Hàm vectơ và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ PHƢƠNG THẢO HÀM VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS LÊ VĂN DŨNG Đà Nẵng - Năm 2016 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả luận văn NGUYỄN THỊ PHƢƠNG THẢO MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Cấu trúc luận văn CHƢƠNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VECTƠ 1.1 CÁC ĐỊNH NGHĨA VỀ VECTƠ 1.2 CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN VỀ VECTƠ 1.3 TÍCH CỦA CÁC VECTƠ 16 CHƢƠNG HÀM VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 23 2.1 VECTƠ CHỨA BIẾN SỐ VÀ ĐỊNH NGHĨA HÀM VECTƠ 23 2.2 ĐẠO HÀM CỦA HÀM VECTƠ 25 2.3 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH CỦA HÀM VECTƠ 32 2.4 VECTƠ TIẾP TUYẾN 37 2.5 ĐỘ DÀI CỦA ĐƢỜNG CONG 42 2.6 ỨNG DỤNG CỦA HÀM VECTƠ 46 2.6.1 Ứng dụng hàm vectơ giải số toán đƣờng cong 46 2.6.2 Ứng dụng đạo hàm hàm vectơ 48 2.6.3 Ứng dụng tích phân hàm vectơ 51 2.6.4 Ứng dụng tiếp tuyến hàm vectơ 55 2.6.5 Ứng dụng vật lí hàm vectơ 65 KẾT LUẬN 74 TÀI LIỆU THAM KHẢO QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (bản sao) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vectơ khái niệm trừu tƣợng Để nắm đƣợc kiến thức vectơ đòi hỏi ngƣời học phải có tƣ logic, khả sáng tạo biết vận dụng liên hệ với thực tế Trong chƣơng trình phổ thơng, kiến thức vectơ đƣợc đề cập xuyên suốt ba năm cấp ba với số tiết chiếm nửa tổng số tiết hình học ba năm cấp ba Kiến thức vectơ phổ thông định nghĩa, phép toán để vận dụng giải số toán vectơ không gian, phƣơng pháp tọa độ không gian Đây phần kiến thức vectơ ứng dụng hình học vectơ Ngồi ứng dụng hình học, vectơ cịn có ứng dụng vật lí, đạo hàm tích phân Hàm vectơ mở rộng khái niệm vectơ cách đặt tƣơng ứng giá trị t  R vectơ, vectơ xem hàm vectơ Ứng dụng hàm vectơ đƣợc vận dụng để giải tốn Vật lí, chẳng hạn ta viết phƣơng trình vận tốc chuyển động vt  v0  a.t , a vectơ gia tốc t thời gian Khi chuyển động thẳng độ lớn vt vt  v0  at Là giáo viên dạy tốn trƣờng phổ thơng với mong muốn đƣợc tìm hiểu sâu sắc hàm vectơ ứng dụng hàm vectơ nhằm có nhìn tồn diện từ đƣa cách truyền đạt để học sinh nắm bắt tiếp cận kiến thức vectơ cách dễ dàng, định chọn đề tài: “Hàm vectơ ứng dụng” 2 Mục đích nghiên cứu - Hệ thống lại kiến thức vectơ - Phát biểu khái niệm hàm vectơ kiến thức liên quan đến hàm vectơ nhƣ: đạo hàm, tích phân, vectơ tiếp tuyến… - Hệ thống phân loại số tốn giải đƣợc cách sử dụng kiến thức hàm vectơ Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Các kiến thức vectơ - Các kiến thức hàm vectơ ứng dụng hàm vectơ - Các tốn giải đƣợc cách sử dụng kiến thức hàm vectơ Phƣơng pháp nghiên cứu Với đề tài: “Hàm vectơ ứng dụng” sử dụng phƣơng pháp nghiên cứu sau: + Thu thập, tổng hợp, hệ thống tài liệu liên quan đến nội dung đề tài luận văn + Phân tích, nghiên cứu tài liệu để thực đề tài luận văn + Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến ngƣời hƣớng dẫn, chuyên gia đồng nghiệp Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài - Hệ thống đƣợc kiến thức vectơ, khái niệm hàm vectơ số kiến thức liên quan hàm vectơ nhằm phục vụ cho đề tài - Đề tài có giá trị mặt lý thuyết Có thể sử dụng luận văn nhƣ tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành toán, giáo viên phổ thông đối tƣợng quan tâm đến kiến thức vectơ Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận,tài liệu tham khảo, nội dung luận văn đƣợc chia thành hai chƣơng Chƣơng 1: Kiến thức vectơ  Trình bày kiến thức vectơ với khái niệm, tính chất, phép tốn có liên quan Chƣơng 2: Hàm vectơ ứng dụng  Trình bày khái niệm hàm vectơ, kiến thức liên quan hàm vectơ nhƣ: đạo hàm, tích phân, vectơ tiếp tuyến  Trình bày số ứng dụng hàm vectơ nhƣ: ứng dụng đạo hàm, ứng dụng tích phân, ứng dụng vectơ tiếp tuyến ứng dụng vật lý CHƢƠNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VECTƠ 1.1 CÁC ĐỊNH NGHĨA VỀ VECTƠ Các đại lƣợng vật lí đƣợc chia làm hai loại: - đại lƣợng vô hƣớng đại lƣợng có độ lớn nhƣng khơng có hƣớng - đại lƣợng có hƣớng đại lƣợng có độ lớn hƣớng Định nghĩa 1.1.1 Đại lƣợng có hƣớng đƣợc gọi đại lượng vectơ (hay gọi tắt vectơ) Các đại lƣợng vật lí nhƣ khối lƣợng, thể tích, công lƣợng vô hƣớng; độ dời, vận tốc, gia tốc lực vectơ Kí hiệu 1.1.2  Đại lƣợng vectơ đƣợc biểu diễn chữ a Khi vectơ a đƣợc biểu diễn đoạn thẳng nối điểm P đến điểm Q đƣợc kí hiệu PQ Do PQ  a Q P aa  Độ lớn vectơ đƣợc gọi modul vectơ đƣợc kí hiệu a , modul vectơ PQ đƣợc viết PQ Định nghĩa 1.1.3 Các vectơ có độ lớn đƣợc gọi vectơ đơn vị Trong luận văn vectơ đơn vị đƣợc phân biệt với vectơ khác dấu mũ; ví dụ aˆ đại diện cho vectơ đơn vị theo hƣớng vectơ a Rõ ràng, a = a aˆ Trong hệ trục tọa độ Descartes vng góc OXYZ , vectơ đơn vị trục OX , OY , OZ lần lƣợt đƣợc kí hiệu i, j, k Định nghĩa 1.1.4 Vectơ - khơng vectơ có độ lớn khơng khơng có hƣớng, đƣợc ký hiệu Định nghĩa 1.1.5 Vectơ đối vectơ a , đƣợc kí hiệu – a , vectơ có modul vectơ a nhƣng ngƣợc hƣớng với vectơ a Định nghĩa 1.1.6 Các vectơ đƣợc gọi chúng có modul hƣớng Ví dụ 1.1.7 Vectơ AB , DC biểu diễn cạnh đối AB, CD hình bình hành ABCD 1.2 CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN VỀ VECTƠ Định nghĩa 1.2.1 (Phép cộng hai vectơ) Cho hai vectơ a, b đƣợc biểu diễn lần lƣợt PQ , QR (Hình (a)) Khi vectơ biểu diễn PR đƣợc định nghĩa tổng a b , đƣợc viết: a  b đƣợc gọi quy tắc điểm phép cộng vectơ Qui tắc 1.2.2 Nếu vectơ a, b đƣợc biểu diễn lần lƣợt PQ , PS ta đƣợc hình bình hành PQRS nhƣ hình (b), đƣờng chéo PR qua P đại diện cho tổng a  b Đây quy tắc hình bình hành phép cộng vectơ Rõ ràng hai quy tắc tƣơng đƣơng ta sử dụng hai R S R b a+b Q P P Q a (a) (b) Từ hình (b), SR = PQ = a QR = PS = b , ta có tính giao hốn phép cộng a+b=b+a đại lƣợng vơ hƣớng, cho đại lƣợng vectơ Do b  a = PS + SR = PR = PQ + QR = a  b Định nghĩa 1.2.3 (Phép trừ hai vectơ) Hiệu hai vectơ a, b đƣợc viết a  b R theo quy tắc đại số vơ hƣớng đƣợc viết thành tổng a + (- b ) S a-b b Q Biễu diễn a, b vectơ PQ , QR nhƣ P a trƣớc, QR ' đại diện cho -b a-b - b , với QR' = QR (hình vẽ) Nên a  b a + (- b ) đƣợc biểu diễn PR ' SQ R' Định nghĩa 1.2.4 (Tổng nhiều vectơ) Giả sử có n vectơ a1, a , , a n A4 a4 A3 Cho a đƣợc biểu diễn OA1 , a đƣợc đại diện A1 A2 , …, a n An-1 đƣợc biểu diễn An1 An a3 A2 an a2 Vậy An a +a + +a n O OA2  OA1  A1 A2  a1  a ; A1 a1 OA3  OA2  A2 A3  a1  a  a ; OA4  OA3  A3 A4  a1  a  a  a ; …………………………………………… OAn  OAn1  An1 An  a1  a  a   a n Đây hình đa giác vectơ, kết áp dụng đƣợc không gian hai ba chiều Từ hình vẽ, rõ ràng là:   OA3  OA2  A2 A3  a1  a  a OA3  OA1  A1 A3  a1  (a  a )     Vì a1  a2  a3  a1  a2  a3 Từ ta có tính kết hợp phép cộng khơng với đại lƣợng vơ hƣớng mà cịn đại lƣợng vectơ Ví dụ 1.2.5 ABCD hình tứ giác; P, Q lần lƣợt trung điểm cạnh AB, DC Chứng minh rằng: AD  BC  2PQ 61 N t   T 't  T 't   2cos t i  2sin t j   cos t i  sin t j   Minh họa nhƣ hình vẽ sau Đƣờng xoắn ốc r  t   2cos ti  2sin t j  tk Bài toán 4: Hợp thành tiếp tuyến pháp tuyến gia tốc Tìm hợp thành tiếp tuyến pháp tuyến gia tốc với vectơ vị trị cho r  t   3ti  t j  t k Lời giải Trƣớc tiên, ta tìm vận tốc, tốc độ gia tốc 62 v  t   r '  t   3i  j  2k v  t     4t  10  4t a  t   r "  t   2k Sử dụng định lí 2.4.7, hợp thành tiếp tuyến gia tốc aT  v.a  v 4t 10  4t Và i j k v  a   2t  2i  j 0 Hợp thành pháp tuyến gia tốc aN  va v   36 10  4t  10 10  4t Bài tốn 5: Tìm a T a N đƣờng xoắn trịn Tìm hợp thành tiếp tuyến pháp tuyến gia tốc xoắn ốc cho r  t   b cos t i  b sin t j  ctk , b  Lời giải v  t   r '  t   b sin t i  b cos t j  ck v  t   b sin t  b 2cos 2t  c  b  c a  t   r " t   b cos t i  b sin t j 63 Dùng định lí 2.4.7, hợp thành tiếp tuyến gia tốc aT  v.a  b sin t cos t  b sin t cos t  b2  c2 v 0 Hơn nữa, a  b2 cos2 t  b2 sin t  b , ta sử dụng cơng thức thay cho hợp thành pháp tuyến gia tốc để có đƣợc aN  a  aT  b  02  b Chú ý hợp thành pháp tuyến gia tốc với độ lớn gia tốc Trong đại lƣợng, tốc độ số, gia tốc vng góc với vận tốc Nhƣ hình vẽ aN  b Bài tốn 7: Chuyển động phóng Vectơ vị trí chuyển động phóng minh họa hình vẽ cho bởi:     r  t   50 t i  50 t  16t j 64 Tìm hợp thành pháp tuyến gia tốc t  0, t  1, t      r  t   50 2t i  50 2t  16t j Lời giải   v  t   50 i  50  32t j v  t   502  16  50  2t  162 t a  t   32 j Hợp thành tiếp tuyến gia tốc aT  t   v  t  a  t  v t    32 50  32t  502  16  50  2t  162 t Tại thời gian xác định, ta có 25 16 65 aT    aT 1   32 50 100   16  32 50  32  22.6  502  16  50   162   15.4   25  32 50  50 aT  0  50  16  2.6.5 Ứng dụng vật lí hàm vectơ Bài tốn 1: Tìm vận tốc gia tốc dọc theo đƣờng cong không gian Tìm vectơ vận tốc, tốc độ vectơ gia tốc hạt di chuyển dọc theo đường cong không gian C mô tả r  t   2sin t t i  2cos j 2 Lời giải Vectơ vận tốc t t v  t   r '  t   cos i  sin j 2 Tốc độ r '  t   cos t t  sin  2 Vectơ gia tốc t t a  t   r " t    sin i  cos j 2 2 Phƣơng trình tham số đƣờng cong 66 x  2sin t t y  2cos 2 Bằng cách khử tham số t, ta đƣợc phƣơng trình đại số x2  y  Vì đƣờng cong đƣờng trịn có bán kính điểm gốc nhƣ hình vẽ Đƣờng trịn a t  v t  t t r  t   2sin i  2cos j 2 Bởi vectơ vận tốc t t v  t   cos i  sin j 2 Có độ lớn khơng đổi, nhƣng hƣớng thay đổi tăng lên, hạt di chuyển vòng quanh đƣờng trịn với tốc độ khơng đổi 67 Bài tốn 2: Phác họa vectơ vận tốc vectơ gia tốc không gian Phác họa đường đối tượng di chuyển dọc theo đường cong không gian cho hàm vectơ vị trí r t   t  4 i  t j tìm vectơ vận tốc vectơ gia tốc t = t =2 Lời giải Dùng phƣơng trình tham số x  t  y = t, ta xác định đƣờng cong parabol đƣợc cho x  y  , nhƣ hình vẽ r t   t  4 i  t j v  2 v  0 a  2 a  0 Vectơ vận tốc v  t   r '  t   2t i  j Và vectơ gia tốc a  t   r " t   2i 68 Khi t = 0, vectơ vận tốc vectơ gia tốc đƣợc cho v      i  j  j a    2i Khi t = , vectơ vận tốc vectơ gia tốc đƣợc cho v      i  j  4i  j a    2i Cho đối tƣợng di chuyển dọc theo đƣờng nhƣ hình vẽ, ý vectơ gia tốc khơng đổi (có độ lớn điểm phía bên phải) Điều có nghĩa tốc độ đối tƣợng giảm di chuyển phía đỉnh đầu parabol, tốc độ đối tƣợng tăng di chuyển cách xa đỉnh đầu parabol Loại vật phóng khơng có có đặc tính chổi mà quay quanh quỹ đạo xuyên suốt hệ mặt trời Cho ví dụ, vectơ gia tốc ln nằm điểm gốc (mặt trời), có nghĩa tốc độ chổi tăng tiếp cận đỉnh đầu đƣờng giảm di chuyển cách xa đỉnh đầu Nhƣ hình vẽ sau Mặt trời a 69 Bài toán 3: Phác họa vectơ vận tốc vectơ gia tốc không gian Phác họa đường đối tượng di chuyển dọc theo đường cong không gian C cho hàm vectơ vị trí r  t   t i  t j  3tk , t  tìm vectơ vận tốc vectơ gia tốc t = Lời giải Dùng phƣơng trình tham số x  t y  t , ta xác định đƣợc đƣờng đối tƣợng nằm đƣờng hình trụ bậc ba đƣợc cho y  x3 Hơn nữa, z  3t , đối tƣợng bắt đầu điểm (0, 0, 0) di chuyển trở lên t tăng , nhƣ hình vẽ Bởi r  t   ti  t j  3tk , ta có v  t   r '  t   i  3t j  3k a  t   r " t   6t j Khi t = 1, vectơ vận tốc vectơ gia tốc đƣợc cho v 1  r ' 1  i  j  3k a 1  r "1  j Minh họa nhƣ hình vẽ sau 70 Đƣờng cong r  t   ti  t j  3tk , t  v 1 a 1 Bài tốn 4: Mơ tả đƣờng bóng chày Một bóng chày đánh ba bước chân so với mặt đất bay cấp độ giây 100 feet tạo góc 450 so với điểm ban đầu đến mặt đất, biểu diễn hình Tìm chiều cao đạt tối đa bóng chày Bóng chày có vượt qua hàng rào cao 10 foot đượt đặt vị trí cách điểm ban đầu 300 feet? Lời giải Hình vẽ sau minh họa đƣờng bóng chày 71 Ta có h = 3, v0 = 100,   450 Vì thế, dùng g = 32 (feet/ giây2) kết       r  t   100cos  ti  3  100sin  t  16t  j 4 4          50 2t i   50 2t  16t j   v  t   r '  t   50 i  50  32t j Chiều cao tối đa xảy y '  t   50  32t  hay t  25  2.21 giây 16 Vì chiều cao tối đa đạt đƣợc bóng chày  25   25  649 y   50   16  81 feet     16 16     Bóng chày có 300 feet từ nơi bị đánh 300  x  t   50 2t 72 Giải phƣơng trình theo t với kết t   4.24 giây Tại thời điểm này, chiều cao bóng chày đạt đƣợc    y   50  16   303  288  15 feet Vì thế, bóng chày dễ dàng vƣợt qua đƣợc chiều cao 10-foot hàng rào cách vị trí ban đầu 300 feet Bài tốn 5: Ứng dụng lực ma sát Một xe đua nặng 360 kg lái với tốc độ 60 km/h đường đua vịng trịn bán kính 12m, biểu diễn hình vẽ Để giữ cho xe khơng bị trượt khỏi đường đua phải tác động lực ma sát lên bề mặt lốp xe ? Lời giải Khi xe chuyển động tạo lực  d 2s   ds  F  ma  m  T  mK   N  maT T  maN N  dt   dt  73 Để giữ cho xe không bị trƣợt khỏi đƣờng đua phải tác động lực ma sát m.aN Với đƣờng cong ta biết uốn cong K 12 Vì thế, lực ma sát  ds     60,000 m  maN  mK     360kg      dt   12m   3600sec   8333  kg  m  / sec2 74 KẾT LUẬN Luận văn “Hàm vectơ ứng dụng” thực đƣợc số vấn đề sau đây: Hệ thống lại kiến thức vectơ Phát biểu trình bày số định nghĩa, định lí liên quan đến khái niệm hàm vectơ nhƣ: đạo hàm, tích phân, vectơ tiếp tuyến, Tìm hiểu, phân loại, tổng hợp trình bày ứng dụng hàm vectơ đạo hàm, tích phân có lồng ghép số kiến thức vật lí Trình bày số ứng dụng tiếp tuyến hàm vectơ thông qua việc giải số tốn đƣờng cong khơng gian Trình bày ứng dụng vật lí hàm vectơ qua số tốn tìm vận tốc, gia tốc, lực ma sát Mặc dù cố gắng nhƣng lực thời gian có hạn nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Mong nhận đƣợc góp ý xây dựng quý thầy cô bạn đồng nghiệp Tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến thầy TS.Lê Văn Dũng tận tình hƣớng dẫn để tơi hồn thành luận văn TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) - Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên) - Nguyễn Văn Đoành - Trần Đức Huyên (2007), Hình Học 10-Cơ bản, NXB Giáo dục [2] Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) - Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên) - Khu Quốc Anh - Trần Đức Huyên (2010), Hình Học 12-Cơ bản, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Văn Lộc (1997), Quy trình giải tốn hình học phương pháp vectơ, NXB Giáo dục [4] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) - Văn Nhƣ Cƣơng (Chủ biên)- Phạm Vũ Khuê- Bùi Văn Nghị (2013), Hình Học 10-Nâng cao, NXB Giáo dục [5] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) - Văn Nhƣ Cƣơng (Chủ biên) - Phạm Khắc Ban - Lê Huy Hùng - Tạ Mân (2013), Hình Học 12-Nâng cao, NXB Giáo dục [6] Nguyễn Đình Trí (Chủ biên) - Tạ Văn Đĩnh - Nguyễn Hồ Quỳnh (1998), Toán Cao cấp –Tập 3, NXB Giáo dục Tiếng Anh [7] Ron Larson, Bruce H Edwards (2013), Calculus, 9th Edition , Cengage Leanring [8] R.I Porter (1970), A school course in vectors, Collins Educational ... 2: Hàm vectơ ứng dụng  Trình bày khái niệm hàm vectơ, kiến thức liên quan hàm vectơ nhƣ: đạo hàm, tích phân, vectơ tiếp tuyến  Trình bày số ứng dụng hàm vectơ nhƣ: ứng dụng đạo hàm, ứng dụng. .. 2.6.1 Ứng dụng hàm vectơ giải số toán đƣờng cong 46 2.6.2 Ứng dụng đạo hàm hàm vectơ 48 2.6.3 Ứng dụng tích phân hàm vectơ 51 2.6.4 Ứng dụng tiếp tuyến hàm vectơ 55 2.6.5 Ứng. .. học, vectơ cịn có ứng dụng vật lí, đạo hàm tích phân Hàm vectơ mở rộng khái niệm vectơ cách đặt tƣơng ứng giá trị t  R vectơ, vectơ xem hàm vectơ Ứng dụng hàm vectơ đƣợc vận dụng để giải tốn