Phép tính tích phân và áp dụng

Để có các kiến thức về giải tích một cách có hệ thống và khoa học thì việc nắm vững và hiểu sâu sắc các kiến thức ban đầu của giải tích: “ Phép tính tích phân” là điều cần thiết và quan

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS PHAN ĐỨC TUẤN

Phản biện 1: TS Trương Công Quỳnh

Phản biện 2: TS Hoàng Quang Tuyến

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp tại Đại Học Đà Nẵng vào ngày

13 tháng 8 năm 2016

Có thể tìm hiểu Luận văn tại:

- Trung tâm Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là môn khoa học gắn liền với thực tiễn Trong toán học, giải tích chiếm một vị trí vô cùng quan trọng Các kết quả nghiên cứu được trong giải tích không chỉ áp dụng trong các lĩnh vực của Toán học mà còn áp dụng trong các ngành khoa học khác như Vật lý, Hóa học,Thiên văn học

Để có các kiến thức về giải tích một cách có hệ thống và khoa học thì việc nắm vững và hiểu sâu sắc các kiến thức ban đầu của giải tích: “ Phép tính tích phân” là điều cần thiết và quan trọng

Vì những lí do trên chúng tôi lựa chọn đề tài: “Phép tính tích phân

và áp dụng”

2 Mục tiêu và nội dung nghiên cứu của đề tài

Mục tiêu của đề tài là nhằm giúp người đọc hiểu được về phép tính tích phân và một số áp dụng của nó Một số điểm cố gắng đưa vào trong luận văn là:

- Trình bày một số định nghĩa liên quan đến phép tính tích phân, chứng minh chặt chẽ các định lý liên quan

- Giới thiệu một số áp dụng cụ thể của tích phân

- Đưa nhiều ví dụ và bài tập liên quan đến đề tài

Nội dung của đề tài được dự định chia thành 2 chương và phụ lục:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Áp dụng của phép tính tích phân

Trong mỗi phần sẽ đưa vào các ví dụ và bài tập áp dụng cụ thể

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các bài toán áp dụng trong tích phân

Phạm vi nghiên cứu của đề tài là vận dụng các phương pháp giải toán thích hợp trong tích phân để giải quyết các bài toán bất đẳng thức và giới hạn

4 Phương pháp nghiên cứu

1 Thu thập các bài báo khoa học và tài liệu của các tác giả nghiên cứu liên quan đến phép tính tích phân

2 Tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn để trao đổi các kết quả đang nghiên cứu

5 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo, nội dung luận văn được chia thành hai chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương 1, luận văn trình bày: Các định nghĩa, khái niệm và kết quả cơ bản của tích phân xác định; bất đẳng thức tích phân và một số ứng dụng hình học, vật lý của của tích phân để làm cơ sở cho chương sau

Chương 2 Các dạng bài tập áp dụng phép tính tích phân.Trong chương 2, luận văn trình bày:

Các bài toán liên quan các tính chất của tổng Darboux; bất đẳng thức tích phân và giới thiệu một số bài toán áp dụng hình học, vật lý trong tích phân xác định

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này nhắc lại một số kiến thức cơ sở về tích phân,bất đẳng thức có liên quan đến việc nghiên cứu trong chương tiếp theo Các nội dung trình bày trong chương chủ yếu được tham khảo trong các tài liệu [1], [3], [4], [5],[7]

Ta cho max ∆𝑥𝑘 → 0 nếu 𝑆𝑛 tiến đến một giới hạn hữu hạn

mà không phụ thuộc cách chia [𝑎, 𝑏] và cách lấy điểm 𝑀𝑘 thì giới hạn đó được gọi là tích phân xác định của hàm 𝑓(𝑥) trên [𝑎, 𝑏] và kí hiệu là

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

Khi ấy, ta nói hàm 𝑓(𝑥) khả tích trên [𝑎, 𝑏]

1.1.3 Ý nghĩa hình học của tích phân xác định

Ta giả sử ngược lại rằng hàm 𝑓 không bị chặn trên [𝑎, 𝑏] Bởi

vì hàm 𝑓 không bị chặn trên [𝑎, 𝑏] nên với phân điểm 𝑇 bất kì của đoạn [𝑎, 𝑏], hàm𝑓 không bị chặn ít nhất trên một đoạn con nào đó

Để đơn giản cho việc chứng minh, ta giả sử nó không còn bị chặn trên [𝑥0, 𝑥1]

Khi đó trong các đoạn còn lại [𝑥1, 𝑥2], [𝑥2,𝑥3], … , [𝑥𝑛−1, 𝑥𝑛] ta hãy chọn các điểm tùy ý ξ1,ξ2, … , ξ𝑛 và kí hiệu:

Nếu {𝑥𝑘} là một phân điểm của đoạn [𝑎, 𝑏], ta có bất đẳng thức sau:

𝑆𝑛 ≤ 𝜎𝑛≤ 𝑆𝑛 (1.2.5)

1.2.3 Các tính chất của tổng tích phân Darboux

1.2.4 Dấu hiệu tồn tại của tích phân xác định

Định lý 1.2 Để hàm bị chặn 𝑓(𝑥) khả tích trên đoạn [𝑎, 𝑏] điều kiện cần và đủ là:

𝑑 = max

𝑘 ∆𝑥𝑘, lim

𝑑→0(𝑆𝑛− 𝑆𝑛) = 0 (1.2.10) Điều kiện (1.2.10) nghĩa là:

∀𝜀 > 0, ∃𝛿 = 𝛿(𝜀) > 0, sao cho nếu 𝑑 < 𝛿 thì:

|𝑆𝑛− 𝑆𝑛| < 𝜀 (1.2.11) không phụ thuộc vào cách chọn các điểm 𝜉𝑘 ∈ [𝑥𝑘−1, 𝑥𝑘]

1.3 CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA TÍCH PHÂN

1.3.1 Công thức Newton-Leibnitz

Nếu hàm 𝑓(𝑥) liên tục trên đoạn [𝑎, 𝑏] và 𝐹(𝑥) là một nguyên

Giả sử thoả mãn các điều kiện sau:

1) Hàm 𝑓(𝑥) liên tục trên đoạn [a,b]

2) Hàm 𝜑(𝑡) khả vi, liên tục trên đoạn [𝛼, 𝛽]

Định lí 1.5 (Tính chất cộng của tích phân) Cho ba đoạn

[𝑎, 𝑏], [𝑎, 𝑐]và [𝑐, 𝑏] Nếu 𝑓(𝑥) khả tích trên đoạn có độ dài lớn nhất

thì nó cũng khả tích trên đoạn còn lại và

Định lí 1.6 Tính khả tích và giá trị của tích phân không thay

đổi nếu ta thay đổi giá trị của nó tại một số hữu hạn điểm

Định lí 1.7 Giả sử𝑓(𝑥) khả tích trên [𝑎, 𝑏]

𝑎) Nếu𝑓(𝑥) ≥ 0 ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] , 𝑎 < 𝑏, thì ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

≥ 0 𝑏) Nếu𝑓(𝑥) > 0 ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] , 𝑎 < 𝑏, thì ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

Khi đó∃𝜇 , 𝑚 ≤ 𝜇 ≤ 𝑀 sao cho:

Dấu ′′ = ′′ chỉ xảy ra khi và chỉ khi 𝑏 = 𝑓(𝑎)

Mệnh đề 1.5.Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) liên tục, không âm và đơn điệu tăng trên [𝛼, 𝛽), 0 ≤ 𝛼 ≤ 𝛽 Khi đó ∀𝑎 ∈ [𝛼, 𝛽), ∀𝑏 ∈[𝑓(𝛼), 𝑓(𝛽)) ta có:

CHƯƠNG 2

ÁP DỤNG CỦA PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số bài toán liên quan đến các tính chất tổng Darboux,bất đẳng thức tích phân và giới thiệu một số bài toán liên quan đến hình học, vật lí của tích phân xác định…Các kiến thức trình bày trong chương được tham khảo ở các tài liệu [1],[2],[3],[4],[6],[7] và [8]

Bài toán 2.4 Giả sử 𝐹(𝑥) và 𝐺(𝑥) là những hàm khả tích trên đoạn [0,1] đồng thời trên đoạn này 𝐹(𝑥) ≤ 𝐺(𝑥)

Nếu hàm 𝑓(𝑥) bằng 𝐺(𝑥) khi 𝑥 ∈ 𝑋𝑟 ,bằng F(x) nếu 𝑥 ∉ 𝑋𝑟(𝑋𝑟 kí hiệu giống bài toán trước), hãy chứng minh rằng

Bài toán 2.5 Tính tích phân xác định, xem chúng như là giới

hạn của tổng tích phân tương ứng và phân chia đoạn lấy tích phân một cách thích hợp

𝑎) ∫ 𝑥2 2 𝑑𝑥

−1

𝑏) ∫ sin𝑥𝑑𝑥

𝜋 2

0

𝑐) ∫ 𝑑𝑥

𝑥 2 1 0

𝑑) ∫ 𝑥𝑏 𝑚 𝑎

Bài toán 2.7 Giả sử hàm 𝑓(𝑥) khả tích trên [𝑎, 𝑏]

Chứng minh rằng ∫ 𝑓𝑎𝑏 2(𝑥)𝑑𝑥 = 0khi và chỉ khi 𝑓(𝑥) =

0 tại tất cả những điểm liên tục của hàm 𝑓(𝑥) thuộc đoạn [𝑎, 𝑏]

2.1.2 Tính giới hạn của tổng nhờ tích phân không xác định Bài toán và cách trình bày

Cho 𝑆𝑛= 𝑢1+ 𝑢2+ ⋯ + 𝑢𝑛 Tính lim

𝑛→∞𝑆𝑛

Lời giải.Ngoài cách tính trực tiếp tổng 𝑆𝑛 thông qua các công thức về dãy cấp số cộng, cấp số nhân Ta có thể tính bài toán này nhờ tích phân sau:

2 Chỉ ra hàm 𝑓 và chứng minh 𝑓 liên tục trên [𝑎; 𝑏]

3 Kết luận lim

𝑛→∞𝑆𝑛= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎𝑏 Trong thực hành chúng ta thương gặp các dạng đơn giản 𝑎 =

0, 𝑏 = 1 Khi đó các giai đoạn trên được rút gọn như sau:

𝜋 4

0

𝜋 4

0

4≤ ∫ (sin 𝑥 + cos 𝑥)𝑑𝑥

𝜋 4

Bài toán 2.16 Cho 𝑓(𝑥) liên tục trên đoạn [0;1], 0 ≤ 𝑓(𝑥) ≤

√𝑒2𝑡+ 𝑒−𝑡 > 𝑒𝑡, 0 < 𝑡 < 𝑥

Bài toán 2.27 Cho 𝑛 số tự nhiên lớn hơn 1 Chứng minh rằng

1 22 33… 𝑛𝑛>𝑛

𝑛(𝑛+1) 2

ln 1 + ln 22+ ln 33+ ⋯ + ln 𝑛𝑛> ln 𝑛𝑛(𝑛+1)2 − ln 𝑒𝑛2−14 Suy ra

1 22 33… 𝑛𝑛>𝑛

𝑛(𝑛+1) 2

Hay

𝑥 ln (𝑥 + √1 + 𝑥2) − √1 + 𝑡2|0𝑥> 0

Do đó

𝑥 ln (𝑥 + √1 + 𝑥2) − √1 + 𝑡2+ 1 > 0 Với 𝑡 < 0 thì

ln (𝑡 + √1 + 𝑡2) = − ln (−𝑡 + √1 + 𝑡2) < 0 Nên khi 𝑥 < 0, ta có:

(ln|1 + 𝑡|)|𝑦𝑥 > (𝑡 −𝑡22) |𝑦𝑥

Bài toán 2.30 Chứng minh bất đẳng thức

2.2.2 Áp dụng trong bài toán cực trị

Bài toán 2.32 Cho trước 𝑛 ∈ 𝑁∗.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

Nhận xét: Nếu ta cố định cận 𝑥 =𝜋

4 và đặt:

𝐼𝑛= ∫ 𝑥

𝜋 4

0

tan𝑛𝑥𝑑𝑥, 𝑛 ∈ 𝑁∗ thì

Bài toán 2.36 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

𝑔(𝑥) = sin3𝑥 + 3 sin 𝑥 − 4√sin 𝑥

2.3.2 Tính độ dài đường cong phẳng

Bài toán 2.41 Tính độ dài cung của đường cycloid có phương

trình

{𝑦 = 𝑎(1 − cos 𝑡) (0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋) 𝑥 = 𝑎(𝑡 − sin 𝑡)

2.3.3 Tính thể tích vật thể

Bài toán 2.43 Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng

giới hạn bởi đường 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥2 và 𝑦 = 0 khi:

KẾT LUẬN

Dưới sự hướng dẫn của TS Phan Đức Tuấn tôi đã hoàn thành luận văn đúng tiến độ và đạt được mục tiêu, nhiệm vụ nghiên cứu đề

ra Cụ thể luận văn đã đạt được những kết quả sau:

1 Luận văn đã trình bày một cách rõ ràng, có hệ thống và tổng quan về các kiến thức liên quan đến các công thức phép tính tích phân

2 Luận văn đã lựa chọn và phân loại hệ thống bài tập phong phú từ cơ bản đến nâng cao

3 Kết quả của luận văn nhằm giúp người đọc hiểu rõ hơn về phép tính tích phân và luận văn là tài liệu tham khảo cho sinh viên tìm hiểu thêm về phép tính tích phân và áp dụng

Tuy nhiên, do những hạn chế về mặt thời gian, kinh nghiệm và luận văn cũng là bước đầu cho việc nghiên cứu khoa học đối với tôi nên các kết quả đạt được trong luận văn cũng còn khá khiêm tốn