kết quả sau : (16σ33 −6σ3σ5 −σ32−9σ52)2 = 0
+ Nếu ta biểu diễn σ3, σ5 theo σ1 thì ta có :
σ3 = σ2 1 ⇒σ2 1 −σ3 = 0 σ5 = 4σ31−σ21 3 ⇒4σ3 1 −σ2 1 −3σ5 = 0 Khi đó ta xét hai đa thức :
Hai đa thức này có nghiệm chung là t = σ1 , khi đó ta có : R*(σ3, σ5) = 1 0 −σ3 0 0 0 1 0 −σ3 0 0 0 1 0 −σ3 4 −1 0 −3σ5 0 0 4 −1 0 −3σ5 = 0
Tính kết thức trên ta thu được kết quả sau : 16σ3
3 −6σ3σ5 −σ2
3 −9σ2 5 = 0
Từ hai kết quả trên ta nhận thấy rằng mối quan hệ đa thức thu được từ R(σ3, σ5) là bằng bình phương mối quan hệ đa thức thu được từ R*(σ3, σ5).
4.3 Iđêan các đa thức
Trong phần này chúng ta mô tả tất cả các đa thức T với hệ số nguyên mà T(σi, σj) = 0, với mỗi cặp i và j đặc trưng thoả mãn 1 ≤i < j. Để làm được điều này, chúng tôi mượn một ý tưởng từ hình học đại số và nghiên cứu họ của các đa thức triệt tiêu trên một tập hợp cho trước.
(Để biết thêm chi tiết, đôc giả xem tại tài liệu số [2])
Chúng tôi biểu thị các số nguyên bởiZ, và các vành của các đa thức với hệ số nguyên của hai biến x, y bởi Z[x, y]. Một điều quan trọng ở đây là chúng ta cần khoảng Z[x, y] là một miền nhân tử hoá duy nhất, điều này có nghĩa là bất kì đa thức trong Z[x, y] có thể phân tích được thành tích của các đa thức bất khả quy một cách duy nhất, sai khác một thứ tự và nhân tử (- 1), cách phân tích này là duy nhất.
(Chi tiết tại tài liệu số [1] trang 172 - 176)
Điều mà chúng tôi muốn nói đến ở đây là nghiên cứu họ : Γ = {T ∈ Z[x, y] : T (σ1, σj) = 0}
mà chúng ta có thể viết lại như sau : Γ = nT ∈ Z[x, y] : T = 0 trên Pij
o
Ở đâyP
ij được đưa ra là tập hợp các điểm{(σi(n), σj(n)) ∈ R2 :n = 1,2, ...}
Bây giờ ta cho E là tập con bất kì khác rỗng của R2 và ta xác định :
I (E) =T ∈ Z[x, y] : T = 0 trên E .
Tập I(E) được biết đến trong lý thuyết vành như là một iđêan, nó được đóng dưới phép cộng và tíchT1T2 ∈ I (E)với bất kì một trong haiTi ∈ I(E). Chúng tôi muốn nghiên cứu các trường hợp mà theo đó I(E) bao gồm tất cả các đa thức bội số của một đa thức T0(x, y), khi đó I(E) là iđêan chính sinh bởi T0.
Chúng ta có các kết quả sau :
4.4 Bổ đề
Cho f và g là đa thức khác hằng với hệ số hữu tỉ với biến số thực, và cho
E = {(f (n), g(n)) : n= 1,2, ....}. Khi đó I(E) được sinh bởi một đa thức bất khả quy không tầm thường trong Z[x, y].
Chứng minh : Chúng ta thấy rằng có một đa thức P hai biến mà với mọi số nguyên n, P (f (n), g(n)) = 0. Đa thức P này có thể thu được từ kết thức của f và g. Khi đó nếu f và g có hệ số hữu tỉ thì P có thể biến đổi thành đa thức có hệ số nguyên.
Chúng ta có thể chọn P là bất khả quy, giả sử rằng P = P1...Pl, ở đây
Pj là những nhân tử bất khả quy của P. Khi đó phải có ít nhất một trong những nhân tử Pj sao cho đa thức Pj(f (n), g(n)) triệt tiêu tại vô hạn giá trị số nguyên n. Nó cho thấy rằng đa thức Pj(f (x), g(x)) có vô số nghiệm và bị triệt tiêu với mọi x, và do đó cũng cho tất cả số nguyên n.Vậy tồn tại một đa thức bất khả quy trong P trong Z[x, y] sao cho P(f, g) = 0.
Bây giờ chúng ta phải chỉ ra rằng P là ước của bất kì đa thức T trong
Z[x, y] mà T(f, g) = 0. Đầu tiên chúng ta thấy rằng P và T là các đa thức biến y có hệ số của đa thức theo x. Và sau đó chúng tôi tính toán các kết thức của P và T bằng cách loại bỏ biến y.
Kết thức thu được là một đa thứcR(x), và khi đó có đa thứcA(x, y), B(x, y) trong Z[x, y] thoả mãn :
A(x, y)P(x, y) +B(x, y)T(x, y) = R(x).
Ở đây coi các đa thức trên theo biến y, khi đó ta có :
deg(B) < deg(P) và deg(A) < deg(T).
(Xem chi tiết tài liệu số [1], Mệnh đề 4.2.4, trang 179 và trang 192) Khi P (f (n), g(n)) và T (f (n), g(n)) triệt tiêu với mỗi số nguyên n, chúng ta thấy rằng R(n) = 0 với mỗi số nguyên n. Khi đó R là đa thức không và do đó P(x, y) là ước của tích B(x, y)T(x, y). Khi P là bất khả quy, nó sẽ là ước của B hoặc T và do deg(B) < deg(P), nên P không thể là ước của B suy ra P là ước của T.
Khi đó ta kết luận được I(E) là iđêan chính sinh bởi P.
4.5 Định lý
Nếu i và j là các số nguyên với 1≤ i ≤ j. Khi đó có một đa thức bất khả quy khác hằng Tij trong Z[x, y] sao cho Tij(σi, σj) = 0.
Hơn nữa, Tij chia hết P với bất kì P trong Z[x, y] mà P(σi, σj) = 0. Từ kết quả này cho thấy rằng mối quan hệ giữa đa thức σi và σj là một hệ quả của mối quan hệ Tij(σi, σj) = 0
Ví dụ như T13(x, y) = 1−x2.
P (σ1, σ3) = 0 đúng là do nhân tử y −x2.
Nếu P là đa thức bất khả quy khác hằng trong Z[x, y] thỏa mãn
P (σi, σj) = 0 thì P = ±Tij.
Nhận xét này cho phép chúng ta xác định được Tij trong một số trường hợp. Ví dụ từ (3.2), (3.3) để chứng minhT23(x, y) = 81x4−18x2y+y2−64y3 và T35(x, y) = 16x3 − x2 −6xy −9y2 ta chỉ cần chứng minh các đa thức này là bất khả quy trên Z.
Kết luận
Trong luận văn này chúng tôi trình bày lại chi tiết một số kết quả về tổng các lũy thừa dựa theo tài liệu số [5]. Sơ lược một số khái niệm về tổng lũy thừa của các số nguyên kí hiệu bởi σk(n) là đa thức bậc k + 1 theo biến n. Khái niệm về dãy số Bernoulli và trình bày cách chứng minh rất rõ ràng các số Bernoulli có liên quan đến hệ số của các đa thức σk(n).
Sau đó ở chương 2, chúng tôi đã trình bày chứng minh định lý 2.1 rất quan trọng về sự biểu diễn của các σk qua σ1:
+ Khi k là lẻ : σk = Fk(σ1) + Khi k là chẵn : σk = σ2Fk(σ1)
Từ các Ví dụ 2.3.1 cho đến Ví dụ 2.3.6 do chúng tôi tự tính toán và đã tìm được rất rõ ràng một số đa thức Faulhaber Fk.
Ở chương 3, với cách khử biến thông thường bằng các phép tính đại số, chúng tôi đã tự tính toán trong 3.1 tìm được mối quan hệ giữa σi và σj với những giá trị k nhỏ. Để tìm được kết quả tổng quát, chúng tôi thấy rằng phương pháp dùng kết thức để khử biến là cách tìm đơn giản hơn. Hơn nữa, chúng tôi đã trình bày ý tưởng chứng minh Định lý 4.1 nói về mối quan hệ giữa hai kết thức R(f,g); R*(f,g) và cũng đưa ra Ví dụ 4.2 để minh họa cho mối quan hệ này.
Cuối cùng, chúng tôi trình bày chứng minh tập
I(E) = T ∈ Z[x, y] :T = 0 trên E là iđêan chính và dựa vào đó trình bày các cơ sở lý thuyết về iđêan các đa thức.
Tài liệu tham khảo
[1]Brieskorn, E. and Knorrer, H.,Plane algebraic curves, Birkhauser, 1986. [2] Cox, D., Little, J. and O’Shea, D., Ideals, varieties and algorithms, Springer - Verlag, 1992.
[3] Rose, H. E., A course in number theory, Oxford Univ. Press, 1989. [4] Van de Waerden, B. L., Modem Algebra, Volume 1, Ungar Pub. Co., 1949.
[5] Beardon, A. F., Sums of Powers of Integers, Amer. Math. Monthly, 103 (1996), no. 3, 201 - 213.