2 Mët sè ùng döng cõa ph²p t½nh vi ph¥n cõa h m vectì
2.4.2Vi ph¥n cõa mët h m vectì nhi·u bi¸n sè
Trong möc tr¶n, ta ¢ ành ngh¾a vi ph¥n cõa h m vectì mët bi¸n sè. Trong möc n y, ta s³ · cªp ¸n vi ph¥n cõa h m vectì nhi·u bi¸n sè, tùc l c¡c h m x¡c ành tr¶n mët tªp hñp trong khæng gianRp (pnguy¶n, p >1 ) v l§y c¡c gi¡ trà (£nh) trong khæng gianRq
(q nguy¶n d÷ìng).
C¡c h m sè th nh ph¦n cõa h m vectì nhi·u bi¸n sè
Gi£ sû Ω l mët tªp hñp trong khæng gianRp (p nguy¶n , p >1 ) v f : Ω→Rq (q
nguy¶n d÷ìng) l mët h m (¡nh x¤).
Vîi méi x = (x1, x2, ..., xp) ∈Ω, f(x) = f(x1, x2, ..., xp) l mët vectì cõa khæng gian
Rq. Do â
f(x) = (f1(x), f2(x), ..., fp(x))
Hay f(x1, x2, ..., xp) = (f1(x1, ..., xp), ..., fq(x1), ..., xp)),
Trong â f1(x) = f1(x1, ..., xp), i = 1, ..., q l nhúng sè thüc; f1, f2, ..., fq l nhúng h m sè thüc x¡c ành tr¶n tªp hñpΩ;â l nhúng h m sèp bi¸n sè. Ta gåi chóng l c¡c h m sè th nh ph¦n cõa h m vectì f v vi¸t
f = (f1, f2, ..., fq).
¤o h m ri¶ng cõa h m vec tì nhi·u bi¸n sè
ành ngh¾a 2.4.1. Gi£ sûΩ l mët tªp hñp mð trong khæng gian Rp ( pnguy¶n v lîn hìn 1) v f = (f1, f2, ..., fq) : Ω → Rq l mët h m (vectì). N¸u c¡c h m sè th nh ph¦n
f1, f2, ..., fq cõa h m vectì f câ ¤o h m ri¶ng ∂f1
∂xi(x0),∂f2
∂xi(x0), ...,∂fq
∂xi(x0)
Theo bi¸n sè (thù i)xi(i∈ {1,2, ..., p})t¤i iºmx0 ∈Ωth¼ vectì∂f1
∂xi(x0),∂f2
∂xi(x0), ...,∂fq
∂xi(x0)
∈
Rq ÷ñc gåi l ¤o h m ri¶ng theo bi¸n sè thù i cõa f t¤i iºm x0, k½ hi»u l
∂f ∂xi(x0) ho°c f′x i(x0)ho°c Dif(x0). Nh÷ vªy ∂f ∂xi(x0) = ∂f1 ∂xi(x0), ...,∂fq ∂xi(x0).
Gåi {e1, e2, ..., ep}l cì sð tü nhi¶n cõa khæng gian Rp.V¼Ωl tªp hñp mð v x0 ∈Ω
n¶n vîit∈R,|t| õ nhä, x0+tei ∈Ω. D¹ th§y ∂f ∂xi(x0) = lim x→∞ f(x0+tei)−f(x0) t .
ành ngh¾a vi ph¥n cõa h m vectì mët bi¸n sè trong 2.3 ÷ñc mð rëng mët c¡ch tü nhi¶n cho tr÷íng hñp h m vectì nhi·u bi¸n sè.
ành ngh¾a vi ph¥n cõa h m vectì nhi·u bi¸n sè
d÷ìng) l mët h m. Ta nâi r¬ng h m f kh£ vi t¤i iºm a ∈ Ω n¸u tçn t¤i mët ¡nh x¤ tuy¸n t½nhA :Rp →Rq sao cho
lim (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
h→0
∥f(a+h)−f(a)−A(h)∥
∥h∥ = 0.
Khi â, ¡nh x¤ tuy¸n t½nh A ÷ñc gåi l vi ph¥n cõa h m f t¤i iºm a, k½ hi»u l
df(a).
Nh÷ vªy df(a)∈L(Rp,Rq) v lim
h→0
∥f(a+h)−f(a)−df(a)(h)∥
∥h∥ = 0.
H m f ÷ñc gåi l kh£ vi tr¶n tªp hñp U ⊂Ωn¸u nâ kh£ vi t¤i måi iºm cõa U.
D÷îi ¥y l c¡c i·u ki»n t÷ìng ÷ìng cõa ành ngh¾a vi ph¥n.
ành lþ 2.4.2. Gi£ sû Ω l mët tªp hñp mð trong Rp, f : Ω → Rq l mët h m. Khi â c¡c i·u ki»n sau l t÷ìng ÷ìng:
a) f kh£ vi t¤i iºm a∈Ω v df(a) = A∈L(Rp,Rq).
b) Tçn t¤i mët h m r :V →Rq x¡c ành tr¶n mët l¥n cªn V cõa iºm 0∈Rp v l§y c¡c £nh trong Rq sao cho (∀h∈V)f(x+h)−f(a)−Ah=∥h∥r(h) v lim
h→0r(h) = 0, hay
f(a+h)−f(a)−Ah= 0(∥h∥) khi h→0.
c) Vîi mët sè d÷ìng ε b§t k¼ cho tr÷îc, tçn t¤i mët sè d÷ìng δ sao cho
(∀h∈Rp)∥h∥ ≤δ⇒ ∥f(a+h)−f(a)−Ah∥ ≤δ∥h∥.
(ð ¥y ta ¢ sû döng k½ hi»u Ah thay cho A(h)).
Chùng minh. a)⇒b). Ta câ
lim
h→0
∥f(a+h)−f(a)−A(h)∥
∥h∥ = 0.
V¼ Ωl mët tªp hñp mð trongRp n¶n vîi∥h∥ õ nhä (h∈Rp),ta câa+h∈Ω. °t
r(h) = f(a+b)−f(a)−Ah ∥h∥ (h̸= 0) 0 (h = 0)
ta ÷ñc h m r x¡c ành tr¶n mët l¥n cªn õ nhä V cõa 0∈Rp v l§y c¡c £nh trong
Rq. Tø â suy ra
f(a+h)−f(a)−Ah=∥h∥r(h) v lim
h→0f(h) = 0. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Hiºn nhi¶n b)⇒a).
V¼ lim
h→0f(h) = 0 khi v ch¿ khi vîi mët sè d÷ìng ε b§t k¼ cho tr÷îc, tçn t¤i mët sè
d÷ìngδ sao cho ∥h∥ ≤δ⇒ ∥r(h)∥ ≤ε n¶n b) t÷ìng ÷ìng vîi c).
ành lþ 2.4.3. Gi£ sû Ω l mët tªp hñp mð trong khæng gian Rp v f : Ω→ Rq l mët h m. N¸u f kh£ vi t¤i iºm a∈Ω th¼ vi ph¥n df(a) cõa h m f t¤i iºm a l duy nh§t.
Chùng minh. Gi£ sû hai ¡nh x¤ tuy¸n t½nh A, B :Rp →Rq ·u l vi ph¥n cõa h mf
t¤i iºm a . Khi â tçn t¤i hai h mr v s x¡c ành tr¶n mët l¥n cªnV cõa iºm 0∈Rp
f(a+h)−f(a)−Ah=∥h∥r(h), f(a+h)−f(a)−Bh=∥h∥s(h), v lim h→0r(h) = 0,lim h→0s(h) = 0.Tø hai ¯ng thùc tr¶n suy ra (A−B) = ∥h∥[s(h)−r(h)].(1)
Gi£ sû A ̸= B. Khi â tçn t¤i h0 ∈ Rp sao cho (A−B)h0 ̸= 0. Hiºn nhi¶n th0 ∈ V
vîi sè d÷ìngt õ nhä. Trong (1) thay h bði th0 ta ÷ñc
(A−B)(th0) =∥th0∥[s(th0)−r(th0)] Hay (A−B)(h0) = ∥h0∥[s(h0)−r(h0)] (2) V¼ lim t→0r(th0) = 0 v lim t→0s(th0) = 0 n¶n tø (2) suy ra (A−B)h0 = 0. Ta i ¸n m¥u thu¨n.
V½ dö 2.4.2. Gi£ sûΩl mët tªp hñp mð trong khæng gianRp, b l mët ph¦n tû cè ành cõa Rq v f : Ω→Rq l h m x¡c ành bði f(x) = b vîi måix∈Ω.
N¸u x ∈ Ω v A : Rp → Rq l ¡nh x¤ khæng, tùc l Au = 0 vîi måi u ∈ Rp th¼ vîi måi h∈Rp,∥h∥ õ nhä, ta câ f(x+h)−f(x)−Ah=b−a−0 = 0.
Do â h m h¬ngf kh£ vi t¤i méi iºmx∈Ωv df(x)l ¡nh x¤ khæng tøRp v oRq.
V½ dö 2.4.3. Gi£ sûΩl mët tªp hñp mð trong khæng gianRp, A:Rp →Rq l mët ¡nh x¤ tuy¸n t½nh v f =A|Ω, tùc l f : Ω→Rq l h m x¡c ành
bði f(x) = Ax vîi måix∈Ω. Khi â, vîi måi x∈Ω v vîi måih ∈Rp,∥h∥õ nhä, ta câ
f(x+h)−f(x)−Ah=A(x+h)−Ax−Ah= 0.
Do â f kh£ vi t¤i x v df(x) = A.
Nh÷ vªy h m f, thu hµp cõa mët ¡nh x¤ tuy¸n t½nh A :Rp →Rq tr¶n mët tªp hñp mð Ωtrong Rp, l kh£ vi tr¶n Ω v ∀x∈Ω, df(x) =A.
KT LUN
· t i nghi¶n cùu "Ph²p t½nh vi ph¥n cõa h m vectì v mët sè ùng döng" ¢ ¤t ÷ñc mët sè k¸t qu£ sau ¥y:
• H» thèng hâa mët sè kh¡i ni»m v c¡c k¸t qu£ li¶n quan tîi vectì, h m vectì, giîi h¤n v li¶n töc cõa h m vectì, ¤o h m cõa h m vectì.
• Tr¼nh b y mët sè ùng döng cõa h m vectì trong nghi¶n cùu v· tr÷íng vectì v tr÷íng væ h÷îng, trong mët sè b i to¡n v· vªt lþ v trong nghi¶n cùu d¤ng vi ph¥n trong to¡n håc.
Ngo i ra, qua nghi¶n cùu chung ta công th§y r¬ng c¡c h m sè ·u câ thº ÷a v· mæ h¼nh h m vectì. Nh÷ vªy ¥y l c¡ch ti¸p cªn kh¡ mîi m´ v thi¸t thüc èi vîi ch÷ìng tr¼nh to¡n phê thæng. V¼ vªy, k¸t qu£ cõa · t i s³ l cð sð quan trång cho vi»c êi mîi nëi dung v ph÷ìng ph¡p d¤y håc to¡n ð phê thæng theo ành h÷ìng cõa ch÷ìng tr¼nh gi¡o döc phê thæng 2018.
M°c dò ¢ câ nhi·u cè g¯ng º thüc hi»n luªn v«n. Nh÷ng do n«ng lüc cõa b£n th¥n v quþ thíi gian ½t n¶n luªn v«n khâ tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât. Em r§t mong nhªn ÷ñc c¡c þ ki¸n ph£n bi»n v gâp þ cõa quþ Th¦y trong Hëi çng º luªn v«n ÷ñc ho n thi»n hìn.
T i li»u tham kh£o Ti¸ng Vi»t
[1] Nguy¹n Xu¥n Li¶n (2009), Gi£i t½ch vectì, NXB Gi¡o döc Vi»t Nam. [2] Nguy¹n Xu¥n Li¶n (1998), Gi£i t½ch (tªp 1, 2), NXB Gi¡o döc Vi»t Nam. [3] o n Quýnh (2000), H¼nh håc vi ph¥n, NXB Gi¡o döc Vi»t Nam.
[4] Tr¦n B¼nh (2000), Ph²p t½nh vi ph¥n v t½ch ph¥n (Tªp 1, 2), NXB Khoa håc - Kÿ thuªt.
Ti¸ng Anh
[5] James Stewart (2008), Calculus (2nd edition), Books/Cole Publishing Company. [6] George F. Simmons (1996), Calculus with analytic geometry, McGraw Hill Inc. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
BẢN TƯỜNG TRÌNH BỔ SUNG, SỬA CHỮA LUẬN VĂN
Họ và tên học viên: VŨ THỊ THÙY VÂN
Ngành: TOÁN GIẢI TÍCH. Khóa: K38
Tên đề tài luận văn: PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM VECTO VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG. Người hướng dẫn khoa học: TS. HOÀNG NHẬT QUY
Ngày bảo vệ luận văn: 28 tháng 11 năm 2021.
Sau khi tiếp thu ý kiến của Hội đồng bảo vệ luận văn họp ngày 28/11/2021, chúng tôi giải trình một số nội dung sau:
Những điểm đã bổ sung, sửa chữa:
1- Chỉnh sửa những sai sót về câu chữ, lỗi chính tả trong luận văn.
2- Trong chương II, đã đánh số các định lí, ví dụ, phương trình theo yêu cầu của giáo viên phản biện. Cụ thể: Trang 26, Đánh lại ví dụ 1 thành ví dụ 2.1.1 Trang 27, Đánh lại ví dụ 2 thành ví dụ 2.1.2 Trang 29, Đánh lại ví dụ 3 thành ví dụ 2.1.3 Trang 31, Đánh lại ví dụ 4 thành ví dụ 2.1.4 Trang 32, Đánh lại ví dụ 5 thành ví dụ 2.1.5 Trang 34, Đánh lại ví dụ 6 thành ví dụ 2.1.6
BIÊN BẢN
HỌP HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ
1. Tên đề tài: Phép tính vi phân của hàm véctơ và một số ứng dụng
2. Ngành: Toán giải tích Lớp K38.TGT
3. Theo Quyết định thành lập Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ số 2054/QĐ-ĐHSP ngày 28 tháng 10 năm 2021
4. Ngày họp Hội đồng: ngày 28 tháng 11 năm 2021
5. Danh sách các thành viên Hội đồng:
STT HỌ VÀ TÊN CƯƠNG VỊ TRONG HỘI
ĐỒNG
1. TS. Phạm Quý Mười Chủ tịch
2. TS. Tôn Thất Tú Thư ký
3. TS. Nguyễn Thị Thùy Dương Phản biện 1
4. TS. Lê Quang Thuận Phản biện 2
5. PGS.TS. Nguyễn Văn Đức Ủy viên
a. Thành viên có mặt: 05 b. Thành viên vắng mặt: 0
6. Thư ký Hội đồng báo cáo quá trình học tập, nghiên cứu của học viên cao học và đọc lý lịch khoa học (có văn bản kèm theo)
7. Học viên cao học trình bày luận văn
8. Các phản biện đọc nhận xét và nêu câu hỏi (có văn bản kèm theo) 9. Học viên cao học trả lời các câu hỏi của thành viên Hội đồng 10. Hội đồng họp riêng để đánh giá (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
11. Trưởng ban kiểm phiếu công bố kết quả 12. Kết luận của Hội đồng
a) Kết luận chung:
- Luận văn được trình bày rõ ràng, nội dung phù hợp, kiến thức được trình bày có hệ thống, nhiều kết quả ứng dụng.
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
- Đề nghị Trường ĐHSP-ĐH Đà Nẵng công nhận kết quả bảo vệ và cấp bằng thạc sỹ chuyên ngành Toán Giải tích cho học viên.
b) Yêu cầu chỉnh, sửa về nội dung:
Chỉnh sửa theo góp ý của hội đồng. Đặc biệt theo ý kiến của hai phản biện.
Học viên gửi bản luận văn sau sửa chữa cho cô Nguyễn Thị Thuỳ Dương để xác nhận. c) Các ý kiến khác: Không có.
d) Điểm đánh giá: Bằng số: 8.5 Bằng chữ: Tám phẩy năm 13. Tác giả luận văn phát biểu ý kiến
14. Chủ tịch Hội đồng tuyên bố bế mạc THƯ KÝ HỘI ĐỒNG
TS. Tôn Thất Tú
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
- - - - - -
BẢN NHẬN XÉT LUẬN VĂN THẠC SĨ
(dùng cho thành viên hội đồng là phản biện)
Tên đề tài luận văn: Phép tính vi phân của hàm vecto và một số ứng dụng
Chuyên ngành: Toán giải tích Mã ngành: 8.46.01.02
Họ và tên học viên: Vũ Thị Thùy Vân
Người nhận xét: TS. Nguyễn Thị Thùy Dương
Đơn vị công tác: Trường Đại học Sư phạm – ĐH ĐN
NỘI DUNG NHẬN XÉT
Học viên hoàn thành luận văn theo đề cương đã được duyệt
1. Tính cấp thiết của đề tài: Lý do chọn đề tài phù hợp với nhu cầu nghiên cứu.
2. Cơ sở khoa học và thực tiễn: Luận văn được tổng hợp từ các tài liệu khoa học đáng tin cậy và có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học và những độc giả quan tâm đến lĩnh vực này.
3. Phương pháp nghiện cứu: nghiên cứu lý thuyết.
4. Kết quả nghiên cứu: Tổng quan các kết quả trước đây.Tác giả đã hệ thống lại các kiến thức cơ sở: hàm vecto, phép tính vi phân của hàm vecto và ứng dụng.
5. Hình thức luận văn: Luận văn được biên soạn bằng Latex dài hơn 50 trang, gồm 2 chương: Chương I: Kiến thức cơ sở. Chương II: Một số ứng dụng của phép tính tích phân hàm vecto. Trong luận văn ít lỗi chế bản. Tuy nhiên, vẫn còn một vài chỗ cần chỉnh sửa: mục 1.4 các quy tắc tính đạo hàm nằm trong
mục 1.3, cần đồng nhất cách đánh số thứ tự của các định nghĩa, định lí và ví dụ trong các chương với nhau. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
6. Đánh giá chung:
Tôi đồng ý cho học viên bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn thạc sĩ.
Đà Nẵng, ngày 21 tháng 11 năm 2021
Người nhận xét
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
---o0o---
BẢN NHẬN XÉT LUẬN VĂN THẠC SĨ
(Dùng cho thành viên hội đồng là phản biện)
Tên đề tài luận văn: Phép tính vi phân của hàm vectơ và một số ứng dụng.
Ngành: Toán giải tích Mã ngành: 8460102
Họ và tên học viên: Vũ Thị Thùy Vân Người nhận xét: TS. Lê Quang Thuận. Đơn vị công tác: Trường Đại học Quy Nhơn.
NỘI DUNG NHẬN XÉT 1. Tính cấp thiết của đề tài:
Trong Giải tích toán học, một hàm véctơ là một hàm của một biến hoặc nhiều biến và nhận giá trị trong một không gian véctơ. Các hàm véctơ là một công cụ hữu dụng để xác định phương trình tham số của đường cong và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực như vật lý, kỹ thuật. Các phép tính vi phân và tích phân của các hàm một biến mở rộng nghiên cứu cho các hàm véctơ. Trong luận văn, học viên Vũ Thị Thùy Vân đã tìm hiểu về phép tính vi phân của các hàm véc tơ và tìm hiểu các ứng dụng của phép tính tích phân hàm véctơ trong các bài toán hình học định lượng, nghiên cứu các trường véc tơ, và đặc biệt là các ứng dụng trong vật lý. Việc nghiên cứu đề tài là một việc làm có ý nghĩa và cấp thiết đối với những ai có đam mê hướng nghiên cứu này.
2. Cơ sở khoa học và thực tiễn:
Tác giả tìm hiểu và viết luận văn dựa trên việc tham khảo các kết quả mới từ các tài liệu chuyên ngành về lĩnh vực, được xuất bản bởi các NXB uy tín trong nước và trên thế giới. Các kết quả thu được chứng minh một cách chặt chẽ và đầy đủ, luận văn do vậy có cơ sở khoa học. Về ý nghĩa thực tiễn, đây có thể là một tài liệu tham khảo bằng tiếng Việt bổ ích cho học viên cao học ngành Toán Giải tích và các độc giả quan tâm về lĩnh vực hàm véctơ và ứng dụng.
3. Phương pháp nghiên cứu:
Trên cơ sở các phương pháp và kỹ thuật nghiên cứu đã được trang bị từ lĩnh vực Giải tích các hàm một biến và nhiều biến, Đại số tuyến tính, học viên đã sưu tầm các tài liệu liên quan đến
đề tài và đọc hiểu, tổng hợp và làm rõ tường minh các kết quả liên quan đến chủ đề nghiên cứu. Đây là cách hợp lý để nghiên cứu và hoàn thiện luận văn.
4. Kết quả nghiên cứu:
- Đã hệ thống hóa một số khái niệm và các kết quả liên quan tới vectơ, hàm vectơ, giới hạn và tính liên tục của hàm véc tơ, đạo hàm của hàm véctơ.
- Trình bày một số ứng dụng của hàm vectơ và phép tính vi phân của hàm vectơ trong nghiên cứu một số trường vectơ trong vật lý, trong nghiên cứu dạng vi phân trong toán học. Các kết quả ứng dụng đưa ra trong luận văn khá nhiều.
5. Hình thức luận văn:
- Luận văn có bố cục hợp lý và hình thức trình bày đạt yêu cầu của một luận văn thạc sĩ. Nội dung của luận văn được trình bày trong 2 chương với 84 trang A4. Trong Chương 1, tác giả trình bày một số kiến thức cơ sở về hàm véc tơ, về đạo hàm và tích phân hàm véc tơ, trường véc tơ. Chương 2 tác giả dành cho việc trình bày một số ứng dụng của phép tính vi phân hàm véctơ. - Tuy nhiên, luận văn còn một số sai sót nhỏ về câu chữ, lỗi chính tả, về cách viết cần phải sửa chữa. Đặc biệt trong chương 2, việc đánh số các định lý, ví dụ, các phương trình chưa chuẩn.